Aula 03 Unidades e Escalas

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Unidades, Revisão Matemática, Erros 
e Escalas
Prof. Me. José Daniel Jales Silva
<daniel.jales@ufersa.edu.br>
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
CÂMPUS PAU DOS FERROS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
TOPOGRAFIA – PAM0031
Pau dos Ferros - 2017
Curso de Engenharia Civil – Topografia Prof. Me. José Daniel
Topometria
Planimetria – é a parte da Topometria que estuda os procedimentos,
métodos e instrumentos de medida de ângulos e distâncias, considerando um plano
horizontal.
Grandezas Lineares Grandezas Angulares
Gramometria Goniologia
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O que é Medir ?
Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra,
denominada padrão, e verificar quantas vezes ela é maior ou menor
do que aquela tomada como padrão.
Ex. Um corredor de 10m.
Seu comprimento é 10 x 1 m.
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Sistema de Unidade de Medidas
Embora alguns sistemas antigos ainda sejam utilizados com
certa frequência a utilização do Sistema Internacional de Unidades
(SI) já está bem difundida.
Unidade de Medida 
Linear
Unidade de Medida 
Angular
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Unidade de Medida Linear
 O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de
comprimento no sistema internacional (SI).
 O que é um metro ?
 Corresponde à décima milionésima parte de um quarto do
meridiano terrestre.
 No entanto, a terra não é perfeitamente esférica !
 Corresponde à distância percorrida pela luz, no vácuo, durante
um intervalo de 1/299.792.458 segundos.
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Unidades de Medida Linear
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Unidades de Medida Linear
OUTROS SISTEMAS LINEARES
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Unidades de Medida de Superfície e Volume
A unidade padrão é o metro quadrado (m²), porém, em Topografia, em
razão da avaliação de grandes extensões da superfície, utiliza-se com mais
frequência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000 m².
A unidade padrão para medida de volume é o metro cúbico (m³), que
corresponde a um cubo de 1 m x 1 m x 1 m.
Medidas agráriasMedidas de superfície
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Unidades de Medida Angular
As unidades de medidas dos ângulos e arcos utilizados em Topografia
podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e o radiano.
SEXAGESIMAL
No Brasil, o sistema adotado é o sexagesimal, no qual a circunferência está
dividida em 360 partes iguais, sendo cada parte de 1° (um grau, que constitui a
unidade do sistema sexagesimal). Cada grau está dividido em 60 partes iguais, onde
cada parte corresponde a um ângulo de 1’ (um minuto). Cada minuto está dividido
em 60 partes iguais, sendo que cada parte corresponde a um ângulo de 1” (um
segundo).
Grau (°) Minuto (‘) Segundo (“)
1° = 60’
1’ = 60”
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Unidades de Medida Angular
RADIANO
 É o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento
igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos
Representação de um arco de ângulo
rad 1 raioarco  /180)rad(1 grau  /10800)rad(/6011' minuto'  rad /648000)(/360011" segundos" 
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Unidades de Medida Angular
SISTEMA CENTESIMAL (GRADO)
Para tornar o sistema de medida de ângulos coerente com outras medidas
métricas, decidiu-se dividir o ângulo reto em 100 partes iguais e,
consequentemente, o círculo inteiro em 400 partes.
g
 004 360 rad 2π Relações entre as unidades
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Exercícios
Exercício 2.1 - Transformação de ângulos:
 Transforme os seguintes ângulos de graus, minutos e segundos para graus e
frações decimais de grau.
a) 32° 28’ 59”
b) 17° 34’ 18,3”
c) 125° 59’ 57”
 Transforme os seguintes ângulos decimais em grau, minutos e segundos.
a) 32, 48305556°
b) 17,57175°
c) 125,9991667°
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Exercícios
Exercício 2.2 - Transformação de ângulos:
 Soma e subtração de ângulos:
a) 30°20’ + 20° 52’
b) 28°41’ + 39°39’
c) 42°30’ – 20°40’
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Exercícios
Exercício 2.3 - Transformação de unidades:
SISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMA DECIMAL (GRADO) RADIANO
12° 15’ 32”
230° 45’ 59”
289,1253
89,1477
π/5
5π/3
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Trigonometria
• Triângulo retângulo
a = hipotenusa
b,c = catetos
-Relações trigonométricas: SENO, COSSENO, TANGENTE
-Teorema de Pitágoras
-Soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°
-Triângulo retângulo perfeito: 3, 4, 5
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Trigonometria
• Triângulo qualquer
-Lei dos Senos: Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno
do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência
circunscrita.
-Lei dos Cossenos: Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um
lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o
dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que
eles formam.
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Exercícios
Exercício 2.4 - Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na
outra margem segundo um ângulo de 56°00’00”. Afastando-se de 20,00 m, o
mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º 00’00”. Calcule a
largura do rio (CEFET, 1984).
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Exercícios
Exercício 2.5 - Um topógrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a
medição dos ângulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxílio de
um teodolito. Calcule a distância entre as balizas (CEFET, 1984).
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Erros na Topografia
Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas
como direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão
afetadas por erros. As fontes de erro poderão ser:
 Condições Ambientais: causadas pelas variações das condições ambientais, como
vento e temperatura.
 Ex. variação do comprimento de uma trena.
 Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de
equipamento ou ajuste do mesmo.
 A maior parte pode ser reduzida adotando-se técnicas de verificação.
 Pessoais: causados por falhas humanas.
De modo geral os erros são classificados em grosseiros, sistemáticos e
aleatórios.
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Erros Grosseiros
Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos,
identificação de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do
observador ou uma falha no equipamento.
Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou
detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros
grosseiros.
EXEMPLOS:
 Anotar 196 ao invés de 169.
 Engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena.
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Erros Sistemáticos
São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser
determinados, seguindo leis matemáticas ou físicas.
Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados
através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a
aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longodo trabalho.
EXEMPLOS:
 Efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor
eletrônico de distância;
 Correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura.
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Erros Acidentais ou Aleatórios
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido
eliminados.
São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido
ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande.
EXEMPLOS:
 Inclinação da baliza na hora de realizar a medida;
 Erro de pontaria na leitura de direções horizontais.
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Precisão e Acurácia
A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em
condições semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios.
A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao
seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos.
O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um
jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e
nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi
extremamente preciso. Seus resultados não apresentaram nenhuma variação em
torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele
não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez.
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Escalas
Qual o objetivo do levantamento topográfico ?
 Representação gráfica suficientemente fiel.
 Faz sentido uma representação gráfica de um terreno em
tamanho real?
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Escalas
No desenho topográfico, os ângulos são representados em verdadeira
grandeza e as distâncias são reduzidas segundo uma razão constante, denominada
Escala.
Ela representa a relação entre o valor de uma distância medida no desenho
e sua correspondente no terreno, tal que:
onde:
M - denominador de escala
l - distância no desenho
L - distância no terreno
Exemplo: Escala 1 : 10.000. Significa que 1 cm no desenho equivale a 10.000 cm (ou
100m) na realidade.
L
l
M

1
E
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Exercícios
Exercício 2.7. Em um desenho na escala 1:10.000, o comprimento de 2km no
terreno corresponde a quantos centímetros no papel?
Exercício 2.8. Na escala de 1:1000, um trecho de 150 mm medido na planta,
corresponde a quantos metros no terreno?
Exercício 2.9. Um alinhamento de 5 km no terreno corresponde a 20 cm na planta.
Qual a escala da planta?
Exercício 2.10. Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho é de
1:18000 e o rio foi representado por uma linha com 17,5 cm de comprimento.
Exercício 2.11. Se a avaliação de uma área resultou em 2575 cm² na escala 1:500, a
quantos hectares corresponderá esta mesma área, no terreno?
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Escalas
- A escala é adimensional e pode ser apresentada como:
• fração: 1/100, 1/2000
• proporção: 1:100, 1:2000
- As escalas podem ser:
• de redução  (ex. 1:200)
• de ampliação  (ex. 10:1)
• naturais  (ex. 1:1)
- Escalas usuais em Topografia são 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000
- Escala Grande  denominador pequeno (1:100, 1:200, 1:50, etc.)
- Escala Pequena  denominador grande (1:10.000,1:500.000, etc.)
Ll 
Ll 
Ll 
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Principais Escalas
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Escolha da Escala
 Finalidade do levantamento.
 Detalhe D precisa ser representado no mínimo com tamanho d, basta escolher M
tal que:
 M ≤ D/d
Exemplo:
Deseja-se que um detalhe de 20cm seja representado com um tamanho
mínimo de 2mm.
M ≤ D/d
M ≤ 0,20/0,02 = 100
Portanto:
E = 1:100..... ou..... 1:50 ...... ou 1:20.....
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Dimensões do Papel
 Papel: deve ter tamanho para que a figura possa ser desenhada na escala
escolhida.
A e B: dimensões no terreno 
𝒙 ≥ 𝒂 =
𝑨
𝑴
𝒚 ≥ 𝒃 =
𝑩
𝑴
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Exercícios
Exercício 2.12. Escolher o formato do papel para o desenho de uma área de 50 m x
80 m, na escala 1:200.
Exercício 2.13. Supondo o papel de formato A4 (21,0 cm x 29,7 cm) e a área de 50 m
x 80 m, qual a escala adequada?
Exercício 2.14. Qual a melhor escala para a representação de um terreno de 600m x
1000m nas folhas A1 e A2?
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Erro de Graficismo
 Erro que o desenhista comete ao marcar pontos no desenho.
 Acuidade visual
 Habilidade média
 Qualidade dos instrumentos
 De acordo com a NBR 13133, o erro de graficismo (eg) admissível na
elaboração do desenho topográfico para lançamento de pontos e
traçados de linhas é de 0,2 mm e equivale a duas vezes a acuidade
visual.
 Em função deste valor é possível definir o valor da precisão da
escala (pe), ou seja, o menor valor representável em verdadeira
grandeza, em uma escala.
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Precisão da Escala
 Corresponde ao erro de graficismo aceitável
 Conversão do erro para as dimensões reais
 Exemplo: erro de graficismo 0,2 mm, em uma escala 1 : 10.000
resulta em um erro de 2 m.
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Precisão da Escala
Em casos onde é necessário representar elementos com dimensões
menores que as estabelecidas pela precisão da escala, podem ser utilizados
símbolos.
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Precisão das Medidas em Campo
 Com que precisão devemos medir em campo?
 Mais precisão → Maior custo
 A menor precisão que atenda aos critérios!
 Qual é essa?
 A precisão tal que os erros do campo sejam inferiores a Eg . M
 Exemplo: numa escala 1 : 10.000 em que o Eg.M = 2 m, não faz
sentido medir, em campo, com precisão maior que 1m.
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Escala Gráfica
É a representação gráfica de uma escala numérica.
Ela fornece, rapidamente e sem cálculos, o valor real das medidas
executadas sobre o desenho, qualquer que tenha sido a redução ou ampliação.
Supondo que a escala de uma planta seja de 1:100 e que o intervalo de
representação seja de 1,0m, a escala gráfica correspondente terá o seguinte
aspecto: