Cálculo 3 cal3na a19 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 19
Campos Vetoriais
Indique por ~F = M ıˆ +N ˆ as coordenadas M = M(x, y) e N = N(x, y) de um campo de
vetores ~F . Assim, em cada ponto do plano, temos um vetor ~F que depende apenas de x e y.
Como exemplos de campos de vetores podemos mencionar os campos de velocidade de
fluidos, como os do vendo, ou campos de forc¸a, como o campo gravitacional.
Exemplo 1
• ~F = 2ıˆ + ˆ (campo vetorial constante, ilustrado na Figura 1);
• ~F = xıˆ (ilustrado na Figura 2);
• xıˆ + yˆ (radiamente para fora, ilustrado na Figura 3);
• ~F = −yıˆ + xˆ (notar que 〈−y, x〉 e´ 〈x, y〉 rotacionado de 90◦ no sentido anti-hora´rio,
ilustrado na figura 4).
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Trabalho e integrais de linha
Em um pequeno deslocamento ∆~r, o trabalho infinitesimal
realizado por uma forc¸a ~F e´ definido como sendo
W = (forc¸a) · (distaˆncia) = ~F ·∆~r.
Ao longo da trajeto´ria C, o trabalho total e´ obtido como a soma
desses trabalhos infinitesimais, dando origem a`“integral de linha”
W =
∫
C
~F · d~r =
(
lim
∆~r→0
∑
i
~F ·∆~ri
)
.
Para avaliar a integral de linha, escolhemos uma parametrizac¸a˜o ~r(t) da trajeto´ria C,
com t ∈ [t1, t2], e damos significado a` notac¸a˜o
∫
C
~F · d~r por∫
C
~F · d~r =
∫ t2
t1
(
~F · d~r
dt
)
dt.
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 8 Summary
2
Exemplo 2 Calcular o trabalho de ~F = −yıˆ+xˆ ao longo da trajeto´ria C de parametrizac¸a˜o
~r(t) = x(t)ıˆ + y(t)ˆ, onde x(t) = t e y(t) = t2, 0 ≤ t ≤ 1 (porc¸a˜o da para´bola y = x2 de
(0, 0) a (1, 1)).
Soluc¸a˜o. Substitimos as expresso˜es em termos de t obtemos que ~F = 〈−y, x〉 = 〈−t2, t〉 e
d~r
dt
= 〈dx
dt
, dy
dt
〉 = 〈1, 2t〉. Assim (no final tudo se reduz a uma integral de uma varia´vel!)∫
C
~F · d~r =
∫ 1
0
~F · d~r
dt
=
∫ 1
0
〈−t2, t〉 · 〈1, 2t〉dt =
∫ 1
0
t2dt =
1
3
. �
De fato, a definic¸a˜o de integral de linha na˜o envolve a parametrizac¸a˜o, e o resultado e´
independente da parametrizac¸a˜o que escolhemos. Por exemplo, poder´ıamos ter escolhido
parametrizar a para´bola por x(θ) = sen θ, y(θ) = sen2 θ, 0 ≤ θ ≤ pi/2. Nesse caso, a
integral seria
∫
C
~F · d~r = ∫ pi/2
0
. . . dθ, o que e´ equivalente a` integral anterior pela substituic¸a˜o
t = sen θ, e o resultado seria novamente 1
3
. Na pra´tica sempre escolhemos a parametrizac¸a˜o
mais simples!
Denotanto por ~F = 〈M,N〉 e d~r = 〈dx, dy〉 (isso e´ de fato uma diferencial: se dividirmos
ambos os lados por dt obtemos o vetor velocidade d~r/dt), a integral de linha pode tambe´m
ser escrita na forma ∫
C
~F · d~r =
∫
C
Mdx+Ndy.
Essa notac¸a˜o e´ perigosa: ela na˜o e´ a soma de integrais com respeito a x e y, mas de fato
uma integral de linha ao longo de C. Para calcula´-la devemos expressar tudo em termos de
um paraˆmetro escolhido.
Para ilustrar essa nova notac¸a˜o, no exemplo acima em que x = t e y = t2, usando
diferenciais obtemos que dx = dt e dy = 2tdt, e portanto∫
C
−ydx+ xdy =
∫ 1
0
−t2 dt+ t(2t) dt =
∫ 1
0
t2dt =
1
3
.
Abordagem Geome´trica
Indicando por s o comprimento de arco e por Tˆ o vetor
tangente unita´rio de uma trajeto´ria C, o vetor velocidade
pode ser escrito como
d~r
dt
=
ds
dt
Tˆ
Em notac¸a˜o diferencial, obtemos d~r = Tˆds, e a integral pode ser escrina na forma∫
C
~F · d~r =
∫
C
~F · Tˆds.
A`s vezes o ca´lculo fica mais fa´cil dessa maneira!
Exemplo 3 Calcular o trabalho de ~F = xıˆ+ yˆ ao longo da trajeto´ria C correspondente ao
c´ırculo de raio a com centro na origem.
Soluc¸a˜o. como ~F e´ radial (ver Figura 3 acima), segue-se que ~F · Tˆ = 0, e portanto∫
C
~F · Tˆ ds = ∫
C
0 ds = 0. �
Exemplo 4 Calcular o trabalho de ~F = −yıˆ+xˆ ao longo da trajeto´ria C do exemplo acima
Soluc¸a˜o. nesse caso ~F · Tˆ = |~F | = a (ver Figura 4 acima), e portanto ∫
C
~F · Tˆ ds =∫
a ds = a(2pia) = 2pia2. A mesma resposta deve ser obtida se usarmos a parametrizac¸a˜o
x = a cos θ, y = a sen θ. �