Aula 5 Método de Gauss Jacob

Prévia do material em texto

1/3 
 
Método de Gauss-Jacob 
 
 
Exemplo: Supondo 
 
 
 
Dado x0 = e  = 0.05 ( precisão) 
 
 
O método consiste em dado x0 (aproximação inicial) obter x1, ...xk, através da relação recursiva: 
x k+1 = Cxk + G pode ser escrito na forma: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
Seja 
 
  onde B = 
 
 
 
1º Passo: Observe que x corresponde na definicao do método a , y a e z a , ou seja, 
podemos reescrever o sistema como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/3 
 
 
 
 
2º Passo: Portanto, podemos reescrever da forma: 
 
 
 
3º Passo: Podemos, a partir do 2º passo, definir a matriz 
e a matriz G = 
 
 
4º Passo: Iniciamos o processo iterativo. Assim, temos para k = 0: 
 
 
 
5º Passo: Como realizamos a primeira iteração, faremos o teste de parada para verificar se a 
solução encontrada alcançou a precisão desejada. O teste de parada será realizado a cada iteração. 
 
 
Teste de Parada: 
 
Para identificarmos se alcançamos a precisão desejada, mediremos a distância entre xk e xk-1 por mk 
= . Da mesma maneira que no teste de parada dos métodos estudados 
anteriormente, onde procurávamos a raiz da função, podemos aplicar o teste do erro relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3/3 
 
 
Observação: Podemos usar como teste de parada um número máximo de iterações. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 Então, (lembre-se  = 0.05). 
Portanto, passamos para k = 1. 
 
 
 
O procedimento para quando alcançamos a precisão desejada ou o máximo de iteração desejada. 
Para chegarmos a  = 0.05 deveremos fazer mais duas iterações. Você deverá fazer como exercício 
para verificar a seguinte resposta: 
 
 
x2 = com e 
 
x3 = com com 
 
 
 
Observação: O método de Gauss-Jacobi tem a convergência garantida, se o critério das linhas for 
satisfeito.