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Calculo Diferencial e Integral III – Prof. Lyvio 
1 
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2 
 
1. Se 
2 2( , ) 4 2f x y x y= - -
, encontre 
(1,1)xf
 e 
(1,1)yf
 e interprete esses números como 
inclinações. 
 
2. Se 
2 2( , ) 16 4f x y x y= - -
, determine 
(1, 2)xf
 e 
(1, 2)yf
 e interprete esses resultados como 
inclinações. 
 
3. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: 
a) 
4( , ) 3 2f x y x y= - 
b) 
10( , ) (2 3 )f x y x y= +
 
c) 
( , ) yf x y xe= 
d) 
( , )
x y
f x y
x y
-
=
+ 
e) 
( , ) sin cosw    = 
f) 
2 2( , ) ln( )f r s r r s= + 
g) 
w tu te= 
h) 
2 3 4( , , ) 5f x y z xz x y z= -
 i) 
ln( 2 3 )w x y z= + + 
j) 
2 2( , ) ln( )f x y x x y= + +
 
k) 
( , ) lnxf x y e xy= 
l) 
( , ) cos
x
f x y x
y
=
 
m) 
2 2( , )f x y x y= + 
 
n) 
( , ) sinyf x y xe y x= + 
o) 
2 2 2( , ) ln( )f x y y x y 
 
p) 
( , ) x yf x y e e= + 
q) 
2( , ) sin ( 3 )f x y x y 
 
r) 
 
2
, x yf x y e
 
s) 
2( , ) 2 sinf x y xy xy 
 
t) 
2 2 2( , , , , ) .ln( )f x y z t w xyz x y z= + +
 
 
u) 
2 2 2w x y xyz x z= + +
 
v) 
( , , , , ) sin sinf x y z t w x yz y xz= +
 
 
x) 
2 2 2( , , )f w t z w t z= + +
 
 
 
4. Determine as derivadas parciais indicadas 
a) 
2 2( , ) ln( )f x y x x y= + +
; 
(3,4)xf
 b)
( , , )
y
f x y z
x y z
=
+ +
; 
(2,1, 1)yf -
 
 
5. As derivadas parciais mistas 
xyf
 e 
yxf
 são iguais para a maioria das funções que encontramos 
na prática. O teorema de CLAIRAUT, nome dado em homenagem ao matemático francês Alexis 
Clairaut (1713-1765), fornece condições sob as quais podemos afirmar que 
xy yxf f=
. Verifique, 
nos exercícios abaixo, que a conclusão do teorema de Clairaut é valida: 
a) 
( , ) sin( 2 )f x y x x y= +
 b)
2 2lny x y= +
 
 
 
Calculo Diferencial e Integral III – Prof. Lyvio 
2 
6. A lei dos gases ideais pode ser enunciada como 
PV cnT=
, onde n é o número de moléculas 
do gás, V é o volume, T é a temperatura e c uma constante. Mostre que 
𝜕𝑉
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑃
𝜕𝑃
𝜕𝑉
= −1 
 
7. Use a Regra da Cadeia para determinar 
dz dt
 
a) 
2 2z x y xy= +
, onde 
42x t= +
 e 
31y t= -
 
b) 
sin cosz x y=
, onde 
x t=
 e 
y t=
 
c) 
y zz xe=
, onde 
2x t=
, 
1y t= -
 e 
1 2z t= +
 
d) 
2 2 2lnz x y z= + +
, onde 
sinx t=
, 
cosy t=
 e 
tanz t=
 
e) 
2z xy yz= +
, onde 
tx e=
, 
sinty e t=
 e 
costz e t=
 
 
8. Use a Regra da Cadeia para determinar 
𝜕𝑧
𝜕𝑠
 e 
𝜕𝑧
𝜕𝑡
. 
a) 
2 3z x y=
, onde 
cosx s t=
 e 
siny s t=
 
b) 
sin cosz  =
, onde 
2st =
 e 
2s t =
 
c) 
cosrz e =
, onde 
r st=
 e 
2 2s t = +
 
d) 
x
z
y
=
, onde 
tx se=
 e 
1 ty se-= +
 
e) 
2 2z x xy y= + +
, onde 
x s t= +
 e 
y st=
 
 
 
9. Determine as derivadas indicadas. 
a) Seja a função 
2 2 2w x y z= + +
, onde 
x st=
, 
cosy s t=
 e 
sinz s t=
. Determine 
𝜕𝑤
𝜕𝑠
 e 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
 
quando 
1s=
 e 
0t =
. 
 
b) Seja a função 
2 2 2ln( )R u v w= + +
, onde 
2u x y= +
, 
2v x y= -
 e 
2w xy=
. Determine 
𝜕𝑅
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑅
𝜕𝑦
, quando 
1x y= =
.

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