Apostila Cálculo II

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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“O SÁBIO NUNCA DIZ TUDO O QUE PENSA, 
MAS PENSA SEMPRE TUDO O QUE DIZ” 
Aristóteles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1. Funções de várias variáveis 
2. Limites e continuidade de funções de várias variáveis 
3. Derivadas Parciais 
4. Diferenciais e aplicações de derivadas parciais 
5. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas 
6. Integrais duplas 
7. Aplicações das integrais duplas 
8. Integrais triplas 
9. Aplicações de integrais triplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Funções de várias variáveis 
 
Recordando a definição de função de uma variável: 
Uma função é uma relação de um conjunto A com um conjunto B, onde cada elemento de A se 
relaciona UNICAMENTE com um elemento de B. Usualmente denotamos uma tal função por f: A 
→ B, y = f(x), onde f é o nome da função, A é o conjunto de partida (domínio da função) e B é 
contradomínio e y = f(x) expressa a lei de correspondência dos elementos x ϵ A com os elementos y 
ϵ B. 
Agora, não é difícil entender que uma função de DUAS VARIÁVEIS relaciona DOIS números: 
x, y a outro número f(x,y). 
 
x, y → f(x, y) 
Exemplo: 
 
f(x,y) = x + y 
Alguns valores 
x y f(x,y) 
-1 0 -1 
-1 1 0 
0 1 1 
0 2 2 
 
E o gráfico dessa função será uma SUPERFÍCIE 
 
z = f(x,y) 
 
Da mesma forma uma função com três variáveis associa três números x, y e z a um único 
número f(x,y,z). Neste caso não existe o gráfico, pois nosso mundo tem três dimensões e o gráfico de 
função de três variáveis estaria em quatro dimensões. 
 
 Função de uma variável – gráfico é uma curva (1 dimensão) – Plano R2 
 Função de duas variáveis – gráfico é uma superfície(2 dimensões) – Plano R3 
 Função de três variáveis – gráfico é um sólido (3 dimensões) – Plano R4 
 
 
 Plano R2 Plano R3 
 
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1.1 Definição 
 
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional (A  Rn), isto é, os elementos de A são n-uplas 
ordenadas (x1, x2, ...xn) de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associamos a um único 
elemento z  R, temos uma função f: A  Rn  R. Essa função é chamada função de n-variáveis 
reais. Denotamos z = f(x,y) 
 
1.2 Domínio e Imagem 
 
De forma análoga ao cálculo de uma variável, os conjuntos domínio e imagem de uma função 
são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis. 
Seja f: A  Rn  R uma função. 
 O conjunto de todas as variáveis independentes de u  Rn tais que f(u) existe é chamado 
de f e é denotado por Dom(f). 
 O conjunto dos z  R tais que f(u) = z e u  Dom(f) é chamado imagem de f e é denotado 
por Im(f) 
 
Na prática o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema. 
Exemplos 
1)O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h. 
 
 
V(r,h) = .r2.h 
 
 
 
 
 
Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que: 
 
Dom(f) = {(r, h)  R2 / r > 0, h > 0} 
Im(f) = (0, ) 
 
2)Seja z = f(x,y) = √1 − 𝑥2 − 𝑦2. Note que f é definida se, e somente se: 
 
1 – x2 – y2  0 ,ou seja, x2 + y2  1 (circunferência de raio 1). Logo: 
 
 
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Dom(f) = {(x,y)  R2 / x2 + y2  1} e Im(f) = [0, 1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)Seja z = f(x,y) = 
𝑥
𝑥−𝑦
. Qual o Dom(f)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)Seja z = f(x,y) – ln(y – x). Qual o Dom(f)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5)Qual o domínio da função z = f(x,y) = 
𝑦
√𝑥2+𝑦2−1
 
 
 
 
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6)Qual o domínio da função w = f(x,y,z) = 𝑦√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Gráfico de funções de Várias Variáveis 
 
É o conjunto de todos os pontos (x,y,z)  R3, tais que (x,y)  D(f) e z = f(x,y). 
Simbolicamente, escrevemos: 
 
graf(f) = {(x,y,z)  R3/ z = f(x,y)} 
 
Para construir o esboço do gráfico de uma função de várias variáveis utilizamos a seguinte 
sequência: 
 
1)Estudar o domínio da função; 
2)Fazer a intersecção com os planos coordenados (se o resultado for significativo): 
 plano xz  y = 0 
 
 
 
Exemplos: 
 
1)Faça o esboço do gráfico da função z = f(x,y) = x2 + y2 
 
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2)Faça o esboço do gráfico da função z = f(x,y) = 
√𝑥2 + 𝑦2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Curvas de nível 
 
As curvas de nível são sempre subconjuntos do domínio da função z = f(x,y) e, portanto, são 
traçadas no plano xy. Cada curva de nível f(x,y) = k é a projeção, sobre o plano xy, da intersecção do 
gráfico de f com o plano horizontal z = k. 
Assim, para obtermos uma visualização do gráfico de f, podemos traçar diversas curvas de nível 
e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocadas para a altura z = k correspondente. Veja o gráfico 
abaixo para a função z = f(x,y) = x2 + y2 
 
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Exemplos 
1)Esboçar as curvas de nível da função f(x,y) = y2 – x2 para k = 0, 1 e 2 
 
 
 
 
 
 
 
2)Esboçar as curvas de nível da função f(x,y) = 4 – x2 - 4y2 para k = 0, 1 e 2EXERCÍCIOS 
 
1)Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: 
a)O comprimento de uma escada apoiada na parede como na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
b)O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros 
de altura. 
 
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c)A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura 
a e comprimento b. 
d)A quantidade, em metros, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de 
um quarto retangular de x metros de largura e y metros de comprimento, se a altura do quarto é z 
metros. 
e)O volume do paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z. 
f)A distância entre dois pontos P(x,y,z) e Q(u,v,w) 
g)A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual à 
distância do ponto ao centro da esfera. 
 
2)Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente (quando possível): 
a) z = xy 
b) w = 
1
𝑥2+𝑦2+𝑧2
 
c)z = 
1
√𝑥2−𝑦2
 
d)z = 
𝑥
𝑦2+1
 
e)z = √𝑥2 + 𝑦2 − 1 
 
3)Dada a função f(x,y) = 
𝑥+𝑦
2𝑥+𝑦
 
a)Dar o domínio 
b)Calcular f(x + x, y) 
c)Calcular f(-1, 0) 
d)Fazer um esboço do gráfico do domínio 
 
4)Desenhar as curvas de nível Ck para os valores de k dados: 
a)z = x2 – y2 ; k = 0,1,2,3 
b)z = y2 – x2; k = 0,1,2,3 
c)z = 2 – (x2 + y2); k = -3, -2, -1, 0, 1, 2 
d)f(x,y) = 2x2 + 4y2; k = 2,3,4,8 
 
GABARITO 
1) 
a)C(h,L) = √ℎ2 + 𝐿2 b)V(x,y) = x2y c)f(a,b) = 2a + 2b 
d)f(x,y,z) = 2xz + 2yz e)V(x,y,z) = xyz f)d(P,Q) = √(𝑥 − 𝑢)2 + (𝑦 − 𝑣)2 + (𝑧 − 𝑤)2 
g)T(x,y,z) = √(𝑥 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦 − 𝑦𝑜)2 + (𝑧 − 𝑧𝑜)2com (xo, yo, zo) centro da esfera 
 
2) 
a)D(z) = R2 b)D(z) = R3 – {(0,0,0)} c)D(z) = {(x,y)  R2/ |x| > |y|} 
d)D(z) = R2 e) D(z) = {(x,y)  R2/ x2 + y2  1} 
 
3) 
a)D(z) = {(x,y)  R2/ 2x + y  0} b)
𝑥+𝛻𝑥+𝑦
2𝑥+2𝛻𝑥+𝑦
 c)1/2 
 
 
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2. Limites e Continuidade de Funções de 
várias variáveis 
 
Relembrando o limite de uma função de uma variável: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)só existe se lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)= lim
𝑥→𝑎→
𝑓(𝑥)= L 
 
 
 
 
De forma análoga, vejamos o que será o limites de uma função de várias variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso o limite da função de 
várias variáveis, pode ser analisado por diversos lados do ponto (xo, yo). 
 
DEFINIÇÃO: Dizemos que uma função f(x,y) se aproxima do limite L à medida que (x,y) se 
aproxima de (x0, y0) e escrevemos lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥𝑜,𝑦𝑜)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿se, para todo número  > 0, existe um 
número  > 0 correspondente tal que, para todo (x,y) no domínio de f, |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿 < 𝑒|sempre que 
0 < √(𝑥 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦 − 𝑦𝑜)2 < 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 
 
 
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OBS* As propriedades dos limites de uma variável podem ser estendidas para os limites de 
funções de várias variáveis. 
 
Exemplos 
1)Calcule lim
(𝑥,𝑦)→(2,−1)
(𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑥𝑦 + 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Calcule lim
(𝑥,𝑦)→(2,1)
𝑥3+𝑥2𝑦−2𝑥𝑦−2𝑥2−2𝑥+4
𝑥𝑦+𝑥−2𝑦−2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)Calcule lim
(𝑥,𝑦)→(0,1)
𝑥+𝑦−1
√𝑥−√1−𝑦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)Mostre que não existe lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
2𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
não existe 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
1)Mostre que os limites seguintes não existem: 
a) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 b) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥−𝑦
2𝑥+𝑦
 c) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
3𝑥𝑦
4𝑥2+5𝑦2
 d) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑥3+𝑦2
 
 
2)Calcular os limites seguintes: 
a) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
(𝑒𝑥𝑦 − 𝑒𝑦 + 1) 
b) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
(3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 2𝑥𝑦) 
c) lim
(𝑥,𝑦)→(−2,1)
𝑥𝑦2−5𝑥+8
𝑥2+𝑦2+4𝑥𝑦
 
d) lim
(𝑥,𝑦)→(2,3)
𝑥2𝑦−3𝑥2−4𝑥𝑦+12𝑥+4𝑦−12
𝑥𝑦−3𝑥−2𝑦+6
 
e) lim
(𝑥,𝑦)→(4,1)
𝑦√𝑥−2𝑦−√𝑥+2
4−𝑥+𝑥√𝑦−4√𝑦
 
f) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
√𝑥+3−√3
𝑥𝑦+𝑥
 
g) lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
√𝑥𝑦
3 −1
√𝑥𝑦−1
 
h) lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥2−𝑦𝑥
𝑥2−𝑦2
 
i) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
ln[
𝑥𝑦−1
2𝑥𝑦+4
] 
j) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑥2+𝑦2
 
k) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑦𝑥3−𝑦𝑥2−𝑦𝑥+𝑦+2𝑥3−2𝑥2−2𝑥+2
(𝑥−1)2(𝑦+2)
 
 
GABARITO 
1) 
a)1 b)10 c)-16/3 d)zero e)1/2 f)
√3
6
 g)2/3 h)1/2 
i)-ln8 j)zero k)2 
 
3. Derivadas Parciais 
 
 
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O cálculo de várias variáveis é semelhante ao cálculo de uma variável aplicado a várias 
variáveis, uma de cada vez. Quando fixamos todas as variáveis independentes de uma função – 
MENOS UMA – e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada “parcial”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
Sejam f: A  R2  R uma função de duas variáveis e (x0, y0)  A. Fixando y = y0, podemos 
considerar a função g(x) = f(x, y0). A derivada de g no ponto x = x0, denominada derivada parcial de 
f em relação a x no ponto (x0, y0), denotada por 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(x0, y0), é definida por 
 
 
 se o limite 
existir 
 
 
 
Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) portanto 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1)Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções: 
a)f(x,y) = 2x2y + 3xy2 – 4x b)g(x,y) = √𝑥2 + 𝑦2 − 2 c) z = sen(2x + y) 
 
 
 
 
 
 
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2)Verifique se a função z = ln(xy) + x + y satisfaz a equação 𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
− 𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑦
= 𝑥 − 𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)Seja z = 6 – x2 – y2. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C2, resultante da 
intersecção de z = f(x, y) com x = 2, no ponto P(2,1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Podemos generalizar o conceito de derivadas parciais de 1º ordem para funções com mais de 
duas variáveis. Dada f: A  Rn  R. f = f(x1, x2,…..xn), podemos obter n derivadas parciais de 1ª 
ordem: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
,
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
, . . . .
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
 
 
Exemplo: Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da função f(x,y,z,t,w) = xyz.ln(x2 + t2 + 
w2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1)Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem usando a definição: 
a) z = 5xy – x2 
b)f(x,y) = x2 + y2 – 10 
c)z = 2x + 5y – 3 
d)z = √𝑥𝑦 
e)f(x,y) = x2y + 3y2 
 
2)Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem. 
a)f(x,y) = e𝑥
2𝑦 
b)f(x,y) = x.cos(y – x) 
c)f(x,y) = xy2 + xy + x2y 
d)f(x,y) = y2. ln(x2 + y2) 
e)𝑧 = √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2 
f)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 
g)𝑧 =
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
h)𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
𝑥
 
i)𝑧 = (𝑥 + 𝑦)e𝑥+2𝑦 
j)𝑧 =
𝑥2𝑦
𝑥2+2𝑦2
 
k)𝑧 = e𝑥
2+𝑦2−4 
l) z = 2xy + sen2xy 
m) z = ln(x + y) – 5x 
n)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 − 1 
o)𝑧 = √𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 
p)𝑓(𝑤, 𝑡) = 𝑤2𝑡 −
1
𝑡
 
q) f(u,v) = uv – ln(uv) 
r) z = x2y2 – xy 
s)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 − (𝑥2 + 𝑦2) 
t)𝑧 = e𝑥
2
(𝑥2 + 𝑦2) 
 
3)Verificar se a função z = x3y2 satisfaz a equação 
1
𝑥
.
𝜕𝑧
𝜕𝑦
−
2
3𝑦
.
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 0para x  0 e y  0 
4)Verificar se z = sen(x +y) satisfaz a equação 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 0 
5)Seja z = 3x2 – 2y2 – 5x + 2y + 3. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante 
da intersecção de z = f(x,y) com y = 2 no ponto P(1,2, -3) 
6)Dada a superfície 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, determinar a reta tangente às curvas de intersecção da 
superfície com: 
a)o plano x = 2 
b)o plano y = √5 
No ponto P(2, √5, 3) 
 
GABARITO 
1) 
 
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a)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 5𝑦 − 2𝑥; 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 5𝑥 
b)2𝑥; 2𝑦 
c)2; 5 
d)
√𝑥𝑦
2𝑥
; 
√𝑥𝑦
2𝑦
 
e)2𝑥𝑦; 𝑥2 + 6𝑦 
2) 
a)2𝑥𝑦e𝑥
2𝑦; 𝑥2e𝑥
2𝑦 
b)xsen(y-x) + cos(y – x) ; -xsen(y – x) 
c)y2 + y + 2xy ; 2xy + x + x2 
d)
2𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2
; 
2𝑦3
𝑥2+𝑦2
+ 2𝑦ln(𝑥2 + 𝑦2) 
e)
−𝑥
√𝑎2−𝑥2−𝑦2
 ; 
−𝑦
√𝑎2−𝑥2−𝑦2
 
f)
𝑥
√𝑥2+𝑦2
; 
𝑦
√𝑥2+𝑦2
 
g)
4𝑥𝑦2
(𝑥2+𝑦2)2
; 
−4𝑥2𝑦
(𝑥2+𝑦2)2
 
h)
−𝑦
𝑥2+𝑦2
; 
𝑥
𝑥2+𝑦2
 
i)(𝑥 + 𝑦 + 1)e𝑥+2𝑦; (2𝑥 + 2𝑦 + 1)e𝑥+2𝑦 
j) 
4𝑥𝑦3
(𝑥2+2𝑦2)2
; 
𝑥4−2𝑥2𝑦2
(𝑥2+2𝑦2)2
 
k)2𝑥e𝑥
2+𝑦2−4; 2𝑦e𝑥
2+𝑦2−4 
l)2y + 2ysenxycosxy ; 2x + 2xsenxycosxy 
m)
1
𝑥+𝑦
− 5; 
1
𝑥+𝑦
 
n)
𝑥
√𝑥2+𝑦2−1
; 
𝑦
√𝑥2+𝑦2−1
 
o)
𝑦
2√𝑥𝑦
− 𝑦; 
𝑥
2√𝑥𝑦
− 𝑥 
p)2𝑤𝑡; 𝑤2 +
1
𝑡2
 
q)𝑣 −
1
𝑢
; 𝑢 −
1
𝑣
 
r) 2xy2 - y ; 2yx2 – x 
s)
𝑥
√𝑥2+𝑦2
− 2𝑥; 
𝑦
√𝑥2+𝑦2
− 2𝑦 
t)2𝑥e𝑥
2
(1 + 𝑥2 + 𝑦2); 2𝑥e𝑥
2
(1 + 𝑥2 + 𝑦2) 
 
3)satisfaz 
4)satisfaz 
5)1 
6) 
a)𝑧 =
√5𝑦
3
+
4
3
 b)𝑧 =
2𝑥
3
+
5
3
 
 
3.1 Regra da Cadeia 
 
No estudo de funções de uma variável usamos a regra da cadeia para calcular a derivada de 
uma função composta. Vamos, agora, usar a regra da cadeia para o caso de funções de várias 
variáveis. Inicialmente, vamos trabalhar com dois casos específicos de composição 
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 18 
3.1.1 Regra da cadeia – Caso I 
Sejam A e B conjuntos abetos em R2 e R, respectivamente, e sejam z = f(x,y) uma função que 
tem derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em A, x = x(t) e y = y(t) funções diferenciáveis em B 
tais que, para todo t  B, temos (x(t), y(t))  
Seja a função composta h(t) = f(x(t), y(t)) t Então, essa função composta é diferenciável 
para todo t  e 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
é dada por : 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
Exemplo 
1)Dada a f(x,y) = x2y + lnxy2, x(t) = t2 , y(t) = t, encontre a derivada 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
com h(t) = f(x(t), y(t)) 
 
 
 
 
 
3.1.2 Regra da cadeia – Caso II 
Sejam A e B conjuntos abertos em R2 e sejam z = f(u,v) uma função que tem derivadas 
parciais de 1ª ordem contínuas em A, u = u(x,y) e v = v(x,y) funções diferenciáveis em B tais que 
para todo (x,y)  B temos (u(x,y), v(x,y))  A. 
Seja a função composta h(x,y) = f(u(x,y), v(x,y)), (x,y)  B. Então, a função composta h(x,y) 
é diferenciável para todo (x,y)  B, valendo: 
 
𝜕ℎ
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
.
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 
 
𝜕ℎ
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
.
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑣
.
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 
Observamos que as duas fórmulas acima podem ser reescritas em uma forma matricial. 
Temos: 
 
(
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝜕ℎ
𝜕𝑦
)= (
𝜕𝑓
𝜕𝑢
𝜕𝑓
𝜕𝑣
). (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
) 
 
Exemplo 
1)Dada f(x,y) = x2y – x2 + y2, x = r. cosϴ e y = r. senϴ encontrar as derivadas parciais 
𝜕𝑓
𝜕𝑟
e 
𝜕𝑓
𝜕Θ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2 Derivadas Parciais Sucessivas 
 
Se f é uma função de duas variáveis, então, em geral, suas derivadas parciais de 1ª ordem são, 
também, funções de duas variáveis. Se as derivadas dessas funções existem, elas são chamadas 
derivadas parciais de 2ª ordem de f. 
Para uma função z = f(x,y) temos quatro derivadas parciais de 2ª ordem. A partir da derivada 
de f em relação a x, 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
, obtemos as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem : 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
 
A partir da derivada 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
, obtemos: 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
 
Exemplo 
1)Dada a função f(x,y) = x3y + x2y4, determinar suas derivadas de 2ª ordem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1)Determinar 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
, usando a regra da cadeia. 
a)z = tg(x2 + y) , x = 2t , y = t2 
b)z = xcosy, x = sent , y = t 
c)z = arc tgxy, x = 2t , y = 3t 
d)z = ex(cosx + cosy), x = t3 , y = t2 
e)z = xy-1, x = e-t , y = lnt 
f)z = xy, x = 2t2 + 1, y = sent 
 
2)Determinar as derivadas parciais 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
e 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
, usando a regra da cadeia. 
a)𝑧 = √𝑥2 + 𝑦3, x = u2 + 1 , 𝑦 = √𝑣2
3
 
b) z = ln(x2 + y2), x = cosu.cosv , y = senu.cosv 
c) z = xey , x = uv , y = u – v 
d) z = x2 – y2, x = u – 3v , y = u + 2v 
e)𝑧 = e
𝑥
𝑦, x = ucosv , y = u senv 
 
3)Seja z = f(x,y), x = rcosϴ, y = rsenϴ. Mostrar que (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)2 + (
𝜕𝑧
𝜕𝑦
)2 = (
𝜕𝑧
𝜕𝑟
)2 +
1
𝑟2
. (
𝜕𝑧
𝜕θ
)2 
4)Determine as derivadas parciais indicadas: 
a)𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
√𝑥2+4𝑦2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
b)𝑧 = 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
 
c)𝑧 = ln(𝑥2 + 𝑦2), 
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦2
 
d)𝑤 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2, 
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
, 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
 
5)Se z = f(x,y) tem derivadas parciais de 2ª ordem contínuas e satisfaz a equação 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= 0 
ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas. 
a)z = exseny 
b)z = excosy 
c)z = y3 – 3x2y 
d)z = x2 + 2xy 
 
GABARITO 
1) 
a)10t.sec2(5t2) b)cos2t – sen2t c)
12𝑡
1+36𝑡4
 
d)𝑡e𝑡
3
[−3𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡3 + 3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡3 + 3𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡2 − 2𝑠𝑒𝑛𝑡2] e)
−e−𝑡
𝑙𝑛𝑡
−
e−𝑡
𝑡ln2𝑡
 
f)4tsent + (2t2 + 1) cost 
 
2) 
a)
2𝑢3+2𝑢
√(𝑢2+1)2+𝑣2
, 
𝑣
√(𝑢2+1)2+𝑣2
 
 
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b) zero, -2tgv 
c)𝑣𝑒𝑢−𝑣(1 + 𝑢); 𝑢𝑒𝑢−𝑣(1 − 𝑣) 
d) -10v , -10u + 10v 
e) zero , 
−1
𝑠𝑒𝑛2𝑣
. e𝑐𝑜𝑡𝑔𝑣 
 
4) 
a)−(𝑥2 + 4𝑦2)
−3
2 + 3𝑥2(𝑥2 + 4𝑦2)
−5
2 , 12𝑥𝑦(𝑥2 + 4𝑦2)
−5
2 
b) -2ysenxy – xy2cosxy , -2xsenxy – x2ycosxy – x2ycosxy 
c)
−4𝑥3+12𝑥𝑦2
(𝑥2+𝑦2)3
 
d)−(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)
−1
2 , −𝑧2(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)
−3
2 , −𝑥𝑦(1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2)
−3
2 
 
5) 
a)sim b)sim c)sim d)não 
4. Aplicações das Derivadas Parciais 
Sucessivas 
 
4.1 Máximos e mínimos de Funções de duas variáveis 
A maximização e minimização de funções de várias varáveis é um problema que aparece em 
vários contextos práticos, como, por exemplo: 
problemas geométricos 
problemas físicos 
problemas econômicos e etc 
 
Exemplos 
1)Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume de 4m3 e coma menor 
área de superfície possível? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2)Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda 
de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por 𝐿(𝑥, 𝑦) = 60𝑥 + 100𝑦 −
3𝑥2
2
−
3𝑦2
2
− 𝑥𝑦. supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que 
maximiza o lucro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1)Encontrar as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, 
com área lateral igual a 5 cm2 
2)Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que tem maior área. 
 
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3)Uma firma de embalagens necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o 
material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa e para o fundo da 
caixa, determinar as dimensões que minimizam o custo. 
4)Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de 
combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as 
paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do 
tanque. 
 
GABARITO 
1)√
5
3
, √
5
3
, 
√5
2√3
 
2) triângulo equilátero de lado 10/3 cm 
3)√32
3
, √32
3
, 2√32
3
 
4)3√10
3
, 3√10
3
, 3√10
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Coordenadas polares, cilíndricas e 
esféricas 
 
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5.1 Coordenadas Polares 
 
Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua 
localização no plano escrevendo P = (a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo 
y. Podemos também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema 
e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso P≠O. Denotamos P = (r,θ) onde r é a 
distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao 
segmento OP, caso P≠O. Se P=O, 
Denotamos P = (0,θ), para qualquer θ. Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de 
Coordenadas Polares. 
 
Exemplo. Complete a tabela, de acordo com o gráfico: 
 
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Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamos somente de um ponto O do plano 
e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas polares 
(r,θ), tomando o segmento OP com medida r. 
 
O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar. 
 Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário. 
Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar. 
 
Denotamos P por (–r,θ), para r positivo, se P=(r,π + θ), ou seja, consideramos 
(–r,θ)=(r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo. 
Ponto Coordenada 
Cartesiana 
Coordenada 
Polar 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 26 
 
 
 
Dado um ângulo θ, temos θ = θ+2kπ, para todo k inteiro. Assim, 
(r,θ) = (r,θ+2π)= (r,θ+4π) = (r,θ – 2π) = (r,θ – 4π) = ... 
 
Exemplo. (5,π/2) = (5, π/2 + 10π) = (5, 21π/2) 
 
5.1.1 Mudança de coordenadas 
 
Um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas cartesianas por (x,y) ou em 
coordenadas polares por (r,θ). Para facilidade de comparação entre os dois sistemas, consideramos o 
ponto O coincidindo com a origem do sistema cartesiano e a semi-reta, a parte do eixo x, à direita 
de O. 
 
a) Mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas 
 
Seja P um ponto com coordenadas polares (r,θ). Considerando inicialmente 
0<θ<π/2, do triângulo retângulo OPx obtemos as seguintes relações: 
 
 
Se θ=0, temos P no eixo das abcissas. Logo, P tem coordenadas cartesianas (x,0) e coordenadas 
polares (x,0) (r = x e θ = 0). Assim, x = x×1 = r cos θ e y = 0 = r×0 = r sen θ. 
Para os casos onde θ≥π/2, fica como exercício mostrar que também x = r cos θ e y = r sen θ. 
b)Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares 
 
Seja P um ponto de coordenadas cartesianas (x,y). Como vimos acima. Considerando P Com 
coordenadas (r, θ), temos as relações x = r.cosθ e y = r.senθ . Como x2 + y2 = r2(cos2θ +sen2θ) = 
x2+y2=r2 , que resulta em 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2. 
 
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Se r = 0 , isto é, x = y, então podemos tomar qualquer θ 
Se r ≠ 0, é tal que cos𝜃 =
𝑥
𝑟
e sen𝜃 =
𝑦
𝑟
 
Exemplo 
1)Se P tem coordenadas polares (−2,
𝜋
3
), passe para coordenadas cartesiana 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Se P tem coordenadas cartesiana (-1, 1), passe para coordenadas polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos transformar equações cartesianas em polares e vice-versa 
 
Exemplo 
3)Qual a equação polar da circunferência de centro na origem e raio 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)Se uma curva tem equação polar 𝑟 = cos𝜃 + sen𝜃, qual a sua equação cartesiana 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios. 
1)Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares: 
a)(1,1) b) (2,–2) c)(√3, 1) d) (4,0) e) (0,–3) f)(3,1) 
 
2)Transforme coordenadas polares em coordenadas cartesianas: 
a)(1, π/2) b) (–2, 49π/6) c) (3, −5π/3) d) (0, π/9) e) (7,π) 
 
3)Encontre a equação polar para cada uma das seguintes equações cartesianas. 
𝑎)(𝑥 − 1)2 + 𝑦1 = 1 𝑏)(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 13 d)x = -2 e)y = 3 f)y = x 
 
4)Encontre a equação cartesiana para cada uma das seguintes equações polares. 
a) r = 5 b) r = 2sen θ c) r = 2cos θ - 4sen θ d) θ = π/3 e) sen θ = cos θ 
 
f)𝑟 =
2
3sen𝜃−5cos𝜃
 
 
5)Encontre as equações polares das seguintes curvas: 
a)da elipse 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 b)da hipérbole 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 c)da parábola y = x2 
 
 
 
 
 
5.2 Coordenadas Cilíndricas e Coordenadas Esféricas 
 
São necessárias três coordenadas para estabelecer a localização de um ponto no espaço 
tridimensional. Já havíamos visto isso em coordenadas retangulares (cartesianas). Contudo as figura 
abaixo mostra outras duas possibilidades: a parte (a) da figura mostra as coordenadas retangulares 
(x,y,z) de um ponto P, a parte (b) mostra as coordenadas cilíndricas (r,θ,z) de O e a parte (c) mostra 
 
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coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) de P. Em um sistema de coordenadas retangulares, as coordenadas 
podem ser quaisquer números reais, mas no sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas há 
restrições sobre os valores admissíveis das coordenadas (conforme mostra na figura). 
 
 
 
5.2.1 Convertendo Coordenadas 
Da mesma forma que convertemos entre coordenadas retangulares e polares no espaço 
bidimensional, precisamos converter entre coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas no 
espaço tridimensional. Observando os gráficos abaixo podemos entender melhor como foram 
deduzidas as fórmulas de conversão apresentadas na tabela logo abaixo 
 
 
 
Exemplo 
1)Determine as coordenadas retangulares do ponto P (4, π/3, -3 ). Faça o gráfico 
 
 
 
 
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2)Determine as coordenadas retangulares do ponto P (4, π/3, π/4). Faça o gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)Determine as coordenadas esféricas do ponto P (4, -4, 4√6). Faça o gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.2 Equações de superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
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As superfícies de revolução em torno do eixo z de um sistema de coordenadas retangulares têm, 
geralmente, equações mais simples nas coordenadas cilíndricas do que nas coordenadas 
retangulares, e as equações de superfície com simetria em torno da origem são geralmente mais 
simples nas coordenadas esféricas do que nas coordenadas retangulares 
Exemplo 
1)Transforme a equação 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2em coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Obtenha as equações do parabolóide z = x2 + y2 em coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
1)converta as coordenadas de retangulares para cilíndricas. 
a) (4√3, 4, −4) 
b) (−5,5,6) 
c) (0,2,0) 
d) (4, −4√3, 6) 
2)Converta as coordenadas de cilíndricas para retangulares 
a) (4,
𝜋
6
, 3) 
b) (8,
3𝜋
4
, −2) 
c) (5,0,4) 
d) (7, 𝜋, −9) 
3)Converta as coordenadas de retangulares para esféricas 
a) (1, √3,−2) 
b) (1, −1,√2) 
c) (0,3√3, 3) 
d) (−5√3, 5,0) 
4)Converta as coordenadas de esféricas para retangulares 
a) (5,
𝜋
6
,
𝜋
4
) 
b) (7,0,
𝜋
2
) 
c) (1, 𝜋, 0) 
d) (2,
3𝜋
2
,
𝜋
2
) 
5)Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas 
a) (√3,
𝜋
6
, 3) 
b) (1,
𝜋
4
, −1) 
c) (2,
3𝜋
4
, 0) 
d) (6,1,−2√3) 
6)Converta as coordenadas de esféricas para cilíndricas 
a) (5,
𝜋
4
,
2𝜋
3
) 
b) (1,7𝜋
6
, 𝜋) 
c) (3,0,0) 
d) (4, 𝜋 6⁄ ,
𝜋
2⁄ ) 
 
7)Uma equação é dada em coordenadas cilíndricas. Expresse a equação em coordenadas 
retangulares e esboce o gráfico 
a)r = 3 
b)z = r2 
c)r = 4senθ 
d)r2 + z2 = 1 
8)Uma equação é dada em coordenadas esféricas.expresse a equação em coordenadas 
retangulares e esboce o gráfico 
a)ρ = 3 
b)φ = π/4 
c)ρ = 4 cosφ 
d)ρsenφ = 2cosθ 
9)Uma equação de uma superfícies é dada em coordenadas retangulares. Determine uma equação 
da superfície em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 33 
a)z = 3 
b)z = 3x2 + 3y2 
c)x2 + y2 = 4 
d) x2 + y2 +z2 = 9 
e)2x + 3y + 4z = 1 
f)x2 = 16 – z2 
 
GABARITO 
1) 
a) (8,
𝜋
6
, −4) b) (5√2,
3𝜋
4
, 6) c) (2,
𝜋
2
, 0) d) (8,
5𝜋
3
, 6) 
2) 
a) (2√3, 2,3) b) (−4√2, 4√2,−2) c) (5,0,4) d) (−7,0,−9) 
3) 
a) (2√2,
𝜋
3
,
3𝜋
4
) b) (2,
7𝜋
4
,
𝜋
4
) c) (6,
𝜋
2
,
𝜋
3
) d) (10,
5𝜋
6
,
𝜋
2
) 
4) 
a) (
5√6
4
,
5√2
4
,
5√2
2
) b) (7,0,0) c) (0,0,1) d) (0, −2,0) 
5) 
a) (2√3,
𝜋
6
,
𝜋
6
) b) (√2,
𝜋
4
,
3𝜋
4
) c) (2,
3𝜋
4
,
𝜋
2
) d) (4√3, 1,
2𝜋
3
) 
6) 
a) (
5√3
2
,
𝜋
4
, −
5
2
) b) (0,
7𝜋
6
, −1) c) (0,0,3) d) (4,
𝜋
6
, 0) 
7) 
 
 
8) 
 
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9) 
a)z = 3 e ρ = 3secφ 
b)z = 3r2 e ρ = 1/3(cosecφ.cotgφ) 
c)r = 2 e ρ = cosecφ 
d)r2 + z2 = 9 e ρ = 3 
e)2rcosθ +3rsenθ + 4z = 1 e 2ρsenφcosθ +3ρsenφsenθ+4ρcosφ = 1 
f)r2cos2θ = 16 – z2 e ρ2(1 – sen2φsen2θ) = 16 
6. Integral Dupla 
 
6.1 Definição: 
 
Vamos considerar uma função z = f(x,y) definida em uma região fechada e limitada R do 
plano xy, veja figura. 
 
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 35 
Traçando retas paralelas aos eixos dos x e dos y, respectivamente, recobrimos a região R por 
pequenos retângulos. 
 
Consideremos somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em R, numerando-os 
de 1 até n. Em cada retângulo Rk, escolhemos um ponto (xk,yk) e formamos a soma 
 
∑
𝑛
𝑘=1
𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘, 
 
onde Δak = Δxk . Δyk é área do retângulo Rk. 
Suponhamos, agora, que mais retas paralelas aos eixos dos x e dos y são traçadas, tornando as 
dimensões dos retângulos cada vez menores, como na figura b acima. Fazemos isso de tal maneira 
que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito. Nessa situação, 
se lim
𝑛→∞
∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘existe, ele é chamado integral dupla de f(x,y) sobre a região R. 
Denotamos 
∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑜𝑢 ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
Observamos que: 
a) A região R é denominada região de integração 
b) A soma é chamada soma de Riemann de z = f(x,y) sobre R 
c) O limite deve ser independente da escolha das retas que subdividem a região R e dos 
pontos (xk, yk) tomados dos retângulos Rk. 
d) A existência do limite depende da função z = f(x,y) e também da região R. Em nosso 
estudo, vamos supor que o encontro da região R é formado por um número finito de arcos de curvas 
' suaves' , isto é,, de arcos de curvas que não contém pontos angulosos. Nesse caso, se f é contínua 
sobre R, temos a garantia da existência da integral dupla. 
 
OBS* Quando z = f(x,y) ≥ 0, a integral dupla pode ser interpretada como um VOLUME. 
 
6.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla 
 
Suponhamos que z = f(x,y) seja maior ou igual a zero sobre R. Observando a figura abaixo, 
vemos que o produto f(xk,yk). Δak representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo 
Rk e cuja altura é f(xk,yk). 
 
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A soma de Riemann ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)Δ𝐴𝑘,representa uma aproximação do volume da porção 
do espaço compreendida abaixo do gráfico de z = f(x,y) e acima da região R do plano xy. 
Assim, quando f(x,y) ≥ 0, a ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦nos dá o volume do sólido delimitado 
superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo 'cilindro' 
vertical cuja base é o contorno de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3 Propriedades da Integral dupla 
 
a) ∬ 𝑘.𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅
= 𝑘. ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅
, para todo k real 
b) ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy + 𝑔(𝑥, 𝑦)dxdy] = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅𝑅
+ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅
 
c) Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦), para todo (x, y) R, então ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)dA ≥ ∬
𝑅
𝑔(𝑥, 𝑦)dA 
d) Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0para todo (x,y) pertencente à região R, então∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)dA ≥ 0 
e)Se a região R é composta de duas sub-regiões que não tem pontos em comum, exceto 
possivelmente os pontos de suas fronteiras, então ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅1𝑅
+
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dxdy
𝑅2
 
 
6.4 Cálculo das Integrais Duplas 
 
R é do tipo I 
 
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Neste caso, a integral dupla ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦é calculada por meio da seguinte integral, dita 
iterada: 
∫ ∫
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑓
𝑏
𝑎
(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 
 
R é do tipo II 
 
 
Neste caso, a integral dupla ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦é calculada por meio da seguinte integral 
iterada: 
∫ ∫
𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦)
𝑓
𝑑
𝑐
(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
 
Exemplo 1) 
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 – x – y, 
inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e 𝑦 =
1
4
𝑥 +
1
2
e lateralmente pelo 
cilindro vertical cuja base é o contorno de R 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2) 
Calcular a integral 𝐼 = ∬ (𝑥 + 𝑦)
𝑅
𝑑𝐴onde R é a região limitada por y = x2 e y = 2x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
𝑦. 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é o retângulo de vértices (0,
π
2
), (1,
π
2
), (1, π)e 
(0, π) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 4) 
Calcular a integral 𝐼 = ∫ ∫
4
4𝑥
e−𝑦
21
0
𝑑𝑦𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5) 
Calcular ∬
𝑅 √𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥√𝑦)𝑑𝐴, onde R é a região delimitada por x = 0, y = π/2 e 𝑥 = √𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 6) 
Calcular ∬
𝑅
𝑥𝑦𝑑𝐴, onde R é triângulo da figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1)Calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dA
𝑅
, onde : 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥.𝑒xy; R é o retângulo 1 ≤ 𝑥 ≤ 3𝑒0 ≤ 𝑦 ≤ 1 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥.cos(xy); R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒0 ≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥+𝑦
; R é o quadrado 1 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒1 ≤ 𝑦 ≤ 2 
2)Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes: 
a)∫ ∫ (2𝑥 + 4𝑦)dydx
2𝑥
𝑥
1
0
 
b) ∫ ∫ xdydx
1
ln𝑥
𝑒
1
 
c) ∫ ∫ ydydx
senx
0
𝜋
0
 
d) ∫ ∫ xdydx
√4−𝑥2
√1−𝑥2
1
−1
 
e) ∫ ∫ 𝑦.lnxdydx
𝑥
0
2
1
 
f) ∫ ∫ 𝑥2dydx
𝑥+1
0
2
−1
 
 
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3)Calcular ∬ (𝑥 + 4)dxdy
𝑅
, onde R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑒0 ≤ 𝑦 ≤ 6 
4)Calcular ∬ (8 − 𝑥 − 𝑦)dxdy
𝑅
, onde R é a região delimitada por y = x2 e y = 4 
5)Calcular ∬ senx.senydxdy
𝑅
, onde R é o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
𝑒0 ≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
 
6)Calcular ∬ (𝑥2 + 𝑦2)dxdy
𝑅
, onde R é a região delimitada por 𝑦 = √𝑥, x = 4 e y = 0 
7)Calcular ∬ (2𝑥 + 𝑦)dxdy
𝑅
, onde R é a região delimitada por x = y2 – 1, x = 5, y = -1 e y = 2 
8)Calcular ∬ 𝑒−𝑥
2
dxdy
𝑅
, sendo R a região delimitada por x = 4y, y = 0 e x = 4 
9)Calcular ∬ 2ydxdy
𝑅
, sendo R a região delimitada por y = x2 e y = 3x – 2 
10)Calcular ∬ (𝑥 + 𝑦)dxdy
𝑅
, onde R é região descrita pelo gráfico abaixo 
 
GABARITO 
1)a)e3 – e – 2 b) 
4
𝜋
 c)10ln2 – 6ln3 
2)a) 
8
3
 b) 
𝑒2
4
−
3
4
 c) 
𝜋
4
 d)zero e) 
4ln2
3
−
7
18
 f) 
27
4
 
3)60 4) 
896
15
 5)1 6) 
4288
105
 7) 
1533
20
 
8) 
1
8
[1 − 𝑒−16] 9) 
4
5
 10)2 
 
6.5 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 
 
Na integração de funções de uma variável, a fórmula de mudança de variável ou substituição 
é usada para transformar uma integral dada em outra mais simples. 
Para as integrais duplas, podemos utilizar um procedimento análogo. Por meio de uma 
mudança de variáveis x = x(u,v) e y = y(u,v) uma integral dupla sobre uma região R do plano xy 
pode ser transformada em uma integral dupla sobre uma região R' do plano uv. 
 
 
Se a transformação leva pontos distintos de R' a pontos distintos de R, dizemos que ela é uma 
aplicação um por um. Nesse caso, a correspondência entre as regiões R e R' é bijetora, e podemos 
retornar de R para R' pela transformação inversa u = u(x,y) e v = v(x,y). 
Considerando que as funções são contínuas, com derivadas parciais contínuas em R' e R 
respectivamente, temos 
∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬
𝑅′
𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)). |
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
|𝑑𝑢𝑑𝑣 
 
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onde |
𝜕(𝑥,𝑦)
𝜕(𝑢,𝑣)
|é o determinante Jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por 
|
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
| = |
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
| 
6.5.1 Coordenadas polares 
 
Já sabemos como localizar um ponto no plano por meio de duas coordenadas cartesianas 
retangulares. Existem outros sistemas de coordenadas. Um sistema bastante utilizado é o sistema de 
coordenadas polares. 
Neste sistema, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em 
relação a um ponto fixo e a uma semirreta fixa. 
 
 
O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. 
A semirreta fixa 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗é chamada eixo polar. 
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, θ), onde |𝑟|representa a distância 
entre a origem e o ponto P, e θ representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AOP. 
Usaremos as seguintes convenções: 
i. Se o ângulo AOP for descrito no sentido anti-horário, então θ > 0. Caso contrário, θ < 0 
ii. Se r < 0, o ponto P estará localizado na extensão do lado terminal do ângulo AOP 
iii. O par ordenado (0, θ), θ qualquer, representará o pólo 
 
6.5.2 Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares 
 
Seja P um ponto de coordenadas cartesianas (x,y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que: 
cosθ =
𝑥
𝑟
e 𝑠𝑒𝑛θ =
𝑦
𝑟
, portanto: 
𝑥 = 𝑟. cosθ 
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛θ 
 
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Essas equações nos dão as coordenadas cartesianos de um dado ponto em termos de suas 
coordenadas polares. Podem ser vistas como uma transformação que leva pontos (r, θ) a pontos 
(x,y) do plano xy. Neste caso o determinante Jacobiano é dado por: 
|
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑟, θ)
| = |
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝜕θ
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕θ
| = |
cosθ −𝑟𝑠𝑒𝑛θ
𝑠𝑒𝑛θ 𝑟𝑐𝑜𝑠θ
| = 𝑟 
 
Voltando na integral dupla a substituição para coordenadas polares fica assim: 
 
∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬
𝑅′
𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟𝑠𝑒𝑛θ). 𝑟𝑑𝑟𝑑θ 
 
Exemplo 1) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o círculo de centro na origem e raio 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
e𝑥
2+𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região do plano xy delimitada por x2 + y2 = 4 e 
x2 + y2 = 9 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 – ax = 0, a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4) 
Calcular 𝐼 = ∬
𝑅
√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região limitada pelas curvas x2 + y2 = 2x,x2 + 
y2 = 4x, y = x e 𝑦 =
√3
3
𝑥 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 5) 
Calcular 𝐼 = ∬ (𝑥 − 𝑦)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o paralelogramo limitado pelas retas x – y = 0, x – y 
= 1, y = 2x e y = 2x – 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6) 
Calcular 𝐼 = ∬ [(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2]
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada pela 
circunferência (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1)Calcular ∬
𝑅
√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9 
2)Calcular ∬
𝑅
e2(𝑥
2+𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o círculo x2 + y2 ≤ 4 
3)Calcular ∬
𝑅
𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 – 4x = 0 
4)Calcular ∬ (𝑥2 + 𝑦2)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região interna à circunferência x2 + y2 = 4y e 
externa à circunferência x2 + y2 = 2y 
5)Calcular ∬
𝑅
√(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada por (x – 1)2 + (y – 
2)2 = 1 
6)Calcular ∬ (8 − 𝑥 − 𝑦)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R delimitada por x2 + y2 = 1 
7)Calcular ∬
𝑅
ln(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o anel delimitado por x2 + y2 = 16 e x2 + y2 = 25 
8)Calcular ∬ (36 − 4𝑥2 − 9𝑦2)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada pela elipse 
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 
9)Calcular ∬ (𝑥 + 𝑦)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x + y = 4, x + y = 0, y – x = 0 e 
y – x = -1 
 
 
GABARITO 
1)
52π
3
 2)
π
2
. (e8 − 1) 3)8π 4)
45π
2
 
5)
2π
3
 6)8π 7) 2π (25ln5 – 32ln2 – 9/2) 
8)108π 9)4 
 
 
7. Aplicações da Integral Dupla 
 
Aqui veremos algumas aplicações geométricas das integrais duplas 
 
7.1 Cálculo de Volume 
 
A expressão ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴, quando f(x,y) ≥ 0 representa o volume delimitado 
superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro 
vertical cuja base é o contorno de R. 
Então: 
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 47 
𝑉 = ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
 
Exemplos 
1)Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = 4 – 2x2 – 2y2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por y + z = 2 e pelo cilindro 
que contorna a região delimitada por y = x2 e x = y2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 48 
 
 
 
 
7.2 Cálculo de área de regiões planas 
 
Se na expressão ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴tivermos f(x,y) = 1, obtemos: 
 
∬
𝑅
𝑑𝐴 
que nos dá a área da região de integração R. 
 
exemplos 
1)Calcular a área da região R delimitada por x = y2 + 1 e x + y = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Calcular a área da região delimitada por y = x3 , y = -x e 𝑦 =
2𝑥
3
+
20
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
1)Nos exercícios abaixo, calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas: 
a)y = x2 , y = 4 , z = 0 e z = 4 
b)z = 4x2, z = 0, x = 0, x = 2, y = 0 e y = 4 
c)z = 1 – x2, z = 0, x + y = 4 e y = 0 
d)x2 + y2 = 1, z = 0 e z = x2 + y2 
e)x2 + y2 = 4, y + z = 8 e z = 0 
f)z = x2 + 1, z = 0, y = 0, x = 0, x = 4 e y = 5 
g)z = 9 – x2 – y 2 e z = x2 + y2 
 
2)Determinar a área da região R delimitada pelas curvas y = x3, x + y = 2 e y = 0 
 
3)Calcular a área da região delimitada por 𝑦 = √4 − 𝑥2, y = x e y = 2x 
 
4)Calcular a área da região delimitada por y = ex-1, y = x e x = 0 
 
GABARITO 
 
1) 
a)128/3 b)128/3 c)16/3 d)π/2 
e)32π f)380/3 g)81π/4 
 
2)3/4 
 
3)2(arctg2 – π/4) 
4)1/2 – 1/e