Lista de Exercícios: Derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE - DMAI
Campus Prof. Alberto Carvalho
Disciplina: Matema´tica Ba´sica
Professora: Cristiele de Santana Lima Semestre letivo: 2017.2
6a Lista de Exerc´ıcios
1. Encontre os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no intervalo dado.
a) f(x) = 3x2 − 12x + 5 , [0, 3] b) f(x) = x
2 − 4
x2 + 4
, [−4, 4]
c) f(x) = (x2 − 1)3 , [−1, 2] d) f(x) = e−x − e−2x , [0, 1]
2. Verfique que a func¸a˜o satisfaz as condic¸o˜es do teorema indicado, no intervalo dado, e, encontre todos
os nu´meros c que satisfazem a conclusa˜o do teorema.
(a) f(x) = x2 − 4x + 1, [0, 4] (Teorema de Rolle)
(b) f(x) = x
√
x + 6, [−6, 0] (Teorema de Rolle)
(c) f(x) = 3x2 + 2x + 5, [−1, 1] (Teorema de Valor Me´dio)
(d) f(x) = e−2x, [0, 3] (Teorema de Valor Me´dio)
3. Encontre os valores ma´ximos e mı´nimos locais de f usando ambos os Testes da Primeira e Segunda
Derivadas.
a) f(x) = x5 − 5x + 3 b) f(x) = x
x2 + 4
4. (a) Encontre os intervalos nos quais a func¸a˜o e´ crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores ma´ximos e mı´nimos locais de f .
(c) Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexa˜o.
i. f(x) = x3 − 12x + 1
ii. f(x) = 5− 3x2 + x3
iii. f(x) =
x2
x2 + 3
iv. f(x) = xex
5. (a) Encontre as ass´ıntotas vertical e horizontal.
(b) Encontre os intervalos nos quais a func¸a˜o e´ crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores ma´ximos e mı´nimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexa˜o.
(e) Use as informac¸o˜es das partes (a)-(d) para esbocar o gra´fico de f.
1
i. f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x
ii. f(x) = x4 − 6x2
iii. f(x) =
x2
x2 − 1
6. Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um me´todo mais
elementar, use-o.
(a) lim
x→−1
x2 − 1
x + 1
(b) lim
x→0
x + tanx
sinx
(c) lim
x→0
x + sinx
x + cosx
(d) lim
x→0+
√
x lnx
(e) lim
x→pi/4
(1− tanx) secx
(f) lim
x→0
(
1
x
− cscx)
(g) lim
x→∞x
1/x
7. Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume de 32000 cm3. Encontre as dimenso˜es
da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
8. Se 1200 cm2 de material estiverem dispon´ıveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem
tampa, encontre o maior volume poss´ıvel da caixa.
Bons estudos!
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