Método de Newton

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Método de Newton
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1 Método de Newton
O Método de Newton, diferentemente dos outros métodos estudados, utiliza informação de apenas um ponto da função para
al
ular uma nova aproximação para a raiz da equação. A nova aproximação é 
al
ulada 
omo o ponto em que a reta tangente
ruza o eixo das abs
issas.
Por exemplo, 
onsidere a função f(x) = ex − 2. Suponha que o ponto es
olhido seja x0 = 2 
omo pode ser visto na Figura 1.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−5
0
5
10
15
20
Figura 1: Exemplo 1
A próxima aproximação será 
al
ulada 
omo x1 = 1.27067
Para realizar o 
ál
ulo da nova aproximação, é ne
essário 
al
ular a in
linação da reta tangente, pela fórmula:
m = f ′(xn)
A nova aproximação será 
al
ulada por:
xn+1 = xn −
f(xn)
m
.
Esta té
ni
a pode ser repetida várias vezes, 
omo no próximo exemplo.
Exemplo 1 En
ontre as raízes de f(x) = cos(x) − x.
Pelo inspeção do grá�
o sabemos que a função possui raiz próxima de x = 0.8.
Iteração xn m xn+1
1 0.8 −1.7173560909 0.739853306370
2 0.739853306370 −1.67417957574 0.739085263405
3 0.739085263405 −1.673612125405 0.739085133215
4 0.739085133215 −1.673612029183 0.739085133215
Tabela 1: Método de Newton
Observe que o algoritmo 
onvergiu rapidamente.
1
2 Algoritmo
O 
ódigo para S
iLab é:
fun
tion [y℄=f1(x)
y=
os(x)-x
endfun
tion
fun
tion [y℄=f2(x)
y=-sin(x)-1
endfun
tion
fun
tion [xn1℄=newton(f,df,xn,N,e1,e2,e3)
for i=1:N
m=df(xn)
xn1=xn-f(xn)/m
disp([i xn m xn1℄)
if abs(f(xn1))<=e1 then break end
if abs((xn1-xn))<e2 then break end
if abs((xn1-xn)/xn1)<e3 then break end
xn=xn1
end
endfun
tion
Exer
í
io 1 Considere a equação
e−x
2
= x
tra
e o grá�
o 
om auxílio do S
ilab e verique que ela possui uma raiz positiva. En
ontre uma aproximação para esta razão pelo
grá�
o e use este valor para ini
ializar o método de Newton e obtenha uma aproximação para a raiz 
om 8 dígitos signi�
ativos.
(Use o 
omando "format('v',16)" para alterar a visualização no S
ilab.)
Resposta do Exer
í
io 1: 0.65291864
Exer
í
io 2 Isole e en
ontre as 
in
o primeiras raízes positivas da equação 
om 6 dígitos 
orretos através de traçado de
grá�
o e do método de Newton.
cos(10x) = e−x.
Di
a: a primeira raiz positiva está no intervalo (0, 0.02). Fique atento.
Resposta do Exer
í
io 2: 0.0198679; 0.533890; 0.735412; 1.13237; 1.38851
Exer
í
io 3 En
ontre as raízes do polin�mio f(x) = x4 − 4x2 + 4 através do método de Newton.
Exer
í
io 4 En
ontre as raízes reais do polin�mio f(x) = x
5
100 + x
4 + 3x + 1 isolando-as pelo método do grá�
o e depois
usando o método de Newton. Expresse a solução 
om 7 digitos signi�
ativos.
Resposta do Exer
í
io 4: - 99.99970, - 0.3376513; -1.314006
Exer
í
io 5 Considere o método de Newton apli
ado para en
ontrar a raiz de f(x) = x3 − 2x+2. O que a
onte
e quando
x(0) = 0? Es
olha um valor adequado para ini
ializar o método e obter a úni
a raiz real desta equação.
Exer
í
io 6 Entenda a interpretação geométri
a ao método de Newton. En
ontre uma valor para ini
iar o método de
Newton apli
ado ao problema f(x) = xe−x = 0 tal que o esquema iterativo divirja.
Resposta do Exer
í
io 6: x0 > 1.
2