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Apostila Cálculo II

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7𝜋
6
, 𝜋) 
c) (3,0,0) 
d) (4, 𝜋 6⁄ ,
𝜋
2⁄ ) 
 
7)Uma equação é dada em coordenadas cilíndricas. Expresse a equação em coordenadas 
retangulares e esboce o gráfico 
a)r = 3 
b)z = r2 
c)r = 4senθ 
d)r2 + z2 = 1 
8)Uma equação é dada em coordenadas esféricas.expresse a equação em coordenadas 
retangulares e esboce o gráfico 
a)ρ = 3 
b)φ = π/4 
c)ρ = 4 cosφ 
d)ρsenφ = 2cosθ 
9)Uma equação de uma superfícies é dada em coordenadas retangulares. Determine uma equação 
da superfície em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas 
 
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SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS 
 
 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 33 
a)z = 3 
b)z = 3x2 + 3y2 
c)x2 + y2 = 4 
d) x2 + y2 +z2 = 9 
e)2x + 3y + 4z = 1 
f)x2 = 16 – z2 
 
GABARITO 
1) 
a) (8,
𝜋
6
, −4) b) (5√2,
3𝜋
4
, 6) c) (2,
𝜋
2
, 0) d) (8,
5𝜋
3
, 6) 
2) 
a) (2√3, 2,3) b) (−4√2, 4√2,−2) c) (5,0,4) d) (−7,0,−9) 
3) 
a) (2√2,
𝜋
3
,
3𝜋
4
) b) (2,
7𝜋
4
,
𝜋
4
) c) (6,
𝜋
2
,
𝜋
3
) d) (10,
5𝜋
6
,
𝜋
2
) 
4) 
a) (
5√6
4
,
5√2
4
,
5√2
2
) b) (7,0,0) c) (0,0,1) d) (0, −2,0) 
5) 
a) (2√3,
𝜋
6
,
𝜋
6
) b) (√2,
𝜋
4
,
3𝜋
4
) c) (2,
3𝜋
4
,
𝜋
2
) d) (4√3, 1,
2𝜋
3
) 
6) 
a) (
5√3
2
,
𝜋
4
, −
5
2
) b) (0,
7𝜋
6
, −1) c) (0,0,3) d) (4,
𝜋
6
, 0) 
7) 
 
 
8) 
 
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9) 
a)z = 3 e ρ = 3secφ 
b)z = 3r2 e ρ = 1/3(cosecφ.cotgφ) 
c)r = 2 e ρ = cosecφ 
d)r2 + z2 = 9 e ρ = 3 
e)2rcosθ +3rsenθ + 4z = 1 e 2ρsenφcosθ +3ρsenφsenθ+4ρcosφ = 1 
f)r2cos2θ = 16 – z2 e ρ2(1 – sen2φsen2θ) = 16 
6. Integral Dupla 
 
6.1 Definição: 
 
Vamos considerar uma função z = f(x,y) definida em uma região fechada e limitada R do 
plano xy, veja figura. 
 
 
 
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Traçando retas paralelas aos eixos dos x e dos y, respectivamente, recobrimos a região R por 
pequenos retângulos. 
 
Consideremos somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em R, numerando-os 
de 1 até n. Em cada retângulo Rk, escolhemos um ponto (xk,yk) e formamos a soma 
 
∑
𝑛
𝑘=1
𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘, 
 
onde Δak = Δxk . Δyk é área do retângulo Rk. 
Suponhamos, agora, que mais retas paralelas aos eixos dos x e dos y são traçadas, tornando as 
dimensões dos retângulos cada vez menores, como na figura b acima. Fazemos isso de tal maneira 
que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito. Nessa situação, 
se lim
𝑛→∞
∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘existe, ele é chamado integral dupla de f(x,y) sobre a região R. 
Denotamos 
∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑜𝑢 ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
Observamos que: 
a) A região R é denominada região de integração 
b) A soma é chamada soma de Riemann de z = f(x,y) sobre R 
c) O limite deve ser independente da escolha das retas que subdividem a região R e dos 
pontos (xk, yk) tomados dos retângulos Rk. 
d) A existência do limite depende da função z = f(x,y) e também da região R. Em nosso 
estudo, vamos supor que o encontro da região R é formado por um número finito de arcos de curvas 
' suaves' , isto é,, de arcos de curvas que não contém pontos angulosos. Nesse caso, se f é contínua 
sobre R, temos a garantia da existência da integral dupla. 
 
OBS* Quando z = f(x,y) ≥ 0, a integral dupla pode ser interpretada como um VOLUME. 
 
6.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla 
 
Suponhamos que z = f(x,y) seja maior ou igual a zero sobre R. Observando a figura abaixo, 
vemos que o produto f(xk,yk). Δak representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo 
Rk e cuja altura é f(xk,yk). 
 
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A soma de Riemann ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘,representa uma aproximação do volume da porção 
do espaço compreendida abaixo do gráfico de z = f(x,y) e acima da região R do plano xy. 
Assim, quando f(x,y) ≥ 0, a ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦nos dá o volume do sólido delimitado 
superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo 'cilindro' 
vertical cuja base é o contorno de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3 Propriedades da Integral dupla 
 
a) ∬ 𝑘.𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅
= 𝑘. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅
, para todo k real 
b) ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy + 𝑔(𝑥, 𝑦)dxdy] = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅𝑅
+ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅
 
c) Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦), para todo (x, y) R, então ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)dA ≥ ∬
𝑅
𝑔(𝑥, 𝑦)dA 
d) Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0para todo (x,y) pertencente à região R, então∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)dA ≥ 0 
e)Se a região R é composta de duas sub-regiões que não tem pontos em comum, exceto 
possivelmente os pontos de suas fronteiras, então ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅1𝑅
+
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅2
 
 
6.4 Cálculo das Integrais Duplas 
 
R é do tipo I 
 
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Neste caso, a integral dupla ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦é calculada por meio da seguinte integral, dita 
iterada: 
∫ ∫
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑓
𝑏
𝑎
(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 
 
R é do tipo II 
 
 
Neste caso, a integral dupla ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦é calculada por meio da seguinte integral 
iterada: 
∫ ∫
𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦)
𝑓
𝑑
𝑐
(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
 
Exemplo 1) 
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 – x – y, 
inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e 𝑦 =
1
4
𝑥 +
1
2
e lateralmente pelo 
cilindro vertical cuja base é o contorno de R 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2) 
Calcular a integral 𝐼 = ∬ (𝑥 + 𝑦)
𝑅
𝑑𝐴onde R é a região limitada por y = x2 e y = 2x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
𝑦. 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é o retângulo de vértices (0,
π
2
), (1,
π
2
), (1, π)e 
(0, π) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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