exercicio calculo 2

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL II 
ANDRÉ LUÍS CORTE BROCHI 
CONTEÚDO DESTA AULA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Cálculo vetorial: função vetorial 
Equações paramétricas 
Coordenadas polares 
Curvas no espaço 
Diferenciação parcial 
Regra da cadeia 
CÁLCULO VETORIAL 
ESCALARES X VETORES 
 
Escalares: magnitude 
Vetores: magnitude, direção e sentido 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
PRODUTO ESCALAR 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 11,yxu 

 22,yxv 
 cos vuvu 
2121 yyxxvu 

EXERCÍCIO 1 
Dados os vetores e , 
a) obtenha o produto vetorial 
b) determine a medida do ângulo formado entre eles. 
 
 3,2 u

 1,0v

; vu


CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
 
3
1302
1,0)3,2(


vu

EXERCÍCIO 1 
a) 
 3,2 u

 1,0v

2121 yyxxvu 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
3vu
EXERCÍCIO 1 
b) 
    13323,2 22  uu

  1101,0 22  vv

o1,146
832050,0cos
13
133
cos
13
3
cos
cos133
cos













vuvu

FUNÇÃO VETORIAL 
Considere que, no decorrer do tempo, 
uma partícula vai ocupando diferentes 
posições no plano. Essas posições são 
representadas por pares ordenados (x,y). 
Num instante t0 , por exemplo, ela ocupa 
a posição (x0,y0). A cada ponto dessa 
curva, podemos associar um vetor. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
FUNÇÃO VETORIAL 
Se estamos considerando que a cada instante t está associado um par ordenado 
(x,y) que descreve uma curva no plano, então podemos considerar as variáveis x 
e y como funções de t : 
é uma função vetorial ou função a valores vetoriais 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
   tytx e       . , Rtjtyitxtr 

 tr

EXERCÍCIO 2 
Considere a função em que 
a) Determine seus valores para t = –1, t = 0, t = 1 e t = 2; 
b) Esboce seu gráfico. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
      , , Rtjtyitxtr 

    .1 e 2 2  ttyttx
EXERCÍCIO 2 
a) 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
   
   
   2,222
2111
2121
1
2






 jitr
y
x
t
 
 
   1,00
1100
0020
0
2






 jitr
y
x
t
 
 
   2,222
2111
2121
1
2






 jitr
y
x
t
 
 
   5,454
5122
4222
2
2






 jitr
y
x
t

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
Considere uma reta r, no plano, que passa por um ponto específico P0 = (x0 ,y0) e 
é paralela a um vetor v = (a,b) . Vamos tomar um ponto genérico P = (x,y) da reta 
r. Podemos considerar que existe t  R tal que: 
 
 
ou 
Equações paramétricas da reta r : 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
vtPP

 0     batyxyx ,,, 00 






t
btyy
atxx
 com , 
0
0
EXERCÍCIO 3 
Uma reta que passa pelo ponto (–2,1,3) é paralela ao vetor Obtenha 
as equações paramétricas que a definem. 
 . 4,6,5 v

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 









t
ctzz
btyy
atxx
 com , 
0
0
0









t
tz
ty
tx
 com , 
43
61
52
DERIVADA E INTEGRAL DE FUNÇÕES VETORIAIS         , ktzjtyitxtr


CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
           . kdttzjdttyidttxdttr           , ' ' '' ktzjtyitxtr  Dada a função vetorial Temos 
e 
EXERCÍCIO 4 
     
.20 com 
 , 
2
 cos sen 








t
k
t
jttitttr

O gráfico ao lado mostra parte da trajetória 
de uma partícula. A função vetorial que 
define tal trajetória é 
 
 
 
 
 
Determine sua velocidade no instante t = . 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
      .20 com , 
2
 cos sen 





 tk
t
jttitttr

   trtv '


      ktjttitttv

 '
2
 'cos ' sen 





      kjtttittttv

 
2
1
 sen cos cos sen 






Para t = , temos: 
      kjiv

 
2
1
 sen cos cos sen 





       kjiv  
2
1
 1 





 
EXERCÍCIO 5 
A função vetorial 
 
 
representa o vetor velocidade de uma partícula para qualquer instante t de 0 a 10 
segundos. Sabendo que no instante t = 0 essa partícula ocupava a posição 
(0,1,1) como podemos determinar a sua função posição na forma 
vetorial? 
 
       kejtittv t
  212
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
       kejtittv t
  212
   
        
        
 kCejCttiCt
kdtejdttidtt
kdttzjdttyidttx
dttvtr
t
t




 2 
3
 
2
 2 1 
 
32
3
1
2
2





















CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
    kjir

1101,1,00 
00
2
0
11
2
 CC 110
3
0
22
3
 CC
312 33
0   CCe
   kejttittr t

 32 1
3
 
2
32












 
COORDENADAS POLARES 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
cosrx   sen ry  222 ryx 
EXERCÍCIO 7 
A equação define uma circunferência de centro em (0,0) e raio de 
medida igual a 3. Represente-a na forma polar. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
922  yx 922  yx    9 sen cos 22   rr
9 sen cos 2222   rr   9 sen cos 222  r
92 r 3r
EXERCÍCIO 8 
Passe para a forma cartesiana a equação 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
. sen 4cos2  r  sen 4cos2 r  sen 4cos22 rrr  yxyx 4222  042 22  yyxx
VETOR TANGENTE UNITÁRIO E VETOR NORMAL UNITÁRIO 
       
   
 
   
 









tT
tT
tN
tr
tr
tT
ktzjtyitxtr
'
'
'
'






EXERCÍCIO 9 
Dada a curva 
 
 
obtenha o vetor tangente unitário no instante t = 2? 
 
       ktjtittr

432 23 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
       ktjtittr

432 23 
   
 tr
tr
tT
'
'


 
   
    kjtit
kjtit
tT 


443
443
2
2


     
   
 
224
4,8,12
4812
4812
42423
42423
2
2
2







kji
kji
kji
kji
T 




     









14
14
,
14
142
,
14
143
14
1,2,3
144
4,8,12
2T

FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 
EXERCÍCIO 10 
Dada a função 
 
 
determine as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y. 
 nxxxfw ,...,, 21 yxyyxyxf 3),( 22 
CÁLCULO DIFERENCIALE INTEGRAL II 
yx
x
yxdf


2
),( 32
),(


xy
y
yxdf
REGRA DA CADEIA 
EXERCÍCIO 11 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz
yxfz 





 ),(
Seja uma função de duas variáveis dada por 
 
 
em que e . 
 
Obtenha a derivada de z em relação a t. 
 
),( yxfz  yxxyyxf  2),(
tx cos 5
2  ty
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
yxdf







,        txty
dt
yxdf
21 sen2
, 2 
yxxyyxf  2),(
tx cos 52  ty
        tttt
dt
yxdf
21cos sen25
, 22   tttttt
dt
yxdf
2cos2 sen3 sen
, 22 