CALCULO I DERIVADAS - direto ao ponto

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CÁLCULO I
Aulas de apoio: Estatística, Cálculo I e Matemática financeira
Análise estatística: Trabalhos acadêmicos e profissionais
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Cálculo I
1 Derivação por tabela
1.1 Regras principais
(c)′ = 0 (c = constante) (1)
(x)′ = 1 (2)
(cu)′ = cu′ (c = constante) (3)
(u± v)′ = u′± v′ (4)
(uv)′ = u′v+uv′ (5)
(
u
v
)′ =
u′v−uv′
v2
(v 6= 0) (6)
1.2 Derivadas principais
(xn)′ = nxn−1 (7)
(
√
x)′ =
1
2(
√
x)
(8)
(sinx)′ = cosx (9)
(cosx)′ =−sinx (10)
(tanx)′ =
1
cos2 x
= sec2 x (11)
(arcsinx)′ =
1√
1− x2 , (|x|< 1) (12)
(arccosx)′ =− 1√
1− x2 (|x|< 1) (13)
(arctanx)′ =
1
1+ x2
(14)
(ax)′ = ax lna, (a > 0) (15)
(ex)′ = ex (16)
(lnx)′ =
1
x
, (x > 0) (17)
(loga x)
′ =
1
x lna
=
loga e
x
, (x > 0,a > 0) (18)
2 Derivação de uma função composta - Regra da cadeia
Se y = f (u) e u = ϕ(x), isto é, y = f [ϕ(x)], onde as funções y e u possuem derivadas,
então,
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
Esta regra pode ser aplicada à cadeia de qualquer número finito de funções que
podem ser derivadas.
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Cálculo I
Exemplo 1. Achar a derivada da função y = (x2−2x+3)5.
Solução. Fazendo y = u5, com u = x2−2x+3, teremos:
dy
dx
=
dy
du︷︸︸︷
5u4 .
du
dx︷ ︸︸ ︷
(2x−2) => dy
dx
= 5(x2−2x+3)4.2(x−1) = 10(x2−2x+3)4.(x−1)
Exemplo 2: Achar a derivada da função y = e(x
2+2).
Solução. Fazendo y = eu, com u = x2+2, teremos:
dy
dx
=
dy
du︷︸︸︷
eu .
du
dx︷︸︸︷
2x = e(x
2+2).2x = 2x.e(x
2+2)
3 Derivadas que não são dadas explicitamente
3.1 Derivada da função inversa
Exemplo. Achar a derivada x′y, se y = x + lnx.
Solução. Temos que y′x =
dy
dx
= 1+ 1x =
x+1
x , portanto, x
′
y =
dx
dy
= xx+1 .
3.2 Derivadas de funções na forma paramétrica
Se a dependência entre a função y e o argumento x é dado através do parâmetro t
{
x = ϕ(t)
y = ψ(t)
Então,
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
.
Exemplo. Achar dydx , se
{
x = a cos t
y = a sin t
Solução: Encontramos dxdt =−asin t e
dy
dt
= acos t. Daí
dy
dx
=
acos t
−asin t =−cot t.
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3.3 Derivada da função implícita Cálculo I
3.3 Derivada da função implícita
Exemplo. Achar a derivada y′x sendo x3+ y3−3axy = 0.
Solução. Calculando a derivada do primeiro membro e igualando a zero, teremos:
3x2+3y2(y′)−3a(y+ x(y′)) = 0, donde y′ = x2−ayax−y2 .
4 Derivada logarítmica
Chama-se derivada logarítmica da função y = f (x) a derivada do logarítmo desta fun-
ção, isto é,
(lny)′ =
y′
y
=
f ′(x)
f (x)
.
A logaritmação da função facilita, em alguns casos, o cálculo de suas derivadas.
Exemplo 1. Achar a derivada da função exponencial coposta y = uv
onde u = ϕ(x) e v = ψ(x) são diferenciáveis.
Solução: Tomando o logaritmo, teremos:
lny = v lnu.
Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x, vem:
(lny)′ = v′ lnu+ v(lnu)′ => (
1
y
)y′ = v′ lnu+ v
1
u
u′
y′ = y
(
v′ lnu+ v
1
u
u′
)
=> y′ = uv
(
v′ lnu+ v
1
u
u′
)
Exemplo 1. Achar y′, se y = (sinx)x
Solução: Tomando o logaritmo, teremos:
lny = x. lnsinx
Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x, vem:
(lny)′ = x′ ln+x(lnsinx)′ => (
1
y
)y′ = lnsinx+ x.
1
sinx
.(sinx)′
(
1
y
)y′ = lnsinx+ x.cotx′ => y′ = (sinx)x(lnsinx+ x.cotx)
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Cálculo I
5 Derivadas de ordens superiores
5.1 Definição de derivadas de ordens superiores
Derivada de segunda ordem ou segunda derivada da função y = f (x) chama-se a de-
rivada de sua derivada, isto é,
(y′)′ Designa-se, assim, a segunda derivada: y′′, ou
d2y
dx2
, ou f ′′(x)
Se x = f (t) é a lei do movimento retilíneo de um ponto, então:
dy
dx
será sua velocidade e
d2y
dx2
será sua aceleração
Exemplo 1. Achar a derivada de segunda ordem da função: y = ln(1− x)
Resolução. y′ = −11−x e y
′′ =
(
−1
1−x
)′
=− 11−x2
Exemplo 2. Achar y′′, se {
x = a cos t
y = b sin t
Solução: Veja fórmula em (3.2)
y′ =−b
a
cot t e
y′′ =
(
− ba cot t
)′
t
(acos t)′t
=
− ba . −1sin2 t
−asin t =−
b
a2 sin3 t
6 Regra de L’hôspital
Sejam f(x) e g(x) deriváveis e g’(x) não nula. Suponha que:
lim
x→a f (x) = 0 e limx→a g(x) = 0
ou
lim
x→a f (x) =±∞ e limx→a g(x) =±∞
Ento : lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
se o limite das derivadas existir.
Obs.: A regra também, vale para limites leterais e limites no infinito.
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Cálculo I
7 Aplicações Geométricas e Mecânicas da Derivada
7.1 Equação da Tangente
7.1.1 Tangente ao ponto
Da interpretação Geométrica da derivada deduz-se, que a equação da tangente, em
relação à curva y = f (x) no ponto M0(x0,y0) é:
y− y0 = y′0(x− x0),
Onde y′0 é o valor da derivada y
′, quando x = x0.
EXEMPLO:
Encontre a reta tangente a f (x) = x3−3x2−5x+4 no ponto (0,4).
y′ = 3x2−6x−5 ⇒ y′0 = 3.02−6.0−5 =−5
y− y0 = y′0(x− x0) ⇒ y−4 =−5(x−0) ⇒ y+5x−4 = 0
7.1.2 Tangente a reta
Encontre a reta tangente a f (x) = x3−3x2−5x+4 parelela a reta f (x) = 4x+1.
Como a reta tangente a curva é paralela e curva, então terá o mesmo coef. agular
m = 4. Daí como já temos o coef. angular, vamos igualar esse valor a derivada da
curva (que é o coef. da reta tangente).
y′ = 3x2−6x−5 ⇒ 4= 3x2−6x−5 ⇒ x2−2x−3= 0 ⇒ x′ =−1 e x′′ = 3
Como temos 2 raízes, então teremos dois pontos e portanto, duas retas:
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7.2 Equação da Normal Cálculo I
p1=(-1,f(-1)) = (-1, 5) ⇒ y = 4x+9
p2=(3,f(3))=(3,-11) ⇒ y = 4x−23
7.2 Equação da Normal
A reta, que passa pelo ponto de contato, perpendicularmente à tangente, denomina-se
normal em relação à curva. Para a normal teremos a seguinte equação:
x− x0+ y′0(y− y0) = 0.
7.3 Ângulo entre as curvas
O ângulo, formado entre as curvas: y = f1(x) e y = f2(x) em seu ponto comum
M0(x0,y0), que denominaremos ϕ . Será o ângulo que formam entre as tangentes às
curvas y = f1(x) e y = f2(x) a estas curvas no ponto M0.
De acordo com a conhecida fórmula da Geometria Analítica, teremos:
tanϕ =
f ′2(x0)− f ′1(x0)
1+ f ′1(x0). f
′
2(x0)
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Cálculo I
8 Derivadas pela definição
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x+∆x)− f (x)
∆x
f (x) = tan(x)⇒ f ′(x) =?
f ′(x)= lim
∆x→0
tan(x+∆x)− tan(x)
∆x
=
sin(x+∆x)
cos(x+∆x) − sin(x)cos(x)
∆x
=
sin(x)cos(∆x)+sin(∆x)cos(x)
cos(x)cos(∆x)−sin(x)sin(x) − sin(x)cos(x)
∆x
f ′(x) = lim
∆x→0
cos(x)[sin(x)cos(∆x)+sin(∆x)cos(x)]−sin(x)[cos(x)cos(∆x)−sin(x)sin(x)]
cos(x)[cos(x)cos(∆x)−sin(x)sin(∆x)]
∆x
f ′(x)= lim
∆x→0
cos(x)sin(x)cos(∆x)+ cos2(x)sin(∆x)− sin(x)cos(x)cos(∆x)+ sin2(x)sin(∆x)
∆xcos(x) [cos(x)cos(∆x)− sin(x)sin(x)]
f ′(x) = lim
∆x→0
sin(∆x)
∆x
.
[
sin2(x)+ cos2(x)]
[cos2(x)cos(∆x)− sin(x)cos(x)sin(∆x)]
f ′(x) = 1.
1
cos2(x)−0 =
1
cos2(x)
= sec2(x)
9 Máximos e mínimos
A determinação e análise dos pontos críticos de uma função, bem como das regiões de
crescimento ou decrescimento, permite a construção de seu gráfico de modo confiável.
Faremos alguns exemplos simples aqui, porém nossa ênfase principal é a percepção
destes conceitos na visualização gráfica e a aplicação desta teoria na resolução de
problemas que exigem a determinação e análise dos extremos de uma função. Como
exemplo, podemos citar a necessidade de uma empresa determinar a produção que for-
nece seu lucro máximo, as medidasque permitem o custo mínimo de um determinado
objeto e assim por diante. Para isso, a primeira medida é sempre encontrar os pontos
críticos da função e em seguida, analisar se são de máximo, de mínimo ou nenhum,
nem outro. Existem dois teoremas que são essenciais nesta tarefa:
9.1 Teorema 1 - teste da derivada primeira
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b], que possui derivada em todo
ponto do intervalo aberto (a, b), exceto possivelmente num ponto c.
1. Se f ′(x)> 0 ∀x < c e f ′(x)< 0 ∀x > c, então f tem um máximo relativo em c.
2. Se f ′(x)< 0 ∀x < c e f ′(x)> 0 ∀x > c, então f tem um mínimo relativo em c.
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9.1 Teorema 1 - teste da derivada primeira Cálculo I
Figura 1: Máximos e mínimos
Exemplo: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e míni-
mos relativos da função f (x) = x3−7x+6
Solução: f ′(x) = 3x2−7
Fazendo f ′(x) = 0, obtemos x =±
√
7
3
Portanto , os pontos cítricos de f são x1 =
√
7
3 e x2 =−
√
7
3
É fácil verificar que se x <−
√
7
3 ou x >
√
7
3 , tem-se f
′(x)> 0, o que implica que
f é crescente nos intervalos (−∞,−
√
7
3 ) e (
√
7
3 ,∞). Para −
√
7
3 < x <
√
7
3 , tem-se
f ′(x)< 0, logo f é decrescente em (−
√
7
3 ,
√
7
3 ) . Assim, pelo critério da derivada pri-
meira, concluímos que f tem um máximo relativo em x1 =−
√
7
3 e um mínimo relativo
em x2 =
√
7
3 . Observe o gráfico:
Figura 2: Máximos e mínimos
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9.1 Teorema 1 - teste da derivada primeira Cálculo I
Observamos que este teste informa as regiões do domínio onde a função cresce e
onde ela decresce, porém não diz de que modo isso ocorre, ou seja, não diz nada sobre
a curvatura do gráfico, o qual pode ser côncavo para baixo, para cima, ou reto, por
exemplo. Quem fornece estas informações é a segunda derivada da função.
9.1.1 Concavidade e pontos de inflexão
Seja f uma função diferenciável (pelo menos até a segunda derivada) em um intervalo
(a, b). Se f ′′(x)> 0 ∀x em (a, b), então a função primeira derivada f ′(x) é crescente
em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para cima, conforme mostra a figura
abaixo:
Figura 3: Máximos e mínimos - crescimento
Analogamente, se f ′′(x)< 0 ∀x em (a, b), então a função primeira derivada f ′(x)
é decrescente em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para baixo:
Figura 4: Máximos e mínimos - decrescimento
9.1.2 Definição 1
Um ponto P(c, f (c)) do gráfico de uma função contínua f é chamado ponto de inflexão
se a concavidade do gráfico muda neste ponto.
Na figura a seguir, os pontos de abscissa c1,c2,c3,c4 são pontos de inflexão. Vale
observar que c2 e c3 são pontos extremos relativos de f e que f não é derivável nestes
pontos. Nos pontos c1 e c4 existem derivadas f ′(c1) e f ′(c4). Nos correspondentes
pontos (c1, f (c1)) e (c4, f (c4)) a reta tangente corta o gráfico de f.
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9.1 Teorema 1 - teste da derivada primeira Cálculo I
Figura 5: Máximos e mínimos - pontos de inflexão
EXEMPLOS:
1) No exemplo anterior tínhamos f (x) = x3−7x+6 e f ′(x) = 3x2−7.
Para estudar a concavidade, tomamos a segunda derivada, f ′′(x) = 6x, e obser-
varmos que:
f ′′(x)< 0 se x < 0 e f ′′(x)> 0 se x > 0.
Logo, a concavidade do gráfico é voltada para BAIXO para todos os reais negati-
vos e para CIMA, para os reais positivos. x = 0 é, portanto, um ponto de inflexão do
gráfico de f , conforme já visto em seu gráfico.
Para x < 1, f ′(x) = 2x e f ′′(x) = 2.
Para x > 1, f ′(x) =−2(x−1) e f ′′(x) =−2.
Logo, para x ∈ (−∞,1), f ′′(x) > 0 e portanto f é côncava para CIMA neste in-
tervalo. No intervalo (1,+∞), f ′′(x) < 0. Portanto, neste intervalo f é côncava para
BAIXO. Assim, no ponto c = 1, a concavidade MUDA, o que significa que este é um
ponto de inflexão. Analisando a primeira derivada, notamos que:
x < 1⇒ f ′(x)< 0 para x < 0 e f ′(x)> 0 para 0 < x < 1;
x > 1⇒ f ′(x)< 0 ∀x.
Portanto, f é crescente para 0< x< 1 e decrescente para x< 0 e x> 1. Associando
isso à análise da concavidade, podemos construir seu gráfico, onde podemos também
observar que no ponto c = 1 f tem um máximo relativo.
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9.2 Teorema 2 - teste da derivada segunda Cálculo I
Figura 6: Máximos e mínimos - gráfico da função
Observação: um ponto c∈D( f ) onde f ′′ é contínua e tal que f ′′(c) = 0 é um ponto
de inflexão de f (exemplo 1).
9.2 Teorema 2 - teste da derivada segunda
Sejam f uma função derivável num intervalo (a,b) e c um ponto crítico de f neste
intervalo, isto é, f ′(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada segunda em (a,b)
então:
Se f ′′(c)< 0, f tem um valor máximo relativo em c.
Se f ′′(c)> 0, f tem um valor mínimo relativo em c.
EXEMPLOS:
Encontre os máximos e mínimos relativos de f , aplicando o teste da derivada segunda.
1 ) f (x) = 18x+3x2−4x3
Temos que: f ′(x) = 18+6x−12x2 e f ′′(x) = 6−24x.
Fazendo f ′(x) = 0, obtemos 18+6x−12x2 = 0. Resolvendo esta equação obtemos
os pontos críticos de f
x1 =
3
2
e x2 =−1
.
Como f ′′( 32 ) = −30 < 0, segue que x1 = 32 é um ponto de máximo relativo de f .
Seu valor máximo relativo em x1 é dado por f ( 32 ) = 20,25
Analogamente, como f ′′(−1) = 30 > 0, segue que x2 = 1 é um ponto de mínimo
relativo de f. Seu valor mínimo relativo em x2 é dado por f (−1) =−11.
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9.2 Teorema 2 - teste da derivada segunda Cálculo I
Figura 7: Máximos e mínimos - gráfico da função
2) f (x) = 6x−3x2+ 12 x3
Temos f ′(x) = 6−6x+ 32 x2 e f ′′(x) =−6+3x.
Fazendo f ′(x) = 0 e resolvendo a equação, obtemos x1 = x2 = 2, que neste caso
é o único ponto crítico de f . Como f ′′(2) = 0 e f ′′(x) é uma função polinomial e,
portanto, contínua, segue da observação acima que x = 2 é um ponto de inflexão de f.
Usando o critério da derivada primeira, concluímos que esta função é sempre cres-
cente em ℜ. Portanto não existem máximos nem mínimos relativos. Vejamos o gráfico:
Figura 8: Máximos e mínimos - gráfico da função
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10 Curvas de nível
Figura 9: Curvas de nível - exemplo 1
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Cálculo I
Figura 10: Curvas de nível - exemplo 1
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Cálculo I
Figura 11: Curvas de nível - exemplo 1
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Cálculo I
Figura 12: Curvas de nível - exemplo 1
11 APLICAÇÃO
11.1 Elasticidade da demanda
A elasticidade preço da demanda mede a intensidade da variação da quantidade de-
mandada de um bem diante da variação do seu preço.
Definimos o grau de elasticidade de um bem, diante desse grau de intensidade da
quantidade demandada, a partir da variação do seu preço. Assim, o bem tem demanda
elástica quando a quantidade demandada responde substancialmente a variações no
preço. E tem demanda inelástica quando a quantidade demandada responde pouco a
variações no preço.
Os determinantes do grau de elasticidade de um bem são as preferências do consu-
midor, determinadas por várias forças econômicas, sociais e psicológicas que definem
os desejos individuais. Podemos apontar alguns fatores determinantes da elasticidade
preço da demanda:
• Grau de essencialidade do bem
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11.2 Classificação da Elasticidade Cálculo I
• Bens substitutos próximos
• Horizontes temporal
Agora, podemos partir para o cálculo da elasticidade preço da demanda:
Ed =
∆%Qd
∆%P
Ed=
Qd2−Qd1
Qd1
P2−P1
P1
11.2 Classificação da Elasticidade
11.2.1 Demanda Elástica - Ed > 1
Quando o resultado do coeficiente de elasticidade da demanda é maior que 1, significa
que uma mudança em termos percentuais do preço do bem provoca uma mudança em
termos percentuais na quantidade demandada maior que a mudança de preço.
O resultado indica que o produto TEM GRANDE sensibilidade a variações do
preço, já que a relação da variação percentual da quantidade demandada é X vezes
maior que a variação percentual do preço que a ocasionou.
11.2.2 Demanda Inelástica - Ed < 1
Quando o resultado do coeficiente de elasticidade da demanda é menor que 1, significa
que uma mudança em termos percentuais do preço do bem provoca uma mudança em
termos percentuais na quantidade demandada menor que a mudança de preço.
O resultado indica que o produto TEM POUCA sensibilidade a variações do preço,
uma vez que a relação da variação percentual da quantidade demandada é menor que
a variação percentual do preço que a ocasionou.
11.2.3 Demnada Unitária - Ed = 1
Quando o coeficiente de elasticidade da demanda é igual a 1,significa que uma mu-
dança em termos percentuais do preço do bem provoca uma mudança em termos per-
centuais na quantidade demandada igual à mudança de preço.
O resultado indica que a variação percentual da quantidade É IGUAL à variação
percentual do preço que a ocasionou.
12 Análise Marginal
12.1 Custo Marginal
O custo marginal de um bem é o aumento (acréscimo) do custo total para produzir
uma unidade adicional do bem. Se a função de custo de um certo bem é derivável,
então o custo marginal é a taxa instantânea com a qual aumenta ou diminui o custo p
ara produzir uma un idade adicional do bem.
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12.1 Custo Marginal Cálculo I
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12.1 Custo Marginal Cálculo I
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12.1 Custo Marginal Cálculo I
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