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Universidade Federal do Esp´ırito Santo Centro de Cieˆncias Agra´rias Primeira Avaliac¸a˜o de Vetores e Geometria Anal´ıtica 12 de abril de 2012 NOME: Justifique todas as respostas! 1. Dados os vetores ~u = (x, y, z) e ~v = (2,−3,−4) determine: (a) (1 pt) x, y e z para que os vetores ~v e ~u sejam paralelos e de sentidos contra´rios, onde |~u| = 4 √ 29. (b) (1 pt) o versor do vetor −4~v. 2. Dado |~u| = 2, |~w| = 3 e o aˆngulo entre ~u e ~w e´ de 60◦, calcule: (a) (1 pt) (2 3 ~u+ ~w).(−~u− 3 4 ~w) (b) (1 pt) |− 3~u+ 2~w| 3. (2 pts) Determine um vetor ~v = (x, y, z) de mo´dulo 2 que seja ortogonal ao vetor ~w = (2, 2, 0) e forma um aˆngulo de 45o com o vetor ~u = (−2, 2,−2 √ 2). 4. Sejam os ponto A(−1, 2,−1), B(1, 0,−1) e C(m, 1, 2). (a) (1 pt) Encontre o valor de m para que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo em A. (b) (1 pt) Calcule proj−→ BC ( −→ BA). (c) (0,5 pt) Determine o ponto M, pe´ da altura relativa ao ve´rtice A. 5. (1,5 pts) No triaˆngulo ABC, tem-se −→ BX = λ −→ BC. Calcule o vetor −→ AX em func¸a˜o dos vetores −→ AB e −→ AC. Respostas da Prova 1 1. (a) x = −8, y = 12 e z = 16 (b) ( − 8√ 464 , 12√ 464 , 16√ 464 ) 2. (a) − 167 12 (b) 6 3. −→v = (0, 0,−2) ou −→v = (− √ 2, √ 2, 0) 4. (a) m = −2 (b) ( − 24 19 , 8 19 , 24 19 ) (c) ( − 5 19 , 8 19 , 5 19 ) 5. −→ AX = λ −→ AC+ (1− λ) −→ AB Universidade Federal do Esp´ırito Santo Centro de Cieˆncias Agra´rias Segunda Avaliac¸a˜o de Vetores e Geometria Anal´ıtica 22 de maio de 2012 NOME: Justifique todas as respostas! 1. (2 pts) Determine um vetor ~u = (x, y, z) de mo´dulo √ 2 tal que ~u× ~v =~j, onde ~v = (−2, 0, 3) e ~j = (0, 1, 0) e ~u forma aˆngulo obtuso com o vetor ~w = (5,−1,−2). 2. Sendo |−→u ×−→v | = 6 e 120o o aˆngulo entre −→u e −→v , calcule: (a) (1 pt) |−→u · −→v | (b) (1 pt) ∣∣∣∣(−4−→u − 3−→v )× ( 1 6 −→u +−→v )∣∣∣∣ DICA: cos(120o)=-cos(60o) e sen(120o)=sen(60o) 3. Dados os pontos A(1,m, 0), B(2,−3, 1), C(−1, 2, 3) e D(1, 1,−3) responda: (a) (0,5 pt) Determine m para que os pontos A, B, C, D sejam coplanares. (b) (1 pt) Determine m para que o volume do paralelep´ıpedo formado pelos vetores −→ BA, −→ BC e−→ BD seja de 21. (c) (1 pt) Com relac¸a˜o ao item b, encontre a altura relativa a base formada pelos vetores−→ BC e −→ BD. 4. (1,5 pts) Determine se as retas abaixo sa˜o concorrentes, paralelas na˜o-coincidentes, paralelas coincidentes ou reversas. r1 : x = y+ 3 y = −1− 2y e r2 : 3− y −1 = 2x+ 4 −4 = z 5. Sabendo que a reta r : { 3x− 2 2 = −1− y a = z b e´ paralela a reta s que passa pelo pontoA(2, 1, 3) e e´ simultaneamente ortogonal as retas r1 : x = 3t+ 2 y = 6t− 1 z = 9t r2 : { x = 1− y z = 2+ 2y (a) (1,5 pts) Calcule a e b. (b) (0,5 pt) Escreva a equac¸a˜o parame´trica da reta s. Respostas da Prova 2 1. −→u = (−1, 0, 1) 2. (a) 6√ 3 (b) 21 3. (a) m = − 1 2 (b) m = −2 ou m = 1 (c) 21√ 1029 4. REVERSAS 5. (a) a = 10 3 e b = 2 (b) s : x = 2+ 3t y = 1− 15t z = 3+ 9t Universidade Federal do Esp´ırito Santo Centro de Cieˆncias Agra´rias Terceira Avaliac¸a˜o de Vetores e Geometria Anal´ıtica 18 de outubro de 2012 NOME: Justifique todas as respostas! 1. Dados o plano pi : x = 1+ h− 2t y = 1− t z = 4+ 2h− 2t , determine: (a) (1 pt) A equac¸a˜o geral do plano pi. (b) (1 pt) O valor de m e n para que o plano pi2 : (2m+ n)x− 12y+ (2m− 2n)z− 2 = 0 seja paralelo ao plano pi. (c) (1 pt) O angulo entre o plano pi e o plano pi3 : x− 2y− 5 = 0. 2. (a) (1,5 pts) Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa pelo ponto A = (0, 1, 0), e´ ortogonal ao plano pi1 : 3x− 2y− 3z+ 5 = 0 e e´ paralela a reta r : −2x = 3y = 4z. (b) (1 pt) Calcule a distaˆncia da reta r ao plano pi. 3. (1,5 pts) Determine uma equac¸a˜o geral do plano que contenha as retas r1 = x = 1+ 2t y = t z = 1+ 3t e r2 : { x− 1 = 2y+ 6 = 2z+ 2 3 4. (1,5 pts) Um triaˆngulo retaˆngulo de a´rea 1 tem os catetos contidos nos eixos Ox e Oy e a hipotenusa na reta r, sabendo que a reta r e´ paralela ao plano pi : 2x+y+ 3z− 3 = 0, determine uma equac¸a˜o da reta r. 5. (1,5 pts) Obtenha os pontos da intersec¸a˜o dos planos pi1 : x+ y = 2 e pi2 : x = y+ z que distam√ 14 3 da reta r : x = y = z+ 1 Respostas da Prova 3 1. (a) 2x− 2y− z+ 4 = 0 (b) m = 3 e n = 6 (c) arccos ( 2√ 5 ) 2. (a) 2x+ 3y− 3 = 0 (b) 3√ 13 3. 7x+ 4y− 6z− 1 = 0 4. r : x = 1− t y = 2t z = 0 5. (2, 0, 2) ou (0, 2,−2)
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