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Apostila Cálculo II

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𝜕𝑦
= 𝑥 − 𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)Seja z = 6 – x2 – y2. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C2, resultante da 
intersecção de z = f(x, y) com x = 2, no ponto P(2,1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS 
 
 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos generalizar o conceito de derivadas parciais de 1º ordem para funções com mais de 
duas variáveis. Dada f: A  Rn  R. f = f(x1, x2,…..xn), podemos obter n derivadas parciais de 1ª 
ordem: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
,
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
, . . . .
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
 
 
Exemplo: Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da função f(x,y,z,t,w) = xyz.ln(x2 + t2 + 
w2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 16 
EXERCÍCIOS 
1)Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem usando a definição: 
a) z = 5xy – x2 
b)f(x,y) = x2 + y2 – 10 
c)z = 2x + 5y – 3 
d)z = √𝑥𝑦 
e)f(x,y) = x2y + 3y2 
 
2)Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem. 
a)f(x,y) = e𝑥
2𝑦 
b)f(x,y) = x.cos(y – x) 
c)f(x,y) = xy2 + xy + x2y 
d)f(x,y) = y2. ln(x2 + y2) 
e)𝑧 = √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2 
f)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 
g)𝑧 =
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
h)𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
𝑥
 
i)𝑧 = (𝑥 + 𝑦)e𝑥+2𝑦 
j)𝑧 =
𝑥2𝑦
𝑥2+2𝑦2
 
k)𝑧 = e𝑥
2+𝑦2−4 
l) z = 2xy + sen2xy 
m) z = ln(x + y) – 5x 
n)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 − 1 
o)𝑧 = √𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 
p)𝑓(𝑤, 𝑡) = 𝑤2𝑡 −
1
𝑡
 
q) f(u,v) = uv – ln(uv) 
r) z = x2y2 – xy 
s)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 − (𝑥2 + 𝑦2) 
t)𝑧 = e𝑥
2
(𝑥2 + 𝑦2) 
 
3)Verificar se a função z = x3y2 satisfaz a equação 
1
𝑥
.
𝜕𝑧
𝜕𝑦
−
2
3𝑦
.
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 0para x  0 e y  0 
4)Verificar se z = sen(x +y) satisfaz a equação 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 0 
5)Seja z = 3x2 – 2y2 – 5x + 2y + 3. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante 
da intersecção de z = f(x,y) com y = 2 no ponto P(1,2, -3) 
6)Dada a superfície 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, determinar a reta tangente às curvas de intersecção da 
superfície com: 
a)o plano x = 2 
b)o plano y = √5 
No ponto P(2, √5, 3) 
 
GABARITO 
1) 
 
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a)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 5𝑦 − 2𝑥; 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 5𝑥 
b)2𝑥; 2𝑦 
c)2; 5 
d)
√𝑥𝑦
2𝑥
; 
√𝑥𝑦
2𝑦
 
e)2𝑥𝑦; 𝑥2 + 6𝑦 
2) 
a)2𝑥𝑦e𝑥
2𝑦; 𝑥2e𝑥
2𝑦 
b)xsen(y-x) + cos(y – x) ; -xsen(y – x) 
c)y2 + y + 2xy ; 2xy + x + x2 
d)
2𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2
; 
2𝑦3
𝑥2+𝑦2
+ 2𝑦ln(𝑥2 + 𝑦2) 
e)
−𝑥
√𝑎2−𝑥2−𝑦2
 ; 
−𝑦
√𝑎2−𝑥2−𝑦2
 
f)
𝑥
√𝑥2+𝑦2
; 
𝑦
√𝑥2+𝑦2
 
g)
4𝑥𝑦2
(𝑥2+𝑦2)2
; 
−4𝑥2𝑦
(𝑥2+𝑦2)2
 
h)
−𝑦
𝑥2+𝑦2
; 
𝑥
𝑥2+𝑦2
 
i)(𝑥 + 𝑦 + 1)e𝑥+2𝑦; (2𝑥 + 2𝑦 + 1)e𝑥+2𝑦 
j) 
4𝑥𝑦3
(𝑥2+2𝑦2)2
; 
𝑥4−2𝑥2𝑦2
(𝑥2+2𝑦2)2
 
k)2𝑥e𝑥
2+𝑦2−4; 2𝑦e𝑥
2+𝑦2−4 
l)2y + 2ysenxycosxy ; 2x + 2xsenxycosxy 
m)
1
𝑥+𝑦
− 5; 
1
𝑥+𝑦
 
n)
𝑥
√𝑥2+𝑦2−1
; 
𝑦
√𝑥2+𝑦2−1
 
o)
𝑦
2√𝑥𝑦
− 𝑦; 
𝑥
2√𝑥𝑦
− 𝑥 
p)2𝑤𝑡; 𝑤2 +
1
𝑡2
 
q)𝑣 −
1
𝑢
; 𝑢 −
1
𝑣
 
r) 2xy2 - y ; 2yx2 – x 
s)
𝑥
√𝑥2+𝑦2
− 2𝑥; 
𝑦
√𝑥2+𝑦2
− 2𝑦 
t)2𝑥e𝑥
2
(1 + 𝑥2 + 𝑦2); 2𝑥e𝑥
2
(1 + 𝑥2 + 𝑦2) 
 
3)satisfaz 
4)satisfaz 
5)1 
6) 
a)𝑧 =
√5𝑦
3
+
4
3
 b)𝑧 =
2𝑥
3
+
5
3
 
 
3.1 Regra da Cadeia 
 
No estudo de funções de uma variável usamos a regra da cadeia para calcular a derivada de 
uma função composta. Vamos, agora, usar a regra da cadeia para o caso de funções de várias 
variáveis. Inicialmente, vamos trabalhar com dois casos específicos de composição 
 
 
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3.1.1 Regra da cadeia – Caso I 
Sejam A e B conjuntos abetos em R2 e R, respectivamente, e sejam z = f(x,y) uma função que 
tem derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em A, x = x(t) e y = y(t) funções diferenciáveis em B 
tais que, para todo t  B, temos (x(t), y(t))  
Seja a função composta h(t) = f(x(t), y(t)) t Então, essa função composta é diferenciável 
para todo t  e 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
é dada por : 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
Exemplo 
1)Dada a f(x,y) = x2y + lnxy2, x(t) = t2 , y(t) = t, encontre a derivada 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
com h(t) = f(x(t), y(t)) 
 
 
 
 
 
3.1.2 Regra da cadeia – Caso II 
Sejam A e B conjuntos abertos em R2 e sejam z = f(u,v) uma função que tem derivadas 
parciais de 1ª ordem contínuas em A, u = u(x,y) e v = v(x,y) funções diferenciáveis em B tais que 
para todo (x,y)  B temos (u(x,y), v(x,y))  A. 
Seja a função composta h(x,y) = f(u(x,y), v(x,y)), (x,y)  B. Então, a função composta h(x,y) 
é diferenciável para todo (x,y)  B, valendo: 
 
𝜕ℎ
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
.
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 
 
𝜕ℎ
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
.
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
.
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 
Observamos que as duas fórmulas acima podem ser reescritas em uma forma matricial. 
Temos: 
 
(
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝜕ℎ
𝜕𝑦
)= (
𝜕𝑓
𝜕𝑢
𝜕𝑓
𝜕𝑣
). (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
) 
 
Exemplo 
1)Dada f(x,y) = x2y – x2 + y2, x = r. cosϴ e y = r. senϴ encontrar as derivadas parciais 
𝜕𝑓
𝜕𝑟
e 
𝜕𝑓
𝜕Θ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2 Derivadas Parciais Sucessivas 
 
Se f é uma função de duas variáveis, então, em geral, suas derivadas parciais de 1ª ordem são, 
também, funções de duas variáveis. Se as derivadas dessas funções existem, elas são chamadas 
derivadas parciais de 2ª ordem de f. 
Para uma função z = f(x,y) temos quatro derivadas parciais de 2ª ordem. A partir da derivada 
de f em relação a x, 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
, obtemos as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem : 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
 
A partir da derivada 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
, obtemos: 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
 
Exemplo 
1)Dada a função f(x,y) = x3y + x2y4, determinar suas derivadas de 2ª ordem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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