Cálculo 3 Lista 4 Gabarito

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Seja Q o so´lido limitado pelo plano 2x+ 2y + z = 1 e pelo paraboloide z = 3 − x2 − y2.
Conforme a figura, o bordo ∂Q e´ a unia˜o das superf´ıcies S1 e S2, correspondentes ao plano e ao
paraboloide respectivamente. Indique por C = S1∩S2, por n a normal exterior ao bordo ∂Q
e considere o problema de calcular
∫∫
S2
〈rotF,n〉 dS, onde F (x, y, z) = (x3, 3x+ y2, 3y+ z2).
C E a) Em S1, n induz uma orientac¸a˜o hora´ria em C.
C E b) Em S1, 〈rotF,n〉 e´ positivo.
C E c)
∫∫
S1
〈rotF,n〉 dS > 2
∫∫
S1
dS.
C E d) Em S2, n induz uma orientac¸a˜o hora´ria em C.
C E e)
∫∫
S2
〈rotF,n〉 dS > 2
∫∫
S1
dS.
S1 S2
C
2) A definic¸a˜o “Um resistor e´ o que transforma toda energia eletromagne´tica em calor” pode
ser ilustrada com um resistor cil´ındrico C = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + z2 ≤ a2 e 0 ≤ y ≤ L} de
resisteˆncia R, cujo bordo ∂C = S1 ∪ S2 ∪ S3 e´ a unia˜o das superf´ıcies indicadas na figura. Se
uma corrente estaciona´ria I passa por C na direc¸a˜o positiva de Oy, o campo ele´trico E, o
campo magne´tico B e o vetor de Poynting S em um ponto P = (x, y, z) ∈ C sa˜o dados por
E(P ) =
IR
L
(0, 1, 0) , B(P ) =
µI
2πa2
(z, 0,−x) e S(P ) =
1
µ
E(P )× B(P ).
O fluxo de S por ∂C e´ a energia eletromagne´tica que passa por ∂C por unidade de tempo.
S1 S2 S3
E
S
B
a) Obtenha as coordenadas do vetor de Poynting.
Resposta: S(P ) = I
2R
2πa2L(−x, 0,−z)
b) Obtenha uma parametrizac¸a˜o ϕ : D → R3 de S2,
incluindo o seu domı´nio.
Resposta:
D = {(t, y); 0 ≤ t ≤ 2pi e 0 ≤ y ≤ L} e
ϕ(t, y) = (a cos(t), y, a sen(t))
c) Calcule o fluxo de S por S2 na direc¸a˜o da normal unita´ria exterior.
Resposta:
∫∫
S2
〈S,n〉 dS = −RI2
d) Calcule o fluxo de S por ∂C na direc¸a˜o da normal unita´ria exterior.
Resposta:
∫∫
∂C
〈S,n〉 dS = −RI2
e) Interprete o resultado do item anterior em termos da lei de aquecimento de Joule,
segundo a qual a energia te´rmica que sai do resistor por unidade de tempo e´ RI2.
Resposta: por unidade de tempo, energia te´rmica que sai = energia eletromagne´tica que entra
Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017 – 1/2
3) A figura ilustra o experimento do anel saltante de Thomson, em que o anel corresponde ao
bordo ∂S do disco S de equac¸a˜o x2 + y2 ≤ 1 e z = 0. Escolha a orientac¸a˜o n = (0, 0, 1) de S
e indique por T o vetor unita´rio tangente a ∂S compat´ıvel com n. Se o anel for submetido a
um campo magne´tico alternado B(P, t) = (L(P, t),M(P, t), N(P, t)), ele exerce sobre o anel
a forc¸a F = I
∮
∂S
(T × B) ds, onde I e´ a corrente induzida no anel.
a) Obtenha uma parametrizac¸a˜o positiva P (θ) de ∂S, descreva
o vetor T = T (θ) nessa parametrizac¸a˜o e calcule T ×B em
termos das componentes desses vetores.
Resposta: P (θ) = (cos(θ), sen(θ), 0) T (θ) = (− sen(θ), cos(θ), 0) e
T ×B = (N cos(θ), N sen(θ),−M sen(θ)− L cos(θ))
b) Calcule a componente vertical da integral
∮
∂S
(T × B) ds
supondo que, sobre o anel, L(x, y, z, t) = ax sen(ωt) e
M(x, y, z, t) = ay sen(ωt), onde a > 0 e´ constante.
Resposta: −a2pi sen(ωt)
n
T
B
S ∂S
c) O campo B induz um campo ele´trico E que, por sua vez, gera a forc¸a eletromotriz
V (t) =
∮
∂S
〈E(·, t), T 〉ds sobre o anel. Use Stokes e a lei de Faraday rotE = −Bt para
expressar V (t) em termos de uma integral de superf´ıcie envolvendo o campo B.
Resposta: V (t) =
∫∫
S
〈−Bt,n〉 dS
d) Calcule V (t) supondo que N(x, y, z, t) = k sen(ωt), onde k > 0 e´ constante.
Resposta: V (t) = −kωpi cos(ωt)
e) Calcule agora a corrente I(t) usando a igualdade V (t) = ℓI ′(t) e que I(0) = 0, onde ℓ
e´ a indutaˆncia do anel. Finalmente, daqui e do item b) conclua que a forc¸a F sobre o
anel tem componente vertical sempre positiva, o que provoca o salto do anel.
Resposta: I(t) = − 1
ℓ
kpi sen(ωt) e Fv =
1
ℓ
2akpi2 sen2(ωt)
4) Certas antenas emitem ondas que se propagam segundo o vetor de Poynting me´dio
F (x, y, z) = K
x2 + y2
(x2 + y2 + z2)5/2
(x, y, z), K = constante
Para uma superf´ıcie fechada S que conte´m a antena em seu interior, a poteˆncia me´dia radiada
atrave´s de S e´ o fluxo de F na direc¸a˜o da normal exterior. Suponha que a antena esteja na
origem do sitema Oxyz, indique por Sa a esfera de raio a > 0 e centro na origem e por Qa o
so´lido compreendido entre S e Sa, de modo que ∂Qa e´ a unia˜o das superf´ıcies S e Sa.
a) Obtenha a parametrizac¸a˜o ϕ : D → R3 de Sa em coordenadas esfe´rias, e o correspon-
dente elemento de a´rea dS.
Resposta: ϕ(ρ, θ) = (a sen(φ) cos(θ), a sen(φ) sen(θ), a cos(φ)) e dS = a2 sen(φ)dθdφ
b) Expresse, em coordenadas esfe´ricas, os vetores de Poynting me´dio e o normal unita´rio
exterior na a` esfera Sa.
Resposta: F̂ (ρ, θ, φ) = K sen
2(φ)
ρ2
na com na = (sen(φ) cos(θ), sen(φ) sen(θ), cos(φ))
c) Use os itens anteriores para calcular o fluxo de F atrave´s de Sa na direc¸a˜o na.
Resposta:
∫∫
Sa
〈F,na〉 dS = Kpi
8
3
SSa
d) Pode-se mostrar que divF ≡ 0 fora da origem. Use essa infor-
mac¸a˜o para calcular o fluxo de F atrave´s do bordo ∂Qa.
Resposta:
∫∫
∂Qa
〈F,n〉 dS =
∫∫∫
Qa
divF dxdydz = 0
e) Conclua que a poteˆncia me´dia radiada pela antena e´ indepen-
dente da superf´ıcie S.
Resposta:
∫∫
S
〈F,n〉 dS = Kpi 83 e´ independente de S
Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017 – 2/2