Conservacao da Massa

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Conservação da Massa – Equação da continuidade 
A conservação da massa é uma das leis fundamentais da Mecânica Clássica e estabelece que a 
massa se conserva. Analiticamente esta lei escreve-se: 
0
dt
dm
 
Usando a definição de massa volúmica: 
dVol
dm

 
Poderemos escrever o princípio de conservação da massa como: 
0









dt
dVold
vol

 
E o teorema de Reynolds poderemos relacionar o que se passa num volume fixo do espaço: 
 
 
E dizer que a “taxa de acumulação de massa num volume de controlo é igual à massa que 
entra menos a massa que sai”. Se o fluido for incompressível, então a massa que entra é igual 
à massa que sai. 
Se definirmos um volume de controlo com uma entrada e uma saída: 
 
 
Figura 1: Volume de controlo com uma entrada e uma saída 
 
    QdAnvdAnv
AA
 
21
..

 
E poderemos definir velocidade média como a velocidade uniforme na área que produziria o 
mesmo caudal: 
 dSnvdVol
dt
d
dVol
dt
d
VC SCsistema

.   
A1 
A2 
A
Q
UUAQ 
 
A Equação da continuidade aplicada num volume com uma entrada e uma saída permite 
relacionar as velocidades médias nas duas secções: 
2211 AUAUQ 
 
Em termos diferenciais a equação da continuidade seria obtida aplicando o principio de 
conservação a um volume infinitesimal, no interior do qual a massa volúmica é uniforme e em 
cujas faces a velocidade e a massa volúmica é uniforme: 
    saidaentrada AnvAnvV
t


.. 
 
   
       
3312
11
321332122312231
132113221
3
xxxxx
xxx
vxxvxxvxxvxx
vxxvxx
t
xxx







 
Dividindo pelo volume e fazendo-o convergir para zero (para um ponto) obtém-se: 
 
j
j
v
xt






 
E usando a definição de derivada total (ou material), obtém-se: 
 
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
x
v
x
v
tdt
d
x
v
x
v
v
xt


















 
Que, em escoamento incompressível (massa volúmica constante) estabelece que a divergência 
da velocidade é nula. 
const
x
v
k
k 

 0
 
No escoamento da Figura 1 a conservação da massa permite então dizer que a velocidade 
média tem que aumentar da entrada para a saída. Como consequência a velocidade aumenta 
em todo o perfil e por isso temos aceleração convectiva naquela contracção. Se o escoamento 
for estacionário, a aceleração do fluido é igual à aceleração convectiva e por isso a resultante 
das forças tem que apontar para a saída. Isso significa que a pressão tem que baixar. A mesma 
conclusão poderia ser obtida através da equação de Bernoulli. O aumento de velocidade 
implica o aumento da energia cinética e por isso a de pressão tem que baixar. Veremos mais 
adiante, que a equação de conservação da quantidade de movimento permite também chegar 
à mesma conclusão, o que não admira porque (a) quando dizemos que a resultante das forças 
tem que ser positiva por a aceleração o ser estamos a usar o princípio da conservação da 
quantidade de movimento e (b) a equação de Bernoulli resultou também de um balanço de 
força e quantidade de movimento, i.e. do princípio de conservação da quantidade de 
movimento.