taxavariacao

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9. Derivadas e taxas de variac¸a˜o. A derivada como uma func¸a˜o
(1) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente no ponto dado
i- y = 1 + 2x− x3 no ponto (1, 2)
ii- y =
√
2x+ 1 no ponto (4, 3)
iii- y = x−1x−2 no ponto (3, 2)
iv- y = 2x(x+1)2 no ponto (1, 1/2)
(2) Esboc¸e o gra´fico de uma func¸a˜o tal que
f(0) = 0 f �(0) = 3 f �(1) = 0 f �(2) = −1
(3) Se G(x) = x1+2x , encontre G
�(a) e use o para achar uma equac¸a˜o da reta tangente a curva
y = x1+2x no ponto (−1/4,−1/2).
(4) Encontre f �(a) para
i- f(x) = 3− 2x+ 4x2
ii- f(x) = 2x+1x+3
iii- f(x) = x
2+1
x−2
(5) Cada limite abaixo representa uma derivada de uma func¸a˜o f em algum ponto a. Determine f e
a em cada caso e calcule as derivadas.
i- limh→0
(1+h)10−1
h
ii- limh→0
4
√
16+h−2
h
iii- limh→0
cos(π+h)+1
h
iv- limh→π/4
tan(h)−1
h−π/4
(6) Determine se existe ou na˜o f �(0) para os seguintes casos.
a)
f(x) =
�
x sin(1/x) se x �= 0
0 se x = 0
b)
f(x) =
�
x2 sin(1/x) se x �= 0
0 se x = 0
(7) Determine a reta que e´ tangente ao gra´fico de f(x) = x2 e e´ paralela a` reta y = 4x+ 2.
(8) Verifique atrave´s de gra´ficos que se f for par enta˜o sua func¸a˜o derivada f � e´ ı´mpar. E se f for
ı´mpar enta˜o sua func¸a˜o derivada f � e´ par.
Seja f(x) =3
√
x. Prove que f na˜o e´ diferencia´vel em x = 0 mas e´ diferencia´vel se x �= 0.
(9) Seja f(x) = x|x|. Prove que f e´ diferenciavel.
(10) Fac¸a um esboc¸o de f e de f � para os seguintes casos:
i- f(x) = sin(x)
ii- f(x) = ex
iii- f(x) = ln(x).
(11) Encontre a derivada da func¸a˜o utilizando a definic¸a˜o. Estabelec¸a os domı´nios da func¸a˜o e da
derivada.
i- f(x) = 45
ii- f(x) = x+
√
x
iii- f(x) = 5x2 + 3x− 2
iv- f(x) = 1x2
v- f(x) = 3+x1−3x
vi- f(x) =
√
1 + 2x.
(12) A derivada a esquerda e a direita de f em a sa˜o definidas por
f �−(a) = lim
h→0−
f(x+ h)− f(a)
h
f �+(a) = lim
h→0+
f(x+ h)− f(a)
h
se esses limites existirem. Enta˜ f �(a) existe se, e somente se, f �−(a) e f
�
+(a) existem e sa˜o iguais.
Encontre f �−(4) e f+(4) para
f(x) =

0 se x ≤ 0
5− x se 0 < x < 4
1
5−x se x ≥ 4
E´ f diferencia´vel em 4?