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Apostila Cálculo II

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DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS 
 
 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4) 
Calcular a integral 𝐼 = ∫ ∫
4
4𝑥
e−𝑦
21
0
𝑑𝑦𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5) 
Calcular ∬
𝑅 √𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥√𝑦)𝑑𝐴, onde R é a região delimitada por x = 0, y = π/2 e 𝑥 = √𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6) 
Calcular ∬
𝑅
𝑥𝑦𝑑𝐴, onde R é triângulo da figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1)Calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dA
𝑅
, onde : 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥.𝑒xy; R é o retângulo 1 ≤ 𝑥 ≤ 3𝑒0 ≤ 𝑦 ≤ 1 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥.cos(xy); R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒0 ≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥+𝑦
; R é o quadrado 1 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒1 ≤ 𝑦 ≤ 2 
2)Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes: 
a)∫ ∫ (2𝑥 + 4𝑦)dydx
2𝑥
𝑥
1
0
 
b) ∫ ∫ xdydx
1
ln𝑥
𝑒
1
 
c) ∫ ∫ ydydx
senx
0
𝜋
0
 
d) ∫ ∫ xdydx
√4−𝑥2
√1−𝑥2
1
−1
 
e) ∫ ∫ 𝑦.lnxdydx
𝑥
0
2
1
 
f) ∫ ∫ 𝑥2dydx
𝑥+1
0
2
−1
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 41 
3)Calcular ∬ (𝑥 + 4)dxdy
𝑅
, onde R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒0 ≤ 𝑦 ≤ 6 
4)Calcular ∬ (8 − 𝑥 − 𝑦)dxdy
𝑅
, onde R é a região delimitada por y = x2 e y = 4 
5)Calcular ∬ senx.senydxdy
𝑅
, onde R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
𝑒0 ≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
 
6)Calcular ∬ (𝑥2 + 𝑦2)dxdy
𝑅
, onde R é a região delimitada por 𝑦 = √𝑥, x = 4 e y = 0 
7)Calcular ∬ (2𝑥 + 𝑦)dxdy
𝑅
, onde R é a região delimitada por x = y2 – 1, x = 5, y = -1 e y = 2 
8)Calcular ∬ 𝑒−𝑥
2
dxdy
𝑅
, sendo R a região delimitada por x = 4y, y = 0 e x = 4 
9)Calcular ∬ 2ydxdy
𝑅
, sendo R a região delimitada por y = x2 e y = 3x – 2 
10)Calcular ∬ (𝑥 + 𝑦)dxdy
𝑅
, onde R é região descrita pelo gráfico abaixo 
 
GABARITO 
1)a)e3 – e – 2 b) 
4
𝜋
 c)10ln2 – 6ln3 
2)a) 
8
3
 b) 
𝑒2
4
−
3
4
 c) 
𝜋
4
 d)zero e) 
4ln2
3
−
7
18
 f) 
27
4
 
3)60 4) 
896
15
 5)1 6) 
4288
105
 7) 
1533
20
 
8) 
1
8
[1 − 𝑒−16] 9) 
4
5
 10)2 
 
6.5 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 
 
Na integração de funções de uma variável, a fórmula de mudança de variável ou substituição 
é usada para transformar uma integral dada em outra mais simples. 
Para as integrais duplas, podemos utilizar um procedimento análogo. Por meio de uma 
mudança de variáveis x = x(u,v) e y = y(u,v) uma integral dupla sobre uma região R do plano xy 
pode ser transformada em uma integral dupla sobre uma região R' do plano uv. 
 
 
Se a transformação leva pontos distintos de R' a pontos distintos de R, dizemos que ela é uma 
aplicação um por um. Nesse caso, a correspondência entre as regiões R e R' é bijetora, e podemos 
retornar de R para R' pela transformação inversa u = u(x,y) e v = v(x,y). 
Considerando que as funções são contínuas, com derivadas parciais contínuas em R' e R 
respectivamente, temos 
∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬
𝑅′
𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)). |
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
|𝑑𝑢𝑑𝑣 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 42 
 
onde |
𝜕(𝑥,𝑦)
𝜕(𝑢,𝑣)
|é o determinante Jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por 
|
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
| = |
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
| 
6.5.1 Coordenadas polares 
 
Já sabemos como localizar um ponto no plano por meio de duas coordenadas cartesianas 
retangulares. Existem outros sistemas de coordenadas. Um sistema bastante utilizado é o sistema de 
coordenadas polares. 
Neste sistema, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em 
relação a um ponto fixo e a uma semirreta fixa. 
 
 
O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. 
A semirreta fixa 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗é chamada eixo polar. 
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, θ), onde |𝑟|representa a distância 
entre a origem e o ponto P, e θ representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AOP. 
Usaremos as seguintes convenções: 
i. Se o ângulo AOP for descrito no sentido anti-horário, então θ > 0. Caso contrário, θ < 0 
ii. Se r < 0, o ponto P estará localizado na extensão do lado terminal do ângulo AOP 
iii. O par ordenado (0, θ), θ qualquer, representará o pólo 
 
6.5.2 Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares 
 
Seja P um ponto de coordenadas cartesianas (x,y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que: 
cosθ =
𝑥
𝑟
e 𝑠𝑒𝑛θ =
𝑦
𝑟
, portanto: 
𝑥 = 𝑟. cosθ 
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 43 
Essas equações nos dão as coordenadas cartesianos de um dado ponto em termos de suas 
coordenadas polares. Podem ser vistas como uma transformação que leva pontos (r, θ) a pontos 
(x,y) do plano xy. Neste caso o determinante Jacobiano é dado por: 
|
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑟, θ)
| = |
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝜕θ
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕θ
| = |
cosθ −𝑟𝑠𝑒𝑛θ
𝑠𝑒𝑛θ 𝑟𝑐𝑜𝑠θ
| = 𝑟 
 
Voltando na integral dupla a substituição para coordenadas polares fica assim: 
 
∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬
𝑅′
𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟𝑠𝑒𝑛θ). 𝑟𝑑𝑟𝑑θ 
 
Exemplo 1) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o círculo de centro na origem e raio 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
e𝑥
2+𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região do plano xy delimitada por x2 + y2 = 4 e 
x2 + y2 = 9 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 – ax = 0, a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região limitada pelas curvas x2 + y2 = 2x,