Máximos e mínimos

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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Danilo Sande
January 8, 2014
Danilo Sande Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Problemas de Otimizac¸a˜o
Quais as dimenso˜es de uma caixa retangular sem tampa com
volume 4cm3 e com a menor a´rea superficial poss´ıvel?
Danilo Sande Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Problemas de Otimizac¸a˜o
Suponha conhecido os ve´rtices de um triaˆngulo. Qual e´ o ponto
(x,y) tal que a soma dos quadrados de suas distaˆncias aos ve´rtices
seja a menor poss´ıvel?
Danilo Sande Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Problemas de Otimizac¸a˜o
Um galpa˜o retangular deve ser constru´ıdo em um terreno com a
forma de um triaˆngulo, conforme a figura abaixo. Qual a a´rea
ma´xima poss´ıvel para o galpa˜o?
Danilo Sande Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Para resolver problemas de maximizac¸a˜o e minimizac¸a˜o, precisamos antes
conhecer ma´ximos e m´ınimos de func¸o˜es...
Definic¸a˜o de ma´ximos e m´ınimos
a) Uma func¸a˜o de duas varia´veis possui um ma´ximo local em (a,b) se
f (x , y) ≤ f (a, b) quando (x,y) esta´ pro´ximo de (a,b). O nu´mero f(a,b) e´
chamado valor ma´ximo local.
b) Se f (x , y) ≥ f (a, b) quando (x,y) esta´ pro´ximo de (a,b), enta˜o f
possui um m´ınimo local em (a,b) e f(a,b) e´ um valor m´ınimo local.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Definic¸a˜o de ma´ximos e m´ınimos
Se as definic¸o˜es apresentadas valerem para todos os pontos (x,y) do
dom´ınio de f, enta˜o f tem um ma´ximo absoluto (ou m´ınimo absoluto)
em (a,b).
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Condica˜o para a existeˆncia de ponto extremante
Seja f : U ⊂ R2 → R um func¸a˜o diferencia´vel no conjunto aberto
U e (xo , yo) ∈ U um ponto extremo local de f. Enta˜o:
∂f
∂x
(xo , yo) = 0 e
∂f
∂y
(xo , yo) = 0
*Podemos ter fx = fy = 0 e na˜o ser um extremo relativo, mas se
for extremo relativo e a func¸a˜o for diferencia´vel, enta˜o fx = fy = 0.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Pontos cr´ıticos
Seja z = f (x , y) definida em um conjunto aberto U ⊂ R2. Um
ponto (xo , yo) e´ um ponto cr´ıtico de f, se as derivadas parciais
∂f
∂x (xo , yo) e
∂f
∂y (xo , yo) forem nulas ou se f na˜o for diferencia´vel em
(xo , yo).
Geometricamente, um ponto cr´ıtico e´ aquele no qual o gra´fico da
func¸a˜o na˜o tem plano tangente ou o plano tangente e´ horizontal.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Pontos cr´ıticos
Um ponto cr´ıtico que na˜o e´ ma´ximo nem m´ınimo local, e´ chamado
de ponto de sela.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Obtendo pontos cr´ıticos
Encontre os pontos cr´ıticos das func¸o˜es:
1) f (x , y) = 15xy2 − 4x3 + 15y3 + 48x − 6
2) f (x , y) = x2 + y2 − 2x − 6y + 14
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Classificac¸a˜o de pontos cr´ıticos
Seja z = f (x , y) uma func¸a˜o cujas derivadas parciais de 1a e 2a
ordem sejam cont´ınuas em um conjunto aberto U ⊂ R2 e
(xo , yo) ∈ U um ponto cr´ıtico de f.
Denotamos por H(xo , yo) o determinante da matriz Hessiana de f
no ponto (xo , yo):
H(xo , yo) =
∣∣∣∣ fxx(xo , yo) fxy (xo , yo)fxy (xo , yo) fyy (xo , yo)
∣∣∣∣ = fxx fyy − [fxy ]2
enta˜o...
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Classificac¸a˜o de pontos cr´ıticos
H(xo , yo) =
∣∣∣∣ fxx(xo , yo) fxy (xo , yo)fxy (xo , yo) fyy (xo , yo)
∣∣∣∣ = fxx fyy − [fxy ]2
(a) Se H(xo , yo) > 0 e fxx(xo , yo) > 0, enta˜o (xo , yo) e´ um ponto
de m´ınimo local de f.
(b) Se H(xo , yo) > 0 e fxx(xo , yo) < 0, enta˜o (xo , yo) e´ um ponto
de ma´ximo local de f.
(c) Se H(xo , yo) < 0, enta˜o (xo , yo) e´ um ponto de sela de f.
(d) Se H(xo , yo) = 0, nada se pode afirmar: f pode ter um
ma´ximo, m´ınimo ou ponto de sela em (xo , yo).
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplos
Classifique os pontos cr´ıticos das func¸o˜es:
1) f (x , y) = 15xy2 − 4x3 + 15y3 + 48x − 6;
2) f (x , y) = x2 + y2 − 2x − 6y + 14.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Interpretac¸a˜o geome´trica envolvendo pontos cr´ıticos
Qual o parabolo´ide que melhor se aproxima do gra´fico da func¸a˜o
pro´ximo de um ponto cr´ıtico?
Parabolo´ide el´ıptico para cima
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Interpretac¸a˜o geome´trica envolvendo pontos cr´ıticos
Parabolo´ide el´ıptico para baixo
Parabolo´ide hiperbo´lico
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Interpretac¸a˜o geome´trica envolvendo pontos cr´ıticos
O parabolo´ide que melhor se aproxima do gra´fico de f(x,y) pro´ximo
ao ponto cr´ıtico (xo , yo) e´ o gra´fico da func¸a˜o polinomial:
P(x , y) = 12Ax
2 + Bxy + 12Cy
2 + Dx + Fy + G .
Se o gra´fico da func¸a˜o polinomial se aproxima do gra´fico da func¸a˜o
dada, enta˜o, no ponto cr´ıtico as derivadas das func¸o˜es sa˜o iguais:
Px(xo , yo) = fx(xo , yo)
Py (xo , yo) = fy (xo , yo)
Pxx(xo , yo) = fxx(xo , yo)
Pyy (xo , yo) = fyy (xo , yo)
Pxy (xo , yo) = fxy (xo , yo)
→
Axo + Byo + D = fx(xo , yo)
Bxo + Cyo + F = fy (xo , yo)
A = fxx(xo , yo)
C = fyy (xo , yo)
B = fxy (xo , yo)
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Interpretac¸a˜o geome´trica envolvendo pontos cr´ıticos
As curvas de n´ıvel do parabolo´ide sa˜o obtidas por
P(x , y) = 12Ax
2 + Bxy + 12Cy
2 + Dx + Fy + G = cte.
Relembrando geometria anal´ıtica:
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Interpretac¸a˜o geome´trica envolvendo pontos cr´ıticos
No nosso caso, se:
B2 − 4(12A)(12C ) = B2 − AC > 0 e´ uma hipe´rbole;
B2 − AC < 0 e´ uma elipse;
B2 − AC = 0 e´ uma para´bola.
Como obtemos A = fxx(xo , yo), C = fyy (xo , yo) e B = fxy (xo , yo),
enta˜o:
Se tivermos B2 − AC = f 2xy − fxx fyy > 0, ou seja,
H = fxx fyy − f 2xy < 0, temos que as curvas de n´ıvel sa˜o hipe´rboles,
nosso gra´fico se aproximara´ de um parabolo´ide hiperbo´lico pro´ximo
do ponto cr´ıtico e assim temos um ponto de sela.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Interpretac¸a˜o geome´trica envolvendo pontos cr´ıticos
A = fxx(xo , yo), C = fyy (xo , yo) e B = fxy (xo , yo)
B2 − AC < 0 e´ uma elipse;
B2 − AC = 0 e´ uma para´bola.
Se tivermos B2 − AC = f 2xy − fxx fyy < 0, ou seja,
H = fxx fyy − f 2xy > 0, com A = fxx > 0, temos que as curvas de
n´ıvel sa˜o elipses, nosso gra´fico se aproximara´ de um parabolo´ide
el´ıptico com a concavidade para cima pro´ximo do ponto cr´ıtico e
assim temos um ponto de m´ınimo.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veisInterpretac¸a˜o geome´trica envolvendo pontos cr´ıticos
A = fxx(xo , yo), C = fyy (xo , yo) e B = fxy (xo , yo)
B2 − AC < 0 e´ uma elipse;
B2 − AC = 0 e´ uma para´bola.
Se tivermos B2 − AC = f 2xy − fxx fyy < 0, ou seja,
H = fxx fyy − f 2xy > 0, com A = fxx < 0, temos que as curvas de
n´ıvel sa˜o elipses, nosso gra´fico se aproximara´ de um parabolo´ide
el´ıptico com a concavidade para baixo pro´ximo do ponto cr´ıtico e
assim temos um ponto de ma´ximo.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Interpretac¸a˜o geome´trica envolvendo pontos cr´ıticos
A = fxx(xo , yo), C = fyy (xo , yo) e B = fxy (xo , yo)
B2 − AC = 0 e´ uma para´bola.
Se tivermos B2 − AC = f 2xy − fxx fyy = 0, ou seja,
H = fxx fyy − f 2xy = 0, as curvas de n´ıvel sa˜o para´bolas, o gra´fico e´
um cilindro parabo´lico, nada podendo ser conclu´ıdo.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Obtendo ma´ximos e m´ınimos absolutos
*Conjunto fechado: Conte´m todos os pontos de suas fronteiras
*Conjunto limitado: E´ aquele que esta´ contido em algum disco do
R2, ou seja, e´ finito em extensa˜o.
Teorema do valor extremo para as func¸o˜es de duas varia´veis
(Teorema de Weierstrass): Se f for cont´ınua em um conjunto
fechado e limitado D de R2, enta˜o f assume um valor ma´ximo
absoluto f (x1, y1) e um valor m´ınimo absoluto f (x2, y2) em alguns
pontos (x1, y1) e (x2, y2) de D.
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Obtendo ma´ximos e m´ınimos absolutos
Para determinar os valores ma´ximos e m´ınimos absolutos de uma
func¸a˜o cont´ınua f em um conjunto fechado e limitado D, segue-se
os seguintes passos:
1) Determina-se os valores de f nos pontos cr´ıticos de f em D;
2) Determina-se os valores extremos de f na fronteira de D;
3) O maior valor dos passos 1 e 2 e´ o valor ma´ximo absoluto e o
menor desses valores e´ o valor m´ınimo absoluto.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplo 3
Determine os valores ma´ximos e m´ınimos absolutos da func¸a˜o
f (x , y) = x2 − 2xy + 2y no retaˆngulo
D = {(x , y)/0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 2}.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Aplicac¸o˜es de ma´ximos e m´ınimos
4) Quais as dimenso˜es de uma caixa retangular sem tampa com
volume 4cm3 e com a menor a´rea superficial poss´ıvel?
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Aplicac¸o˜es de ma´ximos e m´ınimos
5) Suponha conhecido os ve´rtices de um triaˆngulo. Qual e´ o ponto
(x,y) tal que a soma dos quadrados de suas distaˆncias aos ve´rtices
seja a menor poss´ıvel?
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Aplicac¸o˜es de ma´ximos e m´ınimos
6) A temperatura T em um ponto qualquer do plano e´ dada por
T = 3y2 + x2 − x . Qual a temperatura ma´xima e m´ınima em um
disco fechado de raio 1 centrado na origem?
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Ma´ximos e Mı´nimos condicionados
Consideremos os seguintes problemas:
(1) Ma´x f (x , y) = 4− x2 − y2
(2) Ma´x f (x , y) = 4− x2 − y2, onde x+y=2.
O problema (1) se resolve com os me´todos ja´ vistos.
O problema (2) e´ um problema de otimizac¸a˜o restrita, onde temos
um v´ınculo, que restringe os poss´ıveis valores de soluc¸a˜o.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Ma´ximos e Mı´nimos condicionados
Para resolver problemas de otimizac¸a˜o com v´ınculo, usamos o me´todo
dos multiplicadores de Lagrange:
Considere o seguinte problema:
Ma´x f(x,y), com v´ınculo g(x,y)=0.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Ma´ximos e Mı´nimos condicionados
O valor ma´ximo de f(x,y) sobre a curva g(x,y)=0 coincide com o
maior valor de k tal que a curva f(x,y)=k intercepta a curva
g(x,y)=0. Isso ocorre em um ponto P, nesse ponto, as duas curvas
possuem a mesma reta tangente t.
Como ~∇f e ~∇g sa˜o perpendiculares a` reta t, eles teˆm a mesma
direc¸a˜o no ponto P, ou seja, ~∇f = λ~∇g , para algum real λ.
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Ma´ximos e Mı´nimos condicionados
Resumindo: O me´todo dos multiplicadores de Lagrange serve para
resolver problemas de otimizac¸a˜o com v´ınculos atrav´es da resoluc¸a˜o
do sistema ~∇f = λ~∇g → ∂f∂x = λ∂g∂x , ∂f∂x = λ∂g∂x e g(x , y) = 0.
*A classificac¸a˜o dos pontos obtidos e´ feita de forma geome´trica, a
matriz Hessiana na˜o tem sentido.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplos
7) Calcule o Ma´x f (x , y) = 4− x2 − y2, onde x+y=2;
8) Um galpa˜o retangular deve ser constru´ıdo em um terreno com a
forma de um triaˆngulo, conforme a figura abaixo. Qual a a´rea
ma´xima poss´ıvel para o galpa˜o?
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplos
9) Determine o ponto da curva y2 = 4x , no 1o quadrante, cuja
distaˆncia ate´ o ponto Q(4,0) seja m´ınima;
10) Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas
retangulares de volume V = 64cm3. Se o custo do material usado
na fabricac¸a˜o da caixa e´ de R$0,50 por cent´ımetro quadrado,
determine as dimenso˜es da caixa que tornem m´ınimo o custo do
material usado na fabricac¸a˜o.
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Problemas com dois v´ınculos
Para resolver problemas do tipo:
Ma´x f(x,y,z), onde g(x , y , z) = 0 e h(x , y , z) = 0 sa˜o v´ınculos,
utilizamos o mesmo racioc´ınio:
~∇f (xo , yo , zo) = λ~∇g(xo , yo , zo) + µ~∇h(xo , yo , zo)
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Problemas com dois v´ınculos
~∇f (xo , yo , zo) = λ~∇g(xo , yo , zo) + µ~∇h(xo , yo , zo);
Que e´ o mesmo que resolver o sistema de equac¸o˜es:
fx = λgx + µhx
fy = λgy + µhy
fz = λgz + µhz
g(x , y , z) = 0
h(x , y , z) = 0
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Ma´ximos e M´ınimos de func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplo 11
Determine o ponto da reta de intersec¸a˜o dos planos x+y+z=2 e
x+3y+2z=12 que esteja mais pro´ximo da origem.
Soluc¸a˜o:
A distaˆncia de um ponto P(x,y,z) a` origem e´ d =
√
x2 + y2 + z2,
vamos minimizar o quadrado da distaˆncia:
Mı´n f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 com os v´ınculos
g(x , y , z) = x + y + z − 2 = 0 e
h(x , y , z) = x + 3y + 2z − 12 = 0. Resolvendo as equac¸o˜es:
fx = λgx + µhx
fy = λgy + µhy
fz = λgz + µhz
g(x , y , z) = 0
h(x , y , z) = 0
→
2x = λ+ µ
2y = λ+ 3µ
2z = λ+ 2µ
x + y + z − 2 = 0
x + 3y + 2z − 12 = 0
→
2x − λ− µ = 0
2y − λ− 3µ = 0
2z − λ− 2µ = 0
x + y + z − 2 = 0
x + 3y + 2z − 12 = 0
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Exemplo 11
A soluc¸a˜o do sistema anterior e´ x = −103 , y =
14
3 , z =
2
3 , λ =
−44
3
e µ = 8.
Assim, o ponto P(−103 ,
14
3 ,
2
3) e´ o u´nico extremo condicionado de f,
e e´ m´ınimo. d2 = 33, 3...
Pode-se testar outros pontos, que satisfac¸am ascondic¸o˜es, para
verificar se o resultado obtido e´ m´ınimo, por exemplo (-7,1,8)
resulta d2 = 114.
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