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Derivada direcional e vetor gradiente Danilo Sande December 11, 2013 Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Existe um tipo de derivada que nos permite obter a taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o de duas ou mais varia´veis em qualquer direc¸a˜o. Ela e´ chamada de derivada direcional. Derivada direcional Se z = f (x , y), temos que as derivadas parciais fx e fy no ponto (xo , yo) sa˜o definidas como: fx(xo , yo) = lim h→0 f (xo + h, yo)− f (xo , yo) h ; fy (xo , yo) = lim h→0 f (xo , yo + h)− f (xo , yo) h , e representam as taxas de variac¸a˜o da func¸a˜o z, nas direc¸o˜es do eixo x e do eixo y respectivamente, ou seja, dos vetores unita´rios ~i e ~j . Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Derivada direcional Desejamos obter a taxa de variac¸a˜o de z em (xo , yo) na direc¸a˜o de um vetor unita´rio arbitra´rio ~u = (a, b) = (cos θ, sin θ). Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Derivada direcional Vamos considerar a superf´ıcie S com equac¸a˜o z = f (x , y) e seja P(xo , yo , zo) um ponto pertencente a` S. O plano vertical que passa por P na direc¸a˜o de ~u, corta S, e sua intersec¸a˜o com S forma a curva C. A inclinac¸a˜o da linha tangente a` C no ponto P, e´ a taxa de variac¸a˜o de z na direc¸a˜o de ~u. Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Derivada direcional Se Q(x , y , z) e´ outro ponto de C e, P’ e Q’ sa˜o as projec¸o˜es de P e Q no plano xy, enta˜o o vetor ~P ′Q ′ e´ paralelo a ~u: ~P ′Q ′ = h~u = (ha, hb), para algum escalar h. Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Derivada direcional Da figura, temos: x − xo = ha e y − yo = hb, assim: lim h→0 ∆z h = lim h→0 z − zo h = lim h→0 f (x,y)−f (xo ,yo ) h = lim h→0 f (xo+ha,yo+hb)−f (xo ,yo ) h Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Definic¸a˜o de Derivada direcional A derivada direcional de f em (xo , yo) na direc¸a˜o de um vetor unita´rio ~u = (a, b) e´: Duf (xo , yo) = lim h→0 f (xo + ha, yo + hb)− f (xo , yo) h Comparando essa definic¸a˜o com as derivadas parciais fx(xo , yo) e fy (xo , yo), vemos que se ~u = (a, b) = ~i = (1, 0), enta˜o Duf = fx , e se ~u = (a, b) = ~j = (0, 1), enta˜o Duf = fy . Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Para calcular a derivada direcional, usamos o seguinte teorema: Ca´lculo da Derivada direcional Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, enta˜o f tem uma derivada direcional na direc¸a˜o de qualquer vetor unita´rio ~u = (a, b) e Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b. Se ~u faz um aˆngulo θ com o eixo x positivo, enta˜o podemos escrever ~u = (cos θ, sin θ), assim: Duf (x , y) = fx(x , y) cos θ + fy (x , y) sin θ. Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Exemplo 1 Encontre a derivada direcional da func¸a˜o f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2 na direc¸a˜o do vetor ~u, que faz um aˆngulo de pi6 em relac¸a˜o ao eixo x positivo. Obtenha Duf (1, 2). Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional O vetor gradiente Vimos que Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b, essa expressa˜o pode ser escrita como um produto escalar: Duf (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)).(a, b) = (fx(x , y), fy (x , y)).~u = ~∇f (x , y).~u. Definic¸a˜o de gradiente: Se f e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y, enta˜o o gradiente de f e´ a func¸a˜o vetorial ~∇f definida por: ~∇f (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)) = ∂f∂x~i + ∂f∂y~j Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Exemplos 2 e 3 2) Se f (x , y) = sin x + exy , calcule ~∇f (0, 1). 3) Encontre a derivada direcional da func¸a˜o f (x , y) = x2y3 − 4y no ponto (2,-1) na direc¸a˜o do vetor ~v = 2~i + 5~j Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Para func¸o˜es de treˆs varia´veis A definic¸a˜o seria semelhante: Duf (xo , yo , zo) = lim h→0 f (xo + ha, yo + hb, zo + hc)− f (xo , yo , zo) h Para calcular: Duf (x , y , z) = fx(x , y , z)a + fy (x , y , z)b + fz(x , y , z)c Duf (x , y , z) = ~∇f (x , y , z).~u, onde ~∇f = ∂f∂x~i + ∂f∂y~j + ∂f∂z ~k Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Exemplo 4 Se f (x , y , z) = x sin(yz): a) Encontre o gradiente de f; b) Obtenha Duf (1, 3, 0) na direc¸a˜o de ~v = ~i + 2~j − ~k . Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Maximizando a derivada direcional Suponha que f seja um func¸a˜o de 2 ou 3 varia´veis e considere todos as poss´ıveis derivadas direcionais de f em um dado ponto. Isso resulta as taxas de variac¸a˜o de f em todas as poss´ıveis direc¸o˜es. Em qual dessas direc¸o˜es f varia mais ra´pido e qual a taxa ma´xima de variac¸a˜o? Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Maximizando a derivada direcional Seja f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de duas ou treˆs varia´veis. O ma´ximo valor da derivada direcional Duf (~x) e´ |~∇f (~x)| e ele ocorre quando ~u tem a mesma direc¸a˜o que o gradiente ~∇f (~x). Prova Duf = ~∇f .~u = |∇f ||u| cos θ = |∇f | cos θ, pois ~u e´ unita´rio. θ e´ o aˆngulo entre ~∇f e ~u. Portanto, o ma´ximo valor Duf e´ |~∇f | e ele ocorre quando θ = 0, ou seja, quando ~u tem a mesma direc¸a˜o de ~∇f . Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Exemplo 5 a) Se f (x , y) = xey , qual a taxa de variac¸a˜o de f no ponto P(2,0) na direc¸a˜o de P para Q(12 , 2); b) Em qual direc¸a˜o f tem a ma´xima taxa de variac¸a˜o e qual e´ essa taxa? Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Exemplo 6 Suponha que a temperatura no ponto (x,y,z) do espac¸o seja dada por T (x , y , z) = 80 1+x2+2y2+3z2 , onde T e´ medida em graus celsius e x,y,z em metros. Em que direc¸a˜o a temperatura cresce mais ra´pido partindo do ponto (1,1,-2)? Qual a taxa ma´xima de crescimento? Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Interpretac¸a˜o geome´trica do gradiente Seja f(x,y) uma func¸a˜o tal que, pelo ponto Po(xo , yo) passa uma curva de n´ıvel ck de f. Se ~∇f (xo , yo) na˜o for nulo, enta˜o ele e´ perpendicular a` curva ck em (xo , yo), ou seja, ele e´ perpendicular a` reta tangente a` curva ck nesse ponto. Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Exemplo 7 Para a func¸a˜o f (x , y) = x2 − y , no ponto Po(2, 4), verifique que o gradiente e´ perpendicular a` reta tangente a` curva de n´ıvel no ponto dado. Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Exemplo 8 Encontrar a eq. da reta perpendicular a` curva x2 + y2 = 4, no ponto P(1, √ 3). Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Interpretac¸a˜o geome´trica do gradiente para func¸o˜es de treˆs varia´veis Seja f (x , y , z) uma func¸a˜o tal que, por ponto P do espao¸, passa uma superf´ıcie de n´ıvel S de f. Se ~∇f 6= 0 em P, enta˜o ~∇f e´ normal a` S em P. Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente Derivada direcional Exemplo 9 Determine um vetor normal a` superf´ıcie z = x2 + y2 no ponto P(1,0,1). Danilo Sande Derivada direcional e vetor gradiente
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