Fisica eletro Completo P1

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Notas Eletromagnetismo – Parte I
R. Bufalo ∗
Departamento de Fı´sica, Universidade Federal de Lavras,
Caixa Postal 3037, 37200-000 Lavras, MG, Brazil
2 de maio de 2017
Resumo
Nesta nota de aula encontra-se um resumo dos to´picos discutidos na aula do curso de
Fı´sica C, referente a` primeira avaliac¸a˜o.
∗E-mail: rodrigo.bufalo@dfi.ufla.br
1
Suma´rio
I Campo ele´trico 3
1 Campo ele´trico I 3
1.1 Contexto Histo´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Propriedades das cargas ele´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Fatos experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Condutores e isolantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Me´todos de carregamento/eletrizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Forc¸a exercida por um sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 O campo ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Linhas de campo ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Dipolos ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 O movimento de cargas sob ac¸a˜o de um campo ele´trico . . . . . . . . . . 27
1.7.1 Dipolos em campos ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Campo ele´trico II 31
2.1 Calculando o campo ele´trico a partir da lei de Coulomb . . . . . . . . . . 31
2.2 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Ca´lculo do campo ele´trico atrave´s da lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Descontinuidade do campo ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Carga e campo em superfı´cies condutoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2
Parte I
Campo ele´trico
1 Campo ele´trico I
1.1 Contexto Histo´rico
• app 2000 aC – Os chineses observaram fenoˆmenos magne´ticos;
• app 700 aC – Os gregos observaram fenoˆmenos ele´tricos: fricc¸a˜o do aˆmbar de tal
forma a atrair fragmentos de palha e penas;
• Se´culo XVII – GILBERT: estabelece que a eletrificac¸a˜o e´ um fenoˆmeno geral,
presente nos materiais;
• Se´culo XVIII – COULOMB: estabelece EXPERIMENTALMENTE a lei do in-
verso do quadrado para a forc¸a eletrosta´tica atrativa/repulsiva;
• Se´culo XIX – OERSTED: relaciona a corrente ele´trica com o campo magne´tico
atrave´s da observac¸a˜o da agulha de uma bu´ssula (deflexa˜o) – o campo magne´tico
existente ao redor de um fio condutor;
• Se´culo XIX – HENRY E FARADAY: obte´m a mesma conclusa˜o anterior, todavia,
agora a partir da ana´lise do movimento de um fio condutor na vizinhanc¸a de um
ima˜ e vice-e-versa (repulsa˜o ou atrac¸a˜o dependendo do polo do ima˜ e sentido da
corrente ligada a uma bateria; no caso de um fio condutor desligado na˜o ha´ nenhuma
interac¸a˜o)– i.e. a variac¸a˜o de um campo ele´trico induz uma corrente ele´trica num
condutor;
• Se´culo XIX – BIOT E SAVART: realizaram a ana´lise do fenoˆmeno magne´tico,e
formularam a lei que descreve o campo magne´tico produzido por distribuic¸o˜es de
correntes (equivalente magne´tico da lei de forc¸a de Coulomb);
• Se´culo XIX – MAXWELL: utilizando-se da pesquisa de Faraday, ele constro´i uma
teoria unificada do fenoˆmeno eletromagne´tico (campos ele´trico e magne´tico depen-
dentes do tempo);
3
• Se´culo XIX – THOMSON, HEAVISIDE, LORENTZ: a forc¸a experimentada por
uma carga em movimento uniforme e´ a forc¸a de Lorentz e na˜o mais a forc¸a de
Coulomb;
• Se´culo XIX – HERTZ: verificac¸a˜o experimental das ondas eletromagne´ticas suge-
ridas por Maxwell;
• Se´culo XX – CONSEQUEˆNCIAS DA TEORIA ELETROMAGNE´TICA DE
MAXWELL: I) a teoria da relatividade especial de Einstein; II) o modelo padra˜o
das partı´culas elementares; aperfeic¸oamento e desenvolvimento das tecnologias en-
volvendo a eletricidade/magnetismo, melhorando o desempenho e eficieˆncia de dis-
positivos, exemplo: eficieˆncia de paine´is solares:
Neste capı´tulo, iniciaremos nosso estudo sobre eletricidade com a eletrosta´tica, que
consiste no estudo das cargas em repouso.
1.2 Propriedades das cargas ele´tricas
Suponhamos que esfreguemos um basta˜o de borracha com um pedac¸o de pele, e em
seguida suspendamos-o por uma corda. Aproximamos enta˜o um segundo basta˜o de bor-
racha que tambe´m foi friccionado com pele. Nesta situac¸a˜o, os basto˜es se repelem mutu-
amente.
Por um outro lado, dois basto˜es de vidro que tenham sido friccionados com tecido de
seda tambe´m se repelem mutuamente. Todavia, se aproximarmos o basta˜o de borracha
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friccionado com pele do basta˜o de vidro friccionado com tecido de seda, eles se atraem
mutuamente.
Mas de fato, o que esta´ fisicamente acontecendo nos processos acima? O ATO DE
FRICCIONAR O BASTA˜O FAZ COM QUE ELE SE TORNE ELETRICAMENTE
CARREGADO.
Se o experimento acima e´ repetido com diversos materiais, constataremos que todos
os objetos carregados pertencem a apenas uma das duas seguintes classes: aqueles como o
basta˜o de borracha friccionado com a pele, e aqueles como o basta˜o de vidro friccionado
com a seda. Uma conclusa˜o segue imediatamente: objetos de um mesmo grupo repelem-
se mutuamente, enquanto objetos de grupos diferentes atraem-se mutuamente.
Fora Benjamin Franklin quem propoˆs um modelo para explicar as observac¸o˜es acima,
de acordo com o qual cada objeto possui uma quantidade normal de eletricidade que pode
ser transferida de um objeto para outro quando sa˜o friccionados. Um dos objetos teria
enta˜o um excesso de cargas, e o outro teria uma deficieˆncia de cargas. Franklin denotou
a carga resultante/lı´quida como positiva (sinal mais) ou negativa (sinal menos). Ademais,
ele convencionou como positiva a carga adquirida pelo basta˜o de vidro, enquanto o basta˜o
de borracha tem carga negativa. Ainda, nesta situac¸a˜o, a seda ganharia carga negativa, e a
pele adquire carga positiva.
Por fim, um objeto e´ considerado eletricamente neutro se ele na˜o e´ positivamente ou
negativamente carregado, i.e. possui uma carga lı´quida nula.
De acordo com o conhecimento atual sabemos que, quando o vidro e´ atritado com o
tecido de seda, ele´trons (portadores de carga) sa˜o transferidos do vidro para a seda.
5
1.2.1 Fatos experimentais
I) Existem dois tipos de cargas ele´trica na natureza: as cargas positiva e negativa, e.g.
pro´tons e ele´trons, respectivamente. Ademais, essas quantidades tambe´m sa˜o conhecidas
como portadores de carga.
De fato, os objetos em nosso tangı´vel mundo conte´m uma enorme quantidade de carga,
mas este fato na˜o se revela porque ele e´ eletricamente neutro (uma quantidade igual de
cargas positiva e negativa).
E´ necessa´rio uma carga lı´quida para um objeto interagir com outro, i.e. que ele esteha
carregado ou que tenha carga em desequilı´brio. Resumimos enta˜o que cargas com o
mesmo sinal se repelem, e cargas com sinais opostos se atraem
II) Todas as cargas observa´veis ocorrem em quantidades que sa˜o mu´ltiplos inteiros da
unidade fundamental de carga ele´trica e, ou seja, a carga ele´trica e´ quantizada e pode
ser escrita como Q = ±Ne. Para objetos comuns, N e´ geralmente muito grande e carga
parece ser contı´nua, da mesma forma que o ar parece ser contı´nuo – mesmo sabendo que
ele e´ constituı´do por partı´culas discretas (mole´culas, a´tomos e ı´ons).
III) Quando objetos sa˜o atritados entre si, um objeto fica com um excesso de ele´trons
e torna-se carregado negativamente; enquanto o outro objeto fica deficiente de ele´trons, e
torna-se carregado positivamente. A carga resultante dos dois objetos permanece constante,
i.e. a carga ele´trica e´ conservada. A lei da conservac¸a˜o da carga ele´trica e´ uma das leis
fundamentais da natureza, e e´ verificada experimentalmente. Nos processos de interac¸a˜o
de partı´culas elementarescarregadas, podem ocorrer criac¸a˜o ou aniquilac¸a˜o de partı´culas;
todavia, quantidades iguais de cargas positivas e negativas sa˜o produzidas ou destruı´das,
preservando constante a carga resultante do universo.
A unidade de carga ele´trica no SI e´ o coulomb (C), o qual e´ definido em termos da
unidade de corrente ele´trica, o ampe`re (A). O coulomb e´ definido como a quantidade de
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carga que flui atrave´s da sec¸a˜o transversal de um fio em um segundo quando a corrente
no fio e´ um ampe`re. A unidade fundamental de carga ele´trica e e´
e = 1,602177×10−19C ≈ 1,6×10−19C (1.1)
1.3 Condutores e isolantes
A estrutura e natureza ele´trica dos a´tomos sa˜o responsa´veis pelas propriedades dos
condutores e isolantes. Num modelo atoˆmico simples, os pro´tons e neˆutrons esta˜o forte-
mente ligados no nu´cleo, enquanto os ele´trons circulam em torno do nu´cleo.
Dentro desta caracterizac¸a˜o, podemos dividir os materiais nas seguintes classes con-
forme a sua estrutura eletroˆnica:
• CONDUTORES – materiais em que as cargas podem mover-se livremente. Quando
carregados, as cargas se espalham pela sua superfı´cie. Exemplo: Metais – cobre,
alumı´nio, ferro,etc.
• ISOLANTES – materiais que impedem a movimentac¸a˜o livre das cargas, todos os
ele´trons esta˜o ligados aos a´tomos da vizinhanc¸a. Eles podem ser carregados, mas
as cargas na˜o se movem. Exemplo: vidro, pla´sticos, papel, madeira, borracha, etc.
• SEMICONDUTORES – possuem propriedades ele´tricas intermedia´rias entre iso-
lantes e condutores, e.g. silı´cio e germaˆnio.
• SUPERCONDUTORES – na˜o oferecem nenhuma resisteˆncia ao movimento de
cargas atrave´s deles (resisteˆncia nula!!).
1.3.1 Me´todos de carregamento/eletrizac¸a˜o
• ATRITO – Transfereˆncia de cargas pelo contato de superfı´cies. Bom para isolantes,
mas na˜o para condutores.
• CONDUC¸A˜O – Redistribuic¸a˜o de cargas entre um objeto carregado e outro neutro
por contato. Funciona se o objeto inicialmente neutro estiver isolado.
• INDUC¸A˜O – Separac¸a˜o de cargas opostas em um objeto pela aproximac¸a˜o de um
outro objeto carregado (polarizac¸a˜o). Pode ocorrer tanto em isolantes como em
condutores.
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Carregamento por induc¸a˜o: (a) os condutores neutros em contato tornam-se car-
regados com cargas opostas quando um basta˜o atrai ele´trons para a esfera da esquerda.
(b) se as esferas sa˜o separadas enquanto o basta˜o ainda esta´ pro´ximo, elas manteˆm suas
cargas iguais e de sinais opostos. (c) quando o basta˜o e´ finalmente removido e as esferas
completamente afastadas, a distribuic¸a˜o de cargas em cada esfera tende a ficar uniforme.
Induc¸a˜o atrave´s do aterramento: (a) a carga livre na esfera condutora neutra e´ pola-
rizada pelo basta˜o carregado positivamente. (b) quando o condutor e´ aterrado atrave´s de
uma conexa˜o com um fio a um condutor muito grande (Terra), os ele´trons deste condutor
neutralizam a carga positiva da face da esfera distante do basta˜o. O condutor fica enta˜o
carregado negativamente (c) A carga negativa permanece se o aterramento for rompido
antes que o basta˜o seja removido. (d) Depois de o basta˜o ser removido, a esfera fica com
uma carga negativa uniformemente distribuı´da.
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Exemplos conceitos:
1. Duas esferas condutoras ideˆnticas, uma com carga inicial +Q e a outra neutra, sa˜o
colocadas em contato. (a) Qual e´ a nova carga em cada esfera? (+Q/2 em cada
esfera) (b) Enquanto as esferas esta˜o em contato, um basta˜o carregado positiva-
mente e´ aproximado de uma das esferas, provocando uma redistribuic¸a˜o de cargas
nas duas esferas de forma tal que a carga na esfera mais pro´xima ao basta˜o seja−Q.
Qual e´ a carga na outra esfera? (+2Q devido a lei de conservac¸a˜o da carga ele´trica.)
2. Duas esferas condutoras ideˆnticas sa˜o carregadas por induc¸a˜o e, enta˜o, separadas
por uma grande distaˆncia; a esfera 1 tem carga +Q e a esfera 2 tem carga−Q. Uma
terceira esfera ideˆntica e neutra e´ enta˜o posta em contato com a esfera 1 e enta˜o
e´ afastada, e em seguida ela toca a esfera 2 e e´ afastada. Qual e´ a carga de cada
uma das esferas na situac¸a˜o final? (Primeiro, temos inicialmente q1 =+Q e q3 = 0,
e apo´s o contato q1 = +Q/2 e q3 = +Q/2. No segundo caso, temos inicialmente
q2 =−Q e q3 =+Q/2, e apo´s o contato q2 =−Q/4 e q3 =−Q/4.)
1.4 Lei de Coulomb
A partir de um aparato experimental bastante similar a`quele utilizado por Cavendish,
com as massas substituı´das por pequenas esferas carregadas na balanc¸a de torc¸a˜o, C.
Coulomb investigou a forc¸a (ele´trica) exercida por uma carga em outra. Ademais, ele
utilizou o me´todo de carga por induc¸a˜o a fim de produzir e controlar as cargas iguais nas
esferas. Os resultados experimentais podem ser resumidos na forma da lei de Coulomb:
A forc¸a entre duas cargas puntiformes e´ exercida ao longo da linha entre as cargas.
Ela varia com o inverso do quadrado da distaˆncia de separac¸a˜o das cargas e e´ propor-
cional ao produto das cargas. A forc¸a e´ repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal, e
atrativa se elas tiverem sinais opostos.
A intensidade da forc¸a ele´trica exercida por uma carga q1 sobre outra carga q2 que se
encontra a uma distaˆncia r e´ dada por
F = k
|q1| |q2|
r2
(1.2)
em que k e´ uma constante positiva determinada experimentalmente, denominada cons-
9
tante de Coulomb ou eletrosta´tica,
k = 8,99×109N.m2/C2
De fato a forc¸a ele´trica entre cargas e´ um vetor, que em coordenadas cartesianas (x,y,z)
pode ser escrita
~F12 =
(
~F12
)
x
xˆ+
(
~F12
)
y
yˆ+
(
~F12
)
z
zˆ (1.3)
E se consideramos que a carga q1 esta´ na posic¸a˜o~r1 e que a outra carga q2 em~r2, a
forc¸a eletrosta´tica exercida por q1 sobre q2 e´
~F12 = k
q1q2
r212
rˆ12 (1.4)
em que~r12 =~r2−~r1 e´ o vetor que aponta de q1 a q2, e rˆ12 =~r12/r12 e´ o vetor unita´rio na
mesma direc¸a˜o e sentido. Veja que esta equac¸a˜o fornece o sentido correto para a forc¸a,
sejam as duas cargas ambas com mesmo sinal ou com sinais opostos.
Ademais, de acordo com a terceira lei de Newton, a forc¸a eletrosta´tica ~F21 exercida
por q2 sobre q1atua num sentido oposto de ~F12 (mas na mesma direc¸a˜o), logo ~F21 =−~F12.
Em geral, o vetor posic¸a˜o~r em coordenadas cartesianas pode ser escrito como
~r = xxˆ+ yyˆ+ zzˆ
esta forma e´ va´lida para vetores a partir da origem, o que aconteceria se o inı´cio do vetor
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agora fosse um ponto arbitra´rio (transladado da origem) (a,b,c), enta˜o
~r′ = (x,y,z)− (a,b,c) = (x−a) xˆ+(y−b) yˆ+(z− c) zˆ
E´ ainda pertinente ressaltar a semelhanc¸a entre a lei de Coulomb para a eletricidade e
a lei de Newton para a gravidade
Fel = k
|q1| |q2|
r2
, Fgrav = G
m1m2
r2
, (1.5)
Ambas sa˜o leis do inverso do quadrado da distaˆncia. Mas a forc¸a gravitacional entre duas
partı´culas e´ proporcional a`s massas das partı´culas e e´ sempre atrativa, enquanto a forc¸a
ele´trica e´ proporcional a`s cargas das partı´culas e e´ repulsiva se as cargas teˆm o mesmo
sinal, e atrativa se elas teˆm sinais opostos.
Exemplo: Forc¸a ele´trica no Hidrogeˆnio, e a raza˜o entre a forc¸a ele´trica e gravitacio-
nal
• Em um a´tomo de hidrogeˆnio, que e´ constituido de um ele´tron e um pro´ton, a
distaˆncia me´dia de separac¸a˜o entre o ele´tron e o pro´ton e´ aproximadamente 5,3×
10−11m. Qual e´ a intensidade da forc¸a eletrosta´tica exercida pelo pro´ton no ele´tron.
Como a carga do pro´ton e´ q1 =+e e a do ele´tron e´ q2 =−e, a forc¸a entre eles e´ de atrac¸a˜o.
Agora, a partir da lei de Coulomb temos
∣∣∣~F12∣∣∣= k |q1| |q2|r2 = ke2r2 =
(
8,99×109N.m2/C2)(1,6×10−19C)2
(5,3×10−11m)2
= 8,2×10−8N
(1.6)
11
• Determine agora a raza˜o entre a forc¸a ele´trica e a forc¸a gravitacional exercida por
um pro´ton sobre um ele´tron de um a´tomo de hidrogeˆnio.
Primeiramente, como essas duas forc¸as sa˜o inversamente proporcionais ao quadrado da
separac¸a˜o entre as partı´culas,a raza˜o entre estas forc¸as e´ independente da separac¸a˜o. De
fato, temos as expresso˜es
Fel = k
|q1| |q2|
r2
, Fgrav = G
m1m2
r2
, (1.7)
logo, a raza˜o e´ determinada como
Fel
Fgrav
=
ke2
Gm1m2
(1.8)
Como a carga do pro´ton e´ q1 = +e e a do ele´tron e´ q2 = −e, e suas massas sa˜o
m1 = 1,67×10−27kg e m2 = 9,11×10−31kg , respectivamente, temos que
Fel
Fgrav
=
(
8,99×109N.m2/C2)(1,6×10−19C)2
(6,67×10−11N.m2/kg2)(1,67×10−27kg)(9,11×10−31kg) = 2,27×10
39
(1.9)
→ Fel� Fgrav (1.10)
Este resultado mostra por que os efeitos gravitacionais na˜o sa˜o considerados na ana´lise
das interac¸o˜es atoˆmicas ou moleculares.
Todavia, a situac¸a˜o e´ inversa quando consideramos objetos astronoˆmicos tais como
planetas e estrelas. Consideremos o sistema Terra-Lua, em que estima-se que suas cargas
sejam qT =−qL =+10C, e suas massas sa˜o mT = 6,0×1024kg e mL = 7,4×1022kg , e
a distaˆncia de separac¸a˜o e´ r ≈ 3,8×105km
Fel
Fgrav
=
(
8,99×109N.m2/C2)(10C)2
(6,67×10−11N.m2/kg2)(6,0×1024kg)(7,4×1022kg) = 3,03×10
−26 (1.11)
→ Fgrav� Fel (1.12)
Estes resultados nos permitem estabelecer o seguinte quadro comparativo
12
1.4.1 Forc¸a exercida por um sistema de cargas
No caso de n partı´culas carregadas, elas interagem independentemente aos pares, e
a forc¸a resultante, por exemplo, sobre a partı´cula 1 e´ dada pela soma vetorial das forc¸as
individuais exercidas nela,
~F1 = ~F21 +~F31 +~F41 + ...+~Fn1 =
n
∑
i=2
~Fi1 (1.13)
Este resultado e´ consequeˆncia do princı´pio de superposic¸a˜o de forc¸as.
Exemplo 1:
• Treˆs partı´culas carregadas encontram-se ao longo do eixo x. A partı´cula com
carga q1 = +25nC esta´ na posic¸a˜o x = 2,00m, enquanto a partı´cula com carga
q2 = +20nC esta´ na origem. Onde deve ser colocada no eixo x uma partı´cula com
carga negativa q3 de maneira que a forc¸a resultante sobre ela seja nula?
Primeiramente dizemos que a carga negativa q3 esta´ na posic¸a˜o x0. Logo as forc¸as atuando
sobre ela sa˜o dadas por
~F13 = k
q1q3
r213
rˆ13 = k
q1q3
(2− x0)2
xˆ (1.14)
~F23 = k
q2q3
r223
rˆ23 =−kq2q3x20
xˆ (1.15)
A fim de determinar o ponto x0 fazemos uso do resultado acima do princı´pio de
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superposic¸a˜o. Logo, igualando a somato´ria das forc¸as a zero temos
~F3 = ~F13 +~F23 = k
q1q3
(2− x0)2
xˆ− kq2q3
x20
xˆ = 0 (1.16)
assim
q1
(2− x0)2
=
q2
x20
→ q1x20 = q2 (2− x0)2→ 25x20 = 20(2− x0)2 (1.17)
e
√
5x0 =
√
4(2− x0)→
√
5x0 =±2(2− x0)→ x0 =
{
0,94m
−16,94m (1.18)
Exemplo 2:
• Treˆs partı´culas carregadas encontram-se distribuı´das no plano x,y. A partı´cula com
carga q1 =+25nC esta´ na origem, enquanto a partı´cula com carga q2 =−15nC esta´
na posic¸a˜o x = 2,0m, e a carga q0 =+20nC esta´ na posic¸a˜o~x = (2m,2m). Qual e´ a
intensidade, a direc¸a˜o e sentido da forc¸a eletrosta´tica resultante em q0?
Primeiramente desenhamos o diagrama de forc¸as atuando sobre a carga q0
segundo princı´pio de superposic¸a˜o, a forc¸a resultante atuando sobre a carga q0 e´
~F0 = ~F10 +~F20 =

(
~F0
)
x
= F10,x +F20,x(
~F0
)
y
= F10,y +F20,y
(1.19)
sendo que escrevemos as componentes retangulares das forc¸as atuando sobre q0.
Ademais, e´ fa´cil ver uma vez que os lados do triaˆngulo teˆm comprimento 2m, logo
a hipotenusa (separac¸a˜o) e´ r10 = 2
√
2m. Uma vez que as cargas q0 e q1 teˆm o mesmo
14
sinal, a forc¸a entre elas e´ repulsiva. Ainda, podemos ver que a forc¸a ~F10 faz um aˆngulo de
45ocom os eixos x e y, logo
F10,x = F10 cos45o =
1√
2
F10, F10,y = F10 sin45o =
1√
2
F10, (1.20)
Precisamos enta˜o calcular a intensidade F10
F10 = k
q1q0
r210
=
(
8,99×109N.m2/C2)(25nC)(20nC)(
2
√
2m
)2 = 5,62×10−7N (1.21)
Desta forma
F10,x = F10,y =
1√
2
F10 = 3,97×10−7N (1.22)
Ademais, as cargas q0 e q2 teˆm sinais opostos, logo a forc¸a entre elas e´ atrativa, e e´ dada
por
~F20 = k
|q2| |q0|
r220
rˆ20 =−
(
8,99×109N.m2/C2)(15nC)(20nC)
(2m)2
yˆ =−
(
6,74×10−7N
)
yˆ
(1.23)
15
Por fim, podemos calcular as componentes da forc¸a resultante
(
~F0
)
x
= F10,x +F20,x = 3,97×10−7N +0 = 3,97×10−7N(
~F0
)
y
= F10,y +F20,y = 3,97×10−7N−6,74×10−7N =−2,77×10−7N
(1.24)
O diagrama da forc¸a resultante no plano x,y e´
A intensidade da forc¸a resultante e´ determinada por
∣∣∣~F0∣∣∣=√(~F0)2
x
+
(
~F0
)2
y
=
√
(3,97×10−7N)2 +(−2,77×10−7N)2 = 4,8×10−7N
(1.25)
em que, pela regra do paralelograma, a forc¸a resultante aponta para a direita e para baixo,
perfazendo um aˆngulo θ com o eixo x,
tanθ =
(
~F0
)
y(
~F0
)
x
=−2,77
3,97
=−0,698→ θ = arctan(−0,698) =−34,9o
Exemplo 3:
• Duas esferas ideˆnticas carregadas (mesma carga), cada uma tendo massa 3,0×
10−2kg, suspensas por fio na˜o-condutores ao teto sa˜o mantidas em equilı´bio como
na figura abaixo. O comprimento de cada linha e´ de 0,15m, e o aˆngulo e´ de .
Determine a magnitude da carga de cada esfera.
16
A fim de calcularmos a carga das esferas, consideramos as forc¸as atuando em uma das
esferas, por exemplo a do lado esquerdo. Como a esfera esta´ em equilı´brio, as forc¸as nas
direc¸o˜es horizonal e vertical devem separadamente somar a zero: (mas que forc¸as atuam?
Tensa˜o, ele´trica e peso)  ∑Fx = T sinθ −Fe = 0∑Fy = T cosθ −mg = 0 (1.26)
ao dividirmos as equac¸o˜es podemos determinar a magnitude da forc¸a ele´trica
Fe = mg tanθ =
(
3,0×10−2kg
)(
9,8m/s2
)
tan50 = (0,294)(0,0875)N = 2,6×10−2N
(1.27)
Agora, a partir da lei de Coulomb, temos que a magnitude da forc¸a ele´trica e´
Fe = k
q2
r2
Para calcular a separac¸a˜o entre as esferas fazemos uso da relac¸a˜o de triaˆngulos, pois
sinθ = a/L, logo
a = Lsinθ = (0,15m)sin50 = (0,15m)(0,087) = 0,013m
17
assim a separac¸a˜o entre as esferas e´ 2a = 0,026m. Por fim, temos
q2 =
Fer2
k
=
(
2,6×10−2N)(0,026m)2
(8,99×109N.m2/C2) = 19,6×10
−16C2 (1.28)
→ |q|= 4,4×10−8C (1.29)
1.5 O campo ele´trico
A forc¸a ele´trica exercida por uma carga sobre outra e´ um exemplo de uma forc¸a de
ac¸a˜o a` distaˆncia, similar a forc¸a gravitacional exercida por uma massa sobre outra.
Dada duas cargas q e q0, e´ possı´vel determinar a forc¸a eletrosta´tica de q0 sobre q.
Todavia, desde que as partı´culas na˜o se tocam, i.e. ha´ um espac¸o vazio entre elas, como
pode q0 exercer forc¸a sobre q?
A fim de responder essa questa˜o sobre ac¸a˜o a` distaˆncia introduzimos o conceito de
campo ele´trico: de tal forma que uma carga q produz um campo ele´trico ~E em todos os
pontos do espac¸o ao seu redor, que e´ experimentado por q0. Portanto, neste contexto, e´ o
campo ele´trico ~E que exerce a forc¸a sobre a carga q0. Podemos esquematizar a situac¸a˜o
da seguinte forma
• Inicialmente pensava-se que a forc¸a era atrave´s de uma interac¸a˜o direta e ins-
tantaˆnea: carga↔ carga
• Enquanto, atualmente, consideramos o campo ele´trico como um intermedia´rio entre
as cargas: carga↔ campo ele´trico↔carga;
Para ilustrar esta ideia, consideremos um conjunto de cargas puntiformes q1, q2 e q3
arbitrariamente dispostas no espac¸o. De acordo com o conceito introduzido acima estas
cargas produzem um campo ele´trico ~E em todos os pontos do espac¸o. Agora, a fim de
medirmos esse campo ele´trico, colocamos uma carga teste (positiva) q0 em algum ponto
pro´ximo a`s treˆs cargas, havera´ uma forc¸a exercida em q0 devida a`s outras cargas. Assim,
segundo o princı´pio de superposic¸a˜o, a forc¸a resultante em q0 e´ a soma vetorial das forc¸as
individuais exercidas em q0, i.e.
~F0 = ~F10 +~F20 +~F30 (1.30)
18
que ainda pode ser escrita
~F0 = k
|q1| |q0|
r210
rˆ10 + k
|q2| |q0|
r220
rˆ20 + k
|q3| |q0|
r230
rˆ30 = q0
(
k
|q1|
r210
rˆ10 + k
|q2|
r220
rˆ20 + k
|q3|
r230
rˆ30
)
(1.31)
Desta expressa˜o definimos o campoele´trico em um ponto como sendo esta forc¸a di-
vidida por q0
~E =
~F0
q0
(1.32)
A unidade (SI) e´ newton por coulomb N/C.Esta definic¸a˜o e´ similar a`quela do campo
gravitacional da Terra, apresentada como a forc¸a por unidade de massa exercida pela
Terra em um objeto.
Devemos ressaltar todavia que a carga teste q0 exercera´ uma forc¸a em cada uma das
outras cargas. Como estas forc¸as podem provocar algum deslocamento das cargas, assu-
mimos que a carga testeq0 e´ ta˜o pequena que estas forc¸as que ela exerce sobre as outras
sejam desprezı´veis. Ou seja, escolhemos a carga teste q0 de tal forma que ela na˜o influ-
encie o comportamento das demais cargas.
Ademais, vemos que ao deslocarmos a carga teste q0 de um ponto a outro no espac¸o,
podemos determinar o campo ele´trico ~E para todos os pontos do espac¸o (exceto os pontos
ocupados pelas cargas). Concluı´mos enta˜o que o campo ele´trico ~E e´ uma func¸a˜o vetorial
da posic¸a˜o, ou ainda chamamos-o de um campo vetorial ~E ≡ ~E (x,y,z) = ~E (~r).
Todavia, deve ficar claro que embora usemos uma carga teste positiva para definir o
campo ele´trico de um objeto carregado, esse campo existe independentemente da carga
19
teste.
Da discussa˜o acima, podemos ainda determinar o campo ele´trico devido a uma u´nica
carga puntiforme (ou partı´cula carregada), colocamos uma carga teste positiva q0 em qual-
quer ponto distante P a uma distaˆncia r de uma carga puntiforme q, logo pela lei de Cou-
lomb
~E =
~F0
q0
= k
q
r2
rˆ (1.33)
aqui rˆ e´ o vetor unita´rio que aponta da posic¸a˜o da carga q para o ponto de interesse P.
Por fim, tambe´m concluı´mos da discussa˜o acima que campos ele´tricos obedecem ao
princı´po de superposic¸a˜o, uma vez que para uma distribuic¸a˜o de cargas puntiformes temos
~E =
~F0
q0
=
1
q0
n
∑
i=1
~Fi0 =
1
q0
(
~F10 +~F20 +~F30 + ...
)
= ~E1 +~E2 +~E3 + ...=
n
∑
i=1
~Ei (1.34)
1.6 Linhas de campo ele´trico
Como vimos, a direc¸a˜o do campo ele´trico (a mesma da forc¸a) esta´ ao longo de uma
linha radial a partir da carga puntiforme, apontando para fora se q > 0 e para dentro se
q < 0.
Fora M. Faraday quem introduziu o conceito de campo ele´trico, e imaginava o espac¸o
ao redor de um corpo carregado como preenchido por linhas de forc¸a/campo. Vemos no
caso de uma carga puntiforme positiva
o espac¸amento entre (densidade) as linhas esta´ relacionado com a intensidade do
campo ele´trico; quando nos afastamos da carga, o campo torna-se menos intenso e as
20
linhas ficam mais afastadas entre si (a densidade de linhas de campo diminui com 1/r2).
Para um sistema de duas cargas puntiformes positivas iguais, as linhas de campo sa˜o
Na vizinhanc¸a de cada carga, o campo e´ aproximadamente igual ao da carga isolada;
isto ocorre porque o mo´dulo do campo de uma carga isolada e´ extremamente intenso em
pontos muitos pro´ximos a ela, e porque a segunda carga esta´ relativamente distante.
Ademais, vemos que a densidade das linhas na regia˜o entre as duas cargas e´ menor
quando comparada a` densidade linhas nas regio˜es a` esquerda e a` direita das cargas. Isto
indica que o mo´dulo do campo ele´trico e´ menor na regia˜o entre as cargas do que nas
outras duas regio˜es.
21
No caso de duas cargas com sinais opostos, temos o que e´ chamado de dipolo. Pro´ximo
da carga positiva, as linhas de campo sa˜o radiais e apontam radialmente para fora da carga;
enquando que as linhas apontam na direc¸a˜o da carga negativa. Como as cargas teˆm valo-
res iguais, o nu´mero de linhas que comec¸am na carga positiva e´ igual ao nu´mero de linhas
que terminam na carga negativa. Neste caso, o campo ele´trico e´ mais intenso na regia˜o
entre as cargas, como indicado pela densidade de linhas, do que nas demais regio˜es.
Podemos assim aplicar esses resultados para representar as linhas de campo ele´trico
para qualquer sistema de cargas puntiformes. I) Na vizinhanc¸a de cada carga, as linhas de
campo sa˜o igualmente espac¸adas e saem ou chegam a cada carga radialmente, dependendo
do sinal da carga. II) A grandes distaˆncias de todas as cargas, a configurac¸a˜o detalhada do
sistema de cargas na˜o e´ importante e as linhas de campo sa˜o como aquelas de uma u´nica
carga puntiforme tendo o valor da carga lı´quida do sistema. e.g. o caso de duas partı´culas
com carga q, a grandes distaˆncias e´ visto como uma carga 2q.
Note que o nu´mero de linhas que saem de uma carga positiva (ou terminam em uma
carga negativa) e´ proporcional a` intensidade da carga. Para isto consideremos um sistema
composto de uma carga negativa −q a uma pequena distaˆncia de uma carga positiva +2q.
O dobro de linhas saem da carga positiva do que terminam na carga negativa. Assim, me-
tade das linhas que saem da carga positiva termina na carga negativa, e a outra metade das
linham continuam indefinidamente. Muito distantes das cargas, as linhas esta˜o espac¸adas
de forma aproximadamente sime´trica e apontam radialmente para fora de um u´nico ponto,
exatamente como seria para o caso de uma u´nica carga puntiforme positiva +q.
Exemplo 1:
• Duas cargas puntiformes q1 =+q e q2 =−2q sa˜o posicionadas no eixo x nos pontos
x = a e x =−a, respectivamente. Em qual regia˜o, ou regio˜es, ha´ um ponto no qual
o campo ele´trico resultante e´ nulo? E determine qual e´ (sa˜o) este(s) ponto(s)?
Sendo ~E1 o campo gerado pela carga q1 e ~E2 o campo gerado pela carga q2, enta˜o o(s)
ponto(s) que procuramos satisfaz
~E = ~E1 +~E2 = 0→ ~E1 =−~E2→
∣∣∣~E1∣∣∣= ∣∣∣~E2∣∣∣ (1.35)
Temos treˆs regio˜es de interesse: regia˜o I a` esquerda da carga negativa, x < −a, regia˜o II
entre as duas cargas, −a < x < a, e a regia˜o III a` direita da carga positiva x > a.
22

regia˜o I, os vetores teˆm sentidos opostos, todavia todos os pontos na regia˜o esta˜o
mais pro´ximos de q2 do que de q1, logo E2 > E1;
regia˜o II, os vetores teˆm o mesmo sentido em qualquer ponto no eixo x;
regia˜o III, os vetores teˆm sentidos opostos, e e´ possı´vel encontrar um ponto
r1 < r2 tal que E2 = E1;
Por fim, denotamos o ponto P em que o campo resultante se anula a uma distaˆncia x0 da
origem, logo∣∣∣~E1∣∣∣= ∣∣∣~E2∣∣∣→ k q
(x0−a)2
= k
2q
(x0 +a)
2 → 2(x0−a)2 = (x0 +a)2
e
√
2(x0−a) = (x0 +a)→ x0 =
(√
2+1
)
(√
2−1
)a = (3+2√2)a' 5,83a (1.36)
Exemplo 2:
• Considere um sistema de cargas em que q1 = +8nC esta´ na origem (0,0) e q2 =
12nC esta´ na posic¸a˜o (4,0)m. Determine o campo ele´trico resultante no ponto
(0,3)m.
Temos que o campo ~E1 esta´ ao longo do eixo y, enquanto ~E2 esta´ no segundo qua-
drante. Disto precisamos calcular as componentes do campo ~E = ~E1 +~E2.
23
O campo ele´trico devido a carga q1 e´ simplesmente
~E1 = k
q1
r21
yˆ =
(
8,99×109N.m2/C2)(8nC)
(3m)2
yˆ = (7,99N/C) yˆ (1.37)
as componentes de ~E2 sa˜o(
~E2
)
x
=−
∣∣∣~E2∣∣∣sinθ , (~E2)
y
=
∣∣∣~E2∣∣∣cosθ , (1.38)
e como sabemos o comprimento dos lados do triaˆngulo, enta˜o
sinθ =
4
5
= 0,8, cosθ =
3
5
= 0,6,
ademais, a intensidade do campo ele´trico devido a carga q2∣∣∣~E2∣∣∣= kq2r22 =
(
8,99×109N.m2/C2)(12nC)
(5m)2
= (4,32N/C) (1.39)
Desta forma, temos que(
~E2
)
x
=−(4,32N/C)(0,8) =−3,46N/C,
(
~E2
)
y
= (4,32N/C)(0,6) = 2,59N/C,
(1.40)
24
Portanto, temos que as componentes do campo resultante sa˜o
~Ex =
(
~E1
)
x
+
(
~E2
)
x
= 0−3,46N/C =−3,46N/C (1.41)
~Ey =
(
~E1
)
y
+
(
~E2
)
y
= 7,99N/C+2,59N/C = 10,6N/C (1.42)
Pela regra do paralelograma, vemos que o campo resultante esta´ no segundo quadrante.
Seu mo´dulo e´∣∣∣~E∣∣∣=√(~E2)2
x
+
(
~E2
)2
y
=
√
(−3,46N/C)2 +(10,6N/C)2 = 11,2N/C (1.43)
e o aˆngulo que este vetor faz com o eixo x e´
α = arctan
(
~Ey
~Ex
)
= arctan
(
−10,6
3,46
)
= 108o (1.44)
1.6.1 Dipolos ele´tricos
Exemplo:
• Um sistemade duas cargas iguais q de sinais opostos, separadas por uma pequena
distaˆncia e´ denominado dipolo. Consideremos enta˜o que a carga +q esta´ no ponto
x = a enquanto a carga−q esta´ no ponto x =−a. Qual e´ o campo ele´trico resultante
no eixo x num ponto x > a?
25
O campo resultante devido a`s duas cargas para x > a e´
~E = ~E++~E− = k
q
(x−a)2 xˆ+ k
q
(x+a)2
(−xˆ) = kq
(
1
(x−a)2 −
1
(x+a)2
)
xˆ
= kq
(
(x+a)2− (x−a)2
(x−a)2 (x+a)2
)
xˆ
= kq
4ax
(x2−a2)2
xˆ (1.45)
Em particular, no limite x� a, temos que
~E = kq
4ax
(x2−a2)2
xˆ = kq
4ax
x4
(
1− a2x2
)2 xˆ (1.46)
se |x|< 1, podemos usar a expansa˜o segundo binoˆmio de Newton, enta˜o
1
(1− x)2 = 1+2x+3x
2 +4x3 + ...= ∑
k=0
(
2+ k−1
2−1
)
xk
enta˜o
~E = kq
4ax
(x2−a2)2
xˆ≈ 4kqa
x3
xˆ (1.47)
A partir deste exemplo podemos introduzir uma quantidade chamada momento de dipolo
~p que descreve a magnitude e orientac¸a˜o do dipolo. Este vetor aponta da carga negativa
−q para a carga positiva +q, e neste exemplo tem a seguinte expressa˜o
~p = 2aqxˆ (1.48)
Ademais, podemos introduzir uma outra quantidade~L = 2axˆ que generaliza a posic¸a˜o da
carga positiva em relac¸a˜o a` carga negativa. Desta forma encontramos enta˜o a expressa˜o
geral
~p = q~L (1.49)
Em termos do momento de dipolo ~p, o campo ele´trico ~E no eixo do dipolo em um
26
ponto a uma grande distaˆncia |x| esta´ na mesma direc¸a˜o e sentido de ~p e tem mo´dulo∣∣∣~E∣∣∣= 2kp|x|3 (1.50)
Em um ponto distante do dipolo em qualquer direc¸a˜o, o mo´dulo do campo ele´trico e´
proporcional ao mo´dulo do momento de dipolo e diminiu com o cubo da distaˆncia.
Se um sistema tem uma carga resultante na˜o-nula, o campo ele´trico diminui com 1/r2
a grandes distaˆncias, enquanto no caso de dipolo, o campo decai com 1/r3 em todas as
direc¸o˜es.
1.7 O movimento de cargas sob ac¸a˜o de um campo ele´trico
Um campo ele´trico uniforme pode exercer uma forc¸a em uma partı´cula carregada iso-
lada, e pode exercer tanto um torque quanto uma forc¸a resultante em um dipolo ele´trico.
Exemplo 1:
• Um ele´tron e´ projetado em um campo ele´trico uniforme ~E = (1000N/C) xˆ com uma
velocidade inicial ~v0 =
(
2×106m/s) xˆ na direc¸a˜o do campo. Qual e´ a distaˆncia
percorrida pelo ele´tron antes que ele atinja momentaneamente o repouso.
Como a forc¸a e´ constante, podemos utilizar as fo´rmulas para acelerac¸a˜o constante
(vx = v0x +axt e∆x = v0x∆t + ax2 ∆t
2). O deslocamento ∆x esta´ relacionado com as veloci-
dades inicial e final
v2 = v20 +2ax∆x (1.51)
A acelerac¸a˜o do ele´tron e´ obtida da segunda lei de Newton
ax =
Fx
m
=−eEx
m
(1.52)
27
assim, uma vez a velocidade final e´ nula v = 0 (repouso)
∆x =
v2− v20
2ax
=
0− v20
2
(
−eExm
) = mv20
2eEx
=
(
9,11×10−31kg)(2×106m/s)2
2(1,6×10−19C)(1000N/C) (1.53)
= 11,4×10−3m = 1,14cm (1.54)
Exemplo 2:
• Um ele´tron entra em um campo ele´trico uniforme ~E = (−2kN/C) yˆ com uma ve-
locidade inicial ~v0 =
(
1×106m/s) xˆ perpendicular ao campo. Compare a forc¸a
gravitacional exercida no ele´tron a` forc¸a ele´trica sobre ele. Determine a deflexa˜o
do ele´tron depois de ele ter percorrido 1,0cm na direc¸a˜o x.
Primeiramente calculamos a raza˜o entre a magnitude forc¸a ele´trica e da forc¸a gravita-
cional
Fe
Fgrav
=
eE
mg
=
(
1,6×10−19C)(2000N/C)
(9,11×10−31kg)(9,81N/kg) = 3,6×10
13 (1.55)
este resultado mostra que a forc¸a ele´trica e´ imensa comparada a` forc¸a gravitacional, cor-
roborando que em situac¸o˜es fı´sicas destes sistemas somente a forc¸a ele´trica e´ considerada.
Como o movimento do ele´tron e´ na horizontal e a acelerac¸a˜o esta´ na vertical, as
equac¸o˜es de movimento sa˜o {
∆x = v0t
∆y = ay2 t
2 (1.56)
28
Agora, expressando ∆y em termos de ∆x, temos
∆y =
ay
2
t2 =
eE
2m
(
∆x
v0
)2
=
(
1,6×10−19C)(2000N/C)
2(9,11×10−31kg)
(
10−2m
106m/s
)2
= 1,8cm (1.57)
Estes sistemas em que o campo ele´trico e´ conhecido, a raza˜o carga/massa da partı´cula
pode ser determinada atrave´s da medida de sua acelerac¸a˜o. J.J. Thomson usou a deflexa˜o
de ele´trons em um campo ele´trico uniforme para demonstrar a existeˆncia dessas partı´culas
e para medir a sua raza˜o carga/massa. e.g. monitores de tubos de raios cato´dicos.
1.7.1 Dipolos em campos ele´tricos
Baseado nas discusso˜es anteriores de dipolo e do movimento de cargas sob a ac¸a˜o de
um campo ele´trico externo, vamos enta˜o considerar o comportante de um dipolo em um
campo ele´trico externo.
De fato, um campo ele´trico externo na˜o exerce forc¸a resultante em um dipolo, mas
exerce um torque que tende a girar o dipolo para alinha´-lo com a direc¸a˜o do campo ex-
terno.
Vemos que o torque~τ = ~d×~F = dF sinθ calculado em relac¸a˜o a` posic¸a˜o de qualquer
uma das cargas tem mo´dulo
|~τ|= LF sinθ = qELsinθ = pE sinθ →~τ = ~p×~E (1.58)
29
A direc¸a˜o e sentido do torque e´ para dentro da pa´gina, tendendo a girar o vetor momento
de dipolo ~p para alinha´-lo com a direc¸a˜o de ~E.
Se o dipolo gira de um aˆngulo dθ , o campo ele´trico realiza trabalho
dW =−τdθ =−pE sinθdθ (1.59)
o sinal de menos surge pois o torque se opo˜e a qualquer aumento de θ .
O trabalho realizado e´ armazenado, sob a forma de energia potencial U , no sistema
constituı´do pelo dipolo e o dispositivo que cria o campo externo. Podemos igualar o
negativo do trabalho com a variac¸a˜o na energia potencial
dU =−dW = pE sinθdθ (1.60)
Integrando, obtemos
U =U0− pE cosθ (1.61)
e ao escolhermos o zero da energia potencial quando θ = pi/2, enta˜o U0 = 0, e encontra-
mos a energia potencial de um dipolo em um campo ele´trico
U =−~p.~E (1.62)
Um exemplo bastante conhecido de aplicac¸a˜o deste sistema e´ o do forno de microondas.
Uma mole´cula de a´gua e´ um dipolo ele´trico, em que existem um lado oxigeˆnio (mais
ele´trons – em torno de 10– o que deixa este lado ligeiramente mais negativo) e um lado
hidrogeˆnio bem definidos.
30
Quando o forno e´ ligado, as microondas geram um campo ele´trico que oscila rapida-
mente de um lado para outro. Havendo a´gua no forno, o campo oscilante exerc torques
oscilantes sobre as mole´culas de a´gua, girando-as continuamente de um lado para outro,
de modo a alinhar seus momentos de dipolo com a direc¸a˜o do campo. E conforme as
ligac¸o˜es das mole´culas sa˜o quebradas, elas podem fazer novas ligac¸o˜es, e neste momento
elas transferem a energia (potencial) absorvidas em energia te´rmica. Assim, e´ acrescen-
tada energia te´rmica a` a´gua quando essas novas ligac¸o˜es sa˜o formadas, e a temperatura da
a´gua aumenta.
2 Campo ele´trico II
Ate´ aqui, consideramos o campo ele´trico produzido por uma carga puntiforme ou, no
ma´ximo, um pequeno conjunto de cargas.Vamos agora estender e considerar distribuic¸o˜es
de carga que consistem em um grande nu´mero de cargas puntiformes estreitamente espac¸adas
que esta˜o uniformemente distribuı´das ao longo de uma linha, sobre uma superfı´cie ou
dentro de um volume. Tais distribuic¸o˜es sa˜o classificadas como contı´nuas, em vez de
discretas.
Neste capı´tulo, mostraremos como a lei de Coulomb e´ usada para o ca´lculo de campo
ele´trico produzido por tais distribuic¸o˜es contı´nuas de carga.
2.1 Calculando o campo ele´trico a partir da lei de Coulomb
Para calcular o campo ele´trico de uma distribuic¸a˜o contı´nua de carga, dividimos a
carga da distribuic¸a˜o em pequenos elementos, cada qual ∆qi,
podemos enta˜o determinar o campo ele´trico ∆Ei devido a esses elementos de carga no
ponto P,
∆~Ei = k
∆qi
r2i
rˆi (2.1)
em que rˆi e´ um vetor unita´rio que aponta do elemento de carga ∆qi para o ponto P. Ade-
mais, o campo ele´trico total e´ escrito como
~E =∑
i
∆~Ei = k∑
i
∆qi
r2i
rˆi (2.2)
31
Agora, se dividimos essa distribuic¸a˜otal que i→ ∞ enta˜o ∆q→ 0, logo
~E = k lim
∆q→0∑i
∆qi
r2i
rˆi→ ~E = k
∫ dq
r2
rˆ (2.3)
Como dito anteriormente, temos treˆs possibilidades de distribuic¸a˜o homogeˆnea de cargas
densidade volume´trica de carga ρ = Q/V → dq = ρdV
densidade superficial de carga σ = Q/A→ dq = σdA
densidade linear de carga λ = Q/L→ dq = λdL
(2.4)
Ademais, e´ comum escrever a constante de Coulomb k em termos de outra constante, ε0,
denominada permissividade do va´cuo
k =
1
4piε0
(2.5)
o valor desta constante no SI e´
ε0 =
1
4pik
= 8,85×10−12C2/Nm2 (2.6)
32
A devida importaˆncia desta definic¸a˜o ficara´ evidente a` frente.
Exemplo 1:
• Uma carga Q esta´ distribuı´da uniformemente ao longo de uma haste de compri-
mento L, desde z = −L/2 ate´ z = L/2. Determine o campo ele´trico num ponto
P = z0 (distaˆncia ate´ a origem) e mostre que para grandes valores de z0, a expressa˜o
para o campo ele´trico se aproxima da expressa˜o para o campo ele´trico de uma carga
puntiforme Q localizada na origem.
O campo ele´trico e´ determinado por
dE = k
dq
r2
= kλ
dz
z2
enta˜o, a integrac¸a˜o linear tem os seguintes limites z1 = z0−L/2 e z2 = z0 +L/2
E =
∫
dE = kλ
∫ z0+L/2
z0−L/2
dz
z2
= kλ
(
−1
z
)
z0+L/2
z0−L/2 = kλ
(
1
z0−L/2−
1
z0 +L/2
)
(2.7)
= k
λL
z20− L
2
4
= k
Q
z20− L
2
4
(2.8)
Agora, no limite em que z0� L, enta˜o
E = k
Q
z20
(
1− L24z20
) = k Q
z20
(
1− L
2
4z20
)−1
' k Q
z20
(
1+
L2
4z20
+ ...
)
' k Q
z20
(2.9)
Esta expressa˜o aproximada decai inversamente proporcional ao quadrado de z0. Esta
33
expressa˜o e´ a mesma que a do campo ele´trico de uma carga puntiforme Q localizada na
origem.
Exemplo 2:
• Uma carga Q esta´ distribuı´da uniformemente ao longo de uma haste de compri-
mento L, desde z =−L/2 ate´ z = L/2. (a) Determine o campo ele´trico num ponto
P = (0,R) (b) Mostre que, para R� L, a expressa˜o encontra no item (a) se apro-
xima da de uma carga puntiforme Q na origem. (c) Mostre que, para R� L, a
expressa˜o encontrada na parte (a) se aproxima da de uma linha infinitamente longa
de cargas no eixo x com uma densidade linear uniforme de carga λ = Q/L.
(a) Por questa˜o de simetria, dividimos a haste em duas partes e calculamos a contribuic¸a˜o
resultante delas. Sendo ~E1 o campo produzido pela carga em−L/2< x< 0 e ~E2 o campo
34
produzido em 0 < x < L/2, temos que dE1x = dE1 cosθdE1y = dE1 sinθ (2.10) dE2x =−dE2 cosθdE2y = dE2 sinθ (2.11)
em que θ e´ o aˆngulo que o vetor posic¸a˜o faz com o eixo x. Agora, como as cargas sa˜o
iguais, os mo´dulos E1 e E2 tambe´m sa˜o iguais. Logo, vemos que as componentes do
campo resultante sa˜o  dEx = dE1x +dE2x = 0dEy = dE1y +dE2y = 2dE1 sinθ (2.12)
Vemos que o campo resultante na˜o tem componente no eixo x, pois as contribuic¸o˜es teˆm
modulo igual, mas sentidos opostos. Portanto, a fim de calcular a componente y do campo
utilizaremos a expressa˜o para uma distribuic¸a˜o contı´nua
Ey = 2
∫
dE1y sinθ = 2k
∫ dq
r2
sinθ (2.13)
temos que dq = λdx, e da geometria do problema encontramos
sinθ =
R
r
, r2 = R2 + x2
enta˜o
Ey = 2
∫
dE1y sinθ = 2k
∫ Rλdx
r3
= 2k
∫ 0
−L2
Rλdx
(R2 + x2)
3
2
(2.14)
fazendo uma mudanc¸a de varia´veis x = R tanα em que dx = Rsec2αdα , enta˜o
Ey = 2kRλ
∫ α2
α1
Rsec2αdα
(R2 +R2 tan2α)
3
2
=
2kλ
R
∫ α2
α1
sec2αdα
(1+ tan2α)
3
2
=
2kλ
R
∫ α2
α1
sec2αdα
(sec2α)
3
2
=
2kλ
R
∫ α2
α1
dα
secα
=
2kλ
R
∫ α2
α1
cosαdα =
2kλ
R
(sinα)α2α1 (2.15)
35
todavia, desde que tanα = xR e´ fa´cil obter que sinα =
x√
x2+R2
, logo
Ey =
2kλ
R
(
x√
x2 +R2
)
0
−L2
=
2kλ
R
0− (−L2)√
L2
4 +R
2
= kλLR 1√L2
4 +R
2
=
kQ
R
√
L2
4 +R
2
(2.16)
Em particular, a direc¸a˜o y neste caso pode ainda ser identificada com a direc¸a˜o radial Rˆ.
Assim
~E =
kQ
R
√
L2
4 +R
2
Rˆ (2.17)
(b) a expansa˜o R� L, resulta em
~E ' kQ
R2
Rˆ (2.18)
e reproduz a expressa˜o de uma carga puntiforme Q na origem. (c) Por outro lado, a
expansa˜o L� R, resulta em
~E =
kQ
RL
2
√
1+ 4R
2
L2
Rˆ' 2kλ
R
Rˆ (2.19)
aqui o campo ele´trico decai com o inverso da distaˆncia radial a` linha de carga, assim
reproduz a expressa˜o exata para uma linha infinita de carga.
Exemplo 3:
• Um anel fino (uma circunfereˆncia) de raio a esta´ uniformemente carregado com
carga total Q. Determine o campo ele´trico devido a esta carga em todos os pontos
no eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro do anel.
Primeiramente devemos calcular as componentes axial e radial de ~E, em particular
podemos mostrar que para elementos ideˆnticos de carga em lados opostos do anel ( 0 <
θ1 < pi e pi < θ2 < 2pi) as componentes radiais se cancelam aos pares, como pode ser
visto, o campo resultante e´ axial. Desta forma, o campo ele´trico devido ao elemento de
36
carga dq e´
dER = 0 (2.20)
dEz =
2kdq
r2
cosθ (2.21)
e´ fa´cil ver pela geometria do problema que
cosθ =
z
r
, r2 = a2 + z2
enta˜o
Ez =
∫ 2kzdq
r3
= 2kλ
∫ pia
0
dL
(a2 + z2)
3
2
=
2kzλ
(a2 + z2)
3
2
∫ pia
0
dL =
kzλ (2pia)
(a2 + z2)
3
2
=
kzQ
(a2 + z2)
3
2
(2.22)
37
Novamente, no limite z� a, este resultado reproduz a expressa˜o de uma carga puntiforme
Q na origem.
Note que no ponto z = 0 a expressa˜o do campo ele´trico e´ nula. Fisicamente, a situac¸a˜o
e´ a seguinte: pro´ximo a` origem, os campos devidos a dois elementos de carga sa˜o gran-
des, mas teˆm a mesma magnitude e esta˜o praticamente na mesma direc¸a˜o com sentidos
opostos, logo eles quase se cancelam; o campo resultante e´ axial e pequeno. E conforme
nos aproximamos da origem, a magnitude dos campos ele´tricos aumentam, mas como
eles teˆm sentidos opostos, eles se cancelam.
Exemplo 4:
• Uma haste de pla´stico tem uma carga −Q uniformemente distribuı´da. A haste esta´
encurvada na forma de um arco de cı´rculo, de raio r, subtendendo um aˆngulo de
120o. Os eixos coordenados sa˜o colocados de modo que o eixo de simetria da haste
coincide com o eixo x e a origem esta´ no centro de curvatura P da haste. Determine
o campo ele´trico~E criado pela haste no ponto P?
Vamos considerar dois elementos de carga equivalentes, sendo que q1 esta´ na metade
superior e q2 na inferior. Sendo ~E1 o campo produzido pela carga em 0 < θ < pi/3 e ~E2 o
38
campo produzido em −pi/3 < θ < 0, temos que dE1x = dE1 cosθdE1y = dE1 sinθ (2.23) dE2x = dE2 cosθdE2y =−dE2 sinθ (2.24)
Agora, como as cargas sa˜o iguais, os mo´dulos E1 e E2 tambe´m sa˜o iguais. Logo, vemos
que as componentes do campo resultante sa˜o dEx = dE1x +dE2x = 2dE1 cosθdEy = dE1y +dE2y = 0 (2.25)
Vemos que o campo resultante na˜o tem componente no eixo y, pois as contribuic¸o˜es
teˆm modulo igual, mas sentidos opostos. Agora, a fim de calcular o campo resultante
escrevemos dq = λdL e
E =
∫
dEx =
∫
2dE1 cosθ = 2k
∫ dq
r2
cosθ = 2k
∫ λdL
r2
cosθ (2.26)
para efetuarmos a integrac¸a˜o, e´ necessa´rio lembrar que dL = rdθ , em que dθ e´ o aˆngulo
subtendido pelo comprimento de arco dL. Com esta substituic¸a˜o temos
E =
∫
dEx =
∫
2dE1 cosθ = 2k
∫ dq
r2
cosθ =
2kλ
r
∫ pi/3
0
dθ cosθ
=
2kλ
r
(sinθ)pi/30 =
2kλ
r
√
3
2
=
√
3kλ
r
(2.27)
Ademais, podemos ver que
λ =
Q
2pir
3
=
3Q
2pir
logo
~E =
√
3kλ
r
xˆ =
√
3k
r
3Q
2pir
xˆ =
3
√
3k
2pi
Q
r2
xˆ (2.28)
39
Exemplo 5:
• Considere um disco fino uniformemente carregado de raio a e densidade superficial
de carga σ . (a) Determine o campo ele´trico em todos os pontos no eixo do discos.
(b) mostre que, para pontos no eixo e distantes dele,o campo ele´trico se aproxima
do caso de uma carga puntiforme na origem. (c) Mostre que, para um disco uni-
formemente carregado de raio infinito, o campo ele´trico e´ uniforme em ambos os
lados do discos.
(a) Podemos calcular o campo no eixo do disco tratando-o como um conjunto de ane´is
conceˆntricos uniformemente carrregados. A figura mostra um desses ane´is, com raio r e
largura radial dr. Seguindo os mesmos passos do que anteriormente para o anel, o campo
ele´trico e´ dado por
dEz =
kdq
R2
cosθ =
kzdq
(r2 + z2)
3
2
(2.29)
neste caso o elemento de densidade de carga e´ dq = σdA = σ (2pir)dr, logo
dEz =
kzσ (2pir)dr
(r2 + z2)
3
2
→ Ez =
∫
dEz = kpizσ
∫ a
0
2rdr
(r2 + z2)
3
2
= kpizσ
∫ a
0
2rdr
(r2 + z2)
3
2
(2.30)
40
fazendo a mudanc¸a de varia´veis w = r2 + z2 e dw = 2rdr
Ez = kpizσ
∫ a2+z2
z2
dw
(w)
3
2
= kpizσ
(
w−
1
2
−12
)
a2+z2
z2 =−2pikzσ
(
1√
a2 + z2
− 1√
z2
)
(2.31)
= sign(z)2pikσ
1− 1√
1+ a
2
z2
 (2.32)
em que definimos a func¸a˜o sinal como
sign(z) =

+1, z > 0
0, z = 0
−1, z < 0
este resultado mostra que o campo ele´trico tem sentido opostos nos lados do disco.
(b) para a expansa˜o z� a, temos que
Ez = sign(z)2pikσ
(
1−
(
1+
a2
z2
)−1/2)
≈ 2pikσ
(
1−
(
1− 1
2
a2
z2
+ ...
))
(2.33)
= pik
σa2
z2
=
kQ
z2
(2.34)
que e´ a mesma expressa˜o para o campo ele´trico de uma carga puntiforme Q = σpia2 na
origem. (c) para a expansa˜o a→ ∞, temos que
Ez = lima→∞sign(z)2pikσ
1− 1√
1+ a
2
z2
= sign(z)2pikσ(1− 1√
1+∞
)
(2.35)
= sign(z)2pikσ = sign(z)
σ
2ε0
(2.36)
Este resultado tambe´m e´ va´lido no caso de um plano uniforme de cargas em que a/z→∞,
i.e. para pontos juntos a` superfı´cie do plano.
No caso de um plano infinito vemos que ha´ uma descontinuidade no campo ele´trico
em z = 0, ele salta de −2pikσ para +2pikσ quando cruza o plano z = 0.
41
Exemplo 6:
• Considere um sistema de dois planos infinitos com densidade superficial de carga
σ1 =+4,5nC/m2 e σ2 =−4,5nC/m2 posicionados em z = 0m e z = 2m, respecti-
vamente. Determine o campo ele´trico em (a) no ponto z = 1,8 e (b) z = 5m.
Cada plano produz um campo ele´trico uniforme de mo´dulo E = σ2ε0 . Usamos o
princı´pio de superposic¸a˜o para determinar o campo resultante. (a) entre os planos, os
campos de cada uma dos planos teˆm o mesmo sentido, logo eles se somam
E = E1 +E2 =
σ
ε0
=
(
4,5nC/m2
)
8,85×10−12C2/Nm2 = 508N/C
observe que o campo resultante tem o mesmo valor em todos os pontos entre os planos.
(b) todavia, para o ponto z = 5m os campos teˆm sentidos opostos
E = E1−E2 = 0
A configurac¸a˜o de cargas descrita neste exemplo e´ a de um capacitor de placas paralelas,
que sera˜o discutidos adiante no capı´tulo 24.
42
2.2 Lei de Gauss
• A lei de Coulomb e´ a lei fundamental da eletrosta´tica, todavia sua forma na˜o e´
pertinente para situac¸o˜es com uma dada simetria.
• Neste sentido, a lei de Gauss surge como uma nova formulac¸a˜o (equivalente) da lei
de Coulomb para situac¸o˜es especiais (sime´tricas).
• A quantidade principal da lei de Gauss e´ uma superfı´cie fechada hipote´tica, cha-
mada de superfı´cie gaussiana. De maior utilidade, escolhemos esta superfı´cie (ar-
bitra´ria) adequada a` simetria do problema em questa˜o; e.g. esfera, cilindro, etc.
• A lei de Gauss relaciona os campos na superfı´cie gaussiana e as cargas (lı´quidas)
no interior desta superfı´cie.
Podemos calcular a carga englobada pela superfı´cie a partir da lei de Gauss, sem conhe-
cimento nenhum da forma de sua distribuic¸a˜o, ao determinarmos quanto campo ele´trico
e´ interceptado pela superfı´cie, quantidade que envolve o fluxo do campo ele´trico atrave´s
da superfı´cie.
Por exemplo, constatando um campo ele´trico ~E em cada ponto da superfı´cie (linhas
de campo), todos de mesmo mo´dulo e apontando radialmente para fora, concluı´mos que
ha´ uma carga lı´quida positiva no interior da superfı´cie.
Vamos considerar inicialmente uma situac¸a˜o fı´sica ana´loga, o fluxo de uma corrente
de ar:
43
• Seja um sistema com uma corrente de ar dirigida a uma malha quadrada de a´rea A.
• Φ e´ a vaza˜o volume´trica, i.e. a taxa em que o ar escoa atrave´s da malha.
• Quando ~v e´ paralela ao plano, a taxa e´ igual a zero. Quando ~v e´ perpendicular ao
plano, a taxa e´ Φ= |~v|A.
• Para aˆngulos intermedia´rios, a taxa depende da componente da velocidade~v que e´
normal ao plano. A taxa de escoamento atrave´s da malha e´
Φ= |~v|cosθA = (~v.nˆ)A = vnA (2.37)
em que introduzimos vn =~v.nˆ como a componente da velocidade ~v normal a` su-
perfı´cie.
• Podemos atribuir um vetor velocidade a cada ponto na corrente de ar que atravessa
a malha, i.e. ~v = ~v(x,y,z). A composic¸a˜o de todos estes vetores e´ um campo
de velocidade. Podemos enta˜o interpretar Φ como o fluxo do campo velocidade
atrave´s da malha. O que significa a quantidade de campo que uma a´rea intercepta.
Esta interpretac¸a˜o sera´ estendida ao caso do campo ele´trico
• Consideremos uma superfı´cie gaussiana (fechada) arbitra´ria imersa num campo
ele´trico na˜o-uniforme.
44
• Ao dividirmos a superfı´cie em pequenos (infinitesimais) quadrados de a´rea ∆A, o
campo ele´trico ~E pode ser considerado constante em todos os pontos.
• A definic¸a˜o exata do fluxo do campo ele´trico de uma superfı´cie fechada e´ obtida ao
tomarmos o limite ∆A→ 0
Φ= lim
∆A→0∑i
~Ei.nˆi∆A→Φ=
∮
~E.nˆdA (2.38)
e´ importante notarmos a contribuic¸a˜o do integrando para o fluxo resultante em treˆs
casos distintos
~E.nˆdA =

0 < θ < 90o, Positivo, e aponta para fora da superfı´cie
θ = 90o, Nulo, paralelo a` superfı´cie
90o < θ < 180o, Negativo, e aponta para dentro da superfı´cie
45
Exemplo:
• Considere um campo ele´trico uniforme ~E = Exˆ. Determine o fluxo ele´trico resul-
tante atrave´s das superfı´cies de um cubo de arestas L.
Se posicionamos o centro do cubo na origem do sistema cartesiano (0,0,0), identifica-
mos imediatamente que os vetores unita´rios normais a`s seis superfı´cies sa˜o (xˆ,−xˆ, yˆ,−yˆ, zˆ,−zˆ).
Todavia, como o campo ele´trico tem direc¸a˜o ~E = Exˆ, apenas as superfı´cies com normal
(xˆ,−xˆ) contribuira˜o, as demais (yˆ,−yˆ, zˆ,−zˆ) tera˜o uma contribuic¸a˜o nula para o fluxo.
Desta forma temos
Φ=
∮
~E.nˆdA =
∫
1
~E.xˆdA+
∫
2
~E.(−xˆ)dA+
∫
3
~E.yˆdA+
∫
4
~E.(−yˆ)dA+
∫
5
~E.zˆdA+
∫
6
~E.(−zˆ)dA
= E
∫
1
(xˆ.xˆ)dA−E
∫
2
(xˆ.xˆ)dA+E
∫
3
(xˆ.yˆ)dA−E
∫
4
(xˆ.yˆ)dA+E
∫
5
(xˆ.zˆ)dA−E
∫
6
(xˆ.zˆ)dA
= E
∫
1
dA−E
∫
2
dA = EA−EA = 0 (2.39)
Este resultado na˜o e´ surpreendente, pois as linhas de campo que passam pela base do lado
esquerdo saem pela base do lado direito. Portanto, o fluxo atrave´s da superfı´cie fechada e´
zero.
46
Uma situac¸a˜o alternativa, para termos um fluxo resultante na˜o-nulo no problema acima,
seria considerar um campo ele´trico da seguinte forma
~E = sign(x)Exˆ =
 −E, x > 0+E, x > 0
A lei de Gauss pode ser enuncianda da seguinte forma: ao relacionarmos o fluxo
(resultante) de um campo ele´trico atrave´s de uma superfı´cie (gaussiana) fechada com a
carga lı´quida Q envolvida por esta superfı´cie, temos
ε0Φ= Q→ ε0
∮
~E.nˆdA = Q (2.40)
• A carga lı´quida Q e´ a soma alge´brica de todas as cargas positivas e negativas inter-
nas a` superfı´cie, e ela pode ser
Q > 0, Q < 0, Q = 0 (2.41)
Neste caso e´ o sinal da carga lı´quida que diz se o fluxo esta´ saindo ou entrando
atrave´s da superfı´cie: Q > 0, o fluxo lı´quido e´ para fora, e Q < 0, o fluxo lı´quido e´
para dentro.
• As cargas fora da superfı´cie, na˜o importando qua˜o grandes ou qua˜o perto elas se
encontrem, na˜o sa˜o incluı´das no termo da lei de Gauss (o nu´mero delinhas de
campo que entra na superfı´cie e´ igual ao nu´mero que sai da mesma).
• A maneira que a carga esta´ distribuı´da no interior tambe´m na˜o importa, de fato
somente o mo´dulo e o sinal da carga lı´quida.
Exemplo:
• Vamos aplicar estas ideias no sistema de duas cargas iguais em mo´dulo, mas de
sinais opostos, em quatro superfı´cies gaussianas.
• Superfı´cie A: O campo ele´trico aponta para fora em todos os pontos desta su-
perfı´cie. Assim, o fluxo do campo ele´trico atrave´s desta superfı´cie e´ positivo e,
segundo a lei de Gauss, a carga lı´quida no interior da superfı´cie e´ positiva.
47
• Superfı´cie B: O campo ele´trico aponta para dentro em todos os pontos desta su-
perfı´cie. Assim, o fluxo do campo ele´trico atrave´s desta superfı´cie e´ negativo e,
segundo a lei de Gauss, a carga lı´quida no interior da superfı´cie e´ negativa.
• Superfı´cie D: Esta superfı´cie na˜o conte´m nenhuma carga. Assim, e, segundo a lei
de Gauss, o fluxo do campo ele´trico e´ zero para esta superfı´cie; pois toda linha de
campo ele´trico que entra tambe´m sai.
• Superfı´cie C: Esta superfı´cie encerra uma carga lı´quida nula, pois as cargas positiva
e negativa no seu interior teˆm o mesmo mo´dulo. E a lei de Gauss que o fluxo do
campo ele´trico seja nulo.
2.3 Ca´lculo do campo ele´trico atrave´s da lei de Gauss
Para uma dada distribuic¸a˜o de cargas altamente sime´trica, geralmente e´ mais simples
calcular o campo ele´trico utilizando a lei de Gauss do que a lei de Coulomb. Em geral,
as classes de simetrias consideradas sa˜o: a simetria cilı´ndrica, simetria plana e simetria
esfe´rica.
48
Exemplo 1 :
• Ao considerarmos uma carga puntiforme positiva +q, envolta por uma superfı´cie
gaussiana esfe´rica conceˆntrica de raio r, a lei de Gauss aplicada a esta distribuic¸a˜o
resulta em
ε0
∮
~E.nˆdA = ε0
∮
EdA = Q
Embora o campo ele´trico varie radialmente com a distaˆncia medida a partir da carga,
ele tem o mesmo valor sobre toda a superfı´cie esfe´rica
ε0E
∮
dA = ε0E
(
4pir2
)
= Q→ E = 1
4piε0
1
r2
(2.42)
Este e´ exatamente a expressa˜o do campo ele´trico criado por uma carga puntiforme,
tal como encontrada a partir da lei de Coulomb.
Exemplo 2:
• Vamos utilizar a lei de Gauss para determinar o campo ele´trico devido a uma linha
infinitamente longa de cargas com densidade uniforme λ .
A fim de calcular o campo ele´trico a partir da lei de Gauss para esta distribuic¸a˜o
consideremos uma superfı´cie gaussiana cilı´ndrica coaxial, com comprimento L e raio R.
Esta superfı´cie consiste de treˆs partes: as duas bases, e o comprimento. Devido a simetria
sabemos que a direc¸a˜o do campo e´ radial, logo o vetor normal e o campo ele´trico sa˜o
49
perpendiculares nas duas bases, pontos 1 e 3, logo o fluxo nessas partes e´ nulo
~E.nˆ = 0→Φ1 =Φ3 = 0 (2.43)
todavia, ao longo do lateral do cilindro, a normal e´ radial nˆ = Rˆ, logo na mesma direc¸a˜o
do campo ele´trico
~E.nˆ = ER
(
Rˆ.Rˆ
)
= ER→Φ2 =
∫
ERdA = ER (2piRL) (2.44)
Por fim, pela lei de Gauss, encontramos
Φ=Φ1 +Φ2 +Φ3 =
Q
ε0
→ ER (2piRL) = λLε0 → ER =
1
2piε0
λ
R
(2.45)
Compare esta espressa˜o com o resultado obtido a partir da aplicac¸a˜o da lei de Coulomb.
Exemplo 3:
• Vamos utilizar a lei de Gauss para determinar o campo ele´trico em todos os pon-
tos devido a uma placa muito grante (infinita), uniformemente carregada, feita de
pla´stico, com largura 2a, ocupa a regia˜o entre os planos z = −a e z = a. A carga
por unidade de volume do pla´stico e´ ρ > 0.
Pela figura, vemos que o campo ele´trico e´ paralelo a` normal nas bases da superfı´cie
cilı´ndrica, enquando eles sa˜o perpendiculares na lateral da superfı´cie. Logo
~E.nˆ = En→Φ1 =Φ3 =
∫
EndA = En
∫
dA = EnAbase (2.46)
e na lateral
~E.nˆ = 0→Φ2 = 0 (2.47)
Uma vez que a placa tem largura 2a, temos duas situac¸o˜es: z≥ a ou z≤ a, em que 2z e´ o
comprimento da superfı´cie cilı´ndrica. Desta forma, vemos que a carga lı´quida engloblada
pela superfı´cie satisfaz
Q =
 ρ (2aAbase) , z≥ aρ (2zAbase) , z≤ a
50
Portanto, coletanto todas as informac¸o˜es, temos que para |z| ≥ a
Φ=Φ1 +Φ2 +Φ3 =
Q
ε0
→ 2EnAbase = 1ε0ρ (2aAbase)→ En =
ρa
ε0
(2.48)
enquanto que para −a≤ z≤ a
Φ=Φ1 +Φ2 +Φ3 =
Q
ε0
→ 2EnAbase = 1ε0ρ (2 |z|Abase)→ En =
ρ |z|
ε0
(2.49)
Por fim, podemos resumir estes resultados como
~E = Ezzˆ =

−ρaε0 zˆ, z≤−a
ρz
ε0 , −a≤ z≤ a
+ρaε0 zˆ, z≥ a
(2.50)
ou ainda
~E =
 sign(z)
ρa
ε0 zˆ, |z| ≥ a
sign(z) ρ|z|ε0 zˆ, |z| ≤ a
O que acontece fisicamente ao considerarmos o caso de uma largura nula para a placa?
Veja que ao tomarmos o limite de a→ 0, i.e. nos aproximarmos de uma chapa de cargas
51
a partir de uma placa, temos que ρ2a→ σ . E o campo ele´trico, fora do plano, e´ o mesmo.
Exemplo 4:
• Vamos utilizar a lei de Gauss para determinar o campo ele´trico em todos os pontos
devido a uma fina casca esfe´rica carregada de raio R e carga total Q > 0.
Para esta distribuic¸a˜o de carga e´ pertinente escolhermos uma superfı´cie gaussiana
esfe´rica com raio r > R; ainda vemos que o campo ele´trico e a normal teˆm direc¸a˜o radial,
i.e. sa˜o paralelos em todos os pontos da superfı´cie.Logo
~E.nˆ = Er→Φ=
∫
ErdA = Er
∫
dA = Er
(
4pir2
)
(2.51)
Portanto, a lei de Gauss nos da´ para r > R
Φ=
Q
ε0
→ Er
(
4pir2
)
=
Q
ε0
→ Er = 14piε0
Q
r2
(2.52)
enquanto que para r < R, temos que Q = 0, enta˜o Er = 0. Podemos resumir os resultados
52
como
~E =
 14piε0 Qr2 rˆ, r > R0, r < R
Observe que o campo ele´trico e´ descontı´nuo em r = R, onde a densidade de carga na su-
perfı´cie σ = Q/
(
4piR2
)
. O campo pro´ximo a` superfı´cie interna da casca e´ zero, enquanto
pro´ximo a` superfı´cie interna da casca ele e´ Er = Q/
(
4piε0R2
)
= σ/ε0.
Exemplo 5:
• Uma casca esfe´rica de raio R = 3m tem seu centro na origem e tem uma densidade
superficial de carga σ = 3nC/m2. Uma carga puntiforme q = 250nC esta´ no eixo
y, no ponto (0,2)m. Determine o campo ele´trico no eixo x em (a) x = 2m e (b)
x = 4m.
Calcularemos, separadamente, os campos devidos a` carga puntiforme e a` casca esfe´rica,
e somaremos os campos vetoriais de acordo com o princı´pio de superposic¸a˜o.
(a) Como o ponto de interesse para calcular o campo esta´ dentro da casca, o campo
resultante e´ devido somente a` carga puntiforme. Logo, temos que
~E1 =
kq
r21
rˆ1 (2.53)
53
pela geometria do problema, vemos que r21 =(2m)
2+(2m)2 = 8m2 e tambe´m que o campo
faz um aˆngulo de α = 45o com o eixo x (tanα = 2/2 = 1). Assim, podemos calcular o
mo´dulo do campo
E1 =
(
8,99×109N.m2/C2)(250nC)
8m2
= 281N/C
Por fim, a partir destes dados, podemos expressar o campo resultante em termos de suas
componentes cartesianas
~E1 = E1xxˆ+E1yyˆ = E1 cos45oxˆ−E1 sin45oyˆ = E1√
2
(xˆ− yˆ) = 281√
2
(xˆ− yˆ)N/C
= (199xˆ−199yˆ)N/C (2.54)
(b) Fora de seu perı´metro, o campo da casca pode ser calculado como se ela fosse uma
caga puntiforme localizada no centro da casca (neste caso a origem (0,0)). A carga total
da casca e´
Q = σ
(
4piR2
)
=
(
3nC/m2
)(
4pi (3m)2
)
= 339nC (2.55)
e a distaˆncia e´ x = 4m, portanto
~EQ =
kQ
x2
xˆ =
(
8,99×109N.m2/C2)(339nC)
16m2
xˆ = (190N/C) xˆ (2.56)
Neste caso, a distaˆncia da carga ate´ o ponto e´ r22 = (2m)
2+(4m)2 = 20m2, logo o mo´dulo
do campo devido a` carga e´
Eq =
(
8,99×109N.m2/C2)(250nC)
20m2
= 112N/C (2.57)
Facilmente vemos que o campo faz um aˆngulo α = arctan
(2
4
)
= 26,6o com o eixo x.
Portanto, podemos escrever as componentes cartesianas do campo resultante como
Ex = Eq cosα+EQ = (112N/C)cos26,6o +(190N/C) = 290N/C (2.58)
Ey =−Eq sinα+0 =−(112N/C)sin26,6o =−50N/C (2.59)
54
Finalmente, temos o vetor campo ele´trico resultante~E2 = (290xˆ−50yˆ)N/C (2.60)
Exemplo 6:
• Determine o campo ele´trico devido a uma esfera so´lida uniformemente carregada
que tem raio R e uma carga total Q, distribuı´da uniformemente atrave´s do volume
da esfera cuja densidade de carga e´ ρ = Q/4piR3/3.
A configurac¸a˜o de cargas tem simetria esfe´rica, logo o campo ele´trico deve ser radial
Er. Ademais, dada esta simetria escolhemos uma superfı´cie gaussiana esfe´rica de raio r.
55
Para uma superfı´cie esfe´rica tal que r > R, em cada ponto da superfı´cie, a normal e´
nˆ = rˆ, e o fluxo e´
Φ=
∮
Eˆ.nˆdA = Er
∮
dA = Er
(
4pir2
)
(2.61)
logo, pela lei de Gauss, relacionamos
Φ=
Q
ε0
→ Er
(
4pir2
)
=
Q
ε0
→ Er = 14piε0
Q
r2
(2.62)
Todavia, a situac¸a˜o e´ diferente para r < R, i.e. a superfı´cie dentro da esfera. Neste caso, a
carga lı´quida englobada pela superfı´cie e´
Q′ = ρV ′ = ρ
(
4pir3/3
)
(2.63)
todavia, podemos escrever a densidade ρ em termos da carga total da esfera Q, assim
Q′ = ρ
(
4pir3/3
)
=
(
Q/4piR3/3
)(
4pir3/3
)
=
Qr3
R3
(2.64)
Desta forma, o campo ele´trico para r < R, e´
Φ=
Q′
ε0
→ Er
(
4pir2
)
=
Q′
ε0
→ Er = 14piε0
Q′
r2
=
1
4piε0
1
r2
Qr3
R3
=
1
4piε0
Q
R3
r (2.65)
Podemos resumir os resultados como
~E =
 14piε0 Qr2 rˆ, r ≥ R1
4piε0
Q
R3 rrˆ, r ≤ R
2.4 Descontinuidade do campo ele´trico
Vimos anteriormente que o campo ele´trico para um plano infinito de cargas e para uma
fina casca esfe´rica de cargas e´ descontı´nuo na superfı´cie com densidade de carga igual a`
σ . Todavia, podemos mostrar que este e´ um resultado geral para a componente normal do
campo ele´trico que e´ va´lido para diveras situac¸o˜es.
• Consideremos uma superfı´cie arbitra´ria com densidade superficial de carga igual a
σ .
56
• A superfı´cie e´ arbitrariamente curva, apesar de na˜o apresentar na˜o apresentar ne-
nhuma dobra agura onde a direc¸a˜o normal pudesse ser ambı´gua, e σ pode variar
continuamente na superfı´cie de um ponto a outro.
• A fim ilustrar o conceito, consideremos o campo ele´trico na vizinhanc¸a de um ponto
P na superfı´cie como a superposic¸a˜o do campo ele´trico ~Edisco, devido apenas a`
carga em um pequeno disco centro no ponto P, e o campo ele´trico ~E ′ devido a todas
as outras cargas do sistema. Assim,
~E = ~Edisco +~E ′ (2.66)
E´ importante enfatizar que o disco e´ pequeno o suficiente para que possa ser consi-
derado plano e uniformemente carregado.
• No eixo do disco, o campo ele´trico e´
Ez = sign(z)2pikσ
1− 1√
1+ a
2
z2
 (2.67)
enquanto que para pontos pro´ximos ao disco, a magnitude do campo e´ Ez = |σ |/2ε0.
• Embora a direc¸a˜o e sentido de ~Edisco sejam determinados por σ , na˜o temos ne-
nhuma informac¸a˜o sobre a direc¸a˜o e sentido de ~E ′. Todavia, na vizinhanc¸a do ponto
57
P, o campo e´ contı´nuo. Portanto, em pontos no eixo do disco e muito pro´ximos
a ele, o campo ~E ′ e´ essencialmente uniforme.
• O eixo do disco e´ normal, a` superfı´cie e assim componentes vetoriais ao longo deste
eixo podem ser referidas como componentes normais. Disto, segue que
En = Ediscon +E
′
n (2.68)
se nos referimos a um dos lador da superfı´cie como o lado +, e o outro lado comom
o lado −, enta˜o
En+ =
σ
2ε0
+E ′n+, En− =−
σ
2ε0
+E ′n+, (2.69)
Portanto, a componente normal En varia descontinuamente de um lado ao outro da
superfı´cie, i.e.
∆En = En+−En− = σ2ε0 +E
′
n+−
(
− σ
2ε0
+E ′n+
)
=
σ
ε0
(2.70)
descontiuidade de En de uma superfı´cie com densidade de carga. Fizemos uso
de que pro´ximo ao disco E ′n+ = E ′n−, pois ~E ′ e´ contı´nuo e uniforme.
• O campo ele´trico e´ descontı´nuo em qualquer posic¸a˜o onde haja uma densidade vo-
lume´trica infinita de cargas. Em geral, em todas as posic¸o˜es com uma densidade
superficial finita de cargas, e´ verdadeiro que a componente normal do campo
ele´trico e´ descontinua.
2.5 Carga e campo em superfı´cies condutoras
• Um condutor conte´m uma quantidade enorme de carga que pode se mover livre-
mente no seu interior. Se houver um campo ele´trico no interior do condutor, havera´
uma forc¸a resultante nestas cargas livres que provocara´ uma corrente ele´trica mo-
mentaˆnea (capı´tulo 25).
• Entretanto, a menos que haja uma fonte de energia para manter esta corrente, as
cargas livres no condutor meramente se redistribuira˜o de forma a criar um campo
ele´trico que cancele o campo externo no interior do condutor. diremos enta˜o, que o
58
condutor estara´ em equilı´brio eletrosta´tico. Portanto, em equilı´brio eletrosta´tico,
o campo ele´trico no interior de um condutor e´ zero em todos os pontos.
• Ademais, podemos usar a lei de Gauss para mostrar que, para um condutor em
equilı´brio eletrosta´tico, qualquer carga ele´trica resultante no condutor reside inteiramente
em sua superfı´cie.
• Consideremos uma superfı´cie gaussiana arbitra´ria completamente dentro do condu-
tor em equilı´brio eletrosta´tico. E como o campo ele´trico e´ zero em qualquer ponto
dessa superfı´cie gaussiana, segue que o flxo resultante do campo ele´trico deve ser
zero; e segundo a lei de Gauss, a carga lı´quida no interior da superfı´cie gaussiana
deve ser zero.
• Assim, concluı´mos que na˜o pode haver nenhuma carga lı´quida no interior de qualquer
superfı´cie dentro de um condutor; o que implica que se o condutor possui uma carga
resultante, ela deve residir necessariamente na superfı´cie do condutor.
Mas como fica o campo ~E fora do condutor?
Como a componente do campo ele´trico Er e´ descontı´nuo em qualquer superfı´cie carre-
gada, e como ~E e´ nulo no interior de um condutor, o campo pro´ximo a` superfı´cie exterior
de um condutor, e´ dado por
Er =
σ
ε0
campo ele´trico pro´ximo a` superfı´cie externa de um condutor.
• Podemos entender este resultado como: a carga em condutor consiste de duas partes
i) a carga pro´xima ao ponto P ii) todas as demais cargas do sistema.
• A carga pro´xima de P (ponto muito pro´ximo do disco) se assemelha a um disco
carregado uniformemente, centrado em P, que produz um campo pro´ximo de P
com magnitude σ/2ε0, tanto no lado interior como no lado exterior da superfı´cie
do condutor.
• O restante das cargas do sisema deve produzir um campo de magnitude σ/2ε0 que
cancele exatamente o campo na parte interna do condutor.
• Este campo devido ao restante das cargas se soma ao campo devido ao disco na
superfı´cie externa do condutor para produzir um campo total de σ/ε0.
59
Consideremos um sistema que consiste de uma cara puntiforme positiva q no centro de
uma cavidade esfe´rica dentro de um condutor esfe´rico.
• Como a carga lı´quida deve ser zero dentro de qualquer superfı´cie gaussiana consi-
derada no interior de um condutor, deve haver uma carga negativa −q induzida na
superfı´cie interior da cavidade.
• Podemos ainda movimentar a carga positiva q do centro para qualquer outra posic¸a˜o.
Neste caso, as linhas de campo na cavidade sa˜o alteradas e a densidade superficial
da carga negativa induzida na superfı´cie interna deixa de ser uniforme. Entretanto,
a densidade superfı´cial na parte externa na˜o e´ alterada, pois ela esta´ eletricamente
blindada da cavidade pelo material condutor.
• O campo ele´trico da carga puntiforme q e o da carga −q da superfı´cie interna da
cavidade se superpo˜em para produzir um campo resultante que e´ exatamento zero
em qualquer ponto no interior do condutor. Isto e´ verdadeiro para uma carga punti-
60
forme +q em qualquer posic¸a˜o dentro da cavidade.
• Ademais, estas afirmac¸o˜es sa˜o va´lidas mesmo que as superfı´cies interna e externa
do condutor na˜o forem esfe´ricas.
61
	I Campo elétrico
	Campo elétrico I
	Contexto Histórico
	Propriedades das cargas elétricas
	Fatos experimentais
	Condutores e isolantesMétodos de carregamento/eletrização
	Lei de Coulomb
	Força exercida por um sistema de cargas
	O campo elétrico
	Linhas de campo elétrico
	Dipolos elétricos
	O movimento de cargas sob ação de um campo elétrico 
	Dipolos em campos elétricos
	Campo elétrico II
	Calculando o campo elétrico a partir da lei de Coulomb
	Lei de Gauss
	Cálculo do campo elétrico através da lei de Gauss
	Descontinuidade do campo elétrico
	Carga e campo em superfícies condutoras