Integrais duplas

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Integrais Duplas
Integrais Duplas
Danilo Sande
January 13, 2014
Danilo Sande Integrais Duplas
Integrais Duplas
Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
Propriedades das Integrais Duplas
Ca´lculo das Integrais Duplas
Mudanc¸a de varia´veis em Integrais Duplas
Aplicac¸o˜es
Integrais Duplas
Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
Uma integral dupla de uma func¸a˜o positiva e´ um volume, que e´ o
limite das somas dos volumes de colunas retangulares.
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Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
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Aplicac¸o˜es
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Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
Considere uma func¸a˜o z = f (x , y) positiva, definida em uma
regia˜o fechada e limitada de R do plano xy conforme a figura:
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Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
Trac¸ando retas paralelas aos eixos x e y, cobrimos a regia˜o R por
pequenos retaˆngulos.
Vamos considerar somente os retaˆngulos Ri que esta˜o totalmente
contidos em R, enumerando-os de 1 ate´ n.
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Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
Em cada retaˆngulo Ri , escolhemos um ponto (xi , yi ) e formamos a
soma:
n∑
i=1
f (xi , yi )∆Ai , onde ∆Ai = ∆xi∆yi a´ a a´rea do retaˆngulo Ri .
Ou
n∑
i=1
m∑
j=1
f (xij , yij)∆x∆y , se xij ∈ [xi−1, xi ] e yij ∈ [yi−1, yi ].
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Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
Tomando as dimenso˜es dos retaˆngulos cada vez menores, tal que a
diagonal ma´xima de Ri tenda a zero quando n→∞, temos:
lim
n→∞
n∑
i=1
f (xi , yi )∆Ai , se esse limite existe, e´ chamado de integral dupla
de f(x,y) sobre a regia˜o R, e denotamos por
∫∫
R
f (x , y)dA ou∫∫
R
f (x , y)dxdy .
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Sendo f (x , y) e g(x , y) cont´ınuas sobre a regia˜o R:
a)
∫∫
R
kf (x , y)dA = k
∫∫
R
f (x , y)dA, para todo K real;
b)
∫∫
R
[f (x , y) + g(x , y)]dA =
∫∫
R
f (x , y)dA +
∫∫
R
g(x , y)dA;
c) Se f (x , y) ≥ g(x , y) para todo (x , y) ∈ R, enta˜o:∫∫
R
f (x , y)dA ≥
∫∫
R
g(x , y)dA;
d) Se f (x , y) ≥ 0 para todo (x , y) ∈ R, enta˜o:
∫∫
R
f (x , y)dA ≥ 0;
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Sendo f (x , y) e g(x , y) cont´ınuas sobre a regia˜o R:
e) Se a regia˜o R e´ composta de duas sub-regio˜es R1 e R2 que na˜o
possuem pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de
suas fronteiras, enta˜o:∫∫
R
f (x , y)dA =
∫∫
R1
f (x , y)dA +
∫∫
R2
f (x , y)dA.
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Quando temos uma regia˜o de integrac¸a˜o de um dos seguintes tipos:
Tipo 1
{
f1(x) ≤ y ≤ f2(x)
a ≤ x ≤ b
}
, com f1(x) e f2(x) cont´ınuas em
[a,b];
Tipo 2
{
g1(y) ≤ x ≤ g2(y)
c ≤ y ≤ d
}
, com g1(y) e g2(y) cont´ınuas em
[c,d].
Podemos calcular as integrais duplas de uma forma simples,
atrave´s de duas integrais sucessivas:
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Se R e´ do tipo 1:
A integral dupla
∫∫
R f (x , y)dxdy e´ calculada por meio da seguinte
integral, dita iterada:∫ b
a
{∫ f2(x)
f1(x)
f (x , y)dy
}
dx
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Se R e´ do tipo 2:
A integral dupla
∫∫
R f (x , y)dxdy e´ calculada do seguinte modo:∫ d
c
{∫ g2(y)
g1(y)
f (x , y)dx
}
dy
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Exemplo 1
Calcule o volume do so´lido delimitado superiormente pelo gra´fico
de z = 4− x − y , inferiormente pela regia˜o R delimitada por
x = 0, x = 2, y = 0 e y = x4 +
1
2 e lateralmente pelo cilindro
vertical cuja base e´ o contorno de R.
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Exemplo 2
Calcule a integral I =
∫∫
R(x + y)dA, onde R e´ a regia˜o limitada
por y = x2 e y = 2x .
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Exemplo 3
Calcule a integral I =
∫ 1
0
∫ 4
4x
e−y
2
dydx .
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Exemplo 4
Descreva a regia˜o de integrac¸a˜o da integral∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
f (x , y)dydx e inverta a ordem de integrac¸a˜o.
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Exemplo 5
Calcule
∫∫
R xydA, onde R e´ o triaˆngulo OAB da figura:
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Mudanc¸a de varia´veis em Integrais Duplas
A mudanc¸a de varia´veis na integral de func¸o˜es de uma varia´vel e´
normalmente apresentada assim:∫ b
a
f (g(x))g ′(x)dx =
∫ d
c
f (u)du, onde u = g(x).
Vamos apresenta´-la assim:∫ b
a
f (x)dx =
∫ d
c
f (g(t))g ′(t)dt, onde x = g(t).
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Exemplo 6Calcule
∫ d
c
(2t + 2) sin(t2 + 2t)dt
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Para integrais duplas, a transformac¸a˜o e´ parecida, podemos fazer a
seguinte mudanc¸a de varia´veis: x = x(u, v) e y = y(u, v), de tal
modo que uma integral dupla sobre uma regia˜o R do plano xy
possa ser transformada em uma integral dupla sobre uma regia˜o R’
do plano uv.
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Sendo as func¸o˜es u, v, x e y cont´ınuas, com derivadas parciais
cont´ınuas em R’ e R, temos:∫∫
R
f (x , y)dxdy =
∫∫
R′
f (x(u, v), y(u, v))
∣∣∣∂(x ,y)∂(u,v)∣∣∣ dudv ,
onde
∣∣∣∂(x ,y)∂(u,v)∣∣∣ e´ o determinante Jacobiano de x e y em relac¸a˜o a u e
v, dado por:∣∣∣∂(x ,y)∂(u,v)∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣.
O Jacobiano pode ser interpretado como uma medida de quanto a
transformac¸a˜o x = x(u, v) e y = y(u, v) modifica a a´rea de uma
regia˜o.
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Exemplo resolvido
Calcule a a´rea delimitada pela elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 usando integrais
duplas.
Soluc¸a˜o: A a´rea* e´ dada por
∫∫
R
dxdy , onde R e´ delimitada pela
eq. da elipse.
Fazendo a transformac¸a˜o u = xa e v =
y
b , obtemos R’ como um
disco centrado na origem de raio 1 no plano uv:
R :
x2
a2
+
y2
b2
≤ 1→ R ′ : u2 + v2 ≤ 1
*A a´rea de uma regia˜o R atrave´s de integrais duplas e´ calculada fazendo
f (x , y) = 1.
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Exemplo resolvido
Da transformac¸a˜o, obtemos: dx = adu e dy = adv , logo,
dxdy = abdudv , assim, a integral fica
∫∫
R
dxdy = ab
∫∫
R′
dudv
Podemos modificar novamente para o plano xy com u = x e v = y ,
ficando com uma circunfereˆncia centrada na origem do plano
cartesiano com raio 1, a integral representa sua a´rea, logo vale pi.
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Exemplo resolvido∫∫
R
dxdy = ab
∫∫
R′
dudv = ab
∫∫
R′′
dxdy = abpi
*Outro modo de resolver
∫∫
R′′
dxdy e´ atrave´s de polares:∫∫
R′′
dxdy =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
rdrdθ = pi
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Exemplo resolvido
Podemos concluir da figura anterior que o fator de escala das
a´reas, ou seja, o determinante Jacobiano da transformac¸a˜o e´ ab
(AR = abAR′′). Pod´ıamos ter calculado do seguinte modo:∣∣∣∂(x ,y)∂(u,v)∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a 00 b
∣∣∣∣ = ab.
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Mudanc¸a de varia´veis em Integrais Duplas - Coordenadas polares
As equac¸o˜es x = r cos θ e y = r sin θ podem ser pensadas como
uma transformac¸a˜o que leva os pontos (r , θ) do plano rθ a` pontos
(x,y) do plano xy. O Jacobiano nesse caso e´:∣∣∣∂(x ,y)∂(r ,θ) ∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∂x∂r ∂x∂θ∂y
∂r
∂y
∂θ
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ
∣∣∣∣ = r cos2 θ+r sin2 θ = r .
Assim, a integral dupla fica:∫∫
R
f (x , y)dxdy =
∫∫
R′
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ.
* Deve-se considerar r ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 2pi ou r ≥ 0 e −pi ≤ θ ≤ pi
para evitar pontos desnecessa´rios nas integrais.
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Interpretac¸a˜o geome´trica do Jacobiano - Coordenadas polares
Considere f(x,y) cont´ınua.
O retaˆngulo de a´rea ∆A′ = ∆r∆θ, na regia˜o R’, esta´ em
correspondeˆncia com o ”retaˆngulo polar” de a´rea ∆A, da regia˜o R.
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Interpretac¸a˜o geome´trica do Jacobiano - Coordenadas polares
Queremos calcular a a´rea ∆A, para isso vamos relembrar a´rea de
setor circular:
pir2 −−− 2pi
Asc −−−∆θ → Asc =
r2∆θ
2 , assim:
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Interpretac¸a˜o geome´trica do Jacobiano - Coordenadas polares
∆A = (r+∆r)
2∆θ
2 − r
2∆θ
2 =
[r+(r+∆r)]
2 ∆r∆θ = r¯∆A
′, onde r¯ e´ o
raio me´dio entre r e r + ∆r .
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Interpretac¸a˜o geome´trica do jacobiano - Coordenadas polares
A expressa˜o ∆A = r¯∆A′ mostra que o Jacobiano r e´ um fator de
ampliac¸a˜o (ou reduc¸a˜o) de a´reas.
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Exemplos
7) Calcule I =
∫∫
R
√
x2 + y2dxdy , sendo R o c´ırculo de centro na
origem e raio 2.
8) Calcule I =
∫∫
R
ex
2+y2dxdy , onde R e´ delimitado por
x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
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Exemplos
9) Usando coordenadas polares, escreva na forma de uma integral
iterada, a integral:
I =
∫∫
R
f (x , y)dxdy , onde R e´ a regia˜o delimitada por
x2 + y2 − ay = 0, com a > 0.
10) Calcular I =
∫∫
R
[(x − 2)2 + (y − 2)2]dxdy , onde R e´ a regia˜o
delimitada pela circunfereˆncia (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4.
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Aplicac¸o˜es: Ca´lculo de volume
Vimos que para f (x , y) ≥ 0, a integral V =
∫∫
R
f (x , y)dA e´ o
volume do so´lido delimitado superiormente pelo gra´fico de
z = f (x , y), inferiormente pela regia˜o R e lateralmente pelo
cilindro vertical cuja base e´ o contorno de R.
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Aplicac¸o˜es: Ca´lculo de volume
11) Calcule o volume do so´lido acima do plano xy e delimitado por
z = 4− 2x2 − 2y2.
12) Calcule o volume do so´lido delimitado por y + z = 2 e pelo
cilindro que contorna a regia˜o delimitada por y = x2 e x = y2, no
primeiro octante.
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Aplicac¸o˜es: Ca´lculo de volume
Quando um so´lido e´ determinado por duas superf´ıcies z1 = f (x , y)
e z2 = g(x , y) com z1 ≥ z2, o volume do so´lido e´ dado por
V =
∫∫
R
[f (x , y)− g(x , y)]dA, onde R e´ a projec¸a˜o do so´lido
sobre o plano xy.
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Aplicac¸o˜es: Ca´lculo de volume
13) Calcule o volume do so´lido delimitado por z = 2x2 + y2 e
z = 4− 2x2 − y2.
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Aplicac¸o˜es: Ca´lculo de a´rea
O volume e´ dado por V =
∫∫
R
f (x , y)dA, se fizermos f(x,y)=1,
temos A =
∫∫
R
dA, que e´ a a´rea da regia˜o de integrac¸a˜o R.
Se tivermos uma regia˜o de integrac¸a˜o do tipo 1:
A =
∫∫
R
dA =
∫ b
a
∫ f2(x)
f1(x)
dydx =
∫ b
a
[f2(x)− f1(x)]dx , que e´ a
a´rea entre curvas (aula 2). O racioc´ınio ana´logo serve para uma
regia˜o do tipo 2.
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Aplicac¸o˜es: Ca´lculo de a´rea
14) Calcule a a´rea da regia˜o R delimitada por x = y2 + 1 e
x + y = 3.
15) Mostrar, usando integrais duplas, que a a´rea delimitada por
uma elipse com semi-eixos a e b e´ piab.
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