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Apostila Cálculo II

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x2 + 
y2 = 4x, y = x e 𝑦 =
√3
3
𝑥 
 
 
 
 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS JARAGUÁ DO SUL – GERALDO WERNINGHAUS 
 
 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5) 
Calcular 𝐼 = ∬ (𝑥 − 𝑦)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o paralelogramo limitado pelas retas x – y = 0, x – y 
= 1, y = 2x e y = 2x – 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6) 
Calcular 𝐼 = ∬ [(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2]
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada pela 
circunferência (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1)Calcular ∬
𝑅
√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9 
2)Calcular ∬
𝑅
e2(𝑥
2+𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o círculo x2 + y2 ≤ 4 
3)Calcular ∬
𝑅
𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x2 + y2 – 4x = 0 
4)Calcular ∬ (𝑥2 + 𝑦2)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região interna à circunferência x2 + y2 = 4y e 
externa à circunferência x2 + y2 = 2y 
5)Calcular ∬
𝑅
√(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada por (x – 1)2 + (y – 
2)2 = 1 
6)Calcular ∬ (8 − 𝑥 − 𝑦)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R delimitada por x2 + y2 = 1 
7)Calcular ∬
𝑅
ln(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R o anel delimitado por x2 + y2 = 16 e x2 + y2 = 25 
8)Calcular ∬ (36 − 4𝑥2 − 9𝑦2)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, onde R é a região delimitada pela elipse 
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 
9)Calcular ∬ (𝑥 + 𝑦)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦, sendo R a região delimitada por x + y = 4, x + y = 0, y – x = 0 e 
y – x = -1 
 
 
GABARITO 
1)
52π
3
 2)
π
2
. (e8 − 1) 3)8π 4)
45π
2
 
5)
2π
3
 6)8π 7) 2π (25ln5 – 32ln2 – 9/2) 
8)108π 9)4 
 
 
7. Aplicações da Integral Dupla 
 
Aqui veremos algumas aplicações geométricas das integrais duplas 
 
7.1 Cálculo de Volume 
 
A expressão ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴, quando f(x,y) ≥ 0 representa o volume delimitado 
superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro 
vertical cuja base é o contorno de R. 
Então: 
 
 
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𝑉 = ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 
 
Exemplos 
1)Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = 4 – 2x2 – 2y2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por y + z = 2 e pelo cilindro 
que contorna a região delimitada por y = x2 e x = y2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.2 Cálculo de área de regiões planas 
 
Se na expressão ∬
𝑅
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴tivermos f(x,y) = 1, obtemos: 
 
∬
𝑅
𝑑𝐴 
que nos dá a área da região de integração R. 
 
exemplos 
1)Calcular a área da região R delimitada por x = y2 + 1 e x + y = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Calcular a área da região delimitada por y = x3 , y = -x e 𝑦 =
2𝑥
3
+
20
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
1)Nos exercícios abaixo, calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas: 
a)y = x2 , y = 4 , z = 0 e z = 4 
b)z = 4x2, z = 0, x = 0, x = 2, y = 0 e y = 4 
c)z = 1 – x2, z = 0, x + y = 4 e y = 0 
d)x2 + y2 = 1, z = 0 e z = x2 + y2 
e)x2 + y2 = 4, y + z = 8 e z = 0 
f)z = x2 + 1, z = 0, y = 0, x = 0, x = 4 e y = 5 
g)z = 9 – x2 – y 2 e z = x2 + y2 
 
2)Determinar a área da região R delimitada pelas curvas y = x3, x + y = 2 e y = 0 
 
3)Calcular a área da região delimitada por 𝑦 = √4 − 𝑥2, y = x e y = 2x 
 
4)Calcular a área da região delimitada por y = ex-1, y = x e x = 0 
 
GABARITO 
 
1) 
a)128/3 b)128/3 c)16/3 d)π/2 
e)32π f)380/3 g)81π/4 
 
2)3/4 
 
3)2(arctg2 – π/4) 
4)1/2 – 1/e