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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 1 “O SÁBIO NUNCA DIZ TUDO O QUE PENSA, MAS PENSA SEMPRE TUDO O QUE DIZ” Aristóteles MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 2 SUMÁRIO 1. Funções de várias variáveis 2. Limites e continuidade de funções de várias variáveis 3. Derivadas Parciais 4. Diferenciais e aplicações de derivadas parciais 5. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas 6. Integrais duplas 7. Aplicações das integrais duplas 8. Integrais triplas 9. Aplicações de integrais triplas MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 3 1. Funções de várias variáveis Recordando a definição de função de uma variável: Uma função é uma relação de um conjunto A com um conjunto B, onde cada elemento de A se relaciona UNICAMENTE com um elemento de B. Usualmente denotamos uma tal função por f: A → B, y = f(x), onde f é o nome da função, A é o conjunto de partida (domínio da função) e B é contradomínio e y = f(x) expressa a lei de correspondência dos elementos x ϵ A com os elementos y ϵ B. Agora, não é difícil entender que uma função de DUAS VARIÁVEIS relaciona DOIS números: x, y a outro número f(x,y). x, y → f(x, y) Exemplo: f(x,y) = x + y Alguns valores x y f(x,y) -1 0 -1 -1 1 0 0 1 1 0 2 2 E o gráfico dessa função será uma SUPERFÍCIE z = f(x,y) Da mesma forma uma função com três variáveis associa três números x, y e z a um único número f(x,y,z). Neste caso não existe o gráfico, pois nosso mundo tem três dimensões e o gráfico de função de três variáveis estaria em quatro dimensões. Função de uma variável – gráfico é uma curva (1 dimensão) – Plano R2 Função de duas variáveis – gráfico é uma superfície(2 dimensões) – Plano R3 Função de três variáveis – gráfico é um sólido (3 dimensões) – Plano R4 Plano R2 Plano R3 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 4 1.1 Definição Seja A um conjunto do espaço n-dimensional (A Rn), isto é, os elementos de A são n-uplas ordenadas (x1, x2, ...xn) de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associamos a um único elemento z R, temos uma função f: A Rn R. Essa função é chamada função de n-variáveis reais. Denotamos z = f(x,y) 1.2 Domínio e Imagem De forma análoga ao cálculo de uma variável, os conjuntos domínio e imagem de uma função são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis. Seja f: A Rn R uma função. O conjunto de todas as variáveis independentes de u Rn tais que f(u) existe é chamado de f e é denotado por Dom(f). O conjunto dos z R tais que f(u) = z e u Dom(f) é chamado imagem de f e é denotado por Im(f) Na prática o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema. Exemplos 1)O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h. V(r,h) = .r2.h Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que: Dom(f) = {(r, h) R2 / r > 0, h > 0} Im(f) = (0, ) 2)Seja z = f(x,y) = √1 − 𝑥2 − 𝑦2. Note que f é definida se, e somente se: 1 – x2 – y2 0 ,ou seja, x2 + y2 1 (circunferência de raio 1). Logo: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 5 Dom(f) = {(x,y) R2 / x2 + y2 1} e Im(f) = [0, 1] 3)Seja z = f(x,y) = 𝑥 𝑥−𝑦 . Qual o Dom(f)? 4)Seja z = f(x,y) – ln(y – x). Qual o Dom(f)? 5)Qual o domínio da função z = f(x,y) = 𝑦 √𝑥2+𝑦2−1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 6 6)Qual o domínio da função w = f(x,y,z) = 𝑦√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1 1.3 Gráfico de funções de Várias Variáveis É o conjunto de todos os pontos (x,y,z) R3, tais que (x,y) D(f) e z = f(x,y). Simbolicamente, escrevemos: graf(f) = {(x,y,z) R3/ z = f(x,y)} Para construir o esboço do gráfico de uma função de várias variáveis utilizamos a seguinte sequência: 1)Estudar o domínio da função; 2)Fazer a intersecção com os planos coordenados (se o resultado for significativo): plano xz y = 0 Exemplos: 1)Faça o esboço do gráfico da função z = f(x,y) = x2 + y2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 7 2)Faça o esboço do gráfico da função z = f(x,y) = √𝑥2 + 𝑦2 1.4 Curvas de nível As curvas de nível são sempre subconjuntos do domínio da função z = f(x,y) e, portanto, são traçadas no plano xy. Cada curva de nível f(x,y) = k é a projeção, sobre o plano xy, da intersecção do gráfico de f com o plano horizontal z = k. Assim, para obtermos uma visualização do gráfico de f, podemos traçar diversas curvas de nível e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocadas para a altura z = k correspondente. Veja o gráfico abaixo para a função z = f(x,y) = x2 + y2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 8 Exemplos 1)Esboçar as curvas de nível da função f(x,y) = y2 – x2 para k = 0, 1 e 2 2)Esboçar as curvas de nível da função f(x,y) = 4 – x2 - 4y2 para k = 0, 1 e 2EXERCÍCIOS 1)Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: a)O comprimento de uma escada apoiada na parede como na figura abaixo. b)O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 9 c)A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e comprimento b. d)A quantidade, em metros, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura e y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros. e)O volume do paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z. f)A distância entre dois pontos P(x,y,z) e Q(u,v,w) g)A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual à distância do ponto ao centro da esfera. 2)Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente (quando possível): a) z = xy b) w = 1 𝑥2+𝑦2+𝑧2 c)z = 1 √𝑥2−𝑦2 d)z = 𝑥 𝑦2+1 e)z = √𝑥2 + 𝑦2 − 1 3)Dada a função f(x,y) = 𝑥+𝑦 2𝑥+𝑦 a)Dar o domínio b)Calcular f(x + x, y) c)Calcular f(-1, 0) d)Fazer um esboço do gráfico do domínio 4)Desenhar as curvas de nível Ck para os valores de k dados: a)z = x2 – y2 ; k = 0,1,2,3 b)z = y2 – x2; k = 0,1,2,3 c)z = 2 – (x2 + y2); k = -3, -2, -1, 0, 1, 2 d)f(x,y) = 2x2 + 4y2; k = 2,3,4,8 GABARITO 1) a)C(h,L) = √ℎ2 + 𝐿2 b)V(x,y) = x2y c)f(a,b) = 2a + 2b d)f(x,y,z) = 2xz + 2yz e)V(x,y,z) = xyz f)d(P,Q) = √(𝑥 − 𝑢)2 + (𝑦 − 𝑣)2 + (𝑧 − 𝑤)2 g)T(x,y,z) = √(𝑥 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦 − 𝑦𝑜)2 + (𝑧 − 𝑧𝑜)2com (xo, yo, zo) centro da esfera 2) a)D(z) = R2 b)D(z) = R3 – {(0,0,0)} c)D(z) = {(x,y) R2/ |x| > |y|} d)D(z) = R2 e) D(z) = {(x,y) R2/ x2 + y2 1} 3) a)D(z) = {(x,y) R2/ 2x + y 0} b) 𝑥+𝛻𝑥+𝑦 2𝑥+2𝛻𝑥+𝑦 c)1/2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 10 2. Limites e Continuidade de Funções de várias variáveis Relembrando o limite de uma função de uma variável: O lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)só existe se lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥)= lim 𝑥→𝑎→ 𝑓(𝑥)= L De forma análoga, vejamos o que será o limites de uma função de várias variáveis. Neste caso o limite da função de várias variáveis, pode ser analisado por diversos lados do ponto (xo, yo). DEFINIÇÃO: Dizemos que uma função f(x,y) se aproxima do limite L à medida que (x,y) se aproxima de (x0, y0) e escrevemos lim (𝑥,𝑦)→(𝑥𝑜,𝑦𝑜) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿se, para todo número > 0, existe um número > 0 correspondente tal que, para todo (x,y) no domínio de f, |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿 < 𝑒|sempre que 0 < √(𝑥 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦 − 𝑦𝑜)2 < 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 11 OBS* As propriedades dos limites de uma variável podem ser estendidas para os limites de funções de várias variáveis. Exemplos 1)Calcule lim (𝑥,𝑦)→(2,−1) (𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑥𝑦 + 4) 2)Calcule lim (𝑥,𝑦)→(2,1) 𝑥3+𝑥2𝑦−2𝑥𝑦−2𝑥2−2𝑥+4 𝑥𝑦+𝑥−2𝑦−2 3)Calcule lim (𝑥,𝑦)→(0,1) 𝑥+𝑦−1 √𝑥−√1−𝑦 4)Mostre que não existe lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 2𝑥𝑦 𝑥2+𝑦2 não existe MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 12 EXERCÍCIOS: 1)Mostre que os limites seguintes não existem: a) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2−𝑦2 𝑥2+𝑦2 b) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥−𝑦 2𝑥+𝑦 c) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥𝑦 4𝑥2+5𝑦2 d) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥3 𝑥3+𝑦2 2)Calcular os limites seguintes: a) lim (𝑥,𝑦)→(1,2) (𝑒𝑥𝑦 − 𝑒𝑦 + 1) b) lim (𝑥,𝑦)→(1,2) (3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 2𝑥𝑦) c) lim (𝑥,𝑦)→(−2,1) 𝑥𝑦2−5𝑥+8 𝑥2+𝑦2+4𝑥𝑦 d) lim (𝑥,𝑦)→(2,3) 𝑥2𝑦−3𝑥2−4𝑥𝑦+12𝑥+4𝑦−12 𝑥𝑦−3𝑥−2𝑦+6 e) lim (𝑥,𝑦)→(4,1) 𝑦√𝑥−2𝑦−√𝑥+2 4−𝑥+𝑥√𝑦−4√𝑦 f) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥+3−√3 𝑥𝑦+𝑥 g) lim (𝑥,𝑦)→(1,1) √𝑥𝑦 3 −1 √𝑥𝑦−1 h) lim (𝑥,𝑦)→(1,1) 𝑥2−𝑦𝑥 𝑥2−𝑦2 i) lim (𝑥,𝑦)→(1,2) ln[ 𝑥𝑦−1 2𝑥𝑦+4 ] j) lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥3 𝑥2+𝑦2 k) lim (𝑥,𝑦)→(1,2) 𝑦𝑥3−𝑦𝑥2−𝑦𝑥+𝑦+2𝑥3−2𝑥2−2𝑥+2 (𝑥−1)2(𝑦+2) GABARITO 1) a)1 b)10 c)-16/3 d)zero e)1/2 f) √3 6 g)2/3 h)1/2 i)-ln8 j)zero k)2 3. Derivadas Parciais MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 13 O cálculo de várias variáveis é semelhante ao cálculo de uma variável aplicado a várias variáveis, uma de cada vez. Quando fixamos todas as variáveis independentes de uma função – MENOS UMA – e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada “parcial”. Definição: Sejam f: A R2 R uma função de duas variáveis e (x0, y0) A. Fixando y = y0, podemos considerar a função g(x) = f(x, y0). A derivada de g no ponto x = x0, denominada derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0, y0), denotada por 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (x0, y0), é definida por se o limite existir Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) portanto Exemplos: 1)Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções: a)f(x,y) = 2x2y + 3xy2 – 4x b)g(x,y) = √𝑥2 + 𝑦2 − 2 c) z = sen(2x + y) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 14 2)Verifique se a função z = ln(xy) + x + y satisfaz a equação 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 − 𝑦 𝜕𝑧𝜕𝑦 = 𝑥 − 𝑦 3)Seja z = 6 – x2 – y2. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C2, resultante da intersecção de z = f(x, y) com x = 2, no ponto P(2,1,1) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 15 Podemos generalizar o conceito de derivadas parciais de 1º ordem para funções com mais de duas variáveis. Dada f: A Rn R. f = f(x1, x2,…..xn), podemos obter n derivadas parciais de 1ª ordem: 𝜕𝑓 𝜕𝑥1 , 𝜕𝑓 𝜕𝑥2 , . . . . 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛 Exemplo: Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da função f(x,y,z,t,w) = xyz.ln(x2 + t2 + w2) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 16 EXERCÍCIOS 1)Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem usando a definição: a) z = 5xy – x2 b)f(x,y) = x2 + y2 – 10 c)z = 2x + 5y – 3 d)z = √𝑥𝑦 e)f(x,y) = x2y + 3y2 2)Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem. a)f(x,y) = e𝑥 2𝑦 b)f(x,y) = x.cos(y – x) c)f(x,y) = xy2 + xy + x2y d)f(x,y) = y2. ln(x2 + y2) e)𝑧 = √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2 f)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 g)𝑧 = 𝑥2−𝑦2 𝑥2+𝑦2 h)𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑥 i)𝑧 = (𝑥 + 𝑦)e𝑥+2𝑦 j)𝑧 = 𝑥2𝑦 𝑥2+2𝑦2 k)𝑧 = e𝑥 2+𝑦2−4 l) z = 2xy + sen2xy m) z = ln(x + y) – 5x n)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 − 1 o)𝑧 = √𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 p)𝑓(𝑤, 𝑡) = 𝑤2𝑡 − 1 𝑡 q) f(u,v) = uv – ln(uv) r) z = x2y2 – xy s)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 − (𝑥2 + 𝑦2) t)𝑧 = e𝑥 2 (𝑥2 + 𝑦2) 3)Verificar se a função z = x3y2 satisfaz a equação 1 𝑥 . 𝜕𝑧 𝜕𝑦 − 2 3𝑦 . 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 0para x 0 e y 0 4)Verificar se z = sen(x +y) satisfaz a equação 𝜕𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 0 5)Seja z = 3x2 – 2y2 – 5x + 2y + 3. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f(x,y) com y = 2 no ponto P(1,2, -3) 6)Dada a superfície 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, determinar a reta tangente às curvas de intersecção da superfície com: a)o plano x = 2 b)o plano y = √5 No ponto P(2, √5, 3) GABARITO 1) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 17 a) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 5𝑦 − 2𝑥; 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 5𝑥 b)2𝑥; 2𝑦 c)2; 5 d) √𝑥𝑦 2𝑥 ; √𝑥𝑦 2𝑦 e)2𝑥𝑦; 𝑥2 + 6𝑦 2) a)2𝑥𝑦e𝑥 2𝑦; 𝑥2e𝑥 2𝑦 b)xsen(y-x) + cos(y – x) ; -xsen(y – x) c)y2 + y + 2xy ; 2xy + x + x2 d) 2𝑥𝑦2 𝑥2+𝑦2 ; 2𝑦3 𝑥2+𝑦2 + 2𝑦ln(𝑥2 + 𝑦2) e) −𝑥 √𝑎2−𝑥2−𝑦2 ; −𝑦 √𝑎2−𝑥2−𝑦2 f) 𝑥 √𝑥2+𝑦2 ; 𝑦 √𝑥2+𝑦2 g) 4𝑥𝑦2 (𝑥2+𝑦2)2 ; −4𝑥2𝑦 (𝑥2+𝑦2)2 h) −𝑦 𝑥2+𝑦2 ; 𝑥 𝑥2+𝑦2 i)(𝑥 + 𝑦 + 1)e𝑥+2𝑦; (2𝑥 + 2𝑦 + 1)e𝑥+2𝑦 j) 4𝑥𝑦3 (𝑥2+2𝑦2)2 ; 𝑥4−2𝑥2𝑦2 (𝑥2+2𝑦2)2 k)2𝑥e𝑥 2+𝑦2−4; 2𝑦e𝑥 2+𝑦2−4 l)2y + 2ysenxycosxy ; 2x + 2xsenxycosxy m) 1 𝑥+𝑦 − 5; 1 𝑥+𝑦 n) 𝑥 √𝑥2+𝑦2−1 ; 𝑦 √𝑥2+𝑦2−1 o) 𝑦 2√𝑥𝑦 − 𝑦; 𝑥 2√𝑥𝑦 − 𝑥 p)2𝑤𝑡; 𝑤2 + 1 𝑡2 q)𝑣 − 1 𝑢 ; 𝑢 − 1 𝑣 r) 2xy2 - y ; 2yx2 – x s) 𝑥 √𝑥2+𝑦2 − 2𝑥; 𝑦 √𝑥2+𝑦2 − 2𝑦 t)2𝑥e𝑥 2 (1 + 𝑥2 + 𝑦2); 2𝑥e𝑥 2 (1 + 𝑥2 + 𝑦2) 3)satisfaz 4)satisfaz 5)1 6) a)𝑧 = √5𝑦 3 + 4 3 b)𝑧 = 2𝑥 3 + 5 3 3.1 Regra da Cadeia No estudo de funções de uma variável usamos a regra da cadeia para calcular a derivada de uma função composta. Vamos, agora, usar a regra da cadeia para o caso de funções de várias variáveis. Inicialmente, vamos trabalhar com dois casos específicos de composição MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 18 3.1.1 Regra da cadeia – Caso I Sejam A e B conjuntos abetos em R2 e R, respectivamente, e sejam z = f(x,y) uma função que tem derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em A, x = x(t) e y = y(t) funções diferenciáveis em B tais que, para todo t B, temos (x(t), y(t)) Seja a função composta h(t) = f(x(t), y(t)) t Então, essa função composta é diferenciável para todo t e 𝑑ℎ 𝑑𝑡 é dada por : 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 . 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Exemplo 1)Dada a f(x,y) = x2y + lnxy2, x(t) = t2 , y(t) = t, encontre a derivada 𝑑ℎ 𝑑𝑡 com h(t) = f(x(t), y(t)) 3.1.2 Regra da cadeia – Caso II Sejam A e B conjuntos abertos em R2 e sejam z = f(u,v) uma função que tem derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em A, u = u(x,y) e v = v(x,y) funções diferenciáveis em B tais que para todo (x,y) B temos (u(x,y), v(x,y)) A. Seja a função composta h(x,y) = f(u(x,y), v(x,y)), (x,y) B. Então, a função composta h(x,y) é diferenciável para todo (x,y) B, valendo: 𝜕ℎ 𝜕𝑥 = 𝜕𝑓 𝜕𝑢 . 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑣 . 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕ℎ 𝜕𝑦 = 𝜕𝑓 𝜕𝑢 . 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝜕𝑣 . 𝜕𝑣 𝜕𝑦 Observamos que as duas fórmulas acima podem ser reescritas em uma forma matricial. Temos: ( 𝜕ℎ 𝜕𝑥 𝜕ℎ 𝜕𝑦 )= ( 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝜕𝑓 𝜕𝑣 ). ( 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ) Exemplo 1)Dada f(x,y) = x2y – x2 + y2, x = r. cosϴ e y = r. senϴ encontrar as derivadas parciais 𝜕𝑓 𝜕𝑟 e 𝜕𝑓 𝜕Θ MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 19 3.2 Derivadas Parciais Sucessivas Se f é uma função de duas variáveis, então, em geral, suas derivadas parciais de 1ª ordem são, também, funções de duas variáveis. Se as derivadas dessas funções existem, elas são chamadas derivadas parciais de 2ª ordem de f. Para uma função z = f(x,y) temos quatro derivadas parciais de 2ª ordem. A partir da derivada de f em relação a x, 𝑑𝑓 𝑑𝑥 , obtemos as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem : 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2 e 𝜕2𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 A partir da derivada 𝜕𝑓 𝜕𝑦 , obtemos: 𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 e 𝜕2𝑓 𝜕𝑦2 Exemplo 1)Dada a função f(x,y) = x3y + x2y4, determinar suas derivadas de 2ª ordem MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL– GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 20 EXERCÍCIOS 1)Determinar 𝑑𝑧 𝑑𝑡 , usando a regra da cadeia. a)z = tg(x2 + y) , x = 2t , y = t2 b)z = xcosy, x = sent , y = t c)z = arc tgxy, x = 2t , y = 3t d)z = ex(cosx + cosy), x = t3 , y = t2 e)z = xy-1, x = e-t , y = lnt f)z = xy, x = 2t2 + 1, y = sent 2)Determinar as derivadas parciais 𝜕𝑧 𝜕𝑢 e 𝜕𝑧 𝜕𝑣 , usando a regra da cadeia. a)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦3, x = u2 + 1 , 𝑦 = √𝑣2 3 b) z = ln(x2 + y2), x = cosu.cosv , y = senu.cosv c) z = xey , x = uv , y = u – v d) z = x2 – y2, x = u – 3v , y = u + 2v e)𝑧 = e 𝑥 𝑦, x = ucosv , y = u senv 3)Seja z = f(x,y), x = rcosϴ, y = rsenϴ. Mostrar que ( 𝜕𝑧 𝜕𝑥 )2 + ( 𝜕𝑧 𝜕𝑦 )2 = ( 𝜕𝑧 𝜕𝑟 )2 + 1 𝑟2 . ( 𝜕𝑧 𝜕θ )2 4)Determine as derivadas parciais indicadas: a)𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 √𝑥2+4𝑦2 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 b)𝑧 = 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦, 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 c)𝑧 = ln(𝑥2 + 𝑦2), 𝜕3𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦2 d)𝑤 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2, 𝜕2𝑤 𝜕𝑧2 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 5)Se z = f(x,y) tem derivadas parciais de 2ª ordem contínuas e satisfaz a equação 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑓 𝜕𝑦2 = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas. a)z = exseny b)z = excosy c)z = y3 – 3x2y d)z = x2 + 2xy GABARITO 1) a)10t.sec2(5t2) b)cos2t – sen2t c) 12𝑡 1+36𝑡4 d)𝑡e𝑡 3 [−3𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡3 + 3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡3 + 3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡2 − 2𝑠𝑒𝑛𝑡2] e) −e−𝑡 𝑙𝑛𝑡 − e−𝑡 𝑡ln2𝑡 f)4tsent + (2t2 + 1) cost 2) a) 2𝑢3+2𝑢 √(𝑢2+1)2+𝑣2 , 𝑣 √(𝑢2+1)2+𝑣2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 21 b) zero, -2tgv c)𝑣𝑒𝑢−𝑣(1 + 𝑢); 𝑢𝑒𝑢−𝑣(1 − 𝑣) d) -10v , -10u + 10v e) zero , −1 𝑠𝑒𝑛2𝑣 . e𝑐𝑜𝑡𝑔𝑣 4) a)−(𝑥2 + 4𝑦2) −3 2 + 3𝑥2(𝑥2 + 4𝑦2) −5 2 , 12𝑥𝑦(𝑥2 + 4𝑦2) −5 2 b) -2ysenxy – xy2cosxy , -2xsenxy – x2ycosxy – x2ycosxy c) −4𝑥3+12𝑥𝑦2 (𝑥2+𝑦2)3 d)−(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2) −1 2 , −𝑧2(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2) −3 2 , −𝑥𝑦(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2) −3 2 5) a)sim b)sim c)sim d)não 4. Aplicações das Derivadas Parciais Sucessivas 4.1 Máximos e mínimos de Funções de duas variáveis A maximização e minimização de funções de várias varáveis é um problema que aparece em vários contextos práticos, como, por exemplo: problemas geométricos problemas físicos problemas econômicos e etc Exemplos 1)Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume de 4m3 e coma menor área de superfície possível? MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 22 2)Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por 𝐿(𝑥, 𝑦) = 60𝑥 + 100𝑦 − 3𝑥2 2 − 3𝑦2 2 − 𝑥𝑦. supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. EXERCÍCIOS 1)Encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, com área lateral igual a 5 cm2 2)Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 23 3)Uma firma de embalagens necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa e para o fundo da caixa, determinar as dimensões que minimizam o custo. 4)Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque. GABARITO 1)√ 5 3 , √ 5 3 , √5 2√3 2) triângulo equilátero de lado 10/3 cm 3)√32 3 , √32 3 , 2√32 3 4)3√10 3 , 3√10 3 , 3√10 3 5. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 24 5.1 Coordenadas Polares Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P = (a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso P≠O. Denotamos P = (r,θ) onde r é a distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso P≠O. Se P=O, Denotamos P = (0,θ), para qualquer θ. Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares. Exemplo. Complete a tabela, de acordo com o gráfico: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 25 Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamos somente de um ponto O do plano e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas polares (r,θ), tomando o segmento OP com medida r. O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar. Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário. Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar. Denotamos P por (–r,θ), para r positivo, se P=(r,π + θ), ou seja, consideramos (–r,θ)=(r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo. Ponto Coordenada Cartesiana Coordenada Polar A B C D E F MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 26 Dado um ângulo θ, temos θ = θ+2kπ, para todo k inteiro. Assim, (r,θ) = (r,θ+2π)= (r,θ+4π) = (r,θ – 2π) = (r,θ – 4π) = ... Exemplo. (5,π/2) = (5, π/2 + 10π) = (5, 21π/2) 5.1.1 Mudança de coordenadas Um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas cartesianas por (x,y) ou em coordenadas polares por (r,θ). Para facilidade de comparação entre os dois sistemas, consideramos o ponto O coincidindo com a origem do sistema cartesiano e a semi-reta, a parte do eixo x, à direita de O. a) Mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas Seja P um ponto com coordenadas polares (r,θ). Considerando inicialmente 0<θ<π/2, do triângulo retângulo OPx obtemos as seguintes relações: Se θ=0, temos P no eixo das abcissas. Logo, P tem coordenadas cartesianas (x,0) e coordenadas polares (x,0) (r = x e θ = 0). Assim, x = x×1 = r cos θ e y = 0 = r×0 = r sen θ. Para os casos onde θ≥π/2, fica como exercício mostrar que também x = r cos θ e y = r sen θ. b)Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares Seja P um ponto de coordenadas cartesianas (x,y). Como vimos acima. Considerando P Com coordenadas (r, θ), temos as relações x = r.cosθ e y = r.senθ . Como x2 + y2 = r2(cos2θ +sen2θ) = x2+y2=r2 , que resulta em 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 27 Se r = 0 , isto é, x = y, então podemos tomar qualquer θ Se r ≠ 0, é tal que cos𝜃 = 𝑥 𝑟 e sen𝜃 = 𝑦 𝑟 Exemplo 1)Se P tem coordenadas polares (−2, 𝜋 3 ), passe para coordenadas cartesiana 2)Se P tem coordenadas cartesiana (-1, 1), passe para coordenadas polares Podemos transformar equações cartesianas em polares e vice-versa Exemplo 3)Qual a equação polar da circunferência de centro na origem e raio 3 4)Se uma curva tem equação polar 𝑟 = cos𝜃 + sen𝜃, qual a sua equação cartesiana MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 28 Exercícios. 1)Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares: a)(1,1) b) (2,–2) c)(√3, 1) d) (4,0) e) (0,–3) f)(3,1) 2)Transforme coordenadas polares em coordenadas cartesianas: a)(1, π/2) b) (–2, 49π/6) c) (3, −5π/3) d) (0, π/9) e) (7,π) 3)Encontre a equação polar para cada uma das seguintes equações cartesianas. 𝑎)(𝑥 − 1)2 + 𝑦1 = 1 𝑏)(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 13 d)x = -2 e)y = 3 f)y = x 4)Encontre a equação cartesiana para cada uma das seguintes equações polares. a) r = 5 b) r = 2sen θ c) r = 2cos θ - 4sen θ d) θ = π/3 e) sen θ = cos θ f)𝑟 = 2 3sen𝜃−5cos𝜃 5)Encontre as equações polares das seguintes curvas: a)da elipse 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 b)da hipérbole 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 c)da parábola y = x2 5.2 Coordenadas Cilíndricas e Coordenadas Esféricas São necessárias três coordenadas para estabelecer a localização de um ponto no espaço tridimensional. Já havíamos visto isso em coordenadas retangulares (cartesianas). Contudo as figura abaixo mostra outras duas possibilidades: a parte (a) da figura mostra as coordenadas retangulares (x,y,z) de um ponto P, a parte (b) mostra as coordenadas cilíndricas (r,θ,z) de O e a parte (c) mostra MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 29 coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) de P. Em um sistema de coordenadas retangulares, as coordenadas podem ser quaisquer números reais, mas no sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas há restrições sobre os valores admissíveis das coordenadas (conforme mostra na figura). 5.2.1 Convertendo Coordenadas Da mesma forma que convertemos entre coordenadas retangulares e polares no espaço bidimensional, precisamos converter entre coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas no espaço tridimensional. Observando os gráficos abaixo podemos entender melhor como foram deduzidas as fórmulas de conversão apresentadas na tabela logo abaixo Exemplo 1)Determine as coordenadas retangulares do ponto P (4, π/3, -3 ). Faça o gráfico MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 30 2)Determine as coordenadas retangulares do ponto P (4, π/3, π/4). Faça o gráfico 3)Determine as coordenadas esféricas do ponto P (4, -4, 4√6). Faça o gráfico 5.2.2 Equações de superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 31 As superfícies de revolução em torno do eixo z de um sistema de coordenadas retangulares têm, geralmente, equações mais simples nas coordenadas cilíndricas do que nas coordenadas retangulares, e as equações de superfície com simetria em torno da origem são geralmente mais simples nas coordenadas esféricas do que nas coordenadas retangulares Exemplo 1)Transforme a equação 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2em coordenadas cilíndricas e esféricas 2)Obtenha as equações do parabolóide z = x2 + y2 em coordenadas cilíndricas e esféricas MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 32 Exercícios 1)converta as coordenadas de retangulares para cilíndricas. a) (4√3, 4, −4) b) (−5,5,6) c) (0,2,0) d) (4, −4√3, 6) 2)Converta as coordenadas de cilíndricas para retangulares a) (4, 𝜋 6 , 3) b) (8, 3𝜋 4 , −2) c) (5,0,4) d) (7, 𝜋, −9) 3)Converta as coordenadas de retangulares para esféricas a) (1, √3,−2) b) (1, −1,√2) c) (0,3√3, 3) d) (−5√3, 5,0) 4)Converta as coordenadas de esféricas para retangulares a) (5, 𝜋 6 , 𝜋 4 ) b) (7,0, 𝜋 2 ) c) (1, 𝜋, 0) d) (2, 3𝜋 2 , 𝜋 2 ) 5)Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas a) (√3, 𝜋 6 , 3) b) (1, 𝜋 4 , −1) c) (2, 3𝜋 4 , 0) d) (6,1,−2√3) 6)Converta as coordenadas de esféricas para cilíndricas a) (5, 𝜋 4 , 2𝜋 3 ) b) (1,7𝜋 6 , 𝜋) c) (3,0,0) d) (4, 𝜋 6⁄ , 𝜋 2⁄ ) 7)Uma equação é dada em coordenadas cilíndricas. Expresse a equação em coordenadas retangulares e esboce o gráfico a)r = 3 b)z = r2 c)r = 4senθ d)r2 + z2 = 1 8)Uma equação é dada em coordenadas esféricas.expresse a equação em coordenadas retangulares e esboce o gráfico a)ρ = 3 b)φ = π/4 c)ρ = 4 cosφ d)ρsenφ = 2cosθ 9)Uma equação de uma superfícies é dada em coordenadas retangulares. Determine uma equação da superfície em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 33 a)z = 3 b)z = 3x2 + 3y2 c)x2 + y2 = 4 d) x2 + y2 +z2 = 9 e)2x + 3y + 4z = 1 f)x2 = 16 – z2 GABARITO 1) a) (8, 𝜋 6 , −4) b) (5√2, 3𝜋 4 , 6) c) (2, 𝜋 2 , 0) d) (8, 5𝜋 3 , 6) 2) a) (2√3, 2,3) b) (−4√2, 4√2,−2) c) (5,0,4) d) (−7,0,−9) 3) a) (2√2, 𝜋 3 , 3𝜋 4 ) b) (2, 7𝜋 4 , 𝜋 4 ) c) (6, 𝜋 2 , 𝜋 3 ) d) (10, 5𝜋 6 , 𝜋 2 ) 4) a) ( 5√6 4 , 5√2 4 , 5√2 2 ) b) (7,0,0) c) (0,0,1) d) (0, −2,0) 5) a) (2√3, 𝜋 6 , 𝜋 6 ) b) (√2, 𝜋 4 , 3𝜋 4 ) c) (2, 3𝜋 4 , 𝜋 2 ) d) (4√3, 1, 2𝜋 3 ) 6) a) ( 5√3 2 , 𝜋 4 , − 5 2 ) b) (0, 7𝜋 6 , −1) c) (0,0,3) d) (4, 𝜋 6 , 0) 7) 8) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 34 9) a)z = 3 e ρ = 3secφ b)z = 3r2 e ρ = 1/3(cosecφ.cotgφ) c)r = 2 e ρ = cosecφ d)r2 + z2 = 9 e ρ = 3 e)2rcosθ +3rsenθ + 4z = 1 e 2ρsenφcosθ +3ρsenφsenθ+4ρcosφ = 1 f)r2cos2θ = 16 – z2 e ρ2(1 – sen2φsen2θ) = 16 6. Integral Dupla 6.1 Definição: Vamos considerar uma função z = f(x,y) definida em uma região fechada e limitada R do plano xy, veja figura. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 35 Traçando retas paralelas aos eixos dos x e dos y, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos. Consideremos somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em R, numerando-os de 1 até n. Em cada retângulo Rk, escolhemos um ponto (xk,yk) e formamos a soma ∑ 𝑛 𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘, onde Δak = Δxk . Δyk é área do retângulo Rk. Suponhamos, agora, que mais retas paralelas aos eixos dos x e dos y são traçadas, tornando as dimensões dos retângulos cada vez menores, como na figura b acima. Fazemos isso de tal maneira que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito. Nessa situação, se lim 𝑛→∞ ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘existe, ele é chamado integral dupla de f(x,y) sobre a região R. Denotamos ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑜𝑢 ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Observamos que: a) A região R é denominada região de integração b) A soma é chamada soma de Riemann de z = f(x,y) sobre R c) O limite deve ser independente da escolha das retas que subdividem a região R e dos pontos (xk, yk) tomados dos retângulos Rk. d) A existência do limite depende da função z = f(x,y) e também da região R. Em nosso estudo, vamos supor que o encontro da região R é formado por um número finito de arcos de curvas ' suaves' , isto é,, de arcos de curvas que não contém pontos angulosos. Nesse caso, se f é contínua sobre R, temos a garantia da existência da integral dupla. OBS* Quando z = f(x,y) ≥ 0, a integral dupla pode ser interpretada como um VOLUME. 6.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla Suponhamos que z = f(x,y) seja maior ou igual a zero sobre R. Observando a figura abaixo, vemos que o produto f(xk,yk). Δak representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f(xk,yk). MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 36 A soma de Riemann ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘,representa uma aproximação do volume da porção do espaço compreendida abaixo do gráfico de z = f(x,y) e acima da região R do plano xy. Assim, quando f(x,y) ≥ 0, a ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo 'cilindro' vertical cuja base é o contorno de R. 6.3 Propriedades da Integral dupla a) ∬ 𝑘.𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy 𝑅 = 𝑘. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy 𝑅 , para todo k real b) ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy + 𝑔(𝑥, 𝑦)dxdy] = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy 𝑅𝑅 + ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)dxdy 𝑅 c) Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦), para todo (x, y) R, então ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)dA ≥ ∬ 𝑅 𝑔(𝑥, 𝑦)dA d) Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0para todo (x,y) pertencente à região R, então∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)dA ≥ 0 e)Se a região R é composta de duas sub-regiões que não tem pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas fronteiras, então ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy 𝑅1𝑅 + ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy 𝑅2 6.4 Cálculo das Integrais Duplas R é do tipo I MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 37 Neste caso, a integral dupla ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦é calculada por meio da seguinte integral, dita iterada: ∫ ∫ 𝑓2(𝑥) 𝑓1(𝑥) 𝑓 𝑏 𝑎 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 R é do tipo II Neste caso, a integral dupla ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦é calculada por meio da seguinte integral iterada: ∫ ∫ 𝑔2(𝑦) 𝑔1(𝑦) 𝑓 𝑑 𝑐 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Exemplo 1) Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 – x – y, inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e 𝑦 = 1 4 𝑥 + 1 2 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 38 Exemplo 2) Calcular a integral 𝐼 = ∬ (𝑥 + 𝑦) 𝑅 𝑑𝐴onde R é a região limitada por y = x2 e y = 2x. Exemplo 3) Calcular 𝐼 = ∬ 𝑅 𝑦. 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é o retângulo de vértices (0, π 2 ), (1, π 2 ), (1, π)e (0, π) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIADE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 39 Exemplo 4) Calcular a integral 𝐼 = ∫ ∫ 4 4𝑥 e−𝑦 21 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 Exemplo 5) Calcular ∬ 𝑅 √𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥√𝑦)𝑑𝐴, onde R é a região delimitada por x = 0, y = π/2 e 𝑥 = √𝑦 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 40 Exemplo 6) Calcular ∬ 𝑅 𝑥𝑦𝑑𝐴, onde R é triângulo da figura abaixo Exercícios 1)Calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dA 𝑅 , onde : a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥.𝑒xy; R é o retângulo 1 ≤ 𝑥 ≤ 3𝑒0 ≤ 𝑦 ≤ 1 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥.cos(xy); R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 2 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 𝑥+𝑦 ; R é o quadrado 1 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒1 ≤ 𝑦 ≤ 2 2)Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes: a)∫ ∫ (2𝑥 + 4𝑦)dydx 2𝑥 𝑥 1 0 b) ∫ ∫ xdydx 1 ln𝑥 𝑒 1 c) ∫ ∫ ydydx senx 0 𝜋 0 d) ∫ ∫ xdydx √4−𝑥2 √1−𝑥2 1 −1 e) ∫ ∫ 𝑦.lnxdydx 𝑥 0 2 1 f) ∫ ∫ 𝑥2dydx 𝑥+1 0 2 −1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 41 3)Calcular ∬ (𝑥 + 4)dxdy 𝑅 , onde R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒0 ≤ 𝑦 ≤ 6 4)Calcular ∬ (8 − 𝑥 − 𝑦)dxdy 𝑅 , onde R é a região delimitada por y = x2 e y = 4 5)Calcular ∬ senx.senydxdy 𝑅 , onde R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 𝑒0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 2 6)Calcular ∬ (𝑥2 + 𝑦2)dxdy 𝑅 , onde R é a região delimitada por 𝑦 = √𝑥, x = 4 e y = 0 7)Calcular ∬ (2𝑥 + 𝑦)dxdy 𝑅 , onde R é a região delimitada por x = y2 – 1, x = 5, y = -1 e y = 2 8)Calcular ∬ 𝑒−𝑥 2 dxdy 𝑅 , sendo R a região delimitada por x = 4y, y = 0 e x = 4 9)Calcular ∬ 2ydxdy 𝑅 , sendo R a região delimitada por y = x2 e y = 3x – 2 10)Calcular ∬ (𝑥 + 𝑦)dxdy 𝑅 , onde R é região descrita pelo gráfico abaixo GABARITO 1)a)e3 – e – 2 b) 4 𝜋 c)10ln2 – 6ln3 2)a) 8 3 b) 𝑒2 4 − 3 4 c) 𝜋 4 d)zero e) 4ln2 3 − 7 18 f) 27 4 3)60 4) 896 15 5)1 6) 4288 105 7) 1533 20 8) 1 8 [1 − 𝑒−16] 9) 4 5 10)2 6.5 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Na integração de funções de uma variável, a fórmula de mudança de variável ou substituição é usada para transformar uma integral dada em outra mais simples. Para as integrais duplas, podemos utilizar um procedimento análogo. Por meio de uma mudança de variáveis x = x(u,v) e y = y(u,v) uma integral dupla sobre uma região R do plano xy pode ser transformada em uma integral dupla sobre uma região R' do plano uv. Se a transformação leva pontos distintos de R' a pontos distintos de R, dizemos que ela é uma aplicação um por um. Nesse caso, a correspondência entre as regiões R e R' é bijetora, e podemos retornar de R para R' pela transformação inversa u = u(x,y) e v = v(x,y). Considerando que as funções são contínuas, com derivadas parciais contínuas em R' e R respectivamente, temos ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑅′ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)). | 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑢, 𝑣) |𝑑𝑢𝑑𝑣 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 42 onde | 𝜕(𝑥,𝑦) 𝜕(𝑢,𝑣) |é o determinante Jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por | 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑢, 𝑣) | = | 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 | 6.5.1 Coordenadas polares Já sabemos como localizar um ponto no plano por meio de duas coordenadas cartesianas retangulares. Existem outros sistemas de coordenadas. Um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas polares. Neste sistema, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semirreta fixa. O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. A semirreta fixa 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗é chamada eixo polar. O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, θ), onde |𝑟|representa a distância entre a origem e o ponto P, e θ representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AOP. Usaremos as seguintes convenções: i. Se o ângulo AOP for descrito no sentido anti-horário, então θ > 0. Caso contrário, θ < 0 ii. Se r < 0, o ponto P estará localizado na extensão do lado terminal do ângulo AOP iii. O par ordenado (0, θ), θ qualquer, representará o pólo 6.5.2 Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares Seja P um ponto de coordenadas cartesianas (x,y) Podemos observar que: cosθ = 𝑥 𝑟 e 𝑠𝑒𝑛θ = 𝑦 𝑟 , portanto: 𝑥 = 𝑟. cosθ 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 43 Essas equações nos dão as coordenadas cartesianos de um dado ponto em termos de suas coordenadas polares. Podem ser vistas como uma transformação que leva pontos (r, θ) a pontos (x,y) do plano xy. Neste caso o determinante Jacobiano é dado por: | 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑟, θ) | = | 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕θ 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕θ | = | cosθ −𝑟𝑠𝑒𝑛θ 𝑠𝑒𝑛θ 𝑟𝑐𝑜𝑠θ | = 𝑟 Voltando na integral dupla a substituição para coordenadas polares fica assim: ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑅′ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟𝑠𝑒𝑛θ). 𝑟𝑑𝑟𝑑θ Exemplo 1) Calcular 𝐼 = ∬ 𝑅 √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o círculo de centro na origem e raio 2 Exemplo 2) Calcular 𝐼 = ∬ 𝑅 e𝑥 2+𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região do plano xy delimitada por x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 44 Exemplo 3) Calcular 𝐼 = ∬ 𝑅 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 – ax = 0, a > 0 Exemplo 4) Calcular 𝐼 = ∬ 𝑅 √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região limitada pelas curvas x2 + y2 = 2x,x2 + y2 = 4x, y = x e 𝑦 = √3 3 𝑥 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 45 Exemplo 5) Calcular 𝐼 = ∬ (𝑥 − 𝑦) 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o paralelogramo limitado pelas retas x – y = 0, x – y = 1, y = 2x e y = 2x – 4 Exemplo 6) Calcular 𝐼 = ∬ [(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2] 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada pela circunferência (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 46 Exercícios 1)Calcular ∬ 𝑅 √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9 2)Calcular ∬ 𝑅 e2(𝑥 2+𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o círculo x2 + y2 ≤ 4 3)Calcular ∬ 𝑅 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 – 4x = 0 4)Calcular ∬ (𝑥2 + 𝑦2) 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região interna à circunferência x2 + y2 = 4y e externa à circunferência x2 + y2 = 2y 5)Calcular ∬ 𝑅 √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada por (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 6)Calcular ∬ (8 − 𝑥 − 𝑦) 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R delimitada por x2 + y2 = 1 7)Calcular ∬ 𝑅 ln(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o anel delimitado por x2 + y2 = 16 e x2 + y2 = 25 8)Calcular ∬ (36 − 4𝑥2 − 9𝑦2) 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada pela elipse 𝑥2 9 + 𝑦2 4 = 1 9)Calcular ∬ (𝑥 + 𝑦) 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x + y = 4, x + y = 0, y – x = 0 e y – x = -1 GABARITO 1) 52π 3 2) π 2 . (e8 − 1) 3)8π 4) 45π 2 5) 2π 3 6)8π 7) 2π (25ln5 – 32ln2 – 9/2) 8)108π 9)4 7. Aplicações da Integral Dupla Aqui veremos algumas aplicações geométricas das integrais duplas 7.1 Cálculo de Volume A expressão ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴, quando f(x,y) ≥ 0 representa o volume delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Então: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 47 𝑉 = ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 Exemplos 1)Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = 4 – 2x2 – 2y2 2)Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por y + z = 2 e pelo cilindro que contorna a região delimitada por y = x2 e x = y2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 48 7.2 Cálculo de área de regiões planas Se na expressão ∬ 𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴tivermos f(x,y) = 1, obtemos: ∬ 𝑅 𝑑𝐴 que nos dá a área da região de integração R. exemplos 1)Calcular a área da região R delimitada por x = y2 + 1 e x + y = 3 2)Calcular a área da região delimitada por y = x3 , y = -x e 𝑦 = 2𝑥 3 + 20 3 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 49 Exercícios: 1)Nos exercícios abaixo, calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas: a)y = x2 , y = 4 , z = 0 e z = 4 b)z = 4x2, z = 0, x = 0, x = 2, y = 0 e y = 4 c)z = 1 – x2, z = 0, x + y = 4 e y = 0 d)x2 + y2 = 1, z = 0 e z = x2 + y2 e)x2 + y2 = 4, y + z = 8 e z = 0 f)z = x2 + 1, z = 0, y = 0, x = 0, x = 4 e y = 5 g)z = 9 – x2 – y 2 e z = x2 + y2 2)Determinar a área da região R delimitada pelas curvas y = x3, x + y = 2 e y = 0 3)Calcular a área da região delimitada por 𝑦 = √4 − 𝑥2, y = x e y = 2x 4)Calcular a área da região delimitada por y = ex-1, y = x e x = 0 GABARITO 1) a)128/3 b)128/3 c)16/3 d)π/2 e)32π f)380/3 g)81π/4 2)3/4 3)2(arctg2 – π/4) 4)1/2 – 1/e
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