Laboratório 4 (Área 2)

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Laboratório 4 - Problemas
1
1 Exer
í
ios
Exer
í
io 1 A equação
cos(πx) = e−2x
tem in�nitas raízes. Usando métodos numéri
os en
ontre as primeiras raízes dessa equação. Veri�que a j-
ésima raiz (zj) pode ser aproximada por j−1/2 para j grande. Use o método de Newton para en
ontrar uma
aproximação melhor para zj .
Resposta do Exer
í
io 1: z1 ≈ 0.3252768, z2 ≈ 1.5153738, z3 ≈ 2.497846, z4 ≈ 3.5002901, zj ≈
j − 1/2− (−1)j e
−2j+1
pi
, j > 4
Exer
í
io 2(Eletri
idade) A 
orrente elétri
a, I, em Ampères em uma lâmpada em função da tensão
elétri
a, V , é dada por
I =
(
V
150
)0.8
Qual a potên
ia da lâmpada quando ligada em série 
om uma resistên
ia de valor R a uma fonte de 150V
quando. (pro
ure erro inferior a 1%)
a) R = 0Ω
b) R = 10Ω
) R = 50Ω
d) R = 100Ω
E) R = 500Ω
Resposta do Exer
í
io 2: 150W, 133W, 87W, 55W, 6.5W
Exer
í
io 3 (Bioquími
a) A 
on
entração sanguínea de um medi
amente é modelado pela seguinte
expressão
c(t) = Ate−λt
onde t > 0 é o tempo em minutos de
orrido desde a administração da droga. A é a quantidade administrada
em mg/ml e λ é a 
onstante de tempo em min−1. Responda:
a) Sendo λ = 1/3, em que instantes de tempo a 
on
entração é metade do valor máximo. Cal
ule 
om
pre
isão de segundos.
b) Sendo λ = 1/3 e A = 100mg/ml, durante quanto tempo a 
on
entração permane
e maior que 10mg/ml.
Resposta do Exer
í
io 3: a) 42s e 8min2s, b) 14min56s.
1
Exer
í
ios 
riados pelos professores Fabio S. de Azevedo e Esequia Sauter
1
Exer
í
io 4 Considere o seguinte modelo para 
res
imento popula
ional em um país:
P (t) = A+Beλt.
onde t é dado em anos. Use t em anos e t = 0 para 1960. En
ontre os parâmetros A, B e λ 
om base nos
anos de 1960, 1970 e 1991 
onforme tabela:
Ano população
1960 70992343
1970 94508583
1980 121150573
1991 146917459
Use esses parâmetros para 
al
ular a população em 1980 e 
ompare 
om o valor do 
enso.
Resposta do Exer
í
io 4: 118940992
Exer
í
io 5(Fluidos) Uma boia esféri
a �utua na água. Sabendo que a boia tem 10ℓ de volume e
2Kg de massa. Cal
ule a altura da porção molhada da boia.
Resposta do Exer
í
io 5: 7.7
m
Exer
í
io 6(Fluidos) Uma boia 
ilíndri
a tem se
ção transversal 
ir
ular de raio 10
m e 
omprimento
2m e pesa 10Kg. Sabendo que a boia �utua sobre água 
om o eixo do 
ilíndro na posição horizontal, 
al
ule
a altura da parte molhada da boia.
Resposta do Exer
í
io 6: 4.32
m
Exer
í
io 7 En
ontre 
om 6 
asas de
imais o ponto da 
urva y = ln x mais próximo da origem.
Resposta do Exer
í
io 7: (0.652919,0.426303)
Exer
í
io 8(Controle de sistemas) Depois de a
ionado um sistema de aque
edores, a temperatura
em um forno evolui 
onforme a seguinte equação
T (t) = 500− 800e−t + 600e−t/3.
onde T é a temperatura em Kelvin e t é tempo em horas.
a) Obtenha anali
amente o valor de limt→∞ T (t).
b) Obtenha anali
amente o valor máximo de T (t) e o instante de tempo quando o máximo a
onte
e
) Obtenha numeri
amente 
om pre
isão de minutos o tempo de
orrido até que a temperatura passe pela
primeira vez pelo valor de equilíbrio obtido no item a.
) Obtenha numeri
amente 
om pre
isão de minutos a duração do periodo durante o qual a temperatura
permane
e pelo menos 20% superior ao valor de equilíbrio.
Resposta do Exer
í
io 8: 500K, 700K em t = 3 ln(2), 26min, 4h27min.
Exer
í
io 9(Prova 2011/2 - Prof. João Carvalho) En
ontre as equações de duas retas tangentes
à 
urva y = e−x + cos(πx) que passam pelo ponto P (0,−π).
2
Resposta do Exer
í
io 9: y = −π + mx 
om m ≈ −4.7027752, m ≈ 2.1735412, m ≈ 2.3013833,
m ≈ 0.7204407 (existem outras soluções possíveis.)
Exer
í
io 10 En
ontre os pontos onde a elipse que satisfaz
x2
3
+y2 = 1 intersepta a parábola y = x2−2.
Resposta do Exer
í
io 10: (±1.1101388,−.7675919), (±1.5602111, 0.4342585)
Exer
í
io 11(Otimização) En
ontre a área do maior retângulo que é possível ins
rever entre a 
urva
e−x
2
(1 + cos(x)) e o eixo y = 0.
Resposta do Exer
í
io 11: 1.5318075
Exer
í
io 12(Otimização) Uma indústria 
onsome energia elétri
a de duas usinas forne
edoras. O
usto de forne
imento em reais por hora 
omo função da potên
ia 
onsumida em kW é dada pelas seguintes
funções
C1(x) = 500 + .27x+ 4.1 · 10
−5x2 + 2.1 · 10−7x3 + 4.2 · 10−10x4
C2(x) = 1000 + .22x+ 6.3 · 10
−5x2 + 8.5 · 10−7x3
Onde C1(x) e C2(x) são os 
ustos de forne
imento das usinas 1 e 2, respe
tivamente. Cal
ule o 
usto mínimo
da energia elétri
a quando a potên
ia total 
onsumida é 1500kW .
Resposta do Exer
í
io 12: Aproximadamente 2500 reais por hora.
Exer
í
io 13 En
ontre os três primeiros pontos de mínimo da função
f(x) = e−x/11 + x cos(2x)
para x > 0 
om erro inferior a 10−7.
Resposta do Exer
í
io 13: 1.72285751 ,4.76770758, 7.88704085
3