Apostila de Estatistica Descritiva

Prévia do material em texto

�PAGE �1�
	
	
	
	Disciplina: ESTATÍSTICA APLICADA
	
	Turno:MATUTINO/ NOTURNO
	
	ESTATÍSTICA DESCRITIVA
	
	PROFESSORA: Viviane de Souza Garrido
	
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. CONCEITOS BÁSICOS:
	
A estatística é a ciência que tem como objetivo fornecer subsídios para o planejamento e a execução de experimentos, bem como para a coleta, a descrição e a análise de dados e para a interpretação de resultados. Nesse contexto a estatística pode ser dividida em duas partes:
		ESTATÍSTICA DESCRITIVA: Que trata da descrição tabular, gráfica e paramétrica (relativo a parâmetro) dos dados provenientes de populações e amostras. Na verdade ela é a parte da estatística que se fundamenta por apenas descrever o comportamento dos dados, sem tirar inferências sobre os mesmos.
		ESTATÍSTICA INFERENCIAL: Parte dos resultados obtidos nas amostras e faz inferências para a população. Estuda a estimação e os testes sobre os parâmetros populacionais.
		Inferência Estatística é o processo pelo qual estatísticos tiram conclusões acerca da população usando informações de uma amostra. 
		Para se analisar os dados de forma estatística podem-se obter os resultados de duas maneiras: através de um censo ou através de uma amostragem (pesquisa em uma amostra).
		POPULAÇÃO: Em termos estatísticos define-se uma população como sendo um conjunto de informações que tenham, pelo menos, uma característica em comum.
		Exemplos:
		Moradores de Porto Alegre;
		Peças produzidas por uma máquina;
		Consumidores de uma marca de sabão em pó;
		Empresas produtoras de peças para relógios;
		Lagartas em uma plantação de soja;
		Contribuintes para a receita estadual. etc.
		Uma população pode ainda ser caracterizada como sendo:
		FINITA: É aquela população que podemos enumerar todos os seus elementos (podem ser totalizados e expressos por uma quantidade definida).
		Exemplo:
		Número de eleitores no município de Porto Alegre;
		Número de empresas cadastradas na Junta Comercial. etc.
INFINITA: É quando a quantidade de elementos da população não pode ser expressa por uma quantidade definida de valores. Mesmo que esta quantidade exista mas não possa ser contada por ser incomensurável.
		Exemplo:
Peças produzidas por uma linha de produção que trabalhe 24 horas por dia. Nesse caso o tamanho da população é sempre incrementado a cada dia;
Quantidade de plantas em uma mata nativa. A quantidade é tão grande que pode ser considerada infinita.
Parâmetro: São medidas obtidas através dos elementos da população. 
Os símbolos são apresentados por letras grega.:
	 ( = Média, (² = Var. absoluta; ( = Desvio Padrão.
Estatísticas Amostrais ou Estatísticas: São medidas obtidas através dos elementos das amostras.: ​	
		 Média da Amostra = (X; Variância = S²;Desvio padrão amostral = S
2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
	2.1. VARIÁVEIS E ATRIBUTOS
Na investigação estatística de dados uma definição muito utilizada é a variável. Define-se variável como o resultado de um experimento. As variáveis podem ser:
		VARIÁVEIS QUALITATIVAS:
São aquelas usadas para descrever qualidades, categorias, etc. São também definidas como ATRIBUTOS.
		Exemplos:
		Sexo: Masculino e feminino.
		Cor dos olhos: Verde, azul, preto, castanho, etc.
		Classe de renda: Alta, média e baixa, etc.
		VARIÁVEIS QUANTITATIVAS:
São aquelas que descrevem quantidades e, deste modo, podem ser comparadas a conjuntos numéricos. Podem ser classificadas em discretas e contínuas.
Variáveis discretas: São as variáveis usadas para descrever dados discretos, ou seja, apenas assumem valores inteiros, pois é oriunda de uma contagem. 
		Exemplos:
		Número de filhos por casais;
		Número de Fiscais do Tesouro do Estado por setor;
		Quantidade de desempregados na região, etc.
Variáveis contínuas: São usadas para descrever dados contínuos, ou seja, podem assumir valores não inteiros, pois são oriundas de uma medição.
		Exemplos:
		Renda familiar;
		Preço de um produto;
		Peso, altura, etc.
	2.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
 	Organização de dados estatísticos:
		Os dados estatísticos coletados podem ser apresentados em forma tabular (através de tabelas ) ou gráfica (através de gráficos ). Podem também ser classificados em séries estatísticas de dados grupados ( distribuições de freqüências: por intervalos e por pontos ) ou não grupados ( séries temporais, históricas e geográficas ).
		Antes de apresentar os dados nas mais diferentes formas cabe descrever quais são as normas técnicas de apresentação.
NORMAS PARA APRESENTAÇÃO TABULAR DE DADOS
Tabela é um quadro, não fechado nas extremidades, que resume um conjunto de observações.
Uma tabela compõem-se de:
corpo – conjunto de linhas e colunas que contêm informações sobre a variável em estudo;
cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;
coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;
casa ou célula – espaço destinado a um só número;
título – conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às perguntas: O quê?, Quando?, Onde?, localizado no topo da tabela;
fonte – indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados ou pela sua elaboração.
DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS
		Os dados em distribuições de freqüências são uma maneira de apresentar informações grupadas. Neste caso a variável pode ser expressa por ponto ( um único valor ) ou por intervalo ( dentro de um intervalo de valores ). Ao se constituir uma distribuição de freqüências (DF) precisa-se descrever alguns componentes da mesma.
			
 Tabela Primitiva
Supondo uma coleta amostral de dados relativos aos salários semanais de quarenta funcionários que compõem uma amostra de uma Empresa Z. Os valores de cada um dos salários estão listados a seguir:
SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 
166	160	161	150	162	160	165	167	164	160
162	161	168	163	156	173	160	155	164	168
155	152	163	160	155	155	169	151	170	164
154	161	156	172	153	157	156	158	158	161
A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva ou dados brutos.
Rol
O rol é uma lista em que os valores estão dispostos em uma determinada ordem, crescente ou decrescente. Veja a seguir:
	150
	154
	155
	157
	160
	161
	162
	164
	166
	169
	151
	155
	156
	158
	160
	161
	162
	164
	167
	170
	152
	155
	156
	158
	160
	161
	163
	164
	168
	172
	153
	155
	156
	160
	160
	161
	163
	165
	168
	173
 Distribuição de Freqüência
A freqüência é o número de repetições da observação no conjunto de observações.
A distribuição de freqüência de uma série de observações é uma função que representa os pares de valores formados por cada observação e seu número de repetições.
Exemplo:
 SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS SALÁRIOS RECEBIDOS 
 PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 
	 Salários semanais (R$)
	Freqüências
	150 ​​ |--- 154
	4
	154 |--- 158
	9
	158 |--- 162
	11
	162 |--- 166
	8
	166 |--- 170
	5
	170 |--- 174
	3
	Total
	40
FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL 
Elementos de uma Distribuição de Freqüência
- Classe
Classes de freqüência ou, simplesmente, classe são intervalos de variação da variável.
As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, . . ., k (onde k é o número total de classes da distribuição).
Exemplo: O intervalo 154 |--- 158 define a segunda classe (i = 2)
 A distribuição é formada por seis classes, podemos afirmar que i = 6.
– Limites de Classe
Determina-se limites de classes os extremos de cada classe.
O menor número é o limite inferior da classe ( li ) e o maior número, o limite superiorda classe ( ls ).
Exemplo: Na terceira classe do exemplo acima, temos: li3 = 158 e Ls3= 162
 – Amplitude de um Intervalo de Classe ( h )
É a medida de intervalo que define a classe. Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior. Assim:
Exemplo: Calcule o intervalo de classe do exemplo acima. 
 – Amplitude Total ( H )
É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra.
 
Exemplo: Calcule amplitude amostral do exemplo acima. 
 – Ponto Médio de uma Classe ( Xi )
É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.
Exemplo: O ponto médio da segunda classe, em nosso exemplo, é 156. 
 Freqüência Simples ou Absoluta ( fi )
É o número de observações correspondentes a uma classe.
A soma de todas freqüências é representada por:
 ( população ) 
 ( amostra )
Exemplo: Para a distribuição em estudo, temos: 
			 – Número de Classes
Pode-se utilizar a regra de STURGES, que fornece o número de classes em função do total de casos:
K = 1 + 3,22.log n
Onde:
 K é o número de classes;
 N ou n é o número total de observações.
Para determinar a amplitude do intervalo de classe, temos:
Exemplo: a) Se o número de observações for 500:
b) Se n = 50
Truman L. Kelley, sugere os seguintes números de classes, com base no número total de observações, para efeito de representação gráfica:
	 n 5 10 25 50 100 200 500 1000 
	 K 2 4 6 8 10 12 15 15
				SIMBOLOGIA ENTRE OS VALORES DE CLASSE:
	(( Inclui o valor da esquerda mas não o da direita.
	 (( Inclui o valor da direita mas não o da esquerda.
	 ( Não inclui nem o valor da direita, nem o da esquerda.
	((( Inclui tanto o valor da direita quanto o da esquerda.
		– Tipos de Freqüências
			– Freqüências Relativas simples (fri) 
São os valores da razão entre as freqüências simples e a freqüência total.
 
Exemplo: Calcule a freqüência relativa simples da terceira classe, em nosso exemplo:
( R. 27,5 % dos funcionários recebem salário de R$ 158 até menos de R$ 162. )
			– Freqüência Acumulada ( Fi )
É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior.
do intervalo de uma dada classe.
 
 ou 
 
Exemplo: Calcule a freqüência acumulada correspondente à terceira classe, em nosso exemplo:
( R. 24 funcionários recebem salário de R$ 150 até menos de R$ 162. )
			– Freqüência Acumulada Relativa ( Fri )
É a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição.
Exemplo: Para a terceira classe, qual é a freqüência acumulada relativa?
( R. 60 % dos funcionários recebem salário de R$ 150 até menos de R$ 162. )
EXERCÍCIO: Complete a seguinte tabela e responda as seguintes perguntas:
SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 
 
	Salários semanais (R$)
	Freqüências
	Xi
	fri
	% fri
	FI
	Fri
	150 ​​ |--- 154
	4
	
	
	
	
	
	154 |--- 158
	9
	
	
	
	
	
	158 |--- 162
	11
	
	
	
	
	
	162 |--- 166
	8
	
	
	
	
	
	166 |--- 170
	5
	
	
	
	
	
	170 |--- 174
	3
	
	
	
	
	
	Total
	40
	
	
	
	
	
FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL 
Quantos empregados tem salário entre R$ 154, inclusive, e R$ 158? ( R. 9 )
Qual a percentagem de empregados cujas salários são inferiores a R$ 154? ( R.10% )
Quantos empregados tem salário abaixo de R$ 162? ( R. 24 )
Quantos empregados tem salário não inferior a R$ 158? ( R. 27 )
– Distribuição de Freqüência sem Intervalos de Classe
Quando se trata de variáveis discretas de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe.
Exemplo: Se X a variável é o número de filhos do sexo masculino de 34 famílias de quatro filhos pesquisadas, complete a tabela:
	i
	X
	fi
	fri
	Fi
	Fri
	
	0
	2
	0,0588
	2
	0,0588
	
	1
	6
	0,1765
	8
	0,2353
	
	2
	10
	0,2941
	18
	0,5294
	
	3
	12
	0,3529
	30
	0,8824
	
	4
	4
	0,1176
	34
	1,0000
	
	
	
	
	
	
EXERCÍCIOS
Conhecidas as notas de 50 alunos:
84	68	33	52	47	73	68	61	73	77
74	71	81	91	65	55	57	35	85	88
59	80	41	50	53	55	76	85	73	60
67	41	78	56	94	35	45	55	64	74
65	94	66	48	39	69	89	98	42	54
Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo das classes.
	NOTAS
	30 (( 40
	40 (( 50
	50 (( 60
	60 (( 70
	70 (( 80
	80 (( 90
	90 (( 100
	fi
	4
	6
	10
	10
	9
	7
	4
– Representação Gráfica
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados, onde o objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e visual do fenômeno em estudo.
Veja alguns exemplos de gráficos:
	1. POLIGONAL: 
		
 Gráfico de linha ou poligonal.
		
		Com os mesmos dados do exemplo anterior:
2. GRÁFICO DE COLUNAS:
3. GRÁFICO DE BARRAS:
		Com os mesmos dados anteriores.
			
4. GRÁFICO DE SETORES:
		
 
5. HISTOGRAMA:
		Um histograma é uma representação gráfica de uma série de dados grupados por meio de retângulos cujas áreas são proporcionais às freqüências absolutas simples de cada intervalo (classe).
Exemplo:
Número de salários mensais recebidos pelos funcionários da Empresa Beta - POA - 1999.
 
		Os dados deste histograma foram obtidos a partir da seguinte tabela:
	SALÁRIOS MENSAIS
	Número de funcionários
	0(( 2
	 20
	 2(( 4
	100
	4(( 6
	200
	 6(( 8
	150
	8((10
	 30
	Total
	500
				
6. POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS:
		
		É a representação gráfica de uma série de dados grupados por meio de um polígono, considerados os pontos médios de classes e as respectivas freqüências absolutas dos mesmos.
		Com os dados do exemplo anterior:
 Número de salários
salários.
	2.4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
	Na maior parte das vezes em que os dados estatísticos são analisados, procuramos obter um valor para representar um conjunto de dados. Este valor deve sintetizar, da melhor maneira possível, o comportamento do conjunto do qual ele é originário. Nem sempre os dados estudados têm um bom comportamento, isto pode fazer com que um único valor bem represente ou não o grupo. 
	As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destaca-se as seguintes: Média aritmética, Moda e Mediana. Cada uma com um significado diferenciado, porém tendo como serventia representar um conjunto de dados.
A maneira de se obter estas medidas é um pouco diferenciada dependendo de como os dados são apresentados. Eles podem vir de forma isolada (não grupados) ou ainda ponderados (grupados em intervalos ou sem intervalo de classe, por ponto).
		
2.4.1. – Média Aritmética ( ( ou (x )
É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:
 ou 
 Sendo: ( ou (x : média aritméticaXi : valores da variável
 n ou N : número de valores
		2.4.1.1. – Dados não-agrupados
Quando deseja-se conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos a média aritmética simples .
Exemplo: Sabendo-se que as vendas diárias da empresa A, durante uma semana, foram de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 unidades, tem-se, para produção média da semana: (R. 14 unidades )
		2.4.1.2. – Propriedades da Média
		1ª Propriedade
A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
No exemplo anterior, temos:
Desvio em relação à média
É a diferença entre cada elemento do conjunto de valores e a média .
 ou 
Para o exemplo dado, temos:
d1 = 10 – 14 = -4
 d5 = 16 – 14 = 2
d2 = 14-14 = 0
 d6 = 18 – 14 = 4
d3 = 13 – 14= -1
 d7 = 12 – 14 = -2
d4 = 15 – 14 = 1
		2ª Propriedade
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c ) a de todos os valores de uma variável a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.
	
Somando-se 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado, tem-se:
y1 = 12 , y2 = 16 , y3 = 15 , y4 = 17 , y5 = 18 , y6 = 20 e y7 = 14
Calcule 
 .
			3ª Propriedade
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante ( c ), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
 ou 
 
Multiplicando-se por 3 cada um dos valores da variável do exemplo dado, obtem-se:
y1 =30 , y2 = 42 , y3 = 39 , y4 = 45 , y5 = 48 , y6 = 54 e y7 = 36
Calcule 
 = 42
			2.4.1.4 – Dados Agrupados
				2.4.1.4.1 – Sem intervalos de classe
As freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que leva a calcular a média aritmética ponderada .
 
 ( população ) 
 ( amostra )
Exemplo: 
Considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, adotando-se a variável “número de filhos do sexo masculino”, determine a média.
	N.º de Meninos
	fi
	
	0
	2
	
	1
	6
	
	2
	10
	
	3
	12
	
	4
	4
	
	
	
 = 34 
	
				2.4.1.4.2. – Com intervalos de classe
Convenciona-se que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determina-se a média aritmética ponderada. 
 ( população ) 
 ( amostra )
 onde Xi é o ponto médio da classe.
Exemplo: 
SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS
 FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 
	 Salários semanais (R$)
	Freqüências
	
	150 ​​ |--- 154
	4
	
	154 |--- 158
	9
	
	158 |--- 162
	11
	
	162 |--- 166
	8
	
	166 |--- 170
	5
	
	170 |--- 174
	3
	
	Total
	40
	
FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL 
EXERCÍCIOS
1 – Calcule a média aritmética das seguintes distribuições amostrais:
a) Classes 30 |--- 50 |--- 70 |--- 90 |--- 110 |--- 130
 fi 2 8 12 10 5 
b) Consumo (kwh) 5 |--- 25 |--- 45 |--- 65 |--- 85 |--- 105 |--- 125 |--- 145 |--- 165
 N.º de Usuários 4 6 14 26 14 8 6 2
c) Custos (R$) 450 |--- 550 |--- 650 |--- 750 |--- 850 |--- 950 |--- 1050 |--- 1150
 fi 8 10 11 16 13 5 1
	Respostas: a) (x = 84,3,	(x = 79,5 Kwh	(x = R$ 754,69
		
		2.4.2. – Moda ( Mo ) 
A moda de uma distribuição é o valor da variável que tem a maior freqüência absoluta simples, quer dizer aquele valor que aparece mais [mais se repete]. Existem algumas situações nas quais não existe moda, isto é, todos os valores da variável só aparecem uma vez, não se repetem. Em outras situações pode-se ter mais de uma moda, isto é, quando dois ou mais valores da variável têm maior freqüência [freqüências iguais], neste caso diz-se que o conjunto é bimodal. Pode-se ter três, quatro, etc. Nestes casos é difícil escolher a moda como um representante do grupo, uma vez que teremos muitos representantes.
Para que se possa obter o valor da moda é necessário que os dados estejam no mínimo em escala nominal, quer dizer, com qualquer nível de mensuração podemos obter o valor da moda, uma vez que ela é oriunda apenas de uma contagem. Portanto, a moda é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
Exemplo: - o dono do restaurante vai preparar mais o filé de maior saída;
 	- maioria tirou “C” numa turma;
 	- o proprietário da loja de sapato vai comprar mais os números de maior saída.
			2.4.2.1 – Dados não-agrupados
A moda é facilmente reconhecida: basta procurar o valor que mais se repete.
Exemplo: A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 15 tem moda igual a 12 .
Amodal : são as séries nas quais nenhuma valor apareça mais vezes que outros.
Exemplo: 3, 5, 8, 10, 13.
Multimodal : é uma série que possui dois ou mais valores modais.
Exemplo: Xi = 2	3 4	4 4	5 6	7 7	7
	Mo1 = 4		 Mo2 = 7	
			2.4.2.2. – Dados agrupados
				2.4.2.2.1 – Sem intervalos de classe
É o valor da variável de maior freqüência.
Exemplo: Considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos (ver página 14), indique a moda dessa distribuição. R: = 3
					2.4.2.2.2 – Com intervalos de classe
A classe que apresenta maior freqüência é denominada classe modal .
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta .
 Há, para o cálculo da moda, outros métodos mais elaborados, como, por exemplo, o que faz uso da fórmula de CZUBER :
		
na qual:
li : Limite inferior de classe modal.
h : Amplitude da classe modal.
D1: fMo – f ant : freqüência simples da classe modal menos a freq. anterior.
D2: fMo – f post : freqüência simples da classe modal menos a freq. posterior.
Exemplo:
Calcule a moda da seguinte distribuição pela fórmula de Czuber:
SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS
 SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 
 
	Salários semanais (R$)
	Freqüências
	
	150 ​​ |--- 154
	4
	
	154 |--- 158
	9
	
	158 |--- 162
	11
	
	162 |--- 166
	8
	
	166 |--- 170
	5
	
	170 |--- 174
	3
	
	Total
	40
	
FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL 
	R: R$ 159,6 
	
	2.4.3. – Mediana ( Md )
É o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem.
Para que se possa obter o valor da mediana os dados têm que estar em uma escala de medida no mínimo ordinal, uma vez que precisa-se ordená-los.
	A mediana é o valor que divide o conjunto ao meio, isto é, concentra antes e depois de si, 50% das observações ordenadas. Ao contrário da média aritmética a mediana não sofre influência quando temos no conjunto valores discrepantes [ tanto para mais como para menos ]. Neste caso a mediana pode melhor representar um conjunto do que a média aritmética, porém não tem o mesmo significado que aquela. A mediana pode ou não pertencer ao conjunto do qual ela é originária, vai pertencer sempre que o conjunto tiver um número ímpar de informações e vai ou não pertencer quando o conjuntotiver um número par de observações. Com isso já podemos ver que a quantidade de observações influi na maneira pela qual vamos encontrar o valor da mediana.
			2.4.3.1. – Dados não-agrupados
Estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de elementos da série, o valor mediano será, quando n for:
impar : o termo de ordem 
;
par : a média aritmética dos termos de ordem 
 e 
.
Exemplo 1: Dada a série de valores: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, identifique a mediana.
	Md = 10
Exemplo 2: Dada a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, calcule a mediana.
	Md = 11
O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série.
			2.4.3.2. – Dados agrupados
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por: 
	
			2.4.3.2.1 – Sem intervalos de classe
É o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.
Exemplo: Considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino, determine a mediana:
	N.º de Meninos
	fi
	
	0
	2
	
	1
	6
	
	2
	10
	
	3
	12
	
	4
	4
	
	
	
 = 34 
	
 R: 2 meninos
 		
 2.4.3.2.2 – Com intervalos de classe
Classe mediana é aquela correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior a 
.
Em seguida, emprega-se a fórmula:
onde: li Md = Limite inferior da classe da mediana. 
 fi Md = Freqüência simples da classe da mediana.
 h = amplitude da classe da mediana. 
 Fant = Freqüência acumulada anterior a classe da mediana. 
Exemplo: Calcule a mediana da seguinte distribuição:
SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS
 SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 
	Salários semanais (R$)
	Freqüências
	
	150 ​​ |--- 154
	4
	
	154 |--- 158
	9
	
	158 |--- 162
	11
	
	162 |--- 166
	8
	
	166 |--- 170
	5
	
	170 |--- 174
	3
	
	Total
	40
	
FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL
 R: Md = R$ 160,54
 No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a 
, a mediana será o limite superior da classe correspondente.
Exemplo:
	i
	Classes
	fi
	Fi
	
	0 |--- 10
	1
	
	
	10 |--- 20
	3
	
	
	20 |--- 30
	9
	
	
	30 |--- 40
	7
	
	
	40 |--- 50
	4
	
	
	50 |--- 60
	2
	
	
	
	26
	
EXERCÍCIOS
1 – Considerando os conjuntos de dados calcule a média, a mediana e a moda.
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6	R: (X = 5,1	Md = 5		mo = 5	
20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7	R: (X = 11	Md = 9		mo = 7
51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9	R: (X = 49,8	Md = 49,5	amodal 
15, 18, 20, 13, 10, 16, 14	R: (X = 15,1	Md = 15		amodal
	
2.5. MEDIDAS DE DISPERSÃO
2.5.1. – Dispersão ou Variabilidade
A média, ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de números não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto.
Considerando os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:
X: 5, 5, 5, 5, 5. Y: 3, 4, 5, 6, 7. Z: 5, 0, 10, 8, 2.
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtem-se: 
5 .
Chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno do valor da média, pode-se dizer que o conjunto Xi apresenta dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto yi apresenta uma dispersão ou variabilidade menor que o conjunto zi.
Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua média, é necessário recorre às medidas de dispersão. Dessas medidas, estudaremos: a .variância absoluta, o desvio padrão e o coeficiente de variação ou de variabilidade .
 	2.5.2. – Variância ( (² ou s² ) e Desvio Padrão ( (ou s )
A amplitude total e o desvio médio também são medidas de variação, no entanto a variância e o desvio padrão levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo sem utilizar a idéia de módulo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e os mais empregados.
A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém determinando a média aritmética dos quadrados dos desvios.
Dados não agrupados	 Dados agrupados
 ou 
 ( população )
 
 ou 
 ( amostra )
ou 
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente.
Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação práticas, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância.
 ( população )
 
 ( amostra )
Tanto o desvio padrão como a variância são usados como medidas de dispersão ou variabilidade. O uso de uma ou de outra dependerá da finalidade que se tenha em vista.
A variância é uma medida que tem pouca utilidade na estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.
Observe como exemplo, o conjunto de valores da variável populacional x:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
			 R: ( = 9,49
Exemplo: Calcule o desvio padrão, dados os valores da população: 8, 10, 11, 15, 16, 18	
									R: ( = 3,56
 – Com intervalos de classe
Exemplo: Calcule o desvio padrão da tabela abaixo.
SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS
 FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 
	Salários semanais (R$)
	Freqüências
	
	150 ​​ |--- 154
	4
	
	154 |--- 158
	9
	
	158 |--- 162
	11
	
	162 |--- 166
	8
	
	166 |--- 170
	5
	
	170 |--- 174
	3
	
	Total
	40
	
FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL 
R: s = R$ 5,64
 
As fórmulas apresentadas abaixo, para o cálculo do desvio padrão, só não são o método usualmente mais prático, como também mais preciso. Quando a média não é exata e tem de ser arredondada, cada desvio fica afetado ligeiramente do erro, devido a esse arredondamento. O mesmo acontece com os quadrados, podendo os resultados do cálculo ser menos exatos.
2.5.2.3 - Propriedades
1º) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante ( c ) a (de) todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera:
		
2º) Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante:
 ou 
 
3º) Em se tratando de uma distribuição normal, observa-se que entre os limites proporcionados por:
( ( (, estão contidas cerca de 68% das informações;
( ( 2(, estão contidas cerca de 95% das informações;
( ( 3(, estão contidas cerca de 99% das informações.
2.5.3. – Coeficiente de Variação ( ( para população ou g para amostras )
É a caracterização da dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor. 
			
 ou 
Exemplo 1: Determine o coeficiente de variação da distribuição de freqüência da página anterior:
				R: g = 3,5%
Exemplo 2: Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
 
 s
 
 Estaturas 175 cm 5,0 cmR: g1 = 2,86% < g2 = 2,94%
 Pesos 68 kg 2,0 kg
�EMBED Excel.Sheet.8���
_1027161190.unknown
_1027161208.unknown
_1027161218.unknown
_1027161227.unknown
_1027161238.unknown
_1027161240.unknown
_1027161242.unknown
_1027161244.unknown
_1027161241.unknown
_1027161239.unknown
_1027161228.unknown
_1027161220.unknown
_1027161221.unknown
_1027161219.unknown
_1027161213.unknown
_1027161215.unknown
_1027161217.unknown
_1027161214.unknown
_1027161210.unknown
_1027161211.unknown
_1027161209.unknown
_1027161198.unknown
_1027161203.unknown
_1027161205.unknown
_1027161206.unknown
_1027161204.unknown
_1027161201.unknown
_1027161202.unknown
_1027161200.unknown
_1027161194.unknown
_1027161196.unknown
_1027161197.unknown
_1027161195.unknown
_1027161192.unknown
_1027161193.unknown
_1027161191.unknown
_1027161177.unknown
_1027161185.xls
_1027161187.unknown
_1027161188.unknown
_1027161186.xls
_1027161179.unknown
_1027161180.unknown
_1027161183.xls
Gráfico1
		20661		31414
		21041		31620
		20544		35793
		25256		38597
		33079		43545
		49583		46506
		53301		47747
		61358		52086
		27970		25968
IMPORTAÇÕES
EXPORTAÇÕES
ANOS
US$
EXPORTAÇÕES E IMPORTAÇÕES BRASILEIRAS
Plan1
		ANOS		IMPORTAÇÕES		EXPORTAÇÕES
		1990		20,661		31,414
		1991		21,041		31,620
		1992		20,544		35,793
		1993		25,256		38,597
		1994		33,079		43,545
		1995		49,583		46,506
		1996		53,301		47,747
		1997		61,358		52,086
		1998*		27,970		25,968
Plan2
		
Plan3
		
_1027161178.unknown
_1027161171.unknown
_1027161173.unknown
_1027161176.unknown
_1027161172.unknown
_1027161169.unknown
_1027161170.unknown
_1027161167.unknown