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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 O per´ımetro do c´ırculo (soluc¸a˜o da tarefa) Para a soluc¸a˜o da tarefa vamos usar as figuras abaixo e proceder como no texto. αn ln 2 r hn A B C αn ln 2 hn r Usando o triaˆngulo retaˆngulo do lado direito vemos que sen(αn) = ln/2 r , cos(αn) = hn r , de modo que ln/2 = r sen(αn) e hn = r cos(αn). A a´rea de um triaˆngulo e´ metade do produto do comprimento da sua altura pela sua base. Assim, como αn = pi/n, a a´rea do triaˆngulo ABC acima e´ dada por 1 2 lnhn = r 2 sen (pi n ) cos (pi n ) . Como o pol´ıgono e´ formado por n triaˆngulo deste tipo, temos que a sua a´rea e´ an = pir 2 × sen(pi/n) pi/n × cos (pi n ) . Vamos estudar o comportamento do termo que envolve o cosseno. Uma vez que pi/n se aproxima de zero quando n cresce, este termo deve se aproximar de cos(0) = 1. Deste modo lim n→+∞ cos (pi n ) = 1. Por outro lado, vimos no texto que lim n→+∞ sen(pi/n) pi/n = 1. Logo, a a´rea A do c´ırculo e´ igual a A = lim n→+∞ an = pir 2 × lim n→+∞ sen(pi/n) pi/n × lim n→+∞ cos (pi n ) = pir2. 1
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