Cálculo 3 cal3na a23 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 23
Fluxo
O fluxo de um campo vetorial ~F atrave´s de uma curva plana C e´ dado por
∫
C
~F · nˆ ds,
onde nˆ e´ o vetor normal a` C rotacionado de 90◦ no sentido hora´rio a partir de Tˆ.
Temos agora dois tipos de integrais de linha: o trabalho
∫
~F · Tˆ ds, que corresponde a
somar as componentes tangenciais ~F · Tˆ de ~F ao longo da curva C; e o fluxo ∫ ~F · nˆ ds, que
corresponde a somar as componentes ortogonais ~F · nˆ de ~F ao longo da curva.
Se dividirmos C em pequenas regio˜es de comprimento ∆s, o fluxo total e´
∑
i(
~F · nˆ)∆ si.
Interpretac¸a˜o f´ısica: se ~F e´ o campo de velocidade (e.g. escoamento de um fluido), o fluxo
mede a quantidade de mate´ria que atravessa C por unidade de tempo.
Para justificar essa afirmac¸a˜o, considere uma pequena regia˜o
∆s de C: localmente ~F e´ constante, e o que passa por ∆s
por unidade de tempo e´ o conteu´do de um paralelogramo com
lados ∆s e ~F . A a´rea deste paralelogramo e´ ∆s · altura =
∆s(~F · nˆ) (ilustrado na figura ao lado). Somando todas essas
contribuic¸o˜es ao longo de C, temos que
∫
(~F · nˆ) ds e´ o fluxo
total atrave´s de C por unidade de tempo.
Tomando como refereˆncia um ponto que percorre a curva, o fluxo e´ positivo se for no
sentido da direita, e e´ negativo se for no sentido da esquerda de C.
Exemplo 1 Calcular o fluxo do campo ~F = xıˆ+ yˆ atrave´s do
c´ırculo C de raio a orientado no sentido anti-hora´rio
Soluc¸a˜o. ao longo de C, ~F e´ paralelo a nˆ (ver figura ao lado),
e |~F | = a. Da´ı segue-se que ~F · nˆ = a, e portanto∫
C
~F · nˆ ds =
∫
C
a ds = a comprimento(C) = 2pia2. �
Por outro lado, o fluxo de −yıˆ + xˆ ao longo do mesmo c´ırculo C e´ zero, uma vez que
esse campo e´ tangente a` curva.
Os argumentos acima foram geome´tricos. Como proceder quando e´ necessa´rio o ca´lculo
da integral? Para responder a` essa pergunta, observe que d~r = Tˆ ds = 〈dx, dy〉, e nˆ e´ o vetor
tangente Tˆ rotacionado de 90◦ no sentido hora´rio; enta˜o nˆ ds = 〈dy,−dx〉. Da´ı segue-se que,
se ~F = P ıˆ+Qˆ (usando novas letras para as coisas parecerem novas; e´ claro que poder´ıamos
ter chamado as componentes de M e N), enta˜o∫
C
~F · nˆ ds =
∫
C
〈P,Q〉 · 〈dy,−dx〉 =
∫
C
−Qdx+ Pdy.
(ou enta˜o que
∫
C
~F · nˆ ds = ∫
C
−Ndx+Mdy se ~F = 〈M,N〉).
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 9 Summary
2
Podemos assim calcular o fluxo usando o me´todo usual, expressando x, y, dx, dy em termos
de um outro paraˆmetro e substituindo.
Teorema 1 (Teorema de Green para o fluxo) Se ~F = P ıˆ+Qˆ
e C e´ uma curva fechada delimitando R e orientada no sentido
anti-hora´rio, enta˜o∫
C
~F · nˆ ds =
∫∫
R
div(~F ) dA,
onde div(~F ) = Px +Qy e´ o divergente de ~F .
Observe que a orientac¸a˜o no sentido anti-hora´rio de C significa que contamos o fluxo de
~F saindo da regia˜o R atrave´s de C.
Demonstrac¸a˜o. Ja´ vimos que
∫
C
~F · nˆ ds = ∫
C
−Qdx + P dy. Denotando M = −Q e
N = P e aplicando o teorema de Green usual
∮
C
M dx+N dy =
∫∫
R
(Nx −My) dA obtemos∫
C
~F · nˆ ds =
∮
C
−Qdx+ P dy =
∫∫
R
(Px − (−Qy)) dA =
∫∫
R
div(~F ) dA.
�
Essa demonstrac¸a˜o, “renomeando” as componentes, e´ a raza˜o de termos chamado as
componentes do campo de P e Q, ao inve´s de M e N . Se fizermos ~F = 〈M,N〉, obtemos∮
C
−N dx+M dy = ∫∫
R
(Mx +Ny) dA.
Exemplo 2 No exemplo acima (fluxo de xıˆ+yˆ atrave´s do c´ırculo),
div ~F = 2, e portanto o fluxo e´ igual a
∫∫
R
2dA = 2a´rea(R) = 2pia2.
Se transladarmos C para uma posic¸a˜o diferente (na˜o centrada na
origem) o ca´lculo direto do fluxo fica dif´ıcil, mas o fluxo total e´
ainda 2pia2.
Finalmente, sobre o sentido f´ısico, no caso de um fluido incom-
press´ıvel o divergente mede a magnitude de uma fonte/ sorvedouro
por unidade de a´rea/tempo.
Dito de outra forma, o divergente mede o quanto de l´ıquido esta´ sendo adicionado ao
sistema por unidade de a´rea e por unidade de tempo.