exercicios 15

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 15
Temas abordados : Integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais; Comprimento de arco
Sec¸o˜es do livro: 8.4; 6.3
1) Se f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o deriva´vel enta˜o o comprimento da curva determinada pelo
gra´fico de f e´ dado pela integral L =
∫ b
a
√
1 + f ′(x)2dx. Calcule esse comprimento em
cada um dos casos abaixo.
(a) f(x) =
1
2
(ex + e−x), para x ∈ [0, 2]
(b) f(x) =
1
3
(x2 + 2)3/2, para x ∈ [0, 3]
(c) f(x) =
√
1− x2, para x ∈ [−1/2, 1/2]
2) Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por (x(t), y(t)), com a ≤ t ≤ b.
Suponha que x′ e y′ sa˜o func¸o˜es cont´ınuas que na˜o se anulam simultaneamente em [a, b]
e que a curva C e´ percorrida exatamente uma vez quando t avanc¸a de t = a para t = b.
Nessas condic¸o˜es, o comprimento de C e´ dado pela integral definida
L =
∫ b
a
√
x′(t)2 + y′(t)2dt.
Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
(a) x(t) = r cos(t), y(t) = r sen(t), para 0 ≤ t ≤ 2pi e r > 0
(b) x(t) = cos3(t), y(t) = sen3(t), para 0 ≤ t ≤ 2pi
(c) x(t) = et − t, y(t) = 4et/2, para 0 ≤ t ≤ 3
(d) x(t) = t3, y(t) =
3
2
t2, para 0 ≤ t ≤ √3
3) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine o formato da sua expressa˜o em frac¸o˜es
parciais. Aqui, na˜o e´ necessa´rio calcular as constantes mas somente apresentar o formato
da soma.
(a)
3x+ 1
x2 + 3x− 4 (b)
2x+ 5
x3 − 2x2 (c)
x8 + 1
x4 + x3 + x2
(d)
x4 − 2x2 + 7
x3 + x
(e)
2x
(9− x2)2 (f)
x2 − 3x+ 8
x4 + 10x2 + 25
4) Calcule cada uma das integrais abaixo.
(a)
∫
1
1− x2dx (b)
∫
x+ 4
x2 + 5x− 6dx
(c)
∫
x3
x2 + 2x+ 1
dx (d)
∫
1
(x+ 1)(x2 + 1)
dx
(e)
∫
ex
e2x + 3ex + 2
dx (f)
∫
x3 + 5x2 − 4x− 20
x2 + 3x− 10 dx
Lista de Exerc´ıcios – Semana 15 - Pa´gina 1 de 3
5) Calcule cada uma das integrais abaixo.
(a)
∫
x
x2 + 1
dx (b)
∫
x
√
x+ 1dx
(c)
∫
x
x2 − 2x− 3dx (d)
∫
4xexdx
(e)
∫
4xex
2
dx (f)
∫
cos(x)
sen2(x) + sen(x)− 6dx
(g)
∫
1
x3 − xdx (h)
∫
x cos(5x)dx
(i)
∫
ln(cos(x)) sen(x)dx (j)
∫
2x+ 3
x2(4x+ 1)
dx
RESPOSTAS
1) (a)
e2 + e−2
2
(b) 12 (c)
pi
3
2) (a) 2pir (b) 6 (c) e3 + 2 (d) 7
3) Nas respostas abaixo, as letras maiu´sculas sa˜o constantes reais.
(a)
3x+ 1
x2 + 3x− 4 =
A
x− 1 +
B
x+ 4
(b)
2x+ 5
x3 − 2x2 =
A
x
+
B
x2
+
C
x− 2
(c)
x8 + 1
x4 + x3 + x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx+D
x2 + x+ 1
+ (Ex4 + Fx3 +Gx2 +Hx+ I)
(d)
x4 − 2x2 + 7
x3 + x
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 1
+ (Dx+ E)
(e)
2x
(9− x2)2 =
A
3− x +
B
(3− x)2 +
C
3 + x
+
D
(3 + x)2
(f)
x2 − 3x+ 8
x4 + 10x2 + 25
=
Ax+B
x2 + 5
+
Cx+D
(x2 + 5)2
4) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a)
1
2
ln
∣∣∣∣1 + x1− x
∣∣∣∣ +K
(b)
5
7
ln |x− 1|+ 2
7
ln |x+ 6|+K
(c)
1
2
x2 − 2x+ 1
1 + x
+ 3 ln |1 + x|+K
(d)
1
4
(− ln |x2 + 1|+ 2 ln |1 + x| + 2 arctan(x)) +K
(e) ln(ex + 1)− ln(ex + 2) +K
(f)
1
2
x(x+ 4) +K
Lista de Exerc´ıcios – Semana 15 - Pa´gina 2 de 3
5) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a)
1
2
ln(x2 + 1) +K
(b)
2
5
(x+ 1)5/2 − 2
3
(x+ 1)3/2 +K
(c)
3
4
ln |x− 3|+ 1
4
ln |x+ 1|+K
(d) 4xex − 4ex +K
(e) 2ex
2
+K
(f)
1
5
ln | sen(x)− 2| − 1
5
ln | sen(x) + 3|+K
(g)
1
2
ln |x2 − 1| − ln |x|+K
(h)
x
5
sen(5x) + cos(5x) +K
(i) cos(x)− ln(cos(x)) +K
(j) −3
x
− 10 ln |x|+ 10 ln |1 + 4x|+K
Lista de Exerc´ıcios – Semana 15 - Pa´gina 3 de 3