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Apostila Cálculo II

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– GERALDO WERNINGHAUS 
 
 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 20 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1)Determinar 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
, usando a regra da cadeia. 
a)z = tg(x2 + y) , x = 2t , y = t2 
b)z = xcosy, x = sent , y = t 
c)z = arc tgxy, x = 2t , y = 3t 
d)z = ex(cosx + cosy), x = t3 , y = t2 
e)z = xy-1, x = e-t , y = lnt 
f)z = xy, x = 2t2 + 1, y = sent 
 
2)Determinar as derivadas parciais 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
e 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
, usando a regra da cadeia. 
a)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦3, x = u2 + 1 , 𝑦 = √𝑣2
3
 
b) z = ln(x2 + y2), x = cosu.cosv , y = senu.cosv 
c) z = xey , x = uv , y = u – v 
d) z = x2 – y2, x = u – 3v , y = u + 2v 
e)𝑧 = e
𝑥
𝑦, x = ucosv , y = u senv 
 
3)Seja z = f(x,y), x = rcosϴ, y = rsenϴ. Mostrar que (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)2 + (
𝜕𝑧
𝜕𝑦
)2 = (
𝜕𝑧
𝜕𝑟
)2 +
1
𝑟2
. (
𝜕𝑧
𝜕θ
)2 
4)Determine as derivadas parciais indicadas: 
a)𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
√𝑥2+4𝑦2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
b)𝑧 = 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
 
c)𝑧 = ln(𝑥2 + 𝑦2), 
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦2
 
d)𝑤 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2, 
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
 
5)Se z = f(x,y) tem derivadas parciais de 2ª ordem contínuas e satisfaz a equação 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= 0 
ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas. 
a)z = exseny 
b)z = excosy 
c)z = y3 – 3x2y 
d)z = x2 + 2xy 
 
GABARITO 
1) 
a)10t.sec2(5t2) b)cos2t – sen2t c)
12𝑡
1+36𝑡4
 
d)𝑡e𝑡
3
[−3𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡3 + 3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡3 + 3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡2 − 2𝑠𝑒𝑛𝑡2] e)
−e−𝑡
𝑙𝑛𝑡
−
e−𝑡
𝑡ln2𝑡
 
f)4tsent + (2t2 + 1) cost 
 
2) 
a)
2𝑢3+2𝑢
√(𝑢2+1)2+𝑣2
, 
𝑣
√(𝑢2+1)2+𝑣2
 
 
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b) zero, -2tgv 
c)𝑣𝑒𝑢−𝑣(1 + 𝑢); 𝑢𝑒𝑢−𝑣(1 − 𝑣) 
d) -10v , -10u + 10v 
e) zero , 
−1
𝑠𝑒𝑛2𝑣
. e𝑐𝑜𝑡𝑔𝑣 
 
4) 
a)−(𝑥2 + 4𝑦2)
−3
2 + 3𝑥2(𝑥2 + 4𝑦2)
−5
2 , 12𝑥𝑦(𝑥2 + 4𝑦2)
−5
2 
b) -2ysenxy – xy2cosxy , -2xsenxy – x2ycosxy – x2ycosxy 
c)
−4𝑥3+12𝑥𝑦2
(𝑥2+𝑦2)3
 
d)−(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)
−1
2 , −𝑧2(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)
−3
2 , −𝑥𝑦(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)
−3
2 
 
5) 
a)sim b)sim c)sim d)não 
4. Aplicações das Derivadas Parciais 
Sucessivas 
 
4.1 Máximos e mínimos de Funções de duas variáveis 
A maximização e minimização de funções de várias varáveis é um problema que aparece em 
vários contextos práticos, como, por exemplo: 
problemas geométricos 
problemas físicos 
problemas econômicos e etc 
 
Exemplos 
1)Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume de 4m3 e coma menor 
área de superfície possível? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2)Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda 
de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por 𝐿(𝑥, 𝑦) = 60𝑥 + 100𝑦 −
3𝑥2
2
−
3𝑦2
2
− 𝑥𝑦. supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que 
maximiza o lucro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1)Encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, 
com área lateral igual a 5 cm2 
2)Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área. 
 
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3)Uma firma de embalagens necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o 
material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa e para o fundo da 
caixa, determinar as dimensões que minimizam o custo. 
4)Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de 
combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as 
paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do 
tanque. 
 
GABARITO 
1)√
5
3
, √
5
3
, 
√5
2√3
 
2) triângulo equilátero de lado 10/3 cm 
3)√32
3
, √32
3
, 2√32
3
 
4)3√10
3
, 3√10
3
, 3√10
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Coordenadas polares, cilíndricas e 
esféricas 
 
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5.1 Coordenadas Polares 
 
Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua 
localização no plano escrevendo P = (a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo 
y. Podemos também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema 
e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso P≠O. Denotamos P = (r,θ) onde r é a 
distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao 
segmento OP, caso P≠O. Se P=O, 
Denotamos P = (0,θ), para qualquer θ. Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de 
Coordenadas Polares. 
 
Exemplo. Complete a tabela, de acordo com o gráfico: 
 
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Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamos somente de um ponto O do plano 
e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas polares 
(r,θ), tomando o segmento OP com medida r. 
 
O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar. 
 Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário. 
Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar. 
 
Denotamos P por (–r,θ), para r positivo, se P=(r,π + θ), ou seja, consideramos 
(–r,θ)=(r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo. 
Ponto Coordenada 
Cartesiana 
Coordenada 
Polar 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
 
 
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Dado um ângulo θ, temos θ = θ+2kπ, para todo k inteiro. Assim, 
(r,θ) = (r,θ+2π)