Lista de Exercícios 1

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CÁLCULO NUMÉRICO
Lista de Exercícios 01
1- Questões teóricas
1.1 Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a, b] e assume sinais opostos nos pontos f(a) 
e f(b), isto é f(a).f(b) < 0, então esse intervalo pode admitir apenas uma única raiz? Justifique 
sua resposta.
1.2 O método de Newton-Raphson usa a derivada de primeira ordem em seu algoritmo, o 
principal cuidado que devemos ter em relação a essa derivada durante a execução do 
método.
1.3 Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a, b] e assume sinais iguais nos pontos f(a) e 
f(b), isto é f(a).f(b) > 0, então nesse intervalo necessariamente NÃO teremos raiz? Justifique 
sua resposta.
1.4 Dada uma função f(x) a qual não sabemos se de fato existem raízes ou quantas raízes 
existem. Explique quais as etapas de procedimentos até encontrarmos raízes bem 
aproximadas das raízes reais.
1.5 Em análise numérica é comum nos depararmos com alguns tipos de erros numéricos. 
Explique três tipos de erros numéricos (faça um exemplo de cada tipo).
2 - Aritmética de ponto flutuante
2.1 Para uma máquina que trabalha com o sistema de aritmética de ponto flutuante definido 
por F(2, 4, -6, 6): (a) mostre as regiões de Overflow e Underflow (represente em um 
diagrama); (b) represente o número (39,172)10 nesse sistema (Se este número não puder ser 
representado, indique se ele está na região de OVERFLOW ou de UNDERFLOW). 
2.2 Para uma máquina que trabalha com o sistema de aritmética de ponto flutuante definido 
por F(2, 5, -4, 4): (a) mostre as regiões de Overflow e Underflow (represente em um 
diagrama); (b) represente o número (-25,475)10 nesse sistema (Se este número não puder 
ser representado, indique se ele está na região de OVERFLOW ou de UNDERFLOW). 
2.3 Para uma máquina que trabalha com o sistema de aritmética de ponto flutuante definido 
por F(2, 3, -5, 5): (a) mostre as regiões de Overflow e Underflow (represente em um 
diagrama); (b) represente o número (0,0012)10 nesse sistema (Se este número não puder ser 
representado, indique se ele está na região de OVERFLOW ou de UNDERFLOW).
2.4 Para uma máquina que trabalha com o sistema de aritmética de ponto flutuante definido 
por F(2, 4, -7, 7): (a) mostre as regiões de Overflow e Underflow (represente em um 
diagrama); (b) represente o número (79,750)10 nesse sistema (Se este número não puder ser 
representado, indique se ele está na região de OVERFLOW ou de UNDERFLOW).
2.5 Para uma máquina que trabalha com o sistema de aritmética de ponto flutuante definido 
por F(2, 6, -4, 4): (a) mostre as regiões de Overflow e Underflow (represente em um 
diagrama); (b) represente o número (-52,750)10 nesse sistema (Se este número não puder 
ser representado, indique se ele está na região de OVERFLOW ou de UNDERFLOW).
3 – Método Gráfico
3.1 Empregue o método gráfico para indicar quantas raízes reais existem, em seguida 
localize a primeira raiz positiva ou negativa em um intervalo de dimensão unitária
a)
( ) cos( ) 2 xf x e x= − −
b)
2( ) f x x
x
= −
c) 
2( ) 2 ( ) 1 f x x sen x= − −
d)
( ) ln( ) 2 1f x x x= + −
e)
1( ) ln( ) f x x
x
= −
f)
2( ) 2. ( ) 1 f x x sen x= − −
4 - Método do Meio Intervalo, Falsa Posição, Newton-Rapson e Secante. 
4.1 Use o Método do Meio Intervalo, no intervalo indicado, para enquadrar calcular o 
valor da raiz em um intervalo mínimo. Para tanto realize o procedimento até a quarta 
iteração (ou seja K = 4). Adote cinco casas decimais nos cálculos e organizar os dados 
em uma tabela no formato do modelo (Tabela 1)
4.2 Use o Método da Falsa Posição para calcular o valor da raiz com um erro mínimo. Para 
tanto realize o procedimento até a quarta iteração (ou seja K = 4). Adote cinco casas 
decimais nos cálculos e organizar os dados em uma tabela no formato do modelo 
(Tabela 2)
4.3 Use o Método da Newton-Rapson para calcular o valor da raiz com um erro mínimo. 
Para tanto use como valor inicial a média do intervalo indicado. Realize o procedimento 
até a quarta iteração (ou seja K = 4). Adote cinco casas decimais nos cálculos e 
organizar os dados em uma tabela no formato do modelo (Tabela 3)
4.4 Use o Método da Secante para calcular o valor da raiz com um erro mínimo. Para tanto 
use como “Xo” o extremo esquerdo e para determinar “X1” acrescente 0,1 ao valor de 
“X0” a média do intervalo indicado. Realize o procedimento até a quarta iteração (ou 
seja K = 4). Adote cinco casas decimais nos cálculos e organizar os dados em uma 
tabela no formato do modelo (Tabela 4).
a)
[ ]2( ) ln( 1) 2 2 0.5, 1.5f x x x x= + − − +
b)
[ ]( ) ln( 2) 2 3 2.1, 3f x x x= − + −
c)
2( ) cos( ) 3 0,
2
f x x x pi = −   
d)
[ ]2( ) 3 2 0,1
2
xef x x= + −
e)
( ) . ( ) 1 0,
2
f x x sen x pi = −   
f)
2( ) cos( ) 3 0,
2
f x x x pi = −   
g) 
2( ) 2.cos( ) 3 1 0,
2
f x x x pi = − +   
h)
[ ]2( ) 3 2 0,1
2
xef x x= + −
i) 
[ ]2( ) 3 2 0,1
2
xef x x= + −
j)
2( ) 2cos( ) 3 +1 0,
2
f x x x pi = −   
k)
[ ]( ) 2 2 1, 2f x x x= − +
l)
2( ) cos( ) 3 0,
2
f x x x pi = −   
Tabela 1: Método do Meio Intervalo Tabela 2: Método da Falsa Posição
Tabela 2: Método de Newton-Rapson Tabela 4: Método da Secante