aula 27 - Cálculo Vetorial

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Ca´lculo Vetorial
Ca´lculo Vetorial
Danilo Sande
January 15, 2014
Danilo Sande Ca´lculo Vetorial
Ca´lculo Vetorial
Campo Vetorial
Divergeˆncia de um Campo Vetorial
Rotacional de um Campo Vetorial
Campos Conservativos
Ca´lculo Vetorial
Definic¸a˜o de func¸a˜o vetorial de va´rias varia´veis
Se ~f e´ uma func¸a˜o vetorial das varia´veis x, y e z, definida em um
dom´ınio D ⊂ R3, ela pode ser expressa na forma:
~f (x , y , z) = f1(x , y , z)~i + f2(x , y , z)~j + f3(x , y , z)~k , onde f1, f2 e f3
sa˜o func¸o˜es escalares definidas em D (func¸o˜es coordenadas).
Ex: ~f (x , y , z) = xz~i + xy~j + 2z~k
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Definic¸a˜o de Campo Vetorial
Seja D uma regia˜o no espac¸o e seja ~f uma func¸a˜o vetorial definida
em D. Enta˜o, a cada ponto P ∈ D, ~f associa um u´nico vetor ~f (P).
A regia˜o D, juntamente com os correspondentes vetores ~f (P),
constitui um campo vetorial.
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Exemplos de Campo Vetorial
Seja D a atmosfera terrestre. A cada ponto P ∈ D associamos o
vetor ~v(P) que representa a velocidade do vento em P. Enta˜o ~v
define um campo vetorial em D, chamado campo de velocidades.
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Exemplos de Campo Vetorial
~f (x , y) = x~i
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~r = x~i + y~j
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~f (x , y , z) = −k ~r|~r |3
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Exemplos de Campo Vetorial
~f (x , y) = 1x , onde x > 0 e −a ≤ y ≤ a.
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Definic¸a˜o de Divergente
Seja ~f (x , y , z) = f1(x , y , z)~i + f2(x , y , z)~j + f3(x , y , z)~k um campo
vetorial definido em um dom´ınio D. Se existem e sa˜o cont´ınuas as
derivadas ∂f1∂x ,
∂f2
∂y e
∂f3
∂z , definimos a divergeˆncia do campo vetorial
~f , denotada por div ~f ou ~∇.~f , como a func¸a˜o escalar:
~∇.~f = ( ∂
∂x
~i +
∂
∂y
~j +
∂
∂z
~k).(f1~i + f2~j + f3~k) =
∂f1
∂x
+
∂f2
∂y
+
∂f3
∂z
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Exemplo de divergente
Dado o campo vetorial ~f (x , y , z) = 2x4~i + exy~j + xyz~k , calcule ~∇.~f
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Propriedades
Sejam ~f = (f1, f2, f3) e ~g = (g1, g2, g3) func¸o˜es vetoriais definidas
em um dom´ınio D e suponhamos que ~∇.~f e ~∇.~g existam. Enta˜o:
a) ~∇.(~f ± ~g) = ~∇.~f ± ~∇.~g ;
b) ~∇.(h~f ) = h~∇.~f + (~∇h).~f , onde h = h(x , y , z) e´ uma func¸a˜o
diferencia´vel em D.
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Laplaciano
Supondo que existam as derivadas de segunda ordem de f (func¸a˜o
escalar), podemos determinar o ~∇.(~∇f ):
~∇.(~∇f ) = ( ∂∂x ~i + ∂∂y ~j + ∂∂z ~k).(∂f∂x ~i + ∂f∂y ~j + ∂f∂z ~k)
~∇.(~∇f ) = ∂∂x (∂f∂x ) + ∂∂y ( ∂f∂y ) + ∂∂z (∂f∂z ) = ∂
2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
+ ∂
2f
∂z2
~∇.(~∇f ) = ∇2f (Laplaciano de f)
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Interpretac¸a˜o f´ısica do divergente
Imaginemos um escoamento de fluido compress´ıvel como na figura
a seguir:
* O escoamento e´ laminar (na˜o turbulento, as ”camadas” de fluido na˜o
se cruzam);
* As linhas da figura representam a densidade de fluidos, quanto mais
pro´ximas, maior a densidade de fluido na regia˜o.
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Interpretac¸a˜o f´ısica do divergente
Exemplo de fluido laminar e na˜o laminar:
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Interpretac¸a˜o f´ısica do divergente
Pela eq. da continuidade (conservac¸a˜o de massa):
∂ρ
∂t = −~∇.~u, onde ~u = ρ~v .
Dessa eq. vemos que a divergeˆncia de ~u surge como uma medida
da taxa de variac¸a˜o da densidade do fluido em um ponto.
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Interpretac¸a˜o f´ısica do divergente
∂ρ
∂t = −~∇.~u
* Se ~∇.~u > 0, temos ∂ρ∂t < 0, logo, o fluido fica menos denso.
Isso ocorre de B para C.
Temos uma divergeˆncia positiva, o fluido expande.
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Interpretac¸a˜o f´ısica do divergente
∂ρ
∂t = −~∇.~u
* Se ~∇.~u < 0, temos ∂ρ∂t > 0, logo, o fluido fica mais denso.
Isso ocorre de A para B.
Temos uma divergeˆncia negativa (convergeˆncia), o fluido
comprimiu.
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Interpretac¸a˜o f´ısica do divergente
∂ρ
∂t = −~∇.~u
* Se ~∇.~u = 0, temos ∂ρ∂t = 0, logo, o fluxo de fluido se mante´m.
Ale´m disso, se P = cte, temos fluido incompress´ıvel.
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Exemplo 1
Um campo de escoamento compress´ıvel e´ descrito por
~u = ρ~v = 2xe−t~i − xye−t~j , onde x e y sa˜o coordenadas emmetros,
t e´ o tempo em segundos, ρ e ~v esta˜o em Kg/m3 e m/s
respectivamente.
Calcule a taxa de variac¸a˜o da densidade ρ em relac¸a˜o ao tempo,
no ponto P(3,2), para t = 0.
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Definic¸a˜o de Rotacional
Seja ~f (x , y , z) = f1(x , y , z)~i + f2(x , y , z)~j + f3(x , y , z)~k um campo
vetorial definido em um dom´ınio D, com derivadas de primeira
ordem cont´ınuas em D. Definimos o rotacional de ~f , denotado por
rot ~f ou ~∇x~f como a func¸a˜o vetorial:
~∇x~f =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
f1 f2 f3
∣∣∣∣∣∣
~∇x~f =
(
∂f3
∂y − ∂f2∂z
)
~i +
(
∂f1
∂z − ∂f3∂x
)
~j +
(
∂f2
∂x − ∂f1∂y
)
~k
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Exemplo 2
Seja ~f = xy2z~i + xyz~j + 3xy~k, determine ~∇x~f .
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Propriedades
Sejam ~f (x , y , z) = (f1, f2, f3) e ~g(x , y , z) = (g1, g2, g3) func¸o˜es
vetoriais definidas em um dom´ınio D com derivadas parciais de
primeira ordem cont´ınuas em D. Enta˜o:
a) ~∇x(~f + ~g) = ~∇x~f + ~∇x~g
b) ~∇x(h~f ) = h~∇x~f + (~∇h)x~f , onde h = h(x , y , z).
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Poss´ıveis interpretac¸o˜es f´ısicas do rotacional
* Na mecaˆnica de fluidos, se ~∇x~v = ~0, onde ~v e´ um campo de
velocidades, dizemos que o fluxo e´ irrotacional. Nesse caso, o
rotacional pode ser interpretado como uma medida do momento
angular de um fluido.
*A equac¸a˜o ~∇x ~E = ~0, onde ~E e´ o campo ele´trico, caracteriza que
somente forc¸as eletrosta´ticas esta˜o presentes no campo ele´trico.
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Exemplo 2
Um escoamento e´ representado pelo campo de velocidade
~v = 10x~i − 10y~j + 30~k. Verifique se o escoamento e´:
a) Um poss´ıvel escoamento incompress´ıvel;
b) Irrotacional.
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Exemplo 3
Dado o campo ele´trico por ~E = −~∇V , onde V = Qr e
r =
√
x2 + y2. Verifique que ~∇x ~E = ~0 fora da origem.
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Seja ~f e´ um campo vetorial em um dom´ınio U. Se u = u(x , y , z) e´
uma func¸a˜o diferencia´vel em U tal que ~f = ~∇u, dizemos que ~f e´
um campo conservativo e a func¸a˜o u e´ chamada de func¸a˜o
potencial de ~f em U.
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Exemplo
O campo vetorial ~f = (4x + 5yz)~i + 5xz~j + 5xy~k e´ um campo
conservativo, pois a func¸a˜o u = 2x2 + 5xyz e´ diferencia´vel em R3 e
o seu gradiente e´ ~f . Portanto, u e´ uma func¸a˜o potencial para ~f .
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Teorema: Seja ~f = (f1, f2, f3) um campo vetorial cont´ınuo em um
dom´ınio U, com derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas em
U. Se ~f admite uma func¸a˜o potencial u, enta˜o ~∇x~f = ~0 para
qualquer (x , y , z) ∈ U.
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~∇x~f = ~0 implica:
~∇x~f =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
f1 f2 f3
∣∣∣∣∣∣ = ~0→
∂f3
∂y =
∂f2
∂z
∂f1
∂z =
∂f3
∂x
∂f2
∂x =
∂f1
∂y
Quando essas condic¸o˜es sa˜o satisfeitas, ~f admite uma func¸a˜o
potencial u, ou seja, e´ conservativo.
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Exemplo 4
Verifique se os campos a seguir sa˜o conservativos em R3:
a) ~f = 2x2y~i + 5xz~j + x2y2~k
b) ~f = (4xy + z)~i + 2x2~j + x~k
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Ca´lculo de uma func¸a˜o Potencial
Supondo que ~f = (f1, f2, f3) e´ o gradiente de uma func¸a˜o potencial
u em um dom´ınio U ⊂ R3, podemos determinar u, usando as
igualdades:
~∇u = ~f →
∂u
∂x = f1
∂u
∂y = f2
∂u
∂z = f3
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Exemplo 5
Verifique se ~f = (yz + 2)~i + (xz + 1)~j + (xy + 2z)~k e´ conservativo,
e se for, calcule a sua func¸a˜o potencial associada.
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Exemplo 6
Calcule o gradiente, o divergente, o laplaciano e o rotacional das
func¸o˜es:
g(x , y , z) = x2yz + exyz + 2z2y e ~f = (4xy + z)~i + 2x2~j + x~k.
Caso o campo vetorial apresentado seja conservativo, calcule a sua
func¸a˜o potencial associada.
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