AL_MÓDULO_01

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MATEMÁTICA-III
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO-01
VETORES
VETORES
IDEIA INTUITIVA⇒ Segmento orientado
Um segmento orientado é caracterizado por:
• ORIGEM E EXTREMIDADE ⇒ um dos extremos é identificado
como ORIGEM do segmento orientado e o outro como
EXTREMIDADE.
• DIREÇÃO ⇒ caracterizada pela RETA SUPORTE do
segmento.
• SENTIDO ⇒ caracterizado pelo PERCURSO sobre o
segmento, de sua origem para sua extremidade.
• MÓDULO ⇒ é a MEDIDA do segmento de reta, calculada com
relação a uma unidade de medida.
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 1 MANUEL
VETORES
A
B
u
ORIGEM ⇒ A
EXTREMIDADE ⇒ B
SENTIDO ⇒ de A para B
MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR
O módulo do vetor u é representado por |u|
Se |u| = 1 dizemos que u é um vetor UNITÁRIO. 1= u
Se |u| = 0 dizemos que u é o vetor NULO representado por 0
OPERAÇÕES COM VETORES
PROPRIEDADES
Sejam u, v e w vetores. Então, valem as seguintes
propriedades:
P1. (u + v) + w = u + (v + w) (Associativa)
P2. u + v = v + u (Comutativa)
P3. Existe um só vetor nulo 0, tal que para todo vetor v, tem-se:
v + 0 = 0 + v = v
P4. Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor -v tal que:
v + (-v) = -v + v = 0
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 2 MANUEL
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
Dado um vetor v ≠ 0 e um número real k ≠ 0, chama-se produto
do número real k pelo vetor v o vetor p = k.v tal que:
a) MÓDULO: p = k.v = k.v= k v
b) DIREÇÃO: a mesma de v
c) SENTIDO
se k > 0 ⇒ o mesmo de v
se k < 0 ⇒ o contrário ao de v
A
B
v ●
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
p = k.v k = 2
p = 2.v
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 3 MANUEL
A
B
v ●
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
p = k.v k = 3
p = 3.v
A
B
v ●
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
p = k.v k = ½ 
p = ½ × v = v/2
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 4 MANUEL
A
B
v
●
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
p = k.v k = -1
p = -1v
-v
Podemos estender esta idéia para o espaço tridimensional que
é a interpretação geométrica do conjunto R3. Da mesma forma
é possível estender para dimensões maiores, R4, R5,...,Rn.
Dessa forma uma quadrupla (x1, x2, x3, x4) pode ser vista
como um ponto ou um vetor no espaço R4.
PLANO 
CARTESIANO
PLANO 
CARTESIANOPONTO
VETOR
VETORES NO R2
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 5 MANUEL
IGUALDADE E OPERAÇÕES
IGUALDADE: Dois vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2) são iguais,
se e somente se, x1 = x2 e y1 = y2, e escreve-se u = v.
OPERAÇÕES: Sejam os vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) e a ∈ R
a) u + v = (x1+ x2 , y1 + y2)
b) a.u = a.(x1 , y1) = (a.x1 , a.y1)
Exemplo-1: Sejam u = (4,5) v = (1,4) e a = 2
a) u + v
u = (4, 5)
v = (1,4)
u + v = (4+1, 5+4) = (5,9)
BANANA COM BANANA
LARANJA COM LARANJA
IGUALDADE E OPERAÇÕES
Exemplo-1: Sejam u = (4,5) v = (1,4) e a = 2
c) a.u + v
a.u + v = (8,10) + (1,4) = (9,14)
b) a.u
a.u = 2×(4 , 5) = (2×4, 2×5) = (8,10)
d) u + a.v
u + a.v = (4,5) + 2.(1,4) = (4,5) + (2,8) = (4+2 , 5+8) = (6,13)
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 6 MANUEL
PRODUTO ESCALAR
DEF: Chama-se PRODUTO ESCALAR (INTERNO) de dois
vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2), representado por u o v ao
número:
2121 yyxxvu ×+×=o
O produto escalar de u por v também é representado por <u,v>
(u escalar v).
Exemplo: Seja u = (2,3) e v= (5,-2)
Então:
u o v = 2×5 + 3×(-2) = 10 - 6 = 4
BANANA COM BANANA LARANJA COM LARANJA
PRODUTO ESCALAR ⇒ É UM NÚMERO !
PRODUTO ESCALAR
Q = (400 , 600) ⇒ QUANTIDADES PRODUZIDAS
P = (500 , 200) ⇒ PREÇO DE VENDA (em EUROS !)
PRODUTOS
BOLSAS (B)
CINTOS (C)
QUANTO VALE O PRODUTO ESCALAR DE Q POR P ?
Q o P = 400 × 500 + 600 × 200
Q o P = 200.000 + 120.000
Q o P = ∈ 320.000 ⇒ trezentos e vinte mil euros/mês
O QUE SIGNIFICA O PRODUTO ESCALAR DE Q POR P ?
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 7 MANUEL
PRODUTO ESCALAR
Q = (1500 ; 2000 ; 6000 ; 4000) ⇒ QUANTIDADES DE ACÕES
P = (2,00 ; 5,74 , 1,06 ; 3,71) ⇒ PREÇO DAS AÇÕES
CESTA DE AÇÕES
AÇÕES ⇒ A1 , A2 , A3 , A4
QUANTO VALE O PRODUTO ESCALAR DE Q POR P
Q o P = 1500 × 2,00 + 2000 × 5,74 + 6000 × 1,06 + 4000 × 3,71
Q o P = R$ 35.680,00
O QUE SIGNIFICA O PRODUTO ESCALAR DE Q POR P ?
DE TUDO UM POUCO...
TODAS AS TRANSAÇÕES COMERCIAIS INTERNACIONAIS
SÃO FEITAS EM US$ (DÓLAR) !
TAXA DE CÂMBIO ⇒ É A RELAÇÃO ENTRE AS MOEDAS !
EXEMPLO: 1 US$ = R$ 2,00 (1 dólar vale 2 reais).
IMAGINE UMA EMPRESA QUE EXPORTA MENSALMENTE
SAPATOS NO VALOR DE US$ 5.000 (cinco mil dólares) !
QUAL É O SEU FATURAMENTO EM REAIS ?
FATURAMENTO = 5.000 × 2,00 = R$ 10.000,00 (em reais)
O QUE É MELHOR PARA ESSA EMPRESA, O DÓLAR
VALER MAIS OU O DÓLAR VALER MENOS ?
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 8 MANUEL
VAMOS IMAGINAR QUE O DÓLAR SUBIU E PASSOU A
VALER 1 US$ = R$ 3,00 (1 dólar vale 3 reais)
FATURAMENTO
Com dólar a R$ 2,00 = 5.000 × 2,00 = R$ 10.000,00
Com dólar a R$ 3,00 = 5.000 × 3,00 = R$ 15.000,00
FATURAMENTO
Com dólar a R$ 2,00 = 5.000 × 2,00 = R$ 10.000,00
Com dólar a R$ 1,80 = 5.000 × 1,80 = R$ 9.000,00
VAMOS IMAGINAR QUE O DÓLAR CAIU E PASSOU A VALER
1 US$ = R$ 1,80 (1 dólar vale 1 real e oitenta centavos)
PARA O EXPORTADOR É MELHOR O DÓLAR AUMENTAR !
E PARA QUEM TEM DÍVIDA EM DÓLARES ?
POR EXEMPLO: UMA EMPRESA QUE COMPROU
EQUIPAMENTOS MECÂNICOS NA ALEMANHA NO
VALOR DE US$ 10.000 ?
NESSE CASO É MELHOR O DÓLAR VALER MENOS !
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 9 MANUEL
DEF: Chama-se MÓDULO de um vetor v= (x,y), representado
por v, o número real não negativo dado por:
MÓDULO
v v v= o v v v= < >,v x y= +2 2
Exemplo: Seja v= (3,4)
52516943 22 ==+=+=v
MÓDULO ⇒ SIGNIFICA A DISTÂNCIA ENTRE DOIS
PONTOS NO R2, R3, R4, Rn......
DEF: Seja v ≠ 0 um vetor. O VETOR UNITÁRIO de v é definido
por:
Exemplo: Seja v= (3,4), calcular o vetor unitário de v.
52516943 22 ==+=+=v
VETOR UNITÁRIO
v
v
uv =
)5/4,5/3(
5
)4,3(
===
v
v
uv
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 10 MANUEL
MÓDULO
v x y= +2 2
X
Y
(x,y) 222 yxv +=
x
y
v
90o
TRIÂNGULO
RETÂNGULO 
Em todo TRIÂNGULO RETÂNGULO
o quadrado da hipotenusa é igual a
soma dos quadrados dos catetos !
HIPOTENUSA⇒ v
CATETOS ⇒ x e y
v x y= +2 2
EXTRAINDO A RAIZ ⇒
PITÁGORAS ⇒ SAMOS 570 a.C. METAPONTO 496 a.C.
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
o
A
B
u
v
θ
O ângulo entre dois vetores u = OA e v = OB não nulos, é o
ângulo θ formado pelas semi-retas OA e OB tal que 0 ≤ θ ≤ pi .
CÁLCULO DO ÂNGULO ⇒ Sejam os vetores u ≠ 0 e v ≠ 0. O
ângulo θ formado por u e v pode ser calculado pela fórmula:
cos
.
θ = u v
u v
o
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 11 MANUEL
54121 22 =+=+== uuu o
51412 22 =+=+== vvv o
cos
.
θ =
u v
u v
o
5
4
25
4
55
4
cos ==
×
=θ
Exemplo: Sejam u = (1,2) e v = (2,1). Achar o ângulo entre u e v.
Temos u o v = 1×2 + 2×1 = 2 + 2 = 4
PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES
Se dois vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2) são PARALELOS,
existe um número k tal que: u = k.v
ou (x1,y1) = k. (x2,y2) ⇒
x
x
y
y
k1
2
1
2
= =
Isto é, dois vetores são PARALELOS quando suas
COMPONENTES SÃO PROPORCIONAIS.
Representação: u // v ⇒ o vetor u é PARALELO ao vetor v !
Exemplo: Seja u = (2,3) e v = (4,6)
x
x
y
y
k1
2
1
2
= = Nesse caso k = 1/2
2
1
6
3
4
2
==
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 12 MANUEL
PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES
Se dois vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2) são ORTOGONAIS, o
ângulo θ formado por eles é de 900, e portanto cos 900 = 0.
Ou seja, se dois vetores são ORTOGONAIS então o seu
PRODUTO ESCALAR é NULO.
REPRESENTAÇÃO: u ⊥v
00
.
cos =⇒== vu
vu
vu
o
oθ ⇒ x1 .x2 + y1 .y2 = 0
Exemplo: Os vetores u = (2,3) e v = (-3,2) são ortogonais.
Senão vejamos: u o v = 2.(-3) + 3.2 = -6 + 6 = 0
"Sucede com frequência que os espíritos mais mesquinhos são
os mais arrogantes e soberbos, assim como os espíritos mais
generosos são os mais modestos e humildes.“
“Não existem métodos fáceis para resolver problemas difíceis.”
“Não há nada no mundo que esteja melhor repartido do que a
razão: todas as pessoas estão convencidas de que a tem de
sobra.”
RENÉ DESCARTES
(La Haye en Touraine-1596/Estocolmo-1650
ÁLGEBRA LINEAR
MÓDULO_01 - VETORES 13 MANUEL