P1, P2 e P3 - Vetores + Respostas

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Primeira Avaliac¸a˜o de Vetores e Geometria Anal´ıtica
12 de abril de 2012
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Dados os vetores ~u = (x, y, z) e ~v = (2,−3,−4) determine:
(a) (1 pt) x, y e z para que os vetores ~v e ~u sejam paralelos e de sentidos contra´rios, onde
|~u| = 4
√
29.
(b) (1 pt) o versor do vetor −4~v.
2. Dado |~u| = 2, |~w| = 3 e o aˆngulo entre ~u e ~w e´ de 60◦, calcule:
(a) (1 pt) (2
3
~u+ ~w).(−~u− 3
4
~w)
(b) (1 pt) |− 3~u+ 2~w|
3. (2 pts) Determine um vetor ~v = (x, y, z) de mo´dulo 2 que seja ortogonal ao vetor ~w = (2, 2, 0) e
forma um aˆngulo de 45o com o vetor ~u = (−2, 2,−2
√
2).
4. Sejam os ponto A(−1, 2,−1), B(1, 0,−1) e C(m, 1, 2).
(a) (1 pt) Encontre o valor de m para que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo em A.
(b) (1 pt) Calcule proj−→
BC
(
−→
BA).
(c) (0,5 pt) Determine o ponto M, pe´ da altura relativa ao ve´rtice A.
5. (1,5 pts) No triaˆngulo ABC, tem-se
−→
BX = λ
−→
BC. Calcule o vetor
−→
AX em func¸a˜o dos vetores
−→
AB
e
−→
AC.
Respostas da Prova 1
1. (a) x = −8, y = 12 e z = 16
(b)
(
−
8√
464
,
12√
464
,
16√
464
)
2. (a) −
167
12
(b) 6
3. −→v = (0, 0,−2) ou −→v = (−
√
2,
√
2, 0)
4. (a) m = −2
(b)
(
−
24
19
,
8
19
,
24
19
)
(c)
(
−
5
19
,
8
19
,
5
19
)
5.
−→
AX = λ
−→
AC+ (1− λ)
−→
AB
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Segunda Avaliac¸a˜o de Vetores e Geometria Anal´ıtica
22 de maio de 2012
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. (2 pts) Determine um vetor ~u = (x, y, z) de mo´dulo
√
2 tal que ~u× ~v =~j, onde ~v = (−2, 0, 3) e
~j = (0, 1, 0) e ~u forma aˆngulo obtuso com o vetor ~w = (5,−1,−2).
2. Sendo |−→u ×−→v | = 6 e 120o o aˆngulo entre −→u e −→v , calcule:
(a) (1 pt) |−→u · −→v |
(b) (1 pt)
∣∣∣∣(−4−→u − 3−→v )×
(
1
6
−→u +−→v
)∣∣∣∣
DICA: cos(120o)=-cos(60o) e sen(120o)=sen(60o)
3. Dados os pontos A(1,m, 0), B(2,−3, 1), C(−1, 2, 3) e D(1, 1,−3) responda:
(a) (0,5 pt) Determine m para que os pontos A, B, C, D sejam coplanares.
(b) (1 pt) Determine m para que o volume do paralelep´ıpedo formado pelos vetores
−→
BA,
−→
BC e−→
BD seja de 21.
(c) (1 pt) Com relac¸a˜o ao item b, encontre a altura relativa a base formada pelos vetores−→
BC e
−→
BD.
4. (1,5 pts) Determine se as retas abaixo sa˜o concorrentes, paralelas na˜o-coincidentes, paralelas
coincidentes ou reversas.
r1 :


x = y+ 3
y = −1− 2y
e r2 :
3− y
−1
=
2x+ 4
−4
= z
5. Sabendo que a reta r :
{
3x− 2
2
=
−1− y
a
=
z
b
e´ paralela a reta s que passa pelo pontoA(2, 1, 3) e
e´ simultaneamente ortogonal as retas
r1 :


x = 3t+ 2
y = 6t− 1
z = 9t
r2 :
{
x = 1− y
z = 2+ 2y
(a) (1,5 pts) Calcule a e b.
(b) (0,5 pt) Escreva a equac¸a˜o parame´trica da reta s.
Respostas da Prova 2
1. −→u = (−1, 0, 1)
2. (a)
6√
3
(b) 21
3. (a) m = −
1
2
(b) m = −2 ou m = 1
(c)
21√
1029
4. REVERSAS
5. (a) a =
10
3
e b = 2
(b) s :


x = 2+ 3t
y = 1− 15t
z = 3+ 9t
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Terceira Avaliac¸a˜o de Vetores e Geometria Anal´ıtica
18 de outubro de 2012
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Dados o plano pi :


x = 1+ h− 2t
y = 1− t
z = 4+ 2h− 2t
, determine:
(a) (1 pt) A equac¸a˜o geral do plano pi.
(b) (1 pt) O valor de m e n para que o plano pi2 : (2m+ n)x− 12y+ (2m− 2n)z− 2 = 0 seja
paralelo ao plano pi.
(c) (1 pt) O angulo entre o plano pi e o plano pi3 : x− 2y− 5 = 0.
2. (a) (1,5 pts) Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa pelo ponto A = (0, 1, 0), e´
ortogonal ao plano pi1 : 3x− 2y− 3z+ 5 = 0 e e´ paralela a reta r : −2x = 3y = 4z.
(b) (1 pt) Calcule a distaˆncia da reta r ao plano pi.
3. (1,5 pts) Determine uma equac¸a˜o geral do plano que contenha as retas
r1 =


x = 1+ 2t
y = t
z = 1+ 3t
e r2 :
{
x− 1 = 2y+ 6 =
2z+ 2
3
4. (1,5 pts) Um triaˆngulo retaˆngulo de a´rea 1 tem os catetos contidos nos eixos Ox e Oy e a
hipotenusa na reta r, sabendo que a reta r e´ paralela ao plano pi : 2x+y+ 3z− 3 = 0, determine
uma equac¸a˜o da reta r.
5. (1,5 pts) Obtenha os pontos da intersec¸a˜o dos planos pi1 : x+ y = 2 e pi2 : x = y+ z que distam√
14
3
da reta r : x = y = z+ 1
Respostas da Prova 3
1. (a) 2x− 2y− z+ 4 = 0
(b) m = 3 e n = 6
(c) arccos
(
2√
5
)
2. (a) 2x+ 3y− 3 = 0
(b) 3√
13
3. 7x+ 4y− 6z− 1 = 0
4. r :


x = 1− t
y = 2t
z = 0
5. (2, 0, 2) ou (0, 2,−2)