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Derivada direcional e vetor gradiente

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Derivada direcional e vetor gradiente
Danilo Sande
December 11, 2013
Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente
Derivada direcional
Existe um tipo de derivada que nos permite obter a taxa de
variac¸a˜o de uma func¸a˜o de duas ou mais varia´veis em qualquer
direc¸a˜o. Ela e´ chamada de derivada direcional.
Derivada direcional
Se z = f (x , y), temos que as derivadas parciais fx e fy no ponto
(xo , yo) sa˜o definidas como:
fx(xo , yo) = lim
h→0
f (xo + h, yo)− f (xo , yo)
h
;
fy (xo , yo) = lim
h→0
f (xo , yo + h)− f (xo , yo)
h
,
e representam as taxas de variac¸a˜o da func¸a˜o z, nas direc¸o˜es do
eixo x e do eixo y respectivamente, ou seja, dos vetores unita´rios ~i
e ~j .
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Derivada direcional
Derivada direcional
Desejamos obter a taxa de variac¸a˜o de z em (xo , yo) na direc¸a˜o de
um vetor unita´rio arbitra´rio ~u = (a, b) = (cos θ, sin θ).
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Derivada direcional
Derivada direcional
Vamos considerar a superf´ıcie S com equac¸a˜o z = f (x , y) e seja
P(xo , yo , zo) um ponto pertencente a` S.
O plano vertical que passa por P na direc¸a˜o de ~u, corta S, e sua
intersec¸a˜o com S forma a curva C. A inclinac¸a˜o da linha tangente a` C no
ponto P, e´ a taxa de variac¸a˜o de z na direc¸a˜o de ~u.
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Derivada direcional
Derivada direcional
Se Q(x , y , z) e´ outro ponto de C e, P’ e Q’ sa˜o as projec¸o˜es de P e
Q no plano xy, enta˜o o vetor ~P ′Q ′ e´ paralelo a ~u:
~P ′Q ′ = h~u = (ha, hb), para algum escalar h.
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Derivada direcional
Derivada direcional
Da figura, temos:
x − xo = ha e y − yo = hb, assim:
lim
h→0
∆z
h
= lim
h→0
z − zo
h
= lim
h→0
f (x,y)−f (xo ,yo )
h
= lim
h→0
f (xo+ha,yo+hb)−f (xo ,yo )
h
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Derivada direcional
Definic¸a˜o de Derivada direcional
A derivada direcional de f em (xo , yo) na direc¸a˜o de um vetor
unita´rio ~u = (a, b) e´:
Duf (xo , yo) = lim
h→0
f (xo + ha, yo + hb)− f (xo , yo)
h
Comparando essa definic¸a˜o com as derivadas parciais fx(xo , yo) e
fy (xo , yo), vemos que se ~u = (a, b) = ~i = (1, 0), enta˜o Duf = fx , e
se ~u = (a, b) = ~j = (0, 1), enta˜o Duf = fy .
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Derivada direcional
Para calcular a derivada direcional, usamos o seguinte teorema:
Ca´lculo da Derivada direcional
Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, enta˜o f tem uma derivada
direcional na direc¸a˜o de qualquer vetor unita´rio ~u = (a, b) e
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b.
Se ~u faz um aˆngulo θ com o eixo x positivo, enta˜o podemos
escrever ~u = (cos θ, sin θ), assim:
Duf (x , y) = fx(x , y) cos θ + fy (x , y) sin θ.
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Derivada direcional
Exemplo 1
Encontre a derivada direcional da func¸a˜o f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2
na direc¸a˜o do vetor ~u, que faz um aˆngulo de pi6 em relac¸a˜o ao eixo
x positivo. Obtenha Duf (1, 2).
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O vetor gradiente
Vimos que Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b, essa expressa˜o pode
ser escrita como um produto escalar:
Duf (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)).(a, b) = (fx(x , y), fy (x , y)).~u =
~∇f (x , y).~u.
Definic¸a˜o de gradiente:
Se f e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y, enta˜o o gradiente de f e´
a func¸a˜o vetorial ~∇f definida por:
~∇f (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)) = ∂f∂x~i + ∂f∂y~j
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Derivada direcional
Exemplos 2 e 3
2) Se f (x , y) = sin x + exy , calcule ~∇f (0, 1).
3) Encontre a derivada direcional da func¸a˜o f (x , y) = x2y3 − 4y
no ponto (2,-1) na direc¸a˜o do vetor ~v = 2~i + 5~j
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Para func¸o˜es de treˆs varia´veis
A definic¸a˜o seria semelhante:
Duf (xo , yo , zo) = lim
h→0
f (xo + ha, yo + hb, zo + hc)− f (xo , yo , zo)
h
Para calcular:
Duf (x , y , z) = fx(x , y , z)a + fy (x , y , z)b + fz(x , y , z)c
Duf (x , y , z) = ~∇f (x , y , z).~u, onde ~∇f = ∂f∂x~i + ∂f∂y~j + ∂f∂z ~k
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Exemplo 4
Se f (x , y , z) = x sin(yz):
a) Encontre o gradiente de f;
b) Obtenha Duf (1, 3, 0) na direc¸a˜o de ~v = ~i + 2~j − ~k .
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Derivada direcional
Maximizando a derivada direcional
Suponha que f seja um func¸a˜o de 2 ou 3 varia´veis e considere
todos as poss´ıveis derivadas direcionais de f em um dado ponto.
Isso resulta as taxas de variac¸a˜o de f em todas as poss´ıveis
direc¸o˜es. Em qual dessas direc¸o˜es f varia mais ra´pido e qual a taxa
ma´xima de variac¸a˜o?
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Derivada direcional
Maximizando a derivada direcional
Seja f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de duas ou treˆs varia´veis. O
ma´ximo valor da derivada direcional Duf (~x) e´ |~∇f (~x)| e ele ocorre
quando ~u tem a mesma direc¸a˜o que o gradiente ~∇f (~x).
Prova
Duf = ~∇f .~u = |∇f ||u| cos θ = |∇f | cos θ, pois ~u e´ unita´rio. θ e´ o
aˆngulo entre ~∇f e ~u. Portanto, o ma´ximo valor Duf e´ |~∇f | e ele
ocorre quando θ = 0, ou seja, quando ~u tem a mesma direc¸a˜o de
~∇f .
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Derivada direcional
Exemplo 5
a) Se f (x , y) = xey , qual a taxa de variac¸a˜o de f no ponto P(2,0)
na direc¸a˜o de P para Q(12 , 2);
b) Em qual direc¸a˜o f tem a ma´xima taxa de variac¸a˜o e qual e´ essa
taxa?
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Derivada direcional
Exemplo 6
Suponha que a temperatura no ponto (x,y,z) do espac¸o seja dada
por T (x , y , z) = 80
1+x2+2y2+3z2
, onde T e´ medida em graus celsius e
x,y,z em metros. Em que direc¸a˜o a temperatura cresce mais ra´pido
partindo do ponto (1,1,-2)? Qual a taxa ma´xima de crescimento?
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Derivada direcional
Interpretac¸a˜o geome´trica do gradiente
Seja f(x,y) uma func¸a˜o tal que, pelo ponto Po(xo , yo) passa uma
curva de n´ıvel ck de f. Se ~∇f (xo , yo) na˜o for nulo, enta˜o ele e´
perpendicular a` curva ck em (xo , yo), ou seja, ele e´ perpendicular a`
reta tangente a` curva ck nesse ponto.
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Derivada direcional
Exemplo 7
Para a func¸a˜o f (x , y) = x2 − y , no ponto Po(2, 4), verifique que o
gradiente e´ perpendicular a` reta tangente a` curva de n´ıvel no
ponto dado.
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Derivada direcional
Exemplo 8
Encontrar a eq. da reta perpendicular a` curva x2 + y2 = 4, no
ponto P(1,
√
3).
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Derivada direcional
Interpretac¸a˜o geome´trica do gradiente para func¸o˜es de treˆs
varia´veis
Seja f (x , y , z) uma func¸a˜o tal que, por ponto P do espao¸, passa
uma superf´ıcie de n´ıvel S de f. Se ~∇f 6= 0 em P, enta˜o ~∇f e´
normal a` S em P.
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Derivada direcional
Exemplo 9
Determine um vetor normal a` superf´ıcie z = x2 + y2 no ponto
P(1,0,1).
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