testes de convergencia para series

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O Teste da Divergência: Se lim�→∞ �� ≠ 0 ou se lim�→∞ �� não existir, então a série ∑ ��
��� 
diverge. 
O Teste da Integral: Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, ∞) 
e seja �� = �(�). Então a série ∑ ��
��� é convergente se e somente se a integral imprópria 
� �(�) ��
� for convergente. 
O Teste da Comparação: Suponha que ∑ �� e ∑ �� sejam séries com termos positivos. 
i)Se ∑ �� for convergente e �� ≤ �� para todo n, então ∑ �� também será convergente. 
ii)Se ∑ �� for divergente e �� ≥ �� para todo n, então ∑ �� também será divergente. 
 
O Teste de Comparação no Limite: Suponha que ∑ �� e ∑ �� sejam séries com termos 
positivos. Se lim�→
 ���� = , onde c é um número positivo finito, então ambas as séries 
convergem ou ambas as séries divergem. 
 
O Teste da Série Alternada: Se a série alternada ∑ (−1)���
��� satisfazer 
i)��"� ≤ �� 
ii)lim�→
 �� = 0 
então a série é convergente 
 
O Teste da Série Absolutamente Convergente: Se a série ∑ |��|
��� for convergente, então a 
série ∑ ��
��� é convergente. 
 
O Teste da Razão: 
i)Se lim�→
 $��%&�� $ = ' < 1, então a série ∑ ��
��� é convergente. 
ii)Se lim�→
 $��%&�� $ = ' > 1 ou se lim�→
 $
��%&
�� $ = ∞, então a série ∑ ��
��� é divergente. 
 
O Teste da Raiz: 
i)Se lim�→
 *|��|� = ' < 1, então a série ∑ ��
��� é convergente. 
ii)Se lim�→
 *|��|� = ' > 1 ou se lim�→
 *|��|� = ∞, então a série ∑ ��
��� é divergente. 
 
Séries de Mac Laurin Importantes: 
 
1
1 − � = + �
� = 1 + � + �- + �. + ⋯
��0
, |�| < 1 
12 = + �
�
�! = 1 + � +
�-
2! +
�.
3! + ⋯
��0
 
 67(�) = + (−1)
��-�
(2�)! = 1 −
�-
2! +
�8
4! + ⋯
��0
 
71�(�) = + (−1)
��-�"�
(2� + 1)! = � −
�.
3! +
�:
5! + ⋯
��0
 
<=>�(�) = + (−1)
��-�"�
(2� + 1) = � −
�.
3 +
�:
5 + ⋯ |�| < 1 
��0
 
(1 + �)? = + @A�B �
� = 1 + A� + A(A − 1)2! �
- + A(A − 1)(A − 2)3! �
. + ⋯ |�| < 1 
��0