Aula 1 oscilacoes completa

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TE220
DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
Bibliografia:
1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e 
Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J. 
Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.
2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U. Cambridge 
University Press (1988)
3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P., 
Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company
(1977)
4. Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)
OSCILAOSCILAOSCILAOSCILAÇÇÇÇÕESÕESÕESÕES
�Deslocamento, velocidade e aceleração no Movimento 
Harmônico Simples - MHS.
�Energia no MHS.
�Exemplos de MHS: sistema massa mola, pêndulo 
matemático, pêndulo físico, pêndulo de torção.
�Oscilador Harmônico amortecido.
�Oscilação forçadas/ressonância.
D
e
s
l
o
c
a
m
e
n
t
o
Tempo (t)
( ) ( ) cosmx t x tω φ= +
2
2 f
T
π
ω π= =
Exemplo de um Movimento 
Harmônico Simples (MHS)
O movimento é periódico, ou seja se repete com o tempo. O tempo 
necessário para uma repetição é chamado período (símbolo T, unidade: s).
O número de repetições por unidade de tempo é chamado frequência 
(símbolo f, unidade: Hz). f = 1/T .
O deslocamento da partícula é dado pela equação x(t)= xmcos(ωt+φ).
A fig. (b) é o gráfico de x(t) contra t. xm é chamada amplitude do 
movimento. Ela expressa o deslocamento máximo possível do objeto que 
oscila. “ω” é chamada frequência angular do oscilador. Ela é determinada 
pela equação: 
(2)
D
e
s
l
o
c
a
m
e
n
t
o
D
e
s
l
o
c
a
m
e
n
t
o
V
e
l
o
c
i
d
a
d
e
V
e
l
o
c
i
d
a
d
e
A
c
e
l
e
r
a
A
c
e
l
e
r
a
ç
ç
ã
o
ã
o
( )( ) cosmx t x tω φ= + “φ” é chamado de ângulo de fase do oscilador. Seu 
valor é determinado a partir do deslocamento x(0) e 
da velocidade v(0) em t = 0. Na fig. (a) x(t) é
desenhado contra t para φ = 0. x(t) = xm cos ωt.
Velocidade no MHS
( )[ ] ( )φωωφω +−=+== tsenxtx
dt
d
dt
tdx
tv mm cos
)(
)(
“ωxm” é chamado amplitude da velocidade vm. Ele 
expressa o máximo valor possível de v(t).
Na fig. (b) a velocidade v(t) é desenhada contra t
para φ = 0. v(t) = -ωxm sen ωt.
(3)
Aceleração no MHS ( )[ ] ( ) xtxtsenx
dt
d
dt
tdv
ta mm
22 cos
)(
)( ωφωωφωω −=+−=+−==
“ω2xm” é chamado amplitude da aceleração am. Ele expressa o máximo valor 
possível de a(t). Na fig. (c) a aceleração a(t) é desenhada contra t para φ = 0. 
a(t) = -ω2xm cos ωt.
1. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma 
amplitude de 2,20 cm a uma frequência de 6,60 Hz ?
( )( ) ( )
22 2 2(2 ) 2 6.60 Hz 0.0220 m 37.8 m/s .m m ma x f xω π π= = = =
2.Uma partícula com massa igual a 1,00 10-20 kg está oscilando em um 
MHS com um período de 1,00 10-5 s e uma velocidade máxima de 1,00 
103 m/s. Calcule (a) a frequência angular e (b) o deslocamento máximo 
da partícula.
ω = 2π/(1.00 × 10–5 s) = 6.28 × 105 rad/s.(a)(a)
(b)(b) = =
1.00 10
6.28 10
= 1.59 10 . 
3
5
3x
v
m
m
ω
×
×
× −
 m / s
 rad / s
 m
(4)
ExercExercíícioscios
3. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás por 
uma distância de 2,00 mm em MHS, com uma frequência de 120 Hz. 
Encontre (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) a 
intensidade da aceleração máxima da lâmina.
(a)(a)
(b)(b)
(c)(c)
xm = 1.0 mm
( )( )3= 2 = 2 120 Hz 1.0 10 m = 0.75 m/s.m mv fxπ π −×
( ) ( )( ) ( )
222 3 2 2= = 2 = 2 120 Hz 1.0 10 m = 5.7 10 m/s .m m ma x f xω π π
−× ×
(5)
ExercExercíícioscios
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (12) (16) (17)
Perguntas: (1) (2) (3)
 
k
m
ω = 2
m
T
k
π=
2
m
T
C
π=
A lei da força para o MHS
(6)
Nos vimos que a aceleração de um objeto sob MHS é: a = -ω2x.
Aplicando a segunda lei de Newton obtemos: F = ma = - mω2x = -(mω2)x
O MHS acontece quando a força é proporcional ao deslocamento da 
partícula com sinal contrário. A força pode ser representada por: F = - Cx
onde C é uma constante. Comparando as duas expressões para F obtemos:
mω2 = C e
Considere o movimento de uma massa m ligada 
a uma mola com uma constante de mola k sobre 
uma superfície horizontal sem atrito como na 
figura.
O módulo da força resultante F sobre m é dada pela lei de Hooke: F = -kx. 
Comparando esta equação com a expressão F = -Cx identificamos que 
neste caso C = k.
Agora podemos calcular a 
frequência angular ω e o período T
1. Um pequeno corpo com massa igual a 0,12 kg está sujeito a um MHS 
com amplitude 8,5 cm e período de 0,20 s. (a) Qual a intensidade da força 
máxima agindo sobre ele (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, 
qual a constante da mola?
 = = 0.12 10 0.085 = 10 . 2
2
F m xmmax kg rad / s m Nω b gb g b gπ
( )( )
22 2 0.12kg 10 rad/s 1.2 10 N/m.
k
k m
m
ω ω π= ⇒ = = = ×
(a)(a)
(b)(b)
(7)
ExercExercíícioscios
(8)
2. Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500 kg ligado a 
a uma mola. Quando posto para oscilar com amplitude de 35,0 cm, o 
oscilador repete seu movimento a cada 0,500 s. Determine (a) o período, 
(b) a frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante da mola, (e) a 
velocidade máxima, (f) a intensidade da força máxima que a mola exerce 
sobre o bloco.
(a)(a) T = 0,500 s
(b)(b) f = 1/T = 1/(0,500 s) = 2,00 Hz
ω = 2πf = 2π(2,00 Hz) = 12,6 rad/s(c)(c)
(d)(d)
(e)(e)
k = mω2 = (0,500 kg) (12,6 rad/s)2 = 79,0 N/m
vm = ω xm = (12,6 rad/s)(0,350 m) = 4,40 m/s
(f)(f) Fm = kxm = (79,0 N/m)(0,350 m) = 27,6 N
ExercExercíícioscios
E
n
e
r
g
i
a
E
n
e
r
g
i
a
E
n
e
r
g
i
a
E
n
e
r
g
i
a
(9)
Energia no MHS A energia mecânica E do MHS é a soma das suas 
energia cinética K e potencial U
Energia potencial )(cos
2
1
2
1 222 φω +== tkxkxU m
Energia cinética 2
2
1
mvK =
)(
2
1
)(
2
1 22222 φωφωω +=+= tsenkxtsenxmK mm
Energia mecânica KUE +=
[ ] 2222
2
1
)(cos)(
2
1
mm kxttsenkxE =+++= φωφω
Na figura se observa o comportamento da energia cinética K, a energia 
potencial U e a energia mecânica E com o tempo.
U e K variam com o tempo entanto E permanece constante. A energia se 
transfere de uma forma para a outra mantendo a soma constante.
1. A figura mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples 
em função da posição x. A escala vertical é definida por Ks = 4,0 J. Qual 
é a constante elástica?
(10)
ExercExercíícioscios
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (30)
Perguntas: (9) (10)
k x
m
2 = 6,0 J ⇒ k = 8,3 ×102 N/m
Inferimos do gráfico que E = 6,0 J = Umax
A amplitude é 12 cm, portanto: