Teor de Green na forma normal

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Teorema de Green na forma Normal∗
Arthur Mattuck
Massachusetts Institute of Technology – MIT
1 Teorema de Green para Fluxo
Seja F = (M,N) um campo de fluxo bidimensi-
onal, C uma curva fechada simples, orientada po-
sitivamente, e R a regia˜o interior a C. De acordo
com a sec¸a˜o anterior,
fluxo de F atrave´s de C =
∮
C
M dy−N dx . (1)
Note que, como o vetor normal aponta para fora, para longe de R, o fluxo
e´ positivo onde o fluido esta´ saindo de R; fluido para dentro de R conta como
fluxo negativo.
Agora aplicamos o teorema de Green a` integral de linha em (1); primeiro
escrevemos a integral na forma padra˜o (primeiro dx, depois dy):∮
C
M dy −N dx =
∮
C
−N dx+M dy =
∫∫
R
(Mx − (−N)y) dA.
Isso nos da´ o Teorema da Green na forma Normal∮
C
M dy −N dx =
∫∫
R
(
∂M
∂x
+
∂N
∂y
)
dA. (2)
Matematicamente, este e´ o mesmo que o Teorema de Green na forma
tangencial – tudo que fizemos foi trocar os s´ımbolos M e N de lugar, mudando
o sinal de um deles. O que e´ diferente e´ a interpretac¸a˜o f´ısica. O lado esquerdo
representa o fluxo de F atrave´s da curva fechada C. E o lado direito, o que
representa?
∗Traduc¸a˜o livre, por Mayra Madeira, do texto Green’s Theorem in Normal Form
1
2. O Divergente Bidimensional 2
2 O Divergente Bidimensional
Mais uma vez, seja F = (M,N). Damos um nome
e uma notac¸a˜o para o integrando da integral dupla
a` direita em (2):
divF =
∂M
∂x
+
∂N
∂y
, o divergente de F . (3)
Evidentemente, divF e´ uma func¸a˜o escalar de duas varia´veis. Para obter
o seu significado f´ısico, observe o pequeno retaˆngulo ilustrado acima. Se F e´
continuamente diferencia´vel, enta˜o divF e´ uma func¸a˜o cont´ınua, e portanto
e´ aproximadamente constante se a retaˆngulo e´ suficientemente pequeno. De
fato, nesse caso a integral dupla em (2) e´ aproximada por um produto, ja´
que o integrando e´ aproximadamente constante:
fluxo atrave´s dos
lados do retaˆngulo
≈
(
∂M
∂x
+
∂N
∂y
)
∆A, ∆A = a´rea do retaˆngulo. (4)
Por causa de sua importaˆncia, faremos uma deduc¸a˜o desta aproximac¸a˜o
que na˜o usa o Teorema de Green. O racioc´ınio que segue e´ largamente usado
em modelagem matema´tica de problemas f´ısicos.
Considere o pequeno retaˆngulo ilustrado abaixo. Observe que, no topo, a
normal unita´ria exterior e´ o vetor (0, 1), enquanto que no fundo essa normal
e´ (0,−1). Calculamos agora uma aproximac¸a˜o para o fluxo em cada um dos
lados do retaˆngulo:
fluxo atrave´s do topo ≈ 〈F (x, y + ∆y), (0, 1)〉∆x
= N(x, y + ∆y)∆x
fluxo atrave´s do fundo ≈ 〈F (x, y), (0,−1)〉∆x
= −N(x, y)∆x;
somando esses dois fluxos obtemos que,
fluxo total atrave´s
do topo e do fundo
≈ (N(x, y + ∆y)−N(x, y))∆x ≈
(
∂N
∂y
∆y
)
∆x.
Pelo mesmo racioc´ınio aplicado aos dois lados do retaˆngulo,
fluxo total atrave´s dos
lados direito e esquerdo
≈ (M(x+ ∆x, y)−M(x, y))∆y ≈
(∂M
∂x
∆x
)
∆y.
2. O Divergente Bidimensional 3
Somando o fluxo sobre os quatro lados do retaˆngulo obtemos (4):
fluxo total atrave´s dos
lados do retaˆngulo
≈
(
∂M
∂x
+
∂N
∂y
)
∆x∆y.
Continuando nossa busca por um significado f´ısico para o divergente, se
o fluxo total sobre os lados do pequeno retaˆngulo e´ positivo, isso significa
que ha´ um fluxo l´ıquido para fora do retaˆngulo. De acordo com a conser-
vac¸a˜o da mate´ria, a u´nica maneira de isso acontecer e´ que exista uma fonte
adicionando fluido diretamente para o retaˆngulo. Se o fluxo ocorre em um
reservato´rio de profundidade uniforme, essa fonte pode ser visualizada como
algue´m diante do reservato´rio adicionando fluido diretamente no retaˆngulo.
Analogamente, um fluxo l´ıquido para dentro do retaˆngulo implica que existe
um poc¸o drenando fluido do retaˆngulo. E´ melhor pensar no poc¸o como uma
“fonte negativa”. A taxa l´ıquida (positiva ou negativa) na qual o fluido e´
adicionado diretamente ao retaˆngulo pode ser chamada de “taxa de entrada”
para o retaˆngulo. Enta˜o, ja´ que a mate´ria e´ conservada,
fluxo nos lados do retaˆngulo = taxa de entrada no retaˆngulo
combinando isso com (4) temos que
taxa de entrada no retaˆngulo ≈
(
∂M
∂x
+
∂N
∂y
)
∆A. (5)
Dividindo agora por ∆A e passando o limite, obtemos, por definic¸a˜o
taxa de entrada em (x, y) =
(
∂M
∂x
+
∂N
∂y
)
= divF . (6)
A definic¸a˜o de integral dupla como limite das somas de Riemann mostra, de
forma usual, que
taxa de entrada em R =
∫∫
R
divF dA. (7)
As relac¸o˜es (6) e (7) interpretam o divergente fisicamente para um campo de
fluxo, e interpretam tambe´m o Teorema de Green na forma normal:
fluxo total atrave´s de C = taxa de entrada em R∮
C
M dy −N dx =
∫∫
R
(
∂M
∂x
+
∂N
∂y
)
dA
Ja´ que o Teorema de Green e´ um teorema matema´tico, algue´m pode estar
pensando que“provamos”a lei da conservac¸a˜o da mate´ria. Isto na˜o e´ verdade,
3. Uma interpretac¸a˜o do rotF 4
ja´ que esta lei foi usada para entendermos a interpretac¸a˜o do divF como a
taxa de entrada em (x, y).
A tabela a seguir ilustra as duas formas do Teorema de Green, primeiro
na forma vetorial, depois na forma diferencial usada para implementar os
ca´lculos.
Forma Tangencial Forma Normal∮
C
〈F, T 〉ds =
∫∫
R
rotF dA
∮
C
〈F,n〉ds =
∫∫
R
divF dA∮
C
Mdx+Ndy =
∫∫
R
(
∂N
∂x
− ∂M
∂y
)
dA
∮
C
Mdy −Ndx =
∫∫
R
(
∂M
∂x
+
∂N
∂y
)
dA
trabalho de F fluxo de F taxa de
ao longo de C atrave´s de C entrada em R
3 Uma interpretac¸a˜o do rotF
A func¸a˜o rotF (rotacional de F ) pode ser pensada como a medida da
tendeˆncia de rotac¸a˜o do campo vetorial: como campo de forc¸a ou como
campo de velocidades, F fara´ um objeto de teste localizado em um ponto P0
rodar em torno do eixo vertical (i.e., na direc¸a˜o do eixo Oz), e a velocidade
angular da rotac¸a˜o sera´ proporcional ao (rotF )0.
Para ver isso no campo de velocidades de um fluindo, coloque uma roda
de pa´s de raio a sobre o fluido de tal forma que seu centro esteja em (x0, y0)
e seu eixo seja vertical. A questa˜o e´ determinar o qua˜o ra´pido a roda gira.
Se a roda tem apenas uma pa´, a sua velocidade sera´ 〈F, T 〉, ou seja, a
componente do vetor velocidade F do fluido perpendicular a` pa´, i.e., tangente
ao c´ırculo de raio a gerado pela rotac¸a˜o da pa´.
Ja´ que 〈F, T 〉 na˜o e´ constante ao longo do c´ırculo, se a roda tivesse apenas
uma pa´ ela iria girar numa taxa desigual. Mas se a roda tem muitas pa´s,
essas discrepaˆncias sera˜o descartadas, e sua rotac¸a˜o sera´ aproximadamente
o valor me´dio da velocidade tangencial 〈F, T 〉 sobre o c´ırculo. Como o valor
3. Uma interpretac¸a˜o do rotF 5
me´dio de qualquer func¸a˜o definido ao longo de uma curva, essa velocidade
tangencial me´dia pode ser encontrada integrando-se 〈F, T 〉 sobre o c´ırculo, e
dividindo pelo comprimento do c´ırculo. Assim,
velocidade da pa´ =
1
2pia
∮
C
〈F, T 〉 ds
=
1
2pia
∫∫
R
rotF dx dy (pelo Teorema de Green)
≈ 1
2pia
(rotF )0 pia
2,
(8)
onde (rotF )0 e´ o valor da func¸a˜o rotF em (x0, y0). A justificativa para a
u´ltima aproximac¸a˜o e´ que, se o c´ırculo formado pela roda de pa´s e´ pequeno,
enta˜o o rotF tem aproximadamente o valor (rotF )0 no interior R do c´ırculo,
de tal forma que a multiplicac¸a˜o desse valor constante pela a´rea pia2 de R
nos da´ aproximadamente o valor da integral dupla.
De (8) segue-se que a velocidade tangencial da roda de pa´s e´
velocidade tangencial ≈ a
2
(rotF )0. (9)
Podemos ficar livres de a usando a velocidade angular ω0 da roda de pa´s;
ja´ que a velocidade tangencial e´ aω0, (9) se torna
ω0 ≈ 1
2
(rotF )0. (10)
A` medida que o raio da roda fica cada vez menor, a aproximac¸a˜o se torna
cada vez mais exata, e passando o limite quando a→ 0 conclu´ımos que, para
um campo de velocidades bidimensional F ,rot F = duas vezes a velocidade angular de uma
roda de pa´s infinitesimal em (x, y)
(11)
O rotacional mede enta˜o a “vorticidade” do fluido – sua tendeˆncia de
produzir rotac¸a˜o.
Uma considerac¸a˜o do rotF para um campo de forc¸a seria similar, inter-
pretando F como exercendo um torque em um objeto capaz de girar – um
pequeno haltere com duas massas em um campo gravitacional, ou duas cargas
pontuais positivas em um campo eletrosta´tico.
Exemplo 1 Calcule e interprete rotF para (a) F = (x, y), (b) F = ω(−y, x).
3. Uma interpretac¸a˜o do rotF 6
Soluc¸a˜o. (a) rotF = 0; isto faz sentido ja´ que o campo aponta radialmente
para fora e e´ radialmente sime´trico, na˜o ha´ nenhuma direc¸a˜o angular favora´vel
na qual a roda de pa´s possa girar.
(b) rotF = 2ω em qualquer ponto. Ja´ que este campo representa um fluido
rodando ao redor da origem com velocidade angular constante ω, deve ser
claro que o rotF e´ 2ω na origem; na˜o e´ ta˜o claro que ele tenha este mesmo
valor em todo lugar, mas e´ assim que acontece. �
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	3 Uma interpretação do rotF