Método das Secantes

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Método da Se
ante
��
1 Método da Se
ante
O Método da Se
ante lembra bastante o método da Posição Falsa.
O método da Se
ante, utiliza o valor da função em dois pontos distintos para 
al
ular uma nova aproximação para a raiz da
equação. A nova aproximação é 
al
ulada 
omo o ponto em que a reta se
ante, que passa pelos dois pontos es
olhidos, 
ruza o
eixo das abs
issas.
Por exemplo, 
onsidere a equação f(x) = ex− 2 = 0. Suponha que os dois pontos es
olhidos sejam x0 = 1.5 e x1 = 2.5, 
omo
pode ser visto na Figura 1.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−5
0
5
10
15
20
Figura 1: Exemplo 1
A próxima aproximação será 
al
ulada 
omo x2 = 1.1777
Para realizar o 
ál
ulo da nova aproximação, é ne
essário 
al
ular a in
linação da reta se
ante, pela fórmula:
m =
f(xn)− f(xn−1)
xn − xn−1
A nova aproximação será 
al
ulada por:
xn+1 = xn −
f(xn)
m
.
Esta té
ni
a pode ser repetida várias vezes, 
omo no próximo exemplo.
Exemplo 1 En
ontre as raízes de f(x) = cos(x) − x.
Pelo inspeção do grá�
o sabemos que a função possui raiz entre x = 0.7 e x = 0.8.
Iteração xn−1 xn m xn+1
1 0.7 0.8 f(0.8)−f(0.7)0.8−0.7 = −1.6813548 0.8−
f(0.8)
m
= 0.7385654
2 0.8 0.7385654 −1.6955107 0.7390784
3 0.7385654 0.7390784 −1.6734174 0.7390851
4 0.7390784 0.7390851 −1.6736095 0.7390851
Tabela 1: Método da Se
ante
Observe que o algoritmo 
onvergiu rapidamente.
1
2 Algoritmo
O 
ódigo para S
iLab é:
fun
tion [y℄=g(x)
y=
os(x)-x
endfun
tion
fun
tion [xn1℄=se
ante(f,xnm1,xn,N,e1,e2,e3)
for i=1:N
m=(f(xn) - f(xnm1))/(xn-xnm1)
xn1=xn-f(xn)/m
disp([i xnm1 xn xn1℄)
if abs(f(xn1))<=e1 then break end
if abs((xn1-xn))<e2 then break end
if abs((xn1-xn)/xn1)<e3 then break end
xnm1=xn
xn=xn1
end
endfun
tion
Problema 1 Utilize o método da se
ante para aproximar todas as raízes das equações abaixo.
• e x2 + x2 − 3 = 0
• ex + sen(x) = 2
• x3 − x2 + 3x− 2 = 0
• (x− 3)2 − 2cos(x− 2) = 0
•
√
x− 2ln(x) = 1
2