Cálculo 3 cal3na 26

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 26∗
Integrais de Linha - II
Ale´m do comprimento e da massa, as integrais de linha teˆm outras aplicac¸o˜es. Por
exemplo, o ca´lculo do trabalho de uma forc¸a ao longo de uma trajeto´ria, ou a diferenc¸a de
potencial gerado por um campo ele´trico ao longo de um circuito. Essas sa˜o as aplicac¸o˜es que
sera˜o vistas as seguir, logo depois de estudar algumas propriedades ba´sicas dessas integrais.
Lembrando: Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Simples
Para um caminho C de parametrizac¸a˜o regular P : [a, b] → R3, o elemento compri-
mento de arco compara pequenos tamanhos dt do domı´nio como os respectivos tamanhos
ds = ‖P ′(t)‖dt da imagem. Nesse sentido, o comprimento de arco desempenha o mesmo
papel, por exemplo, do jacobiano dxdy = |J(r, θ)|drdθ em coordenadas polares.
dt
P ds
No entanto, chama a atenc¸a˜o um fato curioso. Todas as comparac¸o˜es de tamanho en-
volvem nu´meros positivos. Afinal, tamanhos sa˜o sempre positivos. Mas isso na˜o acontece na
mudanc¸a de varia´veis das integrais simples! De fato, com uma mudanc¸a x = g(t), usa-se a
comparac¸a˜o dx = g′(t)dt sem a menor cerimoˆnia, mesmo que g′(t) seja negativa.
O que explica essa curiosidade e´ o fato de a integral simples ser orientada, no sentido de
que
∫ a
b
f(x) dx = − ∫ b
a
f(x) dx. Veja os detalhes na demonstrac¸a˜o do lema a seguir.
Lema 1. Sejam f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua e g : [c, d]→ [a, b] uma func¸a˜o de classe
C1 tal que g′(t) 6= 0 para todo t ∈ [c, d]. Enta˜o∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(g(t))|g′(t)| dt
Demonstrac¸a˜o. Como g′(t) na˜o se anula, ela tambe´m na˜o muda de sinal. Assim, ou
g′(t) > 0 ou g′(t) < 0 ao longo de todo o intervalo [c, d], conforme ilustram as figuras abaixo.
c d
a
b
g′(t) > 0
c d
a
b
g′(t) < 0
No caso em que g′(t) > 0 na˜o tem muito o que fazer, pois |g′(t)| = g′(t). A func¸a˜o g
preserva a orientac¸a˜o dos intervalos, no sentido de que, quanto t percorre o intervalo [c, d]
∗Texto digitado e diagramado por Ange´lica Lorrane a partir de suas anotac¸o˜es de sala
de c para d, a imagem x = g(t) percorre o intervalo [a, b] de a para b. Assim, a = g(c) e
b = g(d), e usando a mudanc¸a em integrais simples ja´ vista anteriormente segue-se que∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(g(t))g′(t) dt =
∫ d
c
f(g(t))|g′(t)| dt
No caso em que g′(t) < 0 tem-se que |g′(t)| = −g′(t), e a func¸a˜o g inverte a orientac¸a˜o
dos intervalos, no sentido de que, quanto t percorre o intervalo [c, d] de c para d, a imagem
x = g(t) percorre o intervalo [a, b] de b para a. Veja a figura acima. Assim, a = g(d) e
b = g(c), e usando mais uma vez a mudanc¸a ja´ vista anteriormente obte´m-se que∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
d
f(g(t))g′(t) dt = −
∫ d
c
f(g(t))g′(t) dt
=
∫ d
c
f(g(t))(−g′(t)) dt =
∫ d
c
f(g(t))|g′(t)| dt
Resumindo, em qualquer caso vale a igualdade
∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(g(t))|g′(t)| dt. Isto
significa que, se mantida as orientac¸o˜es dos intervalos, pode-se usar a comparac¸a˜o
dx = |g′(t)| dt, que inclui o mo´dulo como nos outros casos. �
Reparametrizac¸a˜o de Caminhos
Um caminho pode ser parametrizado de diferentes maneiras. Uma boa comparac¸a˜o e´
aquela em que o caminho e´ a estrada e a parametrizac¸a˜o e´ uma forma de percorreˆ-la. Enta˜o,
para medir o comprimento da estrada deve-se fazer o percurso, mas e´ claro que o comprimento
na˜o depende da forma particular em que o percurso e´ feito. E´ isso que sera´ mostrado a seguir.
Por exemplo, considere o caminho C correspon-
dente ao semi-c´ırculo superior de equac¸a˜o x2 + y2 = R2
com y ≥ 0. Como C e´ o gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
√
R2 − y2, e´ claro que ele pode ser
parametrizado por P (x) = (x, f(x)), com x ∈ [−R,R],
como ilustra a figura ao lado.
−R Rx
f(x)
Neste caso, o vetor velocidade e´ P ′(x) = (1, f ′(x)) e, calculando, obte´m-se que
ds = ‖P ′(x)‖ dx = R√
R2 − x2 dx
que na˜o e´ uma expressa˜o fa´cil de ser integrada. Mas o caminho C pode ser reparametrizado
de forma a que o novo elemento comprimento de arco seja muito fa´cil de ser integrado.
0 t pi −R x R
g P
P̂
g(t)
f(g(t)) P̂ (t)
De fato, seja g : [0, pi] → [−R,R] a mudanc¸a de coordenadas g(t) = R cos(t). E´ uma
mudanc¸a que inverte a orientac¸a˜o dos intervalos, pois a derivada g′(t) = −R sen(t) e´ negativa
para todo t ∈ (0, pi). Apesar disto, e´ uma mudanc¸a conveniente, pois permite definir uma
nova parametrizac¸a˜o P̂ de C dada pela composta
P̂ (t) = P (g(t)) = (g(t),
√
R2 − g(t)2) = (R cos(t), R sen(t))
Ca´lculo III Notas da Aula 26 2/6
Surpresa! A composta P̂ nada mais e´ que a parametrizac¸a˜o de C por coordenadas polares.
Pela regra da cadeia na˜o e´ dif´ıcil ver que o vetor velocidade desta nova parametrizac¸a˜o e´
P̂ ′(t) = P ′(g(t))g′(t) = (1, f ′(g(t)))g′(t) = (−R sen(t), R cos(t))
e portanto ‖P̂ ′(t)‖ = R. Em particular, como esperado, o comprimento de C e´ dado por∫
C
ds =
∫ pi
0
‖P̂ ′(t)‖ dt =
∫ pi
0
Rdt = piR
Destes ca´lculos vem uma pergunta interessante. O comprimento e´ calculado por meio de
uma parametrizac¸a˜o do caminho. Mas, se o caminho admite va´rias parametrizac¸o˜es, qual
delas usar para calcular o comprimento? De acordo com o pro´ximo resultado, pode-se usar
qualquer parametrizac¸a˜o: todas levam ao mesmo comprimento.
Lema 2 (Independeˆncia da Parametrizac¸a˜o). Supor P : [a, b] → R2 e P̂ : [c, d]→ R2 parametriza-
c¸o˜es regulares de um mesmo caminho C e f : C → R uma func¸a˜o cont´ınua. Enta˜o∫ d
c
f(P̂ (t))‖P̂ ′(t)‖ dt =
∫ b
a
f(P (x))‖P ′(x)‖ dx
Demonstrac¸a˜o. Escolhendo-se uma mudanc¸a de coordenadas g : [c, d] → [a, b], pode-se
supor que P̂ (t) = P (g(t)), como ilustra a figura acima. Enta˜o, pela regra da cadeia,
P̂ ′(t) = P ′(g(t))g′(t), e portanto ‖P̂ ′(t)‖ = ‖P ′(g(t))‖ |g′(t)|. Usando agora o Lema 1
com a mudanc¸a x = g(t) tem-se que dx = |g′(t)| dt, e portanto∫ d
c
f(P̂ (t))‖P̂ ′(t)‖ dt =
∫ d
c
f(P (g(t)))‖P ′(g(t))‖ |g′(t)| dt =
∫ b
a
f(P (x))‖P ′(x)‖ dx
o que conclui a demonstrac¸a˜o. �
Exemplo 1. Calcule o centro de massa do caminho C cor-
respondente ao semi-c´ırculo de equac¸a˜o x2 + y2 = R2, com
y ≥ 0, e com densidade constante δ0.
Soluc¸a˜o. O comprimento piR de C ja´ foi calculado acima.
Como a densidade e´ constante, a massa e´ M = piRδ0.
Por simetria e´ claro que x = 0. Veja a figura. Para y, escolhendo por exemplo a
parametrizac¸a˜o P̂ (t) = (R cos(t), R sen(t)), com t ∈ [0, pi], tem-se que ‖P̂ ′(t)‖ = R. Logo∫
C
yδ0 ds =
∫ pi
0
R sen(t)δ0Rdt = 2R
2δ0
e portanto y = 1
M
∫
C
yδ0 ds = 2R/pi. A figura ilustra o ponto (x, y). Como um exerc´ıcio,
vale repetir esses ca´lculos usando a parametrizac¸a˜o P (x) = (x,
√
R2 − x2) de C. �
A Componente Tangencial da Forc¸a
Para ser usado logo a seguir, considere o problema
de calcular a componente tangencial de uma forc¸a que
atua no deslocamento de uma part´ıcula. Esses ca´lculos
ja´ foram feitos antes, mas vale lembra´-los rapidamente.
rP ′ P ′
F
F − rP ′
De acordo com a figura ao lado, a projec¸a˜o ortogonal da forc¸a F sobre o vetor velocidade
P ′ e´ o vetor rP ′, onde r deve ser escolhido de modo que F − rP ′ seja ortogonal a P ′. Para
isso, basta notar que esses vetores sa˜o ortogonais se, e somente se,
0 = 〈F − rP ′, P ′〉 = 〈F, P ′〉 − r〈P ′, P ′〉
Ca´lculo III Notas da Aula 26 3/6
Usando que 〈P ′, P ′〉 = ‖P ′‖2 e isolando o valor de r obte´m-se que r = 〈F,P ′〉
‖P ′‖2
, e portanto
rP ′ =
〈F, P ′〉
‖P ′‖2 P
′ =
〈
F,
P ′
‖P ′‖
〉
P ′
‖P ′‖
Esta e´ a componente tangencial da forc¸a. Como P
′
‖P ′‖
e´ unita´rio, a intensidade da compo-
nente e´ ‖rP ′‖ = |〈F, P ′
‖P ′‖
〉|. Outro aspecto importante e´ o sinal do nu´mero 〈F, P ′
‖P ′‖
〉, que e´
o mesmo sinal de r. Ele indica o sentido dacomponente em relac¸a˜o ao vetor velocidade: se
positivo, a componente tem o mesmo sentido de P ′; se negativo, tem sentido contra´rio.
rP ′ P ′
F
P ′
F
rP ′ P ′
F
r > 0 r = 0 r < 0
Integrais de Linha de 2a Espe´cie
Suponha que uma part´ıcula desloca-se em linha reta de um ponto a ate´ um ponto b sujeita
a uma forc¸a F̂ que so´ depende da posic¸a˜o t da part´ıcula. A forc¸a e´ positiva se tem o mesmo
sentido do deslocamento, e negativa caso contra´rio. Veja a figura ao lado.
a t b
F̂ < 0
F̂ > 0
Se a forc¸a e´ constante, enta˜o o trabalho Wab
realizado por F̂ ao longo do deslocamento e´
Wab = forc¸a× deslocamento = F̂ (b− a)
Se F̂ = F̂ (t) na˜o e´ constante, escolha uma partic¸a˜o P = {a = t0 < t1 · · · < tn = b} de
[a, b] e suponha que a forc¸a entre os pontos ti−1 e ti seja aproximada por F̂ (ti−1). Enta˜o, o
trabalho entre ti−1 e ti pode ser aproximado por ∆Wi ≈ F̂ (ti−1)∆ti, e o trabalho total pode
ser aproximado pela soma de Riemann Wab ≈
∑n
i=1 F̂ (ti−1)∆ti, aproximac¸a˜o ta˜o melhor
quanto menor forem os ∆ti. O trabalho total e´ dado enta˜o por
Wab =
∫ b
a
F̂ (t) dt
O´timo. Isso resolve o problema no caso em que a trajeto´ria da part´ıcula e´ reta. Mas
suponha agora que, como ilustrado na figura abaixo, a trajeto´ria corresponda ao caminho C
de parametrizac¸a˜o P (t) = (x(t), y(t), z(t)), com t ∈ [a, b], e que se conhec¸a a forc¸a F (P (t))
no ponto P (t). Enta˜o, como calcular o trabalho neste caso?
Como ja´ se sabe calcular o trabalho no caso de um intervalo, a pergunta pode ser refor-
mulada assim: como obter uma forc¸a F̂ no intervalo [a, b] de modo que o trabalho realizado
por essa forc¸a seja igual ao trabalho realizado por F ao longo de C?
a bt P
P (a)
P (b)
P (t)
F (P (t))
P ′(t)
rP ′(t)
Ca´lculo III Notas da Aula 26 4/6
Ora, essa e´ uma pergunta familiar, e ja´ na˜o ha´ mais segredo em responde-la! De fato, o
primeiro passo e´ localizar os ca´lculos em torno de um pequeno intervalo [t, t + ∆t] e supor
que a forc¸a seja constante e igual a F (P (t)) ao longo do trecho entre P (t) e P (t+∆t).
Como apenas a componente tangencial realiza trabalho, deve-se projetar a forc¸a sobre
o tangente, ale´m de considerar o sentido desta projec¸a˜o. Procedendo desta forma, e ja´
considerando o sentido, a intensidade da forc¸a tangente e´ dada por
FT (P (t)) =
〈
F (P (t)),
P ′(t)
‖P ′(t)‖
〉
Como o deslocamento entre P (t) e P (t+∆t) pode ser aproximado por ‖P ′(t)‖∆t, o trabalho
∆W realizado pela forc¸a entre esses dois pontos pode ser aproximado por
∆W ≈ FT (P (t))‖P ′(t)‖∆t =
〈
F (P (t)),
P ′(t)
‖P ′(t)‖
〉
‖P ′(t)‖∆t
= 〈F (P (t)), P ′(t)〉∆t = F̂ (t)∆t
onde foi usada a notac¸a˜o F̂ (t) = 〈F (P (t)), P ′(t)〉. Ora, com essa escolha, o produto F̂ (t)∆t
e´ o trabalho realizado por F̂ no intervalo [t, t+∆t]. Assim, essa e´ a escolha que faz com que,
localmente, os trabalhos no domı´nio e na imagem sejam aproximadamente iguais. Usando
partic¸o˜es e somas de Riemann na˜o e´ dif´ıcil ver que essa tambe´m e´ a escolha que faz com que
os trabalhos totais sejam os mesmos, trabalhos que sa˜o dados por
W =
∫ b
a
〈F (P (t)), P ′(t)〉 dt =
∫ b
a
F̂ (t) dt
Em geral, se F e´ um campo de vetores (forc¸a, velocidade, campo ele´trico...), diz-se que∫
C
〈F, T 〉 ds =
∫ b
a
〈F (P (t)), P
′(t)
‖P ′(t)‖〉‖P
′(t)‖ dt =
∫ b
a
〈F (P (t)), P ′(t)〉 dt
e´ a integral de linha de 2a espe´cie de F sobre C, onde T = P ′(t)/‖P ′(t)‖ e´ o vetor tangente
unita´rio. Outra notac¸a˜o e´ usando as componentes F = (L,M,N) do vetor F . Nesse caso,
〈F (P (t)), P ′(t)〉 = L(P (t))x′(t) +M(P (t))y′(t) +N(P (t))z′(t) e e´ comum a notac¸a˜o∫
C
〈F, T 〉 ds =
∫
C
Ldx+Mdy +Ndz
=
∫ b
a
[L(P (t))x′(t) +M(P (t))y′(t) +N(P (t))z′(t)] dt
P ′(t)
rP ′(t)
F
Exemplo 2. Calcule o trabalho realizado pela forc¸a de gravi-
dade ao se deslocar uma part´ıcula de massa m ao longo da
he´lice P (t) = (cos(t), sen(t), t), com t ∈ [0, 2pi].
Soluc¸a˜o. Indicando por F a forc¸a de gravidade que age sobre
a part´ıcula, e´ claro que ‖F‖ = mg, onde g e´ a acelerac¸a˜o da
gravidade. E´ claro tambe´m que F tem a direc¸a˜o e sentido do
vetor (0, 0,−1), e portanto a sua expressa˜o e´ F = (0, 0,−mg).
Projetando sobre P ′(t) = (− sen(t), cos(t), 1), e usando a
expressa˜o do trabalho W obtida acima, segue-se que
W =
∫ 2pi
0
〈F, P ′(t)〉 dt =
∫ 2pi
0
−mg dt = −mg2pi
�
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Este resultado esta´ de acordo com o fato de que, se uma part´ıcula de massa m e´ deslocada
de uma altura h, enta˜o o trabalho realizado pela forc¸a gravitacional e´W = −mgh. O curioso
desse resultado e´ que o trabalho na˜o depende da trajeto´ria da part´ıcula, mas apenas das
posic¸o˜es inicial e final. Mais adiante sera´ visto que a forc¸a gravitacional e´ um caso particular
de forc¸as conservativas, forc¸as que desempenham um papel central na f´ısica newtoniana.
O pro´ximo exemplo explora o fato de que a parametrizac¸a˜o pode ser regular por partes.
Exemplo 3. Calcule a integral
∫
C
xydx+zdy+ydz, onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (1, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 0, 1) com orientac¸a˜o anti-hora´ria se visto de cima.
Soluc¸a˜o. A primeira observac¸a˜o e´ que, com a notac¸a˜o de
componentes introduzida acima, deve-se calcular a integral∫
C
〈F, T 〉 ds =
∫
C
xydx+ zdy + ydz
onde o campo de vetores e´ F (x, y, z) = (xy, z, y).
A segunda observac¸a˜o e´ que, com a notac¸a˜o da figura, o
caminho e´ uma justaposic¸a˜o C = C1 ∪ C2 ∪ C3, onde cada
Ci possui uma parametrizac¸a˜o regular. A integral e´ enta˜o
definida como a soma C1
C2
C3
∫
C
〈F, T 〉 ds =
∫
C1
〈F, T 〉 ds+
∫
C2
〈F, T 〉 ds+
∫
C3
〈F, T 〉 ds
Comec¸ando com a integral em C1, como esse caminho e´ um segmento de reta que parte
de (1, 0, 0) e chega a (0, 1, 0), ele pode ser parametrizado por
P1(t) = (1− t)(1, 0, 0) + t(0, 1, 0) = (1− t, t, 0) com t ∈ [0, 1]
Assim, P ′1(t) = (−1, 1, 0) e F (P1(t)) = F (1− t, t, 0) = ((1− t)t, 0, t), de onde segue-se que∫
C1
〈F, T 〉 ds =
∫ 1
0
〈F (P1(t)), P ′1(t)〉 dt =
∫ 1
0
−(1− t)t dt = −1
6
Procedendo de maneira ana´loga nos outros dois casos obte´m-se que∫
C2
〈F, T 〉 ds =
∫ 1
0
(1− 2t) dt = 0 e
∫
C3
〈F, T 〉 ds =
∫ 1
0
0 dt = 0
de onde segue-se que∫
C
〈F, T 〉 ds =
∫
C1
〈F, T 〉 ds+
∫
C2
〈F, T 〉 ds+
∫
C3
〈F, T 〉 ds = −1
6 �
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