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Calculo Diferencial e Integral III – Prof. Lyvio 1 LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2 1. Se 2 2( , ) 4 2f x y x y= - - , encontre (1,1)xf e (1,1)yf e interprete esses números como inclinações. 2. Se 2 2( , ) 16 4f x y x y= - - , determine (1, 2)xf e (1, 2)yf e interprete esses resultados como inclinações. 3. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: a) 4( , ) 3 2f x y x y= - b) 10( , ) (2 3 )f x y x y= + c) ( , ) yf x y xe= d) ( , ) x y f x y x y - = + e) ( , ) sin cosw = f) 2 2( , ) ln( )f r s r r s= + g) w tu te= h) 2 3 4( , , ) 5f x y z xz x y z= - i) ln( 2 3 )w x y z= + + j) 2 2( , ) ln( )f x y x x y= + + k) ( , ) lnxf x y e xy= l) ( , ) cos x f x y x y = m) 2 2( , )f x y x y= + n) ( , ) sinyf x y xe y x= + o) 2 2 2( , ) ln( )f x y y x y p) ( , ) x yf x y e e= + q) 2( , ) sin ( 3 )f x y x y r) 2 , x yf x y e s) 2( , ) 2 sinf x y xy xy t) 2 2 2( , , , , ) .ln( )f x y z t w xyz x y z= + + u) 2 2 2w x y xyz x z= + + v) ( , , , , ) sin sinf x y z t w x yz y xz= + x) 2 2 2( , , )f w t z w t z= + + 4. Determine as derivadas parciais indicadas a) 2 2( , ) ln( )f x y x x y= + + ; (3,4)xf b) ( , , ) y f x y z x y z = + + ; (2,1, 1)yf - 5. As derivadas parciais mistas xyf e yxf são iguais para a maioria das funções que encontramos na prática. O teorema de CLAIRAUT, nome dado em homenagem ao matemático francês Alexis Clairaut (1713-1765), fornece condições sob as quais podemos afirmar que xy yxf f= . Verifique, nos exercícios abaixo, que a conclusão do teorema de Clairaut é valida: a) ( , ) sin( 2 )f x y x x y= + b) 2 2lny x y= + Calculo Diferencial e Integral III – Prof. Lyvio 2 6. A lei dos gases ideais pode ser enunciada como PV cnT= , onde n é o número de moléculas do gás, V é o volume, T é a temperatura e c uma constante. Mostre que 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑉 = −1 7. Use a Regra da Cadeia para determinar dz dt a) 2 2z x y xy= + , onde 42x t= + e 31y t= - b) sin cosz x y= , onde x t= e y t= c) y zz xe= , onde 2x t= , 1y t= - e 1 2z t= + d) 2 2 2lnz x y z= + + , onde sinx t= , cosy t= e tanz t= e) 2z xy yz= + , onde tx e= , sinty e t= e costz e t= 8. Use a Regra da Cadeia para determinar 𝜕𝑧 𝜕𝑠 e 𝜕𝑧 𝜕𝑡 . a) 2 3z x y= , onde cosx s t= e siny s t= b) sin cosz = , onde 2st = e 2s t = c) cosrz e = , onde r st= e 2 2s t = + d) x z y = , onde tx se= e 1 ty se-= + e) 2 2z x xy y= + + , onde x s t= + e y st= 9. Determine as derivadas indicadas. a) Seja a função 2 2 2w x y z= + + , onde x st= , cosy s t= e sinz s t= . Determine 𝜕𝑤 𝜕𝑠 e 𝜕𝑤 𝜕𝑡 quando 1s= e 0t = . b) Seja a função 2 2 2ln( )R u v w= + + , onde 2u x y= + , 2v x y= - e 2w xy= . Determine 𝜕𝑅 𝜕𝑥 e 𝜕𝑅 𝜕𝑦 , quando 1x y= = .
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