Aplicações da Integral – Area entre duas curvas

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Aplicações da Integral – 
Área Entre Duas Curvas
APRESENTAÇÃO
Olá!
O conceito de integrais definidas associa-se ao cálculo da área de uma região limitada entre o
gráfico da função e o eixo das abscissas, considerado dentro do intervalo de integração sobre a
variável x. Essa área pode estar associada a vários conceitos como, por exemplo, à distância
percorrida por uma par�cula em movimento no intervalo [t0, t]. Nesta Unidade de
Aprendizagem, você vai estudar o cálculo da área de regiões limitadas entre curvas u�lizando
integrais definidas.
Bons estudos!
Ao final desta unidade você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Descrever a área de uma região plana da forma de integral definida.
 Ilustrar a área entre curvas no plano cartesiano.
 Julgar, a par�r da representação gráfica da região, a melhor variável de integração.
DESAFIO
A complexidade do projeto de arquitetura influencia diretamente no custo da obra. Essa
complexidade pode ser classificada em simples, normal e luxo, dependendo das caracterís�cas
dos materiais u�lizados em sua estrutura e do acabamento da construção. Imagine que se
deseja construir um jardim com regiões de convívio, conforme ilustra a figura a seguir.
•
•
•
 
 
Cada “pétala” de área verde pode ser aproximada pela região compreendida entre as
funções y = x2 e x = y2, considerando cada unidade dos eixos correspondendo a 100m, como
observa-se no gráfico:
 
 
Sabendo que o custo da grama é de R$1,50 o metro quadrado, calcule o custo da área verde
do projeto do jardim.
INFOGRÁFICO
A área entre as curvas pode ser ob�da calculando-se a área limitada pela curva superior e o
eixo x, menos a área limitada pela curva inferior e o mesmo eixo. Verifique a ilustração no
infográfico.
CONTEÚDO DO LIVRO
Um dos problemas mais an�gos da matemá�ca é o de determinar a área de regiões planas. O
procedimento inicialmente mais usado foi o método da exaustão, no qual procura-se
aproximar a região por outras de áreas conhecidas e de fácil cálculo. A integral definida possui
uma grande variedade de aplicações, dentre elas, inclui-se o cálculo de áreas limitadas entre
curvas. Acompanhe o trecho selecionado do livro "Cálculo (Vol. 1)", que aborda o cálculo da
área entre curvas de forma simples e apresenta ó�mos exemplos. Inicie sua leitura a par�r do
tópico Área entre duas curvas. Bons estudos!
DICA DO PROFESSOR
Acompanhe no vídeo a seguir uma breve explicação e a resolução de alguns exercícios para
exemplificar o conteúdo em estudo.
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EXERCÍCIOS
 
1) Calcule a área entre as retas y = 5 e y = 2, para [a, b]. Também iden�fique o polígono cuja
a área foi calculada.
a) (u.a.) é a área de um círculo.
b) (u.a.) é a área de um triângulo.
c) (u.a.) é a área de um retângulo.
d) (u.a.) é a área de um quadrado.
e) (u.a.) é a área de um triângulo.
 
2) Calcule a área entre as curvas y = x2 e y = x, no intervalo [0,2].
a) 14/3 (u.a.)
b) (u.a.)
c) (u.a.)
d) (u.a.)
e) 4 (u.a.)
 
3) Calcule a área da região formada pelas curvas: x + y = 4; x – y = 0; y + 3x = 4 e diga os
valores das coordenadas de x dos pontos de intersecção entre as curvas.
a) área igual a 2 (u.a.) e as coordenadas x dos pontos de interseção das curvas são: {0;1;2}
b) área igual a 2 (u.a.) e as coordenadas x dos pontos de interseção das curvas são {1; 2 ; 4}
c) área igual a 4 (u.a.) e as coordenadas x dos pontos de interseção das curvas são: {0;1;2}
d) área igual a 4 (u.a.) e as coordenadas x dos pontos de interseção das curvas são {1; 2; 4}
e) área igual a 0 (u.a.) e as coordenadas x dos pontos de interseção das curvas são {0; 1; 2}
 
4) Determine a área compreendida entre as curvas e .
a) 8 (u.a.)
b) (u.a.)
c) (u.a.)
d) 1/6 (u.a.)
e) 5/12 (u.a.)
3a
3b
3 (b− a)
3b
3 (b− a)
4
6
1
6
1
y =
x
2
y = x
√
4
3
4
 
5) Calcule, usando a integração em y, a área entre as curvas e .
a) 0 (u.a.)
b) (u.a.)
c) 8/3 (u.a.)
d) (u.a.)
e) 16/3 (u.a.)
NA PRÁTICA
Uma das aplicações mais corriqueiras do cálculo de área entre duas curvas é a determinação
da área de um círculo de raio r. Observe que a integral resultante não é de simples resolução,
porém é a primeira forma de cálculo exato da área apresentada.
 
SAIBA +
Para ampliar seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo a(s) sugestão(ões) do
professor:
Como calcular a área entre duas curvas
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Área entre curvas
2y− x = 1 y = x+1
− −−−
√
4
3
2
3
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Cálculo - Volume I
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