Apostila MEC.FLU

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EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Aula 1 
Fluido: Substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento 
(tangencial), por menor que seja esta tensão. 
 � líquidos e gases 
 
Equações Básicas 
 
Princípios de Conservação: Massa, Energia e Quantidade de Movimento 
Leis Básicas: Segunda Lei de Newton, Primeira e Segunda Leis da Termodinâmica 
 
Leis Básicas + Princípios de Conservação � Equações Básicas 
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Métodos de Análise 
Sistema: quantidade fixa e identificável de massa, separada do meio externo por fronteiras definidas, 
fixadas ou móveis, através das quais não ocorre transferência de massa. 
 ex: conjunto pistão-cilindro (termodinâmica) 
Volume de Controle: volume arbitrário no espaço, através do qual fluidos escoam. O volume de 
controle é envolto por uma superfície de controle, que pode ser real ou imaginária, e pode 
estar em repouso ou em movimento. 
 ex: escoamento de fluidos em dutos 
Abordagens: Diferencial × Integral 
Volumes de Controle Infinitesimais � equações diferenciais 
Volumes de Controle finitos � equações integrais 
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Métodos de Descrição 
Lagrangiano: acompanha os elementos identificáveis de massa (ex: partículas) 
Euleriano: avalia as propriedades de um escoamento qualquer em um ponto no espaço, em função do 
tempo 
Campo de Tensões 
As tensões em um meio resultam de forças agindo em alguma parte do meio. São necessárias nove 
quantidades para especificar o estado de tensão de um fluido. 
Forças de superfície: forças agindo sobre as fronteiras de um meio por contato direto. 
Forças de campo: forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas sobre o volume do fluido. 
Ex: gravitacional, eletromagnética 
 
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Tensão em um Ponto 
Considere-se a figura 
y
x
z
c
δA δF
 
a tensão em um ponto é definida como 
 
A
F
limtensão
0A
r
r
r δ
δ
≡
→δ
 
 
 
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C
δA
δF
n
δF
δF
t
n
 
 
A
r
δ : porção da superfície, em torno do ponto C, na qual age F
r
δ 
A orientação de A
r
δ é dada pelo vetor unitário normal n
r
 !! 
F
r
δ pode ser decomposta em duas componentes, uma normal e a outra tangente à superfície A
r
δ . 
 
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Tensão normal: 
n
n
0A
n A
F
lim
n δ
δ
=σ
→δ
 
Tensão de cisalhamento: 
n
t
0A
n A
F
lim
n δ
δ
=τ
→δ
 
 
Quantidades vetoriais → sistemas de coordenadas ortogonais 
Coordenadas cartesianas → tensões agindo em planos cujas normais direcionadas para fora estão nas 
direções x, y e z. 
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y
z
x
δFy
C
δF
x
δFz
δτxy
C
δσxx
δτxz
y
x
z 
x
x
0A
xx A
F
lim
x δ
δ
=σ
→δ
 
x
y
0A
xy A
F
lim
x δ
δ
=τ
→δ
 
x
z
0A
xz A
F
lim
x δ
δ
=τ
→δ
 
 










σττ
τστ
ττσ
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
 
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Fluidos podem ser classificados em função da relação entre a tensão aplicada e a taxa de deformação 
do mesmo. 
 
δy
x
y
δx
δα
δl
M M' P P'
N O
Força, Fx
velocidade, δu
elemento fluido
no tempo t + dt
elemento fluido
no tempo t
 
 
y
x
y
x
0A
yx dA
dF
A
F
lim
y
=
δ
δ
=τ
→δ
 
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Durante o intervalo de tempo δt, o elemento fluido é deformado da posição MNOP para a posição 
M’NOP’. 
dt
d
t
limdeformaçãodetaxa
0t
α
=
δ
δα
=
→δ
 
Para avaliar τyx, deseja-se expressar dα/dt em termos de quantidades mensuráveis !! 
Distância entre os pontos M e M’: δl = δuδt 
Para ângulos pequenos: δl = δyδα 
Igualando para δl: 
y
u
t δ
δ
=
δ
δα
 
Tomando-se o limite em ambos os lados da igualdade: 
dy
du
dt
d
=
α
 
Portanto, o elemento fluido quando submetido a uma tensão de cisalhamento τyx, sofre uma 
deformação cuja taxa é du/dy ! 
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Fluidos Newtonianos 
Fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação. 
Fluidos Não Newtonianos 
Fluidos para os quais a tensão de cisalhamento não é proporcional à taxa de deformação. 
Fluidos Newtonianos 
dy
du
yx ∝τ 
Deformação de fluidos Newtonianos diferentes: água e glicerina → Glicerina irá apresentar maior 
resistência à deformação que a água → Diz-se que a glicerina é mais viscosa que a água 
dy
du
yx µ=τ 
µ = viscosidade absoluta (ou dinâmica) 
A viscosidade é uma medida do cisalhamento viscoso, que, por sua vez, resulta da troca de 
quantidade de movimento entre moléculas em constante movimento → µ = µ(T) 
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Fluidos Não Newtonianos 
Modelos de potência: 
n
yx dy
du
k=τ 
dy
du
dy
du
dy
du
k
1n
yx η==τ
−
 
η = viscosidade aparente 
Pseudoplástico: fluido para o qual a viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de 
deformação 
Ex: soluções de polímeros de alto peso molecular, polpa de papel e tintas de impresoras 
 
Dilatante: fluido para o qual a viscosidade aparente aumenta com o aumento da taxa de deformação 
 Ex: suspensões de amido, suspensões de areia 
 
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Plástico de Bingham: fluido que se comporta como um sólido até que uma tensão crítica mínima seja 
excedida e, subsequentemente, exibe uma relação linear entre tensão e taxa de deformação 
 Ex: suspensões de argila, pasta de dente, cimentos 
 
Viscosidade aparente como função do tempo 
Tixotrópico: fluidos que apresentam diminuição na viscosidade aparente com o tempo, sob a 
aplicação de tensão de cisalhamento constante 
 Ex: algumas tintas, margarina, creme de barbear, ketchup 
Reopético: fluidos que apresentam aumento na viscosidade aparente com o tempo, sob a aplicação de 
tensão de cisalhamento constante 
 Ex: clara de ovo, Maionese 
Viscoelástico: fluido que retorna parcialmente ao estado original após deformação, quando a tensão 
aplicada é retirada 
 Ex: alguns shampoos, leite condensado, gelatina em água 
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Descrição e Classificação de Escoamentos de Fluidos 
Escoamento não-viscoso: efeitos de viscosidade são desprezados, i.e., a viscosidade é suposta nula. 
Escoamento viscoso 
camada limite
x
y
U U U
 
 
No escoamento viscoso, o fluido em contato direto com uma superfície sólida tem a mesma 
velocidade que a superfície → não há deslizamento na superfície !! 
Divide-se o escoamento em 2 regiões distintas: na região adjacente à superfície, tensões de 
cisalhamento estão presentes (gradientes de velocidade, du/dy), e esta região é denominada camada 
limite. Fora da camada limite o gradiente de velocidade é zero, e, nesta região, pode-se aplicar a 
teoria de escoamento não-viscoso para analisar o escoamento. 
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Escoamento em torno de um cilindro: efeito da viscosidade e da pressão 
 
y
x
B CA
ponto de separação
esteira
 
 
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Escoamentos Laminar e Turbulento 
No regime laminar, a estrutura do escoamento é caracterizada pelo movimento em lâminas ou 
camadas, não havendo mistura macroscópica de camadas de fluido adjacentes. A estrutura do 
escoamento no regime turbulento é caracterizada pelo movimento tridimensional aleatório das 
partículas do fluido sobreposto ao movimento médio do fluido. 
 
Escoamento Incompressível: escoamento no qual variações na densidade são desprezíveis. 
 Ex: líquidos em geral e gases com M < 0,3 (M ≡ V/c) 
Escoamento Compressível: variações na densidade são significativas 
 Ex: gases com M > 0,3 
 
Escoamentos Interno e Externo 
 
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Aula 3 
 
Estática dos Fluidos 
 
Fluidos em repouso ou em movimento de “corpo rígido” são 
capazes de sofrer a ação apenas de tensões normais, não 
apresentando, portanto, nenhuma deformação angular. 
 
Para um fluido estático ou em movimento de “corpo rígido”, 
aplicando-se a Segunda Lei de Newton, pode-se avaliar a reação das 
partículas de fluido às forças a que estão submetidas. 
 
Campo de pressão em um fluido estático 
 
Considerar um elemento diferencial de massa estacionário, dm, com 
lados dx, dy e dz: 
 
∀ρ= ddm 
 
em que ∀ é o volume do elemento fluido e ρ é a densidade. 
 
 
Forças de corpo e forças de superfície agem sobre o elemento! 
 
 
Para um elemento diferencial de fluido: 
 
dzdydxgFddgdmgFd BB ρ=⇒∀ρ== r
rrrr 
 
Fluido estático: não há tensões de cisalhamento !! 
 
Ë forças de superfície = pressão, p ⇒ p = p(x,y,z) 
 
 
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A força de pressão resultante em um elemento fluido pode ser 
avaliada somando-se as forças que agem nas seis faces do elemento 
fluido. 
 
)jˆ)(dxdz(
2
dy
y
pp ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂− )jˆ)(dxdz(2
dy
y
pp −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
dz
dx
dy
z
y
x
O
pressão, p
 
 
Na face esquerda, L: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∂
∂+=−∂
∂+=
2
dy
y
pp
2
dy
y
pp)yy(
y
ppp LL 
 
Na face direita, R: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=−∂
∂+=
2
dy
y
pp)yy(
y
ppp RR 
 
Cada força de pressão é um produto de três termos. O primeiro é a 
magnitude da pressão. A magnitude é multiplicada pela área da face 
para dar a força de pressão, e um vetor unitário é introduzido para 
indicar a direção e sentido de atuação da força. 
 
 
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A força de pressão em cada face atua contra a face → uma pressão 
positiva corresponde a uma tensão compressiva. 
 
Força de superfície agindo no elemento: 
 
)kˆ)(dxdy(
2
dz
z
pp)kˆ)(dxdy(
2
dz
z
pp
)jˆ)(dxdz(
2
dy
y
pp)jˆ)(dxdz(
2
dy
y
pp
)iˆ)(dydz(
2
dx
x
pp)iˆ)(dydz(
2
dx
x
ppFd S
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−+
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−+
+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−=r
 
 
dzdydxkˆ
z
pjˆ
y
piˆ
x
pFd S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−=r 
 
p
z
kˆ
y
jˆ
x
iˆ
z
pkˆ
y
pjˆ
x
piˆp ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂≡∇ 
 
Gradiente = operador vetorial → o gradiente de um campo escalar 
fornece um campo vetorial 
 
dzdydxpFd S −∇=
r
 
 
Fisicamente, o gradiente de pressão é o negativo da força de 
superfície por unidade de volume, devido a pressão. O nível de 
pressão não é importante na avaliação da força de pressão 
resultante. O que importa é a taxa na qual as variações de pressão 
ocorrem com a distância, ou seja, o gradiente de pressão. 
 
 
 
 
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Força total agindo sobre o elemento de fluido: 
 ( ) ( ) ∀ρ+∇−=ρ+∇−=+= dgpdzdydxgpFdFdFd BS rrrrr 
 
gp
d
Fd r
r
ρ+−∇=∀ 
 
Para uma partícula de fluido, a Segunda Lei de Newton é 
∀ρ== dadmaFd rrr . Para um fluido estático, 0a =r . Portanto, 
 
0a
d
Fd =ρ=∀
r
r
 
 
0gp =ρ+∇− r 
 
0
ponto
umemvolume
deunidadepor
corpodeforça
ponto
umemvolume
deunidadepor
pressãodeforça
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
 
 
Equação vetorial !! 
 
⇓ 
 
zdireção0g
z
p
ydireção0g
y
p
xdireção0g
x
p
z
y
x
=ρ+∂
∂−
=ρ+∂
∂−
=ρ+∂
∂−
 
 
 
 
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Escolher sistema de coordenadas de forma que o vetor gravidade 
esteja alinhado com um dos eixos coordenados !!!! 
 
Para eixo z direcionado verticalmente para cima: 
 
gx = 0, gy = 0 e gz = -g 
 
 
g
z
p0
y
p0
x
p ρ−=∂
∂=∂
∂=∂
∂ 
 
 
γ−≡ρ−= g
dz
dp
 
 
Equação básica da estática dos fluidos !! 
 
Valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível 
de referência → se o nível de referência for o vácuo, as pressões são 
denominadas absolutas. 
 
Medidores de pressão: em sua maioria indicam diferenças de 
pressão → os níveis de pressão medidos em relação à pressão 
atmosférica são denominados pressões manométricas: 
 
aatmosféricabsolutaamanométric ppp −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Variação de pressão em um fluido estático 
 
Fluido incompressível: ρ = constante ⇒ tetanconsg
dz
dp =ρ−= 
 
Variação de pressão: integrar equação, aplicando condições de 
contorno apropriadas → 
 
∫ ∫ ρ−=pp zz0 0 dzgdp 
ou ( ) ( )zzgzzgpp 000 −ρ=−ρ−=− 
 
Líquidos: colocar origem do sistema de coordenadas na superfície 
livre (nível de referência) e medir distâncias para baixo da superfície 
livre como sendo positivas!!! 
 
Portanto, para h medido positivo para baixo: 
 
ghpp 0 ρ=− 
 
 ⇓ 
 
A diferença de pressão entre dois pontos em um fluido estático pode 
ser determinada medindo-se a diferença de elevação entre eles!! 
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Manômetro simples de tubo em U 
 
h1 h2
B B'
A+
C
z
fluido, ρ1 fluido, ρ2
aberto para a atmosfera
 
 
Perna direita do tubo aberta para a atmosfera: 
 ( )
( ) 22BC2CB
11AB1BA
ghzzgpp
ghzzgpp
ρ−=−ρ=−
ρ−=−ρ=−
 
 
Somando as duas equações: 
 
1122CA ghghpp ρ−ρ=− 
 
pC = patm → pA - pC = pA manométrica 
 
Se ρ1 for desprezível comparada com ρ2: 22amanométricA ghp ρ= 
Palmeira
Highlight
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Gases 
 
Alguns problemas práticos de engenharia: massa específica varia 
consideravelmente com a altitude. 
 
Para fluidos compressíveis (ex: gases): equação de estado relaciona 
massa específica com pressão e temperatura. 
 
Para gases que podem ser aproximados por ideais: RTp ρ= 
 
R = constante universal dos gases; e T = temperatura absoluta 
 
 ⇓ 
 variável adicional!! 
 
Atmosfera padrão: temperatura varia linearmente com a altitude 
 
00
0 T
mz1
T
ToumzTT −=−= 
Relação pressão-altura: 
 
( )dzmzTR
pgdz
RT
pggdzdp
0 −
−=−=ρ−= 
 
Integrando: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
00 T
mz1ln
mR
g
p
pln ⇒ mR
g
0
0 T
Tpp ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
 
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Problema: A capacidade máxima de fornecimento de potência de 
um motor de combustão interna decresce com a altitude, devido ao 
fato de a massa específica do ar e, consequentemente, a vazão 
mássica de ar decrescerem com a altitude. Um caminhão parte do 
Rio de Janeiro (elevação de 0 metros) em um dia em que a 
temperatura e a pressão barométricasão, respectivamente, de 40oC 
e 1 atm. O caminhão viaja para Belo Horizonte (elevação de 
aproximadamente 800 metros), em que a temperatura é de 27oC. 
Determinar a pressão barométrica em Belo Horizonte e a variação 
percentual na massa específica do ar. 
 
Solução: 
 
Considerações: (a) fluido estático; e 
 (b) o ar comporta-se como gás ideal. 
 
Equações básicas: g
dz
dp ρ−= e RTp ρ= 
 
Supondo que a massa específica varie linearmente com a altitude: 
 
mR
g
0
0 T
Tpp ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
 
( )
( ) m/C016,0m0800
C2740
zz
TTm o
o
0
0 =−
−=−
−= 
 
137,2
mkg9,286
sKkg
C016,0
m
s
m81,9
mR
g
2
2
o2 =××= 
 
 
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913,0
4015,273
2715,273
T
T
p
p 137,2mR
g
00
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
 
atm913,01913,0p913,0p 0 =×== 
 
A variação da massa específica é dada por: 
 
%7,4ou047,01
958,0
913,01
T
T
p
p1 0
000
0 −=−=−=−ρ
ρ=ρ
ρ−ρ 
 
 
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Aula 4 
 
Equações Básicas na Forma Integral para um Volume de Controle 
 
Volume de controle × sistema ? 
 ↓ 
meios fluidos são capazes 
de distorções e deformações 
contínuas com o tempo 
 ↓ 
difícil identificar e acompanhar 
a mesma massa de fluido em todos 
os instantes 
 
↓ 
Na maioria das vezes, estamos interessados no efeito do movimento 
de um fluido sobre um dispositivo ou uma estrutura. 
 
Leis e Princípios Básicos para um Sistema 
 
Conservação de massa 
 
A conservação da massa exige que a massa, M, do sistema seja 
constante: 
 
0
dt
dM
sistema
= 
em que 
 
∫ ∀ρ=∫= ∀ ddmM Msistema 
 
 
 
 
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Segunda Lei de Newton 
A soma de todas as forças externas atuando sobre o sistema é igual à 
taxa de variação com o tempo de sua quantidade de movimento 
linear: 
 
sistemadt
PdF
rr = 
em que 
 
∫ ∀ρ=∫= ∀ dVdmVP Msistema
rrr
 
 
Princípio da Quantidade de Movimento Angular 
A taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual à 
soma de todos os torques atuando sobre o sistema: 
 
sistemadt
HdT
rr = 
em que 
 
∫ ∀ρ×=∫ ×= ∀ dVrdmVrH Msistema
rrrrr 
 
Primeira Lei da Termodinâmica 
Primeira Lei da Termodinâmica = conservação de energia 
 
sistemadt
dEWQ =− && 
em que 
 
∫ ∀ρ=∫= ∀ deedmE Msistema e gz2
Vue
2
++= 
 
u = energia interna específica 
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0Q >& → calor é adicionado ao sistema pelo meio ambiente ao seu 
redor 
0W >& → trabalho é realizado pelo sistema sobre o meio ambiente 
 
Segunda Lei da Termodinâmica 
 
T
QdS δ≥ ou 
T
Q
dt
dS &≥ 
em que 
 
∫ ∀ρ=∫= ∀ dssdmS Msistema 
 
Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume 
de controle 
 
N = propriedade extensiva do sistema 
η = propriedade intensiva (prop. extensiva por unidade de 
massa) 
 
∫ ∀ηρ=∫ η= ∀ ddmN Msistema 
 
Para 
sSN
eEN
VrHN
VPN
1MN
=η→=
=η→=
×=η→=
=η→=
=η→=
rrr
rr
 
 
Volume de controle: massa cruza a fronteira 
↓ 
variação da propriedade N ↔ fluxo de massa e propriedades que a 
massa conduz 
 
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Computar fluxo de massa: sistema e volume de controle 
coincidentes em um dado instante ← limite das quantidades de 
fluxo 
em regiões de superposição 
 
 
II III
I
linhas de corrente
no tempo t0
y
x
z
y
x
z
sub-região (1)
sub-região (3)
volume de
controle
sistema
tempo t0 tempo t0 +Δt 
 
volume de controle: fixo no espaço em relação ao sistema de 
coordenadas xyz. 
 
sistema: consiste das mesmas partículas fluidas e, 
consequentemente, deve mover-se com o campo de 
escoamento. 
 
* O sistema é escolhido de forma que a massa na região I entra no 
volume de controle durante o intervalo de tempo Δt, e a massa na 
região III deixa o volume de controle durante o mesmo intervalo. 
 
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 ( ) ( )
sistemas
t
NN
limdt
dN 00 tstts
0tsistema
=Δ
−= Δ+
→Δ
 
 
em t0 + Δt: o sistema ocupa as regiões II e III 
em t0: sistema e volume de controle coincidem 
 ( ) ( ) ( ) ttIIIIvcttIIIIItts 000 NNNNNN Δ+Δ+Δ+ +−=+= 
e ( ) ( )
00 tvcts
NN = 
 
↓ 
 ( ) ( )
t
NNNN
limdt
dN 00 tvcttIIIIvc
0ts Δ
−+−= Δ+
→Δ
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )321
t
N
limt
N
limt
NN
limdt
dN ttI
0t
ttIII
0t
tvcttvc
0ts
0000
Δ−Δ+Δ
−= Δ+
→Δ
Δ+
→Δ
Δ+
→Δ 
 
 
(1): ( ) ( )
∫ ∀ηρ∂
∂=∂
∂=Δ
−Δ+
→Δ vc
vctvcttvc
0t
d
tt
N
t
NN
lim 00 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Vista ampliada de uma sb-região típica da região III 
 
fronteira do sistema
no tempo t0 + Δt
(3)
Δl
superfície de
controle IIIdA
α
Ad
r
V
r
 
 
Para a região (3): 
 ( ) ( ) ( )[ ] dAcosddAcosdNd ttttttIII 000 αΔ=∀←αΔηρ=∀ηρ= Δ+Δ+Δ+ ll 
 
Portanto, ( ) [ ]
ttscttIII 0III0
dAcosN Δ+Δ+ ∫ αΔηρ= l 
 
scIII = superfície comum à região III e ao volume de controle 
Δl = distância percorrida, durante o intervalo de tempo Δt e ao 
longo de uma linha de corrente existente em t0, por uma 
partícula fluida que estava sobre a superfície do sistema 
nesse mesmo instante 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
Termo (2): 
 ( )
∫ αηρ=
=∫ αΔ
Δηρ=Δ
∫ αΔηρ=Δ →Δ→Δ
Δ+
→Δ
III
III
III0
sc
sc
0t
sc
0t
ttIII
0t
AdcosV
dAcos
tlimt
dAcos
limt
N
lim
rr
ll
 
 
 
AddAeV
tlim0t
rrl ==Δ
Δ
→Δ
 
 
Vista ampliada de uma sub-região típica da região I 
 
dA
Δl
αAd r Vr
(1)
superfície de
controle I
fronteira do sistema
no tempo t0 + Δt
linha de corrente
no tempo t0
 
 
Para a sub-região (1): 
 ( ) ( ) ( )[ ] ttttttI 000 dAcosdNd Δ+Δ+Δ+ α−Δηρ=∀ηρ= l 
 
 
 
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 ( )dAcosd α−Δ=∀ l 
 ↑ 
sinal negativo: 2
π>α (sempre!!!!) → cosα < 0 
↓ 
 volume = quantidade escalar 
 necessariamente positiva 
↓ 
-
osα 
 
Para toda região I 
 ( ) [ ]
ttscttI 0I0
dAcosN Δ+Δ+ ∫ αΔηρ−= l 
 
Termo (3): 
 ( )
∫ αηρ=Δ−
Δ+
→Δ I
0
sc
ttI
0t
AdcosV
t
N
lim
rr
 
 
Portanto, 
 
∫ αηρ+∫ αηρ+∫ ∀ηρ∂
∂=
IIII scscvcs
AdcosVAdcosVd
tdt
dN rrrr 
 
Superfície de controle sc: 
 
pIIII scscscsc ++= 
 
scp é caracterizada pela inexistência de fluxo através da superfície 
→ 
α = π/2 ou 0V =r 
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Desta forma, 
 
∫ αηρ+∫ ∀ηρ∂
∂= scvc
s
AdcosVd
tdt
dN rr 
 
 
AdVAdcosV
rrrr ⋅=α 
 
A equação final é 
 
∫ ⋅ηρ+∫ ∀ηρ∂
∂= scvc
s
AdVd
tdt
dN rr 
 
Interpretação física da equação: 
 
sdt
dN é a taxa de variação de qualquer propriedade 
extensiva arbitrária do sistema 
 
∫ ∀ηρ∂
∂
vc dt
 é a taxa de variação com o tempo da propriedade 
extensiva arbitrária, N, dentro do volume de 
controle 
 
 
∫ ⋅ηρsc AdV
rr
 é a taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva, N, 
através da superfície de controle 
 
AdV
rr ⋅ρ → o produto indicado é escalar; o sinal depende do 
sentido do vetor velocidade em relação ao 
vetor área 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Aula 5 
 
Conservação de Massa 
 
Relação entre sistema e volume de controle: 
 
∫ ⋅ηρ+∫ ∀ηρ∂
∂= scvc
s
AdVd
tdt
dN rrPreviamente estabelecido: N = M → η = 1 
 
Desta forma, 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ∂
∂= scvc
s
AdVd
tdt
dM rr 
 
Para sistema: 0
dt
dM
s
= 
Portanto, o princípio de conservação de massa para volume de 
controle é representado por 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ∂
∂= scvc AdVdt0
rr
 
 
Primeiro termo: taxa de variação de massa dentro do volume de 
controle 
Segundo termo: taxa de fluxo de massa ou vazão em massa através 
da superfície de controle 
 
0AdV >⋅ρ rr fluxo para fora através da superfície de controle 
0AdV <⋅ρ rr fluxo para dentro através da superfície de controle 
0AdV =⋅ρ rr fluxo tangente à superfície de controle 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Casos especiais 
 
Escoamento incompressível → massa específica, ρ, constante 
 
ρ = constante → não é função do tempo e do espaço !!! 
 
Portanto, 
 
∫ ⋅+∫ ∀∂
∂=⇒∫ ⋅ρ+∫ ∀∂
∂ρ= scvcscvc AdVdt0AdVdt0
rrrr
 
 
∀=∫ ∀vcd 
 
∫ ⋅+∂
∂∀= sc AdVt0
rr
 
 
Para um volume de controle não deformável, tetancons=∀ : 
 
∫ ⋅= sc AdV0
rr
 * 
 
∗ Equação válida para escoamento incompressível, 
em regime permanente ou transiente !!! 
 
∫ ⋅sc AdV
rr
 → taxa de fluxo de volume ou vazão em volume 
 
∫ ⋅= sc AdV0
rr
 → para escoamento incompressível, a vazão em volume 
para dentro de um volume de controle deve ser igual à vazão em 
volume para fora do volume de controle. 
 
Vazão Q: 
 
∫ ⋅= A AdVQ
rr
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Magnitude da velocidade média, V , em uma seção: 
 
∫ ⋅== A AdVA
1
A
QV
rr
 
 
Escoamento permanente compressível: 
 
∫ ⋅ρ= sc AdV0
rr
 
 
para escoamento compressível, em regime permanente, a vazão em 
massa para dentro de um volume de controle deve ser igual à vazão 
em massa para fora do volume de controle. 
 
Escoamento incompressível uniforme em uma seção n → 
velocidade constante através de toda a área da seção n: 
 
α⋅ρ±=∫ ⋅ρ⋅ρ=∫ ⋅ρ cosAVAdVouAVAdV nnnAnnnA nn
rrrrrrrr
 
 
0AdV >⋅ρ rr : massa escoa para fora através da superfície de controle 
0AdV <⋅ρ rr : massa escoa para dentro através da superfície de 
controle 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Exemplo 1 
 
Considerar o escoamento permanente de água (ρ = 1000 kg/m3) através do 
dispositivo mostrado na Figura E.1. As áreas são: A1= 0,2 m2; A2= 0,5 m2; e 
A3= A4= 0,4 m2. A vazão em massa através da seção “ é dada como 0,4 kg/s. 
A vazão em volume entrando pela seção ” é de 0,1 m3/s, e s/miˆ0,1V1 =
r
. 
Determine a velocidade de escoamento na seção ’. 
 
1
4
3
2
30o
60o
x
y
 
Figura E.1. dispositivo em que água escoa. 
 
Solução: 
 
Escolha de um volume de controle fixo. 
 
1
4
3
2
30o
60o
x
y
 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Equação Básica: 
 
∫ ⋅+∫ ∀∂
∂= scvc AdVdt0
rr
 
 
Considerações: (1) Escoamento permanente (dado) 
 (2) Escoamento incompressível 
 (3) Propriedades uniformes em cada seção em que o 
fluido cruza as fronteiras do VC. 
 
Para escoamento permanente: ∫ ⋅ρ= sc AdV0
rr
 
 
Volume de controle: 4 seções em que a massa flui através da superfície de 
controle. 
 
0AdVAdVAdVAdVAdV
4321 AAAAsc
=∫ ⋅ρ+∫ ⋅ρ+∫ ⋅ρ+∫ ⋅ρ=∫ ⋅ρ
rrrrrrrrrr
 
 
Para propriedades uniformes em cada área e ρ = constante: 
 
11AA AVVdAAdV 11 ρ−=∫ ρ−=∫ ⋅ρ
rr
 1
1V
r
1A
r
 
 
333AA mAVVdAAdV 33 &
rr =ρ=∫ ρ=∫ ⋅ρ 
3
3V
r
3A
r
 
 
444AA QAVVdAAdV 44 ρ−=ρ−=∫ ρ−=∫ ⋅ρ
rr
 
4
4A
r
4V
r
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
 
∫ ⋅ρ+∫ ⋅ρ+∫ ⋅ρ=∫ ⋅ρ
4312 AAAA
AdVAdVAdVAdV
rrrrrrrr
 
 
s/kg6,2991,010004,02,011000QmAVAdV 4311A2 =×+−××=ρ+−ρ+=∫ ⋅ρ &
rr
 
 
s/kg6,299AVAdV 22A2 =ρ=∫ ⋅ρ
rr
 
 
s/m5992,0
A
6,299V
2
2 =ρ= 
 
 
s/mjˆ5992,0V2 −= 
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Exemplo 2 
O fluido em contato direto com uma fronteira sólida estacionária tem 
velocidade zero, ou seja, não há deslizamento na fronteira. O escoamento 
sobre uma placa plana adere à superfície da placa e forma uma camada limite, 
como mostrado na Figura E.2. O escoamento à montante da placa é uniforme 
com velocidade iˆUV =r , U = 30 m/s. A distribuição de velocidades dentro da 
camada limite ( )δ≤≤ y0 , ao longo de cd, é aproximada por 
 
2yy2
U
u ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
δ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
δ= 
 
e a espessura da camada limite na posição d é mm5=δ . O fluido é o ar, com 
massa específica 3m/kg24,1=ρ . Supondo que a largura da placa 
perpendicular ao eixo y seja w = 0,6 m, calcular a vazão em massa através da 
superfície bc do volume de controle abcd. 
 
x
y
U
UVC
a d
b c
borda da camada
limite
 
 
Solução: 
Equação básica: 
 
∫ ⋅+∫ ∀∂
∂= scvc AdVdt0
rr
 
 
Considerações: (1) Escoamento permanente (dado) 
 (2) Escoamento incompressível (dado) 
 (3) Escoamento bidimensional; propriedades são 
 independentes de z. 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
Para escoamento permanente: ∫ ⋅ρ= sc AdV0
rr
 
 
Admitindo que não há escoamento na direção z: 
 
∫ ⋅ρ+∫ ⋅ρ+∫ ⋅ρ+∫ ⋅ρ=
dacdbcab AAAA
AdVAdVAdVAdV0
rrrrrrrr
 
 
∫ ⋅ρ−∫ ⋅ρ−=∫ ⋅ρ=
cdabbc AAAbc
AdVAdVAdVm
rrrrrr& 
 
Para profundidade w na direção z: 
 
∫ ρ−=∫ ρ−=
=∫ ρ−=∫ ρ−=∫ ⋅ρ
δδ
00
y
yAA
Uwdyuwdy
uwdyudAAdV b
aabab
rr
 
 
 
δρ−=ρ−=∫ ⋅ρ δ UwUwdyAdV 0Aab
rr
 
 
∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
δ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
δρ=∫ ρ=
=∫ ρ=∫ ρ=∫ ⋅ρ
δδ
0
2
0
y
yAA
dyyy2wUuwdy
uwdyudAAdV c
dcdcd
rr
 
 
3
Uw2
3
11wU
3
yywUAdV
0
cd 2
32
A
δρ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −ρ=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
δ−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
δρ=∫ ⋅ρ
δrr
 
 
A vazão em massa em bc é: 
 
s/kg0372,0m
3
Uw
3
Uw2Uwm bcbc =⇒δρ=δρ−δρ= && 
 
sinal positivo indica fluxo para fora através da superfície bc !!! 
 
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Aula 6 
 
Conservação de Quantidade de Movimento 
 
Relação entre sistema e volume de controle: 
 
∫ ⋅ηρ+∫ ∀ηρ
∂
∂
= scvc
s
AdVd
tdt
dN rr
 
 
Previamente estabelecido: VPN
rr
=η→= 
Desta forma, 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ
∂
∂
= scvc
s
AdVVdV
tdt
Pd rrrr
r
 
 
Para sistema: 
sistemaosobre
s
F
dt
Pd r
r
= 
 
Para a situação em que o sistema coincide com o volume de 
controle: 
 
controledevolumeosobresistemaosobre
FF
rr
= 
 
A força resultante, F
r
, inclui todas as forças de campo e de superfície 
atuando sobre o sistema: 
 
BS FFF
rrr
+= 
 
 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Portanto, o princípio de conservação de quantidade de movimento 
para volume de controle é representado por 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ
∂
∂
=+= scvcBS AdVVdVt
FFF
rrrrrrr
 
 
Primeiro termo: taxa de variação de quantidade de movimento 
dentro do volume de controle 
Segundo termo: taxa líquida de fluxo de quantidade de movimento 
saindo da superfície de controle 
 
• Todas as forças (e momentos) agindo sobre o volume de controle 
devem ser mostradas de forma tal que possam ser consideradas 
sistematicamente na aplicação das equações básicas!! 
 
B
r
 = forças de campo → por unidade de massa: 
 
∫ ∀ρ=∫= vcB dBdmBF
rrr
 
 
Para força da gravidade sendo única força de campo atuante → força 
de campo por unidade de massa é g
r
. 
 
A força de superfície decorrente da pressão é: 
 
∫ −= AS ApdF
rr
 
 
A equação da quantidade de movimento é vetorial:∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ
∂
∂
=+= scvcBSx AdVudut
FFF
xx
rr
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ
∂
∂
=+= scvcBSy AdVvdvt
FFF
yy
rr
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ
∂
∂
=+= scvcBSz AdVwdwt
FFF
zz
rr
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Os sentidos positivos das componentes da velocidade, u, v e w, e as 
componentes das forças, Fx, Fy e Fz, são estabelecidos em relação ao 
sistema de coordenadas. 
 
Etapas para determinar o fluxo de quantidade de movimento através 
de uma porção qualquer de uma superfície de controle: 
1. determinar o sinal de AdV
rr
⋅ρ : 
 
αρ±=αρ=⋅ρ cosVdAcosVdAAdV
rr
 
 
2. determinar o sinal de cada componente da velocidade, u, v e w: 
 
{ }αρ±=⋅ρ cosVdAuAdVu
rr
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Exemplo 1. 
A água que sai de um bocal estacionário atinge uma placa plana, conforme 
mostrado. A água deixa o bocal a 15 m/s; a área do bocal é 0,01 m2. Supondo 
que a água é dirigida normal à placa, e que flui ao longo desta, determine a 
força horizontal sobre o suporte. 
 
 
 
Solução: 
 
Definir sistema de coordenadas e escolher volume de controle adequado: 
 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
a água proveniente do bocal cruza a superfície de controle através da área A1 
(considerada igual à área do bocal), e considera-se que a mesma deixa o vc 
tangencialmente à superfície da placa no sentido +y ou -y. 
 
Equações Básicas: 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ
∂
∂
= scvc AdVdt
0
rr
 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ
∂
∂
=+= scvcBS AdVVdVt
FFF
rrrrrrr
 
 
Considerações: (1) escoamento permanente 
 (2) escoamento incompressível 
 (3) escoamento uniforme em cada seção em que o 
 fluido cruza as fronteiras do vc 
Para escoamento permanente: 
 
0AdVeAdVVFFF scscBS =∫ ⋅ρ∫ ⋅ρ=+=
rrrrrrrr
 
VCI 
 
VC selecionado de forma que a área da superfície esquerda, A, seja igual à 
área da superfície direita, A. A Figura E1.3 mostra o diagrama de forças 
atuando sobre VCI. 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Pa Pa
RxRy
Mzx
y
W
 
Figura E.1.3. Diagrama de corpo livre para VCI. 
 
VCI corta o suporte. 
Rx >0 e Ry >0 = componentes da força de reação do suporte sobre o vc 
Mz = momento de reação (em relação ao eixo z) do suporte sobre o vc 
A pressão atmosférica age sobre todas as superfícies do vc. 
W = força de campo 
F horizontal? → componente x da eq. quantidade de movimento: 
 
∫ ⋅ρ=+= scBSx AdVuFFF xx
rr
 
 
0F
xB
= → ∫ ⋅ρ= scS AdVuF x
rr
 
 
Forças de superfície, FS, atuando sobre o volume de controle: 
 
)positivaaconsiderad(
controledevolume
osobreortesupdoforça
esquerdaerfíciesup
asobre)positivotido(sen
direitaparaatua;aatmosféric
pressãoàdevidoforça
esquerdaerfíciesup
asobre)positivotido(sen
direitaparaatua;aatmosféric
pressãoàdevidoforça
xaa RAPAP +−
 
 
Portanto, FS = Rx, e 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
∫ ⋅ρ=∫ ⋅ρ=
1Ascx
AdVuAdVuR
rrrr
 
 
{ } dAVudAVuR 11A 1x 1 ρ−=∫ ρ−= 
 
mkg
sN
m01,0s
m15
m
kg999s
m15R
2
2
3x ⋅
⋅
××−= 
 
kN25,2Rx −= ← atua no sentido oposto ao considerado. 
 
A força horizontal, Kx, atuando sobre o suporte é: kN25,2RK xx =−= 
 
VCII 
 
Volume de controle selecionado de forma que as áreas das superfícies 
esquerda e direita sejam iguais à área da placa, Ap. O diagrama de corpo livre 
para VCII é apresentado na Figura E.1.4. 
 
Bxpa
 
Figura E.1.4. Diagrama de corpo livre para VCII. 
 
Bx = força de reação horizontal da placa sobre o vc (considerada positiva) 
 
A pressão atmosférica age sobre a superfície esquerda do vc (e sobre as duas 
superfícies horizontais) 
 
A força de campo não tem componente na direção x. 
 
A componente x da eq. da quantidade de movimento: 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
∫ ⋅ρ= scS AdVuF x
rr
 
 
{ } kN25,2dAVudAVuBApF 11A 1xpaS 1x −=ρ−=∫ ρ−=+= 
 
kN25,2ApB pax −−= 
 
Para determinar a força líquida sobre a placa, é necessário construir um 
diagrama de corpo livre da placa (Figura E.1.5) 
 
W
Rx
Mz
Ry
Pa
Bx
Pa
 
Figura E.1.5. Diagrama de corpo livre da placa. 
 
∑ +−−== xpaxx RApB0F 
 
( ) kN25,2ApkN25,2ApRApBR papaxpaxx −=+−−=⇒+= 
 
Portanto, a força horizontal sobre o suporte é: kN25,2RK xx =−= 
 
Observar que a escolha de VCII resultou na necessidade de um novo diagrama 
de corpo livre. Em geral, é vantajoso selecionar o volume de controle de 
forma que a força haja explicitamente sobre o volume de controle. 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Aula 7 
 
Primeira Lei da Termodinâmica 
 
Primeira Lei da Termodinâmica ← princípio de conservação de 
energia 
 
Para sistema: 
 
sistemadt
dEWQ =− && 
 
em que 
 
∫ ∀ρ=∫= ∀ )sistema()sistema(Msistema deedmE 
e 
gz
2
Vue
2
++= 
 
0Q >& → calor é adicionado ao sistema pelo meio que o cerca 
0W >& → trabalho é realizado pelo sistema sobre o meio que o 
cerca 
 
Relação entre sistema e volume de controle: 
 
∫ ⋅ηρ+∫ ∀ηρ∂
∂= scvc
s
AdVd
tdt
dN rr 
 
Previamente estabelecido: eEN =η→= . Desta forma, 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ∂
∂= scvc
s
AdVede
tdt
dE rr 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Para volume de controle coincidindo com sistema em t = t0: 
 [ ] [ ] controledevolumesistema WQWQ &&&& −=− 
 
Primeira Lei da Termodinâmica para volume de controle: 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ∂
∂=− scvc AdVedetWQ
rr&& 
em que 
gz
2
Vue
2
++= 
 
Taxa de trabalho realizado por um vc: 
 
outrostocisalhamennormalS WWWWW &&&&& +++= 
 
Trabalho de Eixo = SW& 
 
Trabalho realizado por tensões normais à superfície de controle 
 
sdFW r
r ⋅=δ 
 
em que sdr é uma distância infinitesimal. 
 
VFW
t
sdF
limt
W
limW
0t0t
rr&
rr
& ⋅=⇒Δ
⋅=Δ
δ=
→Δ→Δ
 
 
Taxa de trabalho realizado por tensões normais: 
 
VAdVFd nn
rrrr ⋅σ=⋅ 
 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Trabalho realizado sobre o volume de controle ( )0Wnormal <& : 
 
AdVVAdW sc nnsc nnnormal
rrrr& ⋅∫ σ−=∫ ⋅σ−= 
 
Trabalho realizado por tensões de cisalhamento na sc: 
 
Força de cisalhamento: dAFd τ= rr 
 
τr = vetor tensão de cisalhamento 
 
dAVVdAW scsctocisalhamen ∫ ⋅τ−=∫ ⋅τ−=
rrrr& 
 
dAVdAVdAVW )aberturas(A)sólidaerfície(supA)eixos(Atocisalhamen ∫ ⋅τ−∫ ⋅τ−∫ ⋅τ−=
rrrrrr&
 
S)eixos(A WdAV &
rr =∫ ⋅τ− 
 
Em superfícies sólidas: 0dAV0V )sólidaerfície(supA =∫ ⋅τ−⇒=
rrr 
 
Portanto, 
 
dAVW )aberturas(Atocisalhamen ∫ ⋅τ−=
rr& 
 
Para uma superfície de controle perpendicular a V
r
: 
 
0W0V tocisalhamen =⇒=⋅τ &
rr 
 
Outros trabalhos: (i) energia elétrica 
 (ii) energia eletromagnética (laser, radar) 
 
 
outrostocisalhamensc nnS WWAdVWW &&
rr&& ++⋅∫ σ−= 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
Equação do Volume de Controle 
 
∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ∂
∂=−−⋅∫ σ+− scvcoutrostocisalhamensc nnS AdVedetWWAdVWQ
rr&&rr&& 
 
υ=ρ
1 
 
em que υ é o volume específico. 
 
AdVAdV sc nnsc nn
rrrr ⋅∫ υρσ=⋅∫ σ 
 
Portanto, 
 
AdVAdVede
t
WWWQ sc nnscvcoutrostocisalhamenS
rrrr&&&& ⋅∫ υρσ−∫ ⋅ρ+∫ ∀ρ∂
∂=−−−
 
( )∫ ⋅ρυσ−+∫ ∀ρ∂
∂=−−− sc nnvcoutrostocisalhamenS AdVedetWWWQ
rr&&&& 
 
Para a maioria dos escoamentos de interesse comum da engenharia: 
 
pnn −≈σ 
 
p = pressão termodinâmica. Portanto, 
 
( )∫ ⋅ρυ++∫ ∀ρ∂
∂=−−− scvcoutrostocisalhamenS AdVpedetWWWQ
rr&&&& 
 
em que 
gz
2
Vue
2
++= 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOSFLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Aula 8 
 
Introdução à Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos 
 
Equações Básicas: 
 
Forma integral: comportamento genérico de um campo de 
escoamento e seus efeitos sobre dispositivos 
quaisquer 
 
Forma diferencial: conhecimento ponto a ponto do campo de 
escoamento 
 
Conservação de Massa 
 
Volume de controle: cubo infinitesimal, lados de comprimento dx, dy e dz 
 
O
uv
w
dx
dy
dz
x
y
z
volume de controle
 
 
ρ → massa específica no centro do volume de controle 
 
wkˆvjˆuiˆV ++=r 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
Propriedades em cada uma das faces: expansão em série de Taylor em relação 
ao centro do vc. 
 
Face direita: 
) L+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
ρ∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ρ∂+ρρ =+
2
2
2
2dxx 2
dx
!2
1
x2
dx
x
 
 
Desprezando os termos de ordem superior: 
 
)
2
dx
x2dxx
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ρ∂+ρρ =+ 
 
)
2
dx
x
uuu 2dxx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=+ 
em que 
x
ue
x
,u, ∂
∂
∂
ρ∂ρ são avaliados no centro do vc. 
Na face esquerda: 
 
) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ρ∂−ρ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ρ∂+ρρ =− 2
dx
x2
dx
x2dxx
 
 
) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=− 2
dx
x
uu
2
dx
x
uuu 2dxx 
 
 
Princípio da conservação de massa: 
 
0
controledevolumedodentro
massadeiaçãovardetaxa
controle
deerfíciesupdaforapara
massadefluxodelíquidaTaxa
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
 
 
 
 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Primeiro termo: avaliar ∫ ⋅ρsc AdV
rr
 
 
dxdydz
z
w
z
w
2
1
wdxdydxdy
2
dz
z
w
w
2
dz
z)z(
F
dxdydz
z
w
z
w
2
1
wdxdydxdy
2
dz
z
w
w
2
dz
z)z(
P
dxdydz
y
v
y
v
2
1
vdxdzdxdz
2
dy
y
v
v
2
dy
y)y(
S
dxdydz
y
v
y
v
2
1
vdxdzdxdz
2
dy
y
v
v
2
dy
y)y(
I
dxdydz
x
u
x
u
2
1
udydzdydz
2
dx
x
u
u
2
dx
x)x(
D
dxdydz
x
u
x
u
2
1
udydzdydz
2
dx
x
u
u
2
dx
x)x(
E
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂ρ+∂
ρ∂+ρ=∂
∂+∂
ρ∂+ρ=+
∂
∂ρ+∂
ρ∂+ρ−=∂
∂−∂
ρ∂−ρ−=−
∂
∂ρ+∂
ρ∂+ρ=∂
∂+∂
ρ∂+ρ=+
∂
∂ρ+∂
ρ∂+ρ−=∂
∂−∂
ρ∂−ρ−=−
∂
∂ρ+∂
ρ∂+ρ=∂
∂+∂
ρ∂+ρ=+
∂
∂ρ+∂
ρ∂+ρ−=∂
∂−∂
ρ∂−ρ−=−
 
 
Portanto, 
 
dxdydz
z
w
z
w
y
v
y
v
x
u
x
usc AdV ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂ρ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ρ∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
ρ∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂ρ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ρ∂=∫ ⋅ρ
rr
 
ou dxdydz
z
w
y
v
x
u
sc AdV ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
ρ∂+∂
ρ∂+∂
ρ∂=∫ ⋅ρ
rr
 
 
Taxa líquida de fluxo de massa através da sc: 
 
dxdydz
z
w
y
v
x
u ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
ρ∂+∂
ρ∂+∂
ρ∂ 
 
Taxa de variação de massa dentro do volume de controle: 
 
dxdydz
t∂
ρ∂ 
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Equação diferencial para conservação de massa: 
 
0
tz
w
y
v
x
u =∂
ρ∂+∂
ρ∂+∂
ρ∂+∂
ρ∂ 
 
Equação de continuidade 
 
Operador vetorial 
z
kˆ
y
jˆ
x
iˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 
Equação da Continuidade: 
 
0
t
V =∂
ρ∂+ρ⋅∇ r 
 
 
Escoamento Incompressível: 
 
0Vou0
z
w
y
v
x
u =⋅∇=∂
∂+∂
∂+∂
∂ r 
 
Escoamento Permanente: 
 
0Vou0
z
w
y
v
x
u =ρ⋅∇=∂
ρ∂+∂
ρ∂+∂
ρ∂ r 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Aula 9 
 
Sistema de Coordenadas Cilíndricas 
 
 
 
drrd
2
dz
z
zV
zV2
dz
z)z(
Superior
drrd
2
dz
z
zV
zV2
dz
z)z(
Inferior
drdz
2
dV
V
2
d
)y(
Posterior
drdz
2
dV
V
2
d
)y(
Frontal
dzd
2
dr
r
2
dr
r
rV
rV2
dr
r)r(
Fora
dzd
2
dr
r
2
dr
r
rV
rV2
dr
r)r(
Dentro
θ∂
∂+∂
ρ∂+ρ=+
θ∂
∂−∂
ρ∂−ρ−=−
θ
θ∂
θ∂+θ
θ
θ∂
ρ∂+ρ=+
θ
θ∂
θ∂−θ
θ
θ∂
ρ∂−ρ−=−
θ+∂
∂+∂
ρ∂+ρ=+
θ−∂
∂−∂
ρ∂−ρ−=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 
 
Portanto, 
 
dzdrd
z
zV
zz
Vr
dzdrd
V
V
r
rV
rr
VrrVsc AdV
θ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ρ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ρ∂+
+θ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
θ∂
θ∂ρ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
θ∂
ρ∂θ+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂ρ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
ρ∂+ρ=∫ ⋅ρ
rr
 
ou 
dzdrd
z
zVr
V
r
rVrrVsc AdV θ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
ρ∂+θ∂
θρ∂+∂
ρ∂+ρ=∫ ⋅ρ
rr
 
 
Equação de Continuidade em coordenadas cilíndricas: 
 ( ) ( ) ( )
0
tz
zVV
r
1
r
rVr
r
1 =∂
ρ∂+∂
ρ∂+θ∂
θρ∂+∂
ρ∂
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
Operador vetorial em coordenadas cilíndricas: 
 
z
kˆ
r
1eˆ
r
eˆr ∂
∂+θ∂
∂+∂
∂=∇ θ 
 
Equação da continuidade na forma vetorial: 
 
 
0
t
V =∂
ρ∂+ρ⋅∇ r 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
Movimento de um Elemento Fluido 
 
 
 
dx
dy
dz
x
y
z 
 
 
y
x
Translação
y
x
Rotação
y
x
Deformação angular
y
x
Deformação linear 
 
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Translação de Fluido: aceleração de uma partícula fluida num campo de 
velocidade 
 
Dado o campo de velocidades )t,z,y,x(VV
rr = , determinar a aceleração de 
uma partícula fluida pa
r . 
 
y
z
x
rdr rr +rr
Partícula no
instante t
Partícula no
instante t+dt
Trajetória da
partícula
 
 
No instante t: 
 ] )t,z,y,x(VV tp rr = 
 
Em dtt + : 
 ] )dtt,dzz,dyy,dxx(VV dttp ++++=+ rr 
 
Velocidade da partícula em rr : )t,z,y,x(VV
rr = 
 
Variação de velocidade da partícula ao mover-se de rr para rdr rr + : 
 
dt
t
Vdz
z
Vdy
y
Vdx
x
VVd pppp ∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂=
rrrrr
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Aceleração total da partícula: 
 
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
dt
Vd
a ppppp ∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂==
rrrrr
r 
 
 
w
dt
dz
v
dt
dy
u
dt
dx ppp === 
 
 
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vua
Dt
VD
p ∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂=≡
rrrr
r
r
 
 
 
Dt
VD
r
 = derivada substancial = aceleração total da partícula 
 
z
Vw
y
Vv
x
Vu ∂
∂+∂
∂+∂
∂ rrr → aceleração convectiva 
 
t
V
∂
∂ r → aceleração local 
 
em notação vetorial: 
 
( )VV
z
Vw
y
Vv
x
Vu
rrrrr ∇⋅=∂
∂+∂
∂+∂
∂ 
 
Aceleração total: 
 
( )
t
VVVa
Dt
VD
p ∂
∂+∇⋅=≡
rrrr
r
 
 
 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS- PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Rotação de um fluido 
 
 
Rotação da partícula de fluido: 
 
zyx kˆjˆiˆ ω+ω+ω=ωr 
 
Sentido positivo → regra da mão direita 
 
A componente da rotação sobre o eixo z é igual a velocidade média angular de 
dois segmentos infinitesimais de linha, inicialmente perpendiculares entre si 
no plano xy. 
 
y
x
O a
a'
b'
b
Δx
Δy
Δα
Δβ
Δη
Δξ
 
 
Rotação de Oa: 
 
Oemvv 0= e aemxx
vvv 0 Δ∂
∂+= 
 
Velocidade angular da linha Oa: 
 
t
x
limtlim 0t0t
Oa Δ
ΔηΔ=Δ
αΔ=ω
→Δ→Δ
 e tx
x
v ΔΔ∂
∂=ηΔ 
 
 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Portanto, ( )
x
v
t
xtxxv
lim
0t
Oa ∂
∂=Δ
ΔΔΔ∂∂=ω
→Δ
 
 
Rotação de Ob: 
 
Oemuu 0= e bemyy
uuu 0 Δ∂
∂+= 
 
Velocidade angular da linha Ob: 
 
t
y
limtlim 0t0t
Ob Δ
ΔξΔ=Δ
βΔ=ω
→Δ→Δ
 e ty
y
u ΔΔ∂
∂−=ξΔ 
 
 
 
Portanto, ( )
y
u
t
ytyyu
lim
0t
Ob ∂
∂−=Δ
ΔΔΔ∂∂−=ω
→Δ
 
 
 
Regra da mão direita → Rotação anti-horária positiva !!! 
 
Portanto, 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=ω
y
u
x
v
2
1
z 
De forma similar: 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=ω
z
v
y
w
2
1
x e ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=ω
x
w
z
u
2
1
y 
 
Rotação da partícula ( zyx kˆjˆiˆ ω+ω+ω=ωr ): 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=ω
y
u
x
vkˆ
x
w
z
ujˆ
z
v
y
wiˆ
2
1r ou V
2
1 rr ×∇=ω 
 
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Escoamento irrotacional??? 
 
Uma partícula fluida movendo-se, sem rotação, num campo de escoamento, 
não pode desenvolver rotação sob a ação de uma força de campo ou de forças 
normais superficiais (de pressão). O desenvolvimento de rotação numa 
partícula fluida, inicialmente sem rotação, requer a ação de uma tensão de 
cisalhamento na superfície da partícula. Uma vez que a tensão de 
cisalhamento é proporcional à taxa de deformação angular, conclui-se que a 
uma partícula inicialmente desprovida de rotação, não a desenvolverá sem 
uma simultânea deformação angular. A tensão de cisalhamento é relacionada à 
taxa de deformação angular pela viscosidade. A presença de forças viscosas 
significa que o escoamento é rotacional. 
 
A condição de irrotacionalidade pode ser uma hipótese válida para aquelas 
regiões de um escoamento nas quais as forças viscosas são desprezíveis, 
como, por exemplo, na região fora da camada limite, no escoamento sobre 
uma superfície sólida. 
 
Vorticidade: 
 
V2
rrr ×∇=ω≡ζ 
 
 
A vorticidade é uma medida da rotação de um elemento fluido à medida que 
este se move em um campo de escoamento. 
 
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Deformação de um fluido 
 
Deformação Angular 
 
y
x
O a
a'
b'
b
Δx
Δy
Δα
Δβ
Δη
Δξ
γ
 
 
Variações no ângulo entre duas linhas mutuamente perpendiculares no fluido. 
 
A taxa de deformação angular do elemento fluido no plano xy é a taxa de 
decréscimo do ângulo γ entre as linhas Oa e Ob. 
 
Em Δt: ( )βΔ+αΔ−=−γ=γΔ o90 
 
dt
d
dt
d
dt
d β+α=γ− 
 ( )
x
v
t
xtxxv
limt
x
limtlimdt
d
0t0t0t ∂
∂=Δ
ΔΔΔ∂∂=Δ
ΔηΔ=Δ
αΔ=α
→Δ→Δ→Δ
 
 
 ( )
y
u
t
ytyyu
limt
x
limtlimdt
d
0t0t0t ∂
∂=Δ
ΔΔΔ∂∂=Δ
ΔξΔ=Δ
βΔ=β
→Δ→Δ→Δ
 
 
Portanto, a taxa de deformação angular no plano xy é 
 
y
u
x
v
dt
d
dt
d
dt
d
∂
∂+∂
∂=β+α=γ−=γ− & 
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Deformação Linear 
 
Taxa de dilatação volumétrica V
z
w
y
v
x
u r⋅∇=∂
∂+∂
∂+∂
∂= 
 
Para escoamento incompressível, a taxa de dilatação volumétrica é nula !!! 
 
 
Equação da Quantidade de Movimento 
 
Aplicação da Segunda Lei de Newton a uma partícula fluida infinitesimal de 
massa dm: 
 
sistemadt
VddmFd ⎟⎟⎠
⎞=
rr
 
 
Com a aceleração de um elemento fluido de massa dm movendo-se em um 
campo de velocidades: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂==
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vudm
Dt
VDdmFd
rrrrrr
 
 
Forças atuando sobre uma partícula fluida 
 
dxdy
2
dz
z
dxdy
2
dz
z
dxdz
2
dy
y
dxdz
2
dy
y
dydz
2
dx
x
dydz
2
dx
x
dF
zx
zx
zx
zx
yx
yx
yx
yx
xx
xx
xx
xxSx
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
τ∂−τ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
τ∂+τ+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
τ∂−τ−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
τ∂+τ+
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
σ∂−σ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
σ∂+σ=
 
 
dxdydz
zyx
dF zxyxxxSx ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
τ∂+∂
τ∂+∂
σ∂= 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
dxdydz
zyx
gdFdFdF zxyxxxxSBx xx ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
τ∂+∂
τ∂+∂
σ∂+ρ=+= 
 
dxdydz
zyx
gdFdFdF zyyyxyySBy yy ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
τ∂+∂
σ∂+∂
τ∂+ρ=+= 
 
dxdydz
zyx
gdFdFdF zzyzxzzSBz zz ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
σ∂+∂
τ∂+∂
τ∂+ρ=+= 
 
 
Equação diferencial da quantidade de movimento: 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∂
τ∂+∂
τ∂+∂
σ∂+ρ
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
zyx
g zxyxxxx 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∂
τ∂+∂
σ∂+∂
τ∂+ρ
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
zyx
g zyyyxyy 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∂
σ∂+∂
τ∂+∂
τ∂+ρ
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
zyx
g zzyzxzz 
 
Obter expressões adequadas para as tensões, em função dos campos de 
velocidades e de pressões !!! 
 
 
Fluidos Newtonianos: Equações de Navier-Stokes 
 
Fluidos Newtonianos: tensão viscosa é proporcional à taxa de deformação por 
cisalhamento (taxa de deformação angular) 
 
Tensões: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ=τ=τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ=τ=τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ=τ=τ
x
w
z
u;
z
v
y
w;
y
u
x
v
xzzxzyyzyxxy
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
;
z
w2V
3
2p
;
y
v2V
3
2p;
x
u2V
3
2p
zz
yyxx
∂
∂μ+⋅∇μ−−=σ
∂
∂μ+⋅∇μ−−=σ∂
∂μ+⋅∇μ−−=σ
r
rr
 
 
em que p é pressão termodinâmica local. 
 
A pressão termodinâmica se relaciona com a densidade e temperatura pela 
relação usualmente conhecida como equação de estado. 
 
Equações diferenciais do movimento, ou equações de Navier-Stokes: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅∇−∂
∂μ∂
∂+∂
∂−ρ=ρ
z
u
x
w
zx
v
y
u
y
V
3
2
x
u2
xx
pg
Dt
Du
x
r
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅∇−∂
∂μ∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ∂
∂+∂
∂−ρ=ρ
y
w
z
v
z
V
3
2
y
v2
yx
v
y
u
xy
pg
Dt
Dv
y
r
 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅∇−∂
∂μ∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂μ∂
∂+∂
∂−ρ=ρ V
3
2
z
w2
zy
w
z
v
yz
u
x
w
xz
pg
Dt
Dw
z
r
 
Para escoamento incompressível com viscosidade constante: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂μ+∂
∂−ρ=ρ 2
2
2
2
2
2
x
z
u
y
u
x
u
x
pg
Dt
Du 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂μ+∂
∂−ρ=ρ 2
2
2
2
2
2
y
z
v
y
v
x
v
y
pg
Dt
Dv 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂μ+∂
∂−ρ=ρ 2
2
2
2
2
2
z
z
w
y
w
x
w
z
pg
Dt
Dw 
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
Aula 10 
 
Escoamento Incompressível de Fluidos Não Viscosos 
 
 
Em muitos casos de escoamento é razoável desprezar os efeitos da 
viscosidade. 
↓ 
útil investigar a dinâmica de um fluido ideal que seja incompressível e tanha 
viscosidadenula. 
 
Análise do movimento dos fluidos ideais é mais simples → não há tensões de 
cisalhamento 
 
A tensão normal em um escoamento não viscoso é o valor negativo da pressão 
termodinâmica: 
 
pnn −=σ 
 
Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito: Equações 
de Euler 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∂
∂−ρ
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x
pgx 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∂
∂−ρ
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
y
pgy 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∂
∂−ρ
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
z
pgz 
 
Como uma só equação vetorial: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∇−ρ
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
Vpg
rrrr
r 
 
ou 
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( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ∇⋅+∂
∂ρ=∇−ρ VV
t
Vpg
rrrr 
 
ou 
 
Dt
VDpg
r
r ρ=∇−ρ 
 
 
Em coordenadas cilíndricas: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −∂
∂+θ∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∂
∂−ρ θθ
r
V
z
VVV
r
V
r
VV
t
V
r
pg
2
r
z
rr
r
r
r 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∂
∂+θ∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=θ∂
∂−ρ θθθθθθθ r
VV
z
VVV
r
V
r
VV
t
Vpg rzr 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+θ∂
∂+∂
∂+∂
∂ρ=∂
∂−ρ θ
z
VVV
r
V
r
VV
t
V
z
pg zzzzrzz 
 
 
Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente 
 
R
g
z
y
β
β
sn
ds
dn
dndx
2
ds
s
pp ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+
dndx
2
ds
s
pp ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−
dsdx
2
dn
n
pp ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−
dsdx
2
dn
n
pp ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+
 
EMA 091 D - MECÂNICA DOS FLUIDOS - PROF. LEANDRO S. OLIVEIRA 
 
 
 
Aplicando a Segunda Lei de Newton ao elemento fluido de volume dsdndx, na 
direção da linha de corrente (direção de s) e desprezando as forças viscosas: 
 
dsdndxadsdndxsengdndx
2
ds
s
ppdndx
2
ds
s
pp sρ=βρ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂− 
 
em que β é o ângulo entre a tangente à linha de corrente e ahorizontal e as é a 
aceleração da partícula ao longo da linha de corrente. 
 
Simplificando: sasengs
p ρ=βρ−∂
∂− 
 
s
zsen ∂
∂=β 
 
Portanto, 
 
sas
zg
s
p1 =∂
∂−∂
∂
ρ− 
 
Ao longo de qualquer linha de corrente: V =V(s,t) 
 
Aceleração total de uma partícula fluida na direção da linha de corrente: 
 
s
VV
t
V
Dt
DVas ∂
∂+∂
∂== 
 
Para eixo z dirigido verticalmente para cima: 
 
s
VV
t
V
s
zg
s
p1
∂
∂+∂
∂=∂
∂−∂
∂
ρ− 
 
Para escoamento em regime permanente e desprezando forças de massa: 
 
s
VV
s
p1
∂
∂−=∂
∂
ρ 
 
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que indica que um diminuição na velocidade é acompanhada por um aumento 
na pressão e vice-versa. 
 
Equação de Euler em uma direção normal às linhas de corrente: 
 
nan
zg
n
p1 =∂
∂−∂
∂
ρ− 
 
Aceleração normal do elemento fluido → dirigida para o centro de curvatura 
da linha de corrente 
 
 
 
R
Va
2
n
−= 
 
em que R é o raio de curvatura da linha de corrente. 
 
Equação de Euler normal à linha de corrente: 
 
R
V
n
zg
n
p1 2=∂
∂+∂
∂
ρ 
 
Para Escoamento em regime permanente em um plano horizontal: 
 
R
V
n
p1 2=∂
∂
ρ 
 
que indica que a pressão aumenta no sentido para fora, partindo do centro de 
curvatura das linhas de corrente. Em regiões em que as linhas de correne são 
retas, o raio de curvatura R é infinito e não há variação de pressão em uma 
direção normal às linhas de corrente. 
 
Equação de Bernoulli 
 
Integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente para 
escoamento em regime permanente 
 
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Equação de Euler empregando coordenadas de linha de corrente: 
 
s
VV
s
zg
s
p1
∂
∂=∂
∂−∂
∂
ρ− 
 
Para uma partícula movendo-se, ao longo de uma linha de corrente, de uma 
distância ds: 
 
dVds
s
V;dzds
s
z;dpds
s
p =∂
∂=∂
∂=∂
∂ 
 
 
 
Portanto, 
 
)sdelongoao(0gdzVdVdpouVdVgdzdp =++ρ=−ρ− 
 
Integrando: 
 
)sdelongoao(tetanconsgz
2
Vdp 2 =++∫ ρ 
 
Para escoamento incompressível → Equação de Bernoulli: 
 
)sdelongoao(tetanconsgz
2
Vp 2 =++ρ 
 
Restrições: (1) escoamento em regime permanente 
 (2) escoamento incompressível 
 (3) escoamento sem atrito 
 (4) escoamento ao longo de uma linha de corrente 
 
A Equação de Bernoulli relaciona as variações de pressão com as de 
velocidade e elevação ao longo de uma linha de corrente. 
 
 
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Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica 
 
p = pressão termodinâmica = pressão estática 
 
pequenos
orifícios
escoamento
haste
para
manômetrotomada de
pressão
linhas de
corrente do
escoamento
(a) tomada de pressão na parede (b) sonda de pressão estática
 
 
Não há variação de pressão em uma direção normal às linhas de corrente 
retilíneas → tomada de pressão na parede do duto, colocada em uma região 
em que as linhas de corrente são retilíneas → pequeno orifício na parede com 
eixo perpendicular à superfície. 
 
Para corrente de fluido longe da parede, ou onde as linhas de corrente são 
curvelíneas → medições de pressão com uma sonda de pressão estática → a 
seção medidora deve estar alinhada com a direção do escoamento. 
 
Pressão de estagnação: obtida quando um fluido em movimento é 
desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito. 
 
Desprezando as diferenças de elevação: 
 
tetancons
2
Vp 2 =+ρ 
 
 
 
 
 
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Pressão estática = p e velocidade = V em um ponto do escoamento → pressão 
de estagnação = p0 e velocidade de estagnação = V0 = 0: 
 
2
Vp
2
Vp 2200 +ρ=+ρ 
 
2
0 V2
1pp ρ+= 
 
 
p0 é a pressão de estagnação para escoamento incompressível. 
 
2V
2
1ρ = pressão dinâmica 
 
( )
ρ
−=⇒−=ρ pp2VppV
2
1 0
0
2 
 
Medição simultânea da pressão estática e de estagnação → velocidade local do 
escoamento. 
 
Pressão de estagnação → tubo de Pitot 
 
 
pequeno
orifício
escoamento
haste
para
manômetro 
 
 
 
 
 
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A
p p0
escoamento
tubo de carga
total
 
 
 
escoamento
p
p0
C
B
orifícios de
pressão estática
 
 
 
Aplicações 
 
A equação de Bernoulli pode ser aplicada entre dois pontos quaisquer em uma 
linha de corrente, desde que as outras três restrições sejam atendidas 
(escoamento permanente, incompressível e sem atrito): 
 
2
2
22
1
2
11 gz
2
Vpgz
2
Vp ++ρ=++ρ 
 
em que os índices 1 e 2 representam dois pontos quaisquer em uma linha de 
corrente. 
 
 
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Precauções no Emprego da Equação de Bernoulli 
 
Uma passagem divergente ou expansão súbita não deve ser modelada 
empregando-se a equação de Bernoulli. Gradientes de pressão adversos 
causam o rápido crescimento das camadas limites, perfis de velocidades 
fortemente distorcidos e possível separação do escoamento. O escoamento 
unidimensional é um modelo imperfeito para tais casos. Em virtude do 
bloqueio de área decorrente do crescimento da camada limite, o aumento de 
pressão nos difusores reais é sempre inferior ao previsto para escoamento 
unidimensional não viscoso. 
 
A separação do escoamento em cantos vivos e em curvas bruscas, provoca o 
afastamento em relação ao previsto por um modelo unidimensional e pela 
equação de Bernoulli. Os efeitos de atrito não seriam desprezíveis se o tubo é 
longo. 
 
O ressalto hidráulico é um exemplo de escoamento em canal abertocom 
gradiente de pressão adverso. No ressalto hidráulico, ocorre forte 
turbilhonamento, tornando impossível a identificação das linhas de corrente. 
Portanto, a equação de Bernoulli não pode ser usada para modelar o 
escoamento através de um ressalto hidráulico. 
 
A equação de Bernoulli não pode ser aplicada através de uma máquina como 
uma hélice, bomba ou moinho de vento. É impossível ter escoamento 
localmente permanente ou identificar linhas de corrente durante o escoamento 
em uma máquina. 
 
A equação de Bernoulli não seria aplicável ao escoamento de gases através de 
um elemento de aquecimento (ex: ar em secador de cabelos portátil), em que 
ocorrem importantes variações de temperatura, em virtude destas variações 
causarem variações significativas na massa específica de gases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para escoamento em regime permanente, incompressível, sem atrito e ao 
longo de uma linha de corrente, a Primeira Lei da Termodinâmica reduz-se à 
equação de Bernoulli. 
 
Nível de energia mecânica de um escoamento: 
 
tetanconsHz
g2
V
g
p 2 ==++ρ 
 
termos da equação têm dimensão de comprimento → "carga" do fluido em 
escoamento: 
 
g
p
ρ → carga devido a pressão estática local 
 
g2
V2 → carga devido a pressão dinâmica local 
 
z → carga de elevação 
 
H → carga total do escoamento 
 
Linha de Energia (LE): representa a altura de carga total. A altura da LE 
permanece constante para escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho é 
realizado sobre ou pelo fluido. O líquido subiria até a altura da LE em um tubo 
de carga total colocado no escoamento. 
 
Linha Piezométrica (LP): representa a soma das alturas de carga devido a 
elevação e a pressão estática, z + p/ρg. Em uma tomada de pressão estática 
colocada no duto, o líquido subiria até a altura de LP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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superfície livre linha de energia (LE)
linha piezométrica (LP)
V4
V2
z4
z2
z1
z3
referência (z = 0)
1
2
3
4
g2
V22
g2
V24
 
Análise Dimensional e Semelhança 
Para  escoamento  permanente,  incompressível  e  bidimensional  de  um  fluido 
Newtoniano, o princípio de conservação de massa pode ser escrito como: 
 
డ௨
డ௫
൅ డ௩
డ௬
ൌ 0             (1) 
 
e as equações de Navier‐Stokes reduzem‐se a: 
 
ߩ ቀݑ డ௨
డ௫
൅ ݒ డ௨
డ௬
ቁ ൌ െడ௉
డ௫
൅ ߤ ቀడ
మ௨
డ௫మ
൅ డ
మ௨
డ௬మ
ቁ        (2) 
 
ߩ ቀݑ డ௩
డ௫
൅ ݒ డ௩
డ௬
ቁ ൌ െߩ݃ െ డ௉
డ௬
൅ ߤ ቀడ
మ௩
డ௫మ
൅ డ
మ௩
డ௬మ
ቁ      (3) 
 
As  equações  (1),  (2)  e  (3)  constituem  um  conjunto  de  equações  diferenciais 
parciais acopladas para u, v, e P, e não lineares.  
Para  converter  estas  equações  em  equações  adimensionais,  utilizam‐se  os 
seguintes parâmetros adimensionais: 
 
ݔכ ൌ ௫
௅
; ݕכ ൌ ௬
௅
; ݑכ ൌ ௨
௏ಮ
; ݒכ ൌ ௩
௏ಮ
;  ݁ ݌כ ൌ ௣
ఘ௏ಮ
మ        (4) 
 
em que L é um comprimento de referência e  ஶܸ é uma velocidade de referência. 
Substituindo as equações (4) nas equações (1), (2) e (3): 
௏ಮ
௅
డ௨כ
డ௫כ
൅ ௏ಮ
௅
డ௩כ
డ௬כ
ൌ 0          (5) 
ఘ௏ಮమ
௅
ቀݑכ డ௨
כ
డ௫כ
൅ ݒכ డ௨
כ
డ௬כ
ቁ ൌ െఘ௏ಮ
మ
௅
డ௉כ
డ௫כ
൅ ఓ௏ಮ
௅మ
ቀడ
మ௨כ
డ௫כమ
൅ డ
మ௨כ
డ௬כమ
ቁ      (6) 
ఘ௏ಮమ
௅
ቀݑכ డ௩
כ
డ௫כ
൅ ݒכ డ௩
כ
డ௬כ
ቁ ൌ െߩ݃ െ ఘ௏ಮ
మ
௅
డ௉כ
డ௬כ
൅ ఓ௏ಮ
௅మ
ቀడ
మ௩כ
డ௫כమ
൅ డ
మ௩כ
డ௬כమ
ቁ    (7) 
Dividindo a equação (5) por  ஶܸ/ܮ e as equações (6) e (7) por ߩ ஶܸଶ/ܮ: 
డ௨כ
డ௫כ
൅ డ௩
כ
డ௬כ
ൌ 0            (8) 
ݑכ డ௨
כ
డ௫כ
൅ ݒכ డ௨
כ
డ௬כ
ൌ െ డ௉
כ
డ௫כ
൅ ఓ
ఘ௏ಮ௅
ቀడ
మ௨כ
డ௫כమ
൅ డ
మ௨כ
డ௬כమ
ቁ      (9) 
ݑכ డ௩
כ
డ௫כ
൅ ݒכ డ௩
כ
డ௬כ
ൌ െ ௚௅
௏ಮ
మ െ
డ௉כ
డ௬כ
൅ ఓ
ఘ௏ಮ௅
ቀడ
మ௩כ
డ௫כమ
൅ డ
మ௩כ
డ௬כమ
ቁ      (10) 
As equações (8), (9) e (10) são as formas adimensionais das equações originais (1), 
(2) e (3). As equações (9) e (10) contêm um número adimensional, 
ఓ
ఘ௏ಮ௅
, que é o 
inverso  de  um  número  adimensional  denominado  Número  de  Reynolds,  em 
frente aos termos de segunda ordem  (viscosos). As equações  (9) e (10) também 
contêm um outro coeficiente adimensional, 
௚௅
௏ಮ
మ , para os termos da gravidade. 
Da teoria das equações diferenciais, sabemos que a forma matemática da solução 
de tais equações é muito sensível aos valores dos coeficientes das equações. Estas 
equações  nos  informam  que  a  solução  e,  portanto,  a  configuração  real  do 
escoamento que elas descrevem, depende dos valores dos dois coeficientes. 
Se 
ఓ
ఘ௏ಮ௅
 é muito pequeno (isto é, o Número de Reynolds é alto), as diferenciais de 
segunda ordem,  representando  as  forças  viscosas,  podem  ser desconsideradas, 
pelo menos na maior parte do escoamento, e nos deparamos com a  forma das 
equações de Euler. Diz‐se “na maior parte do escoamento” porque sabemos que, 
na realidade, para este caso teremos uma camada  limite na qual existem efeitos 
significativos de viscosidade. 
Matemática:  perigoso  desprezar  derivadas  de  segunda  ordem  ou  superior, 
mesmo que os coeficientes  sejam de pequena ordem de magnitude, porque ao 
reduzir a ordem da equação, condições de contorno são perdidas! 
Portanto, se 
ఓ
ఘ௏ಮ௅
 é grande ou pequeno, as forças viscosas serão significativas ou 
não, respectivamente. Se 
௚௅
௏ಮ
మ  é grande ou pequeno, pode‐se prever se as forças da 
gravidade serão significativas ou não, respectivamente. 
Condições  de  contorno  adimensionalizadas:  originam  outros  coeficientes 
adimensionais! 
 
Equações adimensionais: compreensão dos fenômenos físicos e identificação das 
forças dominantes. 
Dois  escoamentos  geometricamente  semelhantes,  mas  em  escalas  diferentes, 
satisfazendo as equações (8), (9) e (10) (ex., modelo e protótipo): as soluções das 
equações somente terão os mesmos resultados se os dois escoamentos tivessem 
os  mesmo  valores  para  os  dois  coeficientes  adimensionais,  isto  é,  se  os 
escoamentos  apresentassem  a  mesma  importância  relativa  da  gravidade,  das 
forças de viscosidade e das forças de inércia. 
Formulação adimensional: ponto de partida de métodos numéricos. 
Como  encontrar  agrupamentos  adimensionais  apropriados  para  descrição  de 
fenômenos físicos? → Análise dimensional 
 
 
 
 
 
Fenômenos em Mecânica dos Fluidos:  dependência  de  parâmetros 
geométricos e do escoamento!! 
 
Força de arrasto sobre esfera lisa imersa em escoamento:  dependência  de 
que parâmetros? 
Tamanho da esfera?  → Diâmetro D 
Velocidade do fluido?  → V 
Viscosidade do fluido?  → μ 
Densidade do fluido?  → ρ 
 
Pode‐se escrever:    ܨ ൌ ݂ሺܦ, ܸ, ߤ, ߩሻ 
 
Formula‐se  o  problema  de  determinação  de  força  de  arrasto  para  uma  esfera 
estacionária em  função de quantidades que  são  controláveis e mensuráveis em 
laboratório! 
 
Para cada parâmetro selecionado ser  influente,  teríamos que gerar uma grande 
quantidade de dados experimentais, pois o número de experimentos necessários 
para que os dados sejam estatisticamente representativos seria exorbitante  (em 
torno de 104 experimentos!), mesmo  sendo o  fenômeno de  arrasto  sobre uma 
esfera relativamente simples. 
 
Felizmente, não há a necessidade de se fazer todos estes experimentos! 
 
Os  dados  de  arrasto  sobre  uma  esfera  lisa  podem  ser  expressos  como  uma 
simples relação entre dois parâmetros adimensionais na forma 
 
ܨ
ߩܸଶܦଶ
ൌ ݂ ൬
ߩܸܦ
ߤ
൰ 
 
Com  isto,  o  número  de  experimentos  a  se  realizar  seria  aproximadamente  10! 
Somente o parâmetro 
ఘ௏஽
ఓ
 deve ser avaliado neste caso! 
Teorema  Pi  de  Buckingham:  procedimento  formalizado  para  deduzir  grupos 
adimensionais  apropriadospara  um  problema  de mecânica  dos  fluidos  ou  de 
engenharia. 
 
Teorema Pi de Buckingham → enunciado da relação entre uma  função expressa 
em  termos  de  parâmetros  dimensionais  e  uma  função  correlata  expressa  em 
termos de parâmetros adimensionais. 
 
Problema  físico:  o  parâmetro  dependente  é  função  de  n‐1  parâmetros 
independentes → pode‐se expressar a relação entre as variáveis como: 
 
ݍଵ ൌ ݂ሺݍଵ,  ݍଶ, ݍଷ,ڮ , ݍ௡ሻ 
 
em  que  q1  é  o  parâmetro  dependente,  e  q2,  q3,  ...,  qn  são  os  n‐1  parâmetros 
independentes.  Matematicamente,  pode‐se  expressar  a  relação  funcional  na 
forma equivalente 
 
݃ሺݍଵ,  ݍଶ, ݍଷ,ڮ , ݍ௡ሻ ൌ 0 
 
O Teorema Pi de Buckingham declara que: dada uma relação entre n parâmetros 
da  forma ݃ሺݍଵ,  ݍଶ, ݍଷ,ڮ , ݍ௡ሻ ൌ 0, podem‐se  agrupar os n parâmetros em n‐m 
razões  adimensionais  independentes,  ou  parâmetros  Π,  expressos  na  forma 
funcional por 
 
ܩሺΠଵ,  Πଶ,ڮ , Π௡ି௠ሻ ൌ 0 
ou 
Πଵ ൌ ܩଵሺΠଶ,  Πଷ,ڮ , Π௡ି௠ሻ 
 
O  número  m  é,  em  geral,  mas  não  sempre,  igual  ao  número  mínimo  r  de 
dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões de todos os 
parâmetros q1, q2, q3, ..., qn. 
 
 
Determinação dos grupos Π 
 
Ex. 1. 
Conforme  visto,  a  força  de  arrasto,  F,  sobre  uma  esfera  lisa  em  escoamento 
depende da velocidade relativa, V, do diâmetro da esfera, D, da massa específica 
do  fluido,  ρ  e  da  viscosidade  do  fluido,  μ.  Obter  um  conjunto  de  grupos 
adimensionais que possam ser usados para correlacionar dados experimentais. 
 
Dados:  ܨ ൌ ݂ሺܦ, ܸ, ߤ, ߩሻ 
Solução: 
1. F, V, D, ρ e μ: n = 5 parâmetros dimensionais 
2. Selecionar as dimensões primárias M, L e t: r = 3 dimensões primárias 
 
F  V  D  ρ  μ 
ܯܮ
ݐଶ
 
ܮ
ݐ
 
ܮ  ܯ
ܮଷ
 
ܯ
ܮݐ
 
3. Selecionar como parâmetros repetentes ρ, V e D: 
m = r = 3 parâmetros repetentes 
4. n – m = 2 grupos adimensionais serão formados: 
Πଵ ൌ ρୟVୠDୡF    e     ൬
M
Lଷ
൰
ୟ
൬
L
t
൰
ୠ
ሺLሻୡ ൬
ML
tଶ
൰ ൌ M଴L଴t଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
ܽ ൅ 1 ൌ 0
െ3ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൅ 1 ൌ 0
െܾ െ 2 ൌ 0
      
ܽ ൌ െ1
ܿ ൌ െ2
ܾ ൌ െ2
    Portanto, Πଵ ൌ
ி
ఘ௏మ஽మ
 
 
De modo análogo, 
Πଶ ൌ ρୢVୣD୤µ    e     ൬
M
Lଷ
൰
ୢ
൬
L
t
൰
ୣ
ሺLሻ୤ ൬
M
Lt
൰ ൌ M଴L଴t଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
݀ ൅ 1 ൌ 0
െ3݀ ൅ ݁ ൅ ݂ െ 1 ൌ 0
െ݁ െ 1 ൌ 0
      
݀ ൌ െ1
݂ ൌ െ1
݁ ൌ െ1
    Portanto, Πଶ ൌ
ఓ
ఘ௏஽
 
 
Verificando‐se as dimensões, conclui‐se que Π1 e Π2 são adimensionais! 
 
A relação funcional buscada é Πଵ ൌ ݂ሺΠଶሻ, ou seja, 
 
ܨ
ߩܸଶܦଶ
ൌ ݂ ൬
ߤ
ߩܸܦ
൰ 
 
Ex.2. 
A queda de pressão Δp para escoamento permanente,  incompressível e viscoso, 
através de um tubo retilíneo horizontal depende do comprimento do tubo,  l, da 
velocidade média,  തܸ  , da viscosidade, μ, do diâmetro do tubo, D, da densidade do 
fluido, ρ, e da altura média da rugosidade do tubo, e. Determinar um conjunto de 
grupos  adimensionais  que  possa  ser  usado  para  correlacionar  os  parâmetros 
influentes. 
 
Dados:  ∆݌ ൌ ݂ሺ݈, ܦ, തܸ , ߤ, ߩ, ݁ሻ 
Solução: 
1. Δp,  തܸ , D, ρ, μ, ݈ e ݁: n = 7 parâmetros dimensionais 
2. Selecionar as dimensões primárias M, L e t: r = 3 dimensões primárias 
 
∆࢖  ࢂഥ  D  ρ  μ  ࢒  ࢋ 
ܯ
ܮݐଶ
 
ܮ
ݐ
 
ܮ  ܯ
ܮଷ
 
ܯ
ܮݐ
 
ܮ  ܮ 
3. Parâmetros repetentes ρ,  തܸ  e D: 
m = r = 3 parâmetros repetentes 
4. n – m = 4 grupos adimensionais serão formados: 
ߎଵ ൌ ߩ௔ തܸ௕ܦ௖∆݌    ݁     ൬
ܯ
ܮଷ
൰
௔
൬
ܮ
ݐ
൰
௕
ሺܮሻ௖ ൬
ܯ
ܮݐଶ
൰ ൌ ܯ଴ܮ଴ݐ଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
ܽ ൅ 1 ൌ 0
െ3ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ െ 1 ൌ 0
െܾ െ 2 ൌ 0
      
ܽ ൌ െ1
ܾ ൌ െ2
ܿ ൌ 0
    Portanto, Πଵ ൌ
∆௣
ఘ௏ഥమ
 
De modo análogo, 
ߎଶ ൌ ߩௗ തܸ௘ܦ௙ߤ    ݁     ൬
ܯ
ܮଷ
൰
ௗ
൬
ܮ
ݐ
൰
௘
ሺܮሻ௙ ൬
ܯ
ܮݐ
൰ ൌ ܯ଴ܮ଴ݐ଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
݀ ൅ 1 ൌ 0
െ3݀ ൅ ݁ ൅ ݂ െ 1 ൌ 0
െ݁ െ 1 ൌ 0
      
݀ ൌ െ1
݂ ൌ െ1
݁ ൌ െ1
    Portanto, Πଶ ൌ
ఓ
ఘ௏ഥ஽
 
Para Π3: 
ߎଷ ൌ ߩ௚ തܸ௛ܦ௜݈    ݁     ൬
ܯ
ܮଷ
൰
௚
൬
ܮ
ݐ
൰
௛
ሺܮሻ௜ሺܮሻ ൌ ܯ଴ܮ଴ݐ଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
݃ ൌ 0
െ3݃ ൅ ݄ ൅ ݅ ൅ 1 ൌ 0
െ݄ ൌ 0
      
݃ ൌ 0
݄ ൌ 0
݅ ൌ െ1
     Portanto, Πଷ ൌ
௟
஽
 
 
Para Π4: 
ߎସ ൌ ߩ௝ തܸ௞ܦ௟݁    ݁     ൬
ܯ
ܮଷ
൰
௝
൬
ܮ
ݐ
൰
௞
ሺܮሻ௟ሺܮሻ ൌ ܯ଴ܮ଴ݐ଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
݆ ൌ 0
െ3݆ ൅ ݇ ൅ ݈ ൅ 1 ൌ 0
െ݇ ൌ 0
      
݆ ൌ 0
݇ ൌ 0
݈ ൌ െ1
     Portanto, Πସ ൌ
௘
஽
 
 
Verificando‐se as dimensões, conclui‐se que Π1, Π2, Π3 e Π4 são adimensionais! 
 
A relação funcional buscada é Πଵ ൌ ݂ሺΠଶ, Πଷ, Πସሻ, ou seja, 
 
∆݌
ߩ തܸଶ
ൌ ݂ ቆ
ߤ
ߩ തܸܦ
,
݈
ܦ
,
݁
ܦ
ቇ 
 
   
Grupos adimensionais relevantes na Mecânica dos Fluidos 
 
O  entendimento  do  significado  físico  de  grupos  adimensionais  melhora  a 
percepção dos fenômenos que se estudam em Mecânica dos Fluidos. 
 
As forças encontradas nos fluidos em escoamentos: de inércia, de viscosidade, de 
pressão, de tensão superficial e de compressibilidade. 
 
A razão entre duas forças quaisquer será adimensional!!! 
 
Podemos expressar cada uma das forças como se segue: 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ݅݊éݎܿ݅ܽ ן ߩܸଶܮଶ 
ܨ݋ݎçܽ ݒ݅ݏܿ݋ݏܽ ൌ ߬ܣ ൌ ߤ
݀ݑ
݀ݕ
ܣ ן ߤ
ܸ
ܮ
ܮଶ ൌ ߤܸܮ 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ݌ݎ݁ݏݏã݋ ן ሺ∆݌ሻܣ ן ሺ∆݌ሻܮଶ 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ݃ݎܽݒ݅݀ܽ݀݁ ൌ ݉݃ ן ݃ߩܮଷ 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ݐ݁݊ݏã݋ ݏݑ݌݁ݎ݂݈݅ܿ݅ܽ ൌ ߪܮ 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ܿ݋݉݌ݎ݁ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ ൌ ܧ௩ܣ ן ܧ௩ܮଶ 
As  forças  de  inércia  são  de  suma  relevância  na  maioria  dos  problemas  de 
mecânica dos  fluidos. A  razão entre as  forças de  inércia e cada uma das outras 
anteriormente  listadas  leva  à  formação  de  cinco  grupos  adimensionais 
fundamentais encontrados na mecânica dos fluidos. 
Número de Reynolds, Re:  
ܴ݁ ൌ
ߩܸܮ
ߤ
 
Em que L é um comprimento característico descritivo da geometria do campo de 
escoamento. 
Re é a razão entre forças de inércia e forças viscosas! 
Re  é  usado  como  critério  para  determinação  do  regime  de  escoamento: 
escoamentos com Re elevado, em que as forças de inércia predominam, são, em 
geral turbulentos; e escoamentos com Re baixos, em que as forças viscosas têm 
efeitos significativos, são típicos de escoamentos laminares. 
 
Número de Euler, Eu: 
ܧݑ ൌ
∆݌
1
2 ߩܸ
ଶ
 
em  que  ∆݌  é  a  pressão  local menos  a  pressão  da  corrente  livre,  e  ρ  e  V  são 
propriedades do escoamento na corrente livre (não perturbado). 
Eu é a razão entre forças de pressão e forças inércia! 
O Número de Euler é comumente chamado de coeficiente de pressão, Cp. 
 
Número de Froude, Fr: 
ܨݎ ൌ
ܸ
ඥ݃ܮ
 
Fr é a razão entre forças de inércia e forças de gravidade! 
 
ቆܨݎଶ ൌ
ܸଶ
݃ܮ
ൌ
ߩܸଶܮଶ
ߩ݃ܮଷ
ቇ 
   
Número de Cavitação, Ca: 
ܥܽ ൌ
݌ െ ݌௩
1
2 ߩܸ
ଶ
 
em que ݌ é a pressão na corrente líquida e ݌௩ é a pressão de vapor do líquido na 
temperatura de teste. 
Quanto  menor  o  número  de  cavitação,  maior  a  probabilidade  de  ocorrer 
cavitação. Este fenômeno é quase sempre indesejável. 
Número de Weber, We: 
ܹ݁ ൌ
ߩܸଶܮ
ߪ
 
em que σ é a tensão superficial do líquido. 
We é a razão entre forças de inércia e forças de tensão superficial! 
O valor do Número de Weber é um  indicativo da existência e da  freqüência de 
ondas capilares em uma superfície livre. 
Número de Mach, M: 
ܯ ൌ
ܸ
ܿ
 
em que V é a velocidade do escoamento e c é a velocidade do som naquele meio. 
ܯ ൌ
ܸ
ܿ
ൌ
ܸ
ට݀݌݀ߩ
ൌ
ܸ
ටܧ௩ߩ
  ՜   ܯଶ ൌ
ߩܸଶܮଶ
ܧ௩ܮଶ
 
M é a razão entre forças de inércia e forças de compressibilidade! 
Parâmetro  chave  que  caracteriza  os  efeitos  de  compressibilidade  em  um 
escoamento. 
Semelhança de escoamento e estudos de modelos 
Para ser de utilidade, um  teste de modelo deve resultar em dados