Apostila cisalhamento e torção

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
JORGE ROSCOFF
1
Cisalhamento e Torção
A
V
=médτ
Tensão de cisalhamento média
•A tensão de cisalhamento distribuída sobre cada área seccionada 
que desenvolve essa força de cisalhamento é definida por:
Dois tipos diferentes de cisalhamento:
b) Cisalhamento Duploa) Cisalhamento simples
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000 N. 
Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato 
lisas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do 
plano horizontal definido por EDB.
( )
( ) N 400.20000.3 ;0
N 800.10000.3 ;0
5
4
5
3
=⇒=−=↑+
=⇒=−=→+
∑
∑
BCBCy
ABABx
FFF
FFF
As forças de compressão 
agindo nas áreas de contato 
são
A força de cisalhamento agindo no plano horizontal 
seccionado EDB é
N 800.1 ;0 ==→+ ∑ VFx
EXEMPLO 1
As tensões de compressão médias ao longo dos planos horizontal e vertical do 
elemento inclinado são
( )( )
( )( )
(Resposta) N/mm 20,1
4050
400.2
(Resposta) N/mm 80,1
4025
800.1
2
2
==
==
BC
AB
σ
σ
A tensão de cisalhamento média que age no plano horizontal definido por BD é
( )( )
(Resposta) N/mm 60,0
4075
800.1 2
méd ==τ
= 159 MPa
= -26,7 MPa
Torção
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Deformação por torção de um eixo circular
• Torque é um momento que tende a torcer um elemento 
em torno de seu eixo longitudinal.
• Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o 
raio do eixo permanecerão inalterados.
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As fórmulas da torção:
Jp
Mt
Jp
cMt ρ
ττ
.
ou 
.
máx ==
= tensão de cisalhamento máxima no eixo
= deformação por cisalhamento
= torque interno resultante
= momento polar de inércia da área da seção
= raio externo do eixo
= distância intermediária
máxτ
τ
Mt
Jp
c
ρ
•Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça,
4
32
dJp
π
=
•Se o eixo tiver uma seção transversal tubular, ( )44
32
io ddJp −=
π
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Transmissão de potência
•Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
•Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
•Visto que , a equação para a potência é
dtdMtP / é eixo doangular e velocidada onde . θωω ==
fπωπ 2rad 2ciclo 1 =⇒=
fTP π2=
Ângulo de torção
•Considerando que o material é homogêneo, G é constante, logo
•A convenção de sinal é determinada pela regra da mão direita.
GJp
LMt
.
.
=φ
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O eixo sólido é fixado ao suporte em C e submetidos à cargas de torção mostrado. 
Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e esboce a tensão de 
cisalhamento em elementos de volume localizados nesses 
pontos.
Exemplo 1
20
Exemplo 2
Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual 
está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo 
com precisão de mm.
O torque no eixo é
Nm 6,204
60
2175
750.3
.
=⇒




 ×=
=
TT
MtP
π
ω
admτ
Mt
c
J
=
( )( )
( )
mm 92,10
100
000.16,20422
2
3/13/1
adm
adm
4
=





=





=
==
ππτ
τ
π
T
c
Mt
c
c
c
J
21
Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. 
Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é
aplicado o torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar 
dentro dos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem 
diâmetro de 20 mm.
Exemplo 3
( ) ( ) Nm 5,22075,0300
N 30015,0/45
==
==
xD
T
F
GJp
LMt DC
C
.
.
=φ
Visto que as engrenagens na extremidade 
estão engrenadas,
( ) ( )( ) rad 0134,0075,00269,015,0 ⇒=Bφ
Visto que o ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB 
causada pelo torque de 45 Nm,
( )( )
( )( ) ( )[ ] rad 0269,01080001,02
5,15,22
94
+=
+
=
π
φ C
( )( )
( )( ) ( )[ ] rad 0716,01080010,02
245
. 9
4/
+=
+
==
π
φ
GJp
LMt ABAB
BA
A rotação da extremidade A é portanto
 rad 0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA φφφ