Diagrama de Bode

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J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
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�
 
 
9 – Diagramas de Bode 
 
 
 
9.1 – Introdução aos diagramas de Bode 3 
9.2 – A Função de Transferência 4 
9.3 – Pólos e zeros da Função de Transferência 8 
 Equação característica 8 
 Pólos da Função de Transferência 8 
 Zeros da Função de Transferência 8 
 Exemplo 9.1 8 
 Exemplo 9.2 9 
 Exemplo 9.3 9 
9.4 – Os factores básicos em ‘s’ para a construção de 
um diagrama de Bode 10 
9.5 – Os factores básicos em “jω” para a construção de 
um diagrama de Bode 12 
9.6 – Desmembramento de funções G(s) em factores básicos 14 
 Exemplo 9.4 14 
 Exemplo 9.5 15 
9.7 – Diagramas de Bode dos factores básicos 16 
 O ganho de Bode (KB) 17 
 Factor integral (jω)-1 19 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
2�
�
 
 
 
 Outros factores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n 21 
 Factores derivativos jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n 23 
 Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1 24 
 Factores pólos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n 28 
 Factores zeros simples e múltiplos (1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ..., 
 ..., (1 + jωT)n 32 
 Factores pólos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-1, -2, …, -n 34 
 Factores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]1, 2, …, n 39 
9.8 – Factores básicos com sinais negativos 39 
 Exemplo 9.6 39 
 Exemplo 9.7 41 
 Exemplo 9.8 42 
 Exemplo 9.9 43 
 Exemplo 9.10 44 
 Exemplo 9.11 45 
 Exemplo 9.12 46 
 Exemplo 9.13 47 
9.9 – Exemplos adicionais de construção diagramas de Bode (módulo e fase) 48 
 Exemplo 9.14 48 
 Exemplo 9.15 49 
 Exemplo 9.16 49 
 Exemplo 9.17 50 
 Exemplo 9.18 51 
 Exemplo 9.19 50 
 Exemplo 9.20 51 
 Exemplo 9.21 53 
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
3�
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Diagramas de Bode 
 
 
9.1 – Introdução aos diagramas de Bode 
 
Neste capítulo estudaremos os diagramas de Bode (“Bode plots”) que levam este 
nome devido à Hendrik Wade Bode (1905-1982), um engenheiro americano que 
actuava principalmente nas áreas de electrónica, telecomunicações e sistemas. 
 
 
Fig. 9.1 – Hendrik Wade Bode (1905-1982), americano. 
 
Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar 
sinais no domínio da frequência. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
4�
�
9.2 – A Função de Transferência 
 
Os sinais são representados no domínio da frequência por funções de s: 
 
X(s), Y(s), etc. 
 
como já vimos no capítulo 6 (Transformadas de Laplace, L � x(t) � � X(s) e 
L � y(t) � � Y(s) ) ou por funções de jω 
 
X(jω), Y(jω), etc. 
 
como já vimos no capítulo 8 (Transformadas de Fourier, F � x(t) � � X(jω) e 
F � y(t) � � Y(jω) ). 
 
Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier são 
representações que estão muito relacionadas uma com a outra. Em muitos casos, se 
substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se ‘s’ ser um número complexo com parte 
real nula e parte imaginária ‘ω’, 
 
s = 0 + jω = jω 
 
obtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de Laplace, 
 
X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc. 
 
Se x(t) é a entrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas apli�
cações podem ser mais interessante representar no diagrama de blocos estes sinais 
 
X(s), X(jω), Y(s) e Y(jω) 
 
no domínio da frequência, em vez de no domínio do tempo conforme é ilustrado na 
figura 9.2. 
 
 � 
Fig. 9.2 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada e saída representados no 
domínio da frequência. 
 
onde G(s) e G(jω) são a reposta impulsional do sistema conforme visto nas secções 
5.10 (no capítulo 5, Transformada de Laplace) e 8.5 (no capítulo 8, Transformada de 
Fourier) respectivamente. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
5�
�
Note que lá a reposta impulsional do sistema era, de forma geral, H(s) e H(jω) 
enquanto que aqui, de forma geral, será utilizado a notação G(s) e G(jω). 
 
No capítulo 4, sobre Sistemas e no capítulo 8 sobre Transformadas de Fourier nós vi�
mos alguns resultados clássicos sobre SLIT (sistemas lineares e invariantes no tem�
po). Por exemplo, no caso particular da entrada x(t) = impulso unitário, 
 
x(t) = uo(t) 
 
então a saída y(t) = g(t) = a “resposta impulsional do sistema”. 
 
Sabendo-se a resposta impulsional g(t) de um sistema linear e invariante no tempo 
(SLIT) podemos saber a saída y(t) para qualquer entrada x(t) 
 
.d)(g)t(x)t(g)t(x
d)(x)t(g)t(x)t(g)t(y
τ⋅τ⋅τ−=∗=
τ⋅τ⋅τ−=∗=
∫
∫
∞+
∞−
+∞
∞−
��
 
Ou seja, a saída y(t) é a convolução entre a resposta impulsional g(t) e a entrada x(t). 
Isso que implica que 
 
).j(G)j(X
)j(X)j(G)j(Y
ω⋅ω=
ω⋅ω=ω
 
 
onde 
 
 X(jω) = F���x(t)�� X(jω) = Transformada de Fourier de x(t), 
 Y(jω) = F ��y(t)�� Y(jω) = Transformada de Fourier de y(t), e 
 G(jω) = F ��h(t)�� G(jω) = Transformada de Fourier de g(t) 
 
e que está ilustrado na figura 9.3 abaixo. 
 
 
 
Fig. 9.3 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada x(t) e de saída y(t) e resposta 
impulsional h(t), todos representados no domínio da frequência, em ‘jω’: 
X(jω), Y(jω) e G(jω). 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
6�
�
Este resultado se deve ao facto que: 
 
a transformada da convolução é o produto das transformadas. 
 
a propriedade da Convolução para as Transformadas de Fourier, que foi vista na 
secção 8.4 (no capítulo 8, Propriedades da Transformada de Fourier). 
 
Por esta razão pode-se expressar G(jω) como a razão entre o sinal de saída tomado no 
domínio da frequência [ Y(jω) ] e o sinal de entrada, também tomado no domínio da 
frequência [ X(jω) ], quando as condições iniciais do sistema são nulas 
 
 )j(X
)j(Y)j(G
ω
ω
=ω
 eq. (9.1) 
 
que é chamada de ‘função de transferência’ do sistema. 
 
 
Mas esta afirmação acima valida para as “Transformadas de Fourier”, também vale 
para as “Transformadas de Laplace”, conforme visto no capítulo 5. Logo: 
 
).s(G)s(X
)s(X)s(G)s(Y
⋅=
⋅=
 
 
onde 
 
 X(s) = L ���x(t)�� X(s) = Transformada de Laplace de x(t), 
 Y(s) = L ���y(t)�� Y(s) = Transformada de Laplace de y(t), e 
 G(s) = L ���h(t)�� G(s) = Transformada de Laplace de h(t) 
 
e que está ilustrado na figura 9.4 abaixo. 
 
 
 
 
Fig. 9.4 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada x(t) e de saída y(t) e resposta 
impulsional h(t), todos representados no domínio da frequência, em ‘s’: 
X(s), Y(s) e G(s). 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
7�
�
Mais uma vez este resultado se deve ao facto que: 
 
a transformada da convolução é o produto das transformadas, 
 
a propriedade da Convolução, mas agora para Transformada de Laplace, vista na 
secção 5.4 (no capítulo 5, Propriedades da Transformada de Laplace). 
 
Por esta razão pode-se expressar G(s) como a razão entre o sinal de saída tomado no 
domínio da frequência [ Y(s) ] e o sinal de entrada também tomado no domínio da 
frequência [ X(s) ], quando as condições iniciais do sistema são nulas 
 
 )s(X
)s(Y)s(G =
 eq. (9.2) 
 
que também é chamada de ‘função de transferência’ do sistema. 
 
Portanto a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) 
representada no domínio da frequência: 
 
 G(s) ou G(jω), 
 
conforme definidas nas equações eq. (9.1) e eq. (9.2), muito comummente são 
fracções racionais, ou seja, fracções cujo numerador e o denominador são 
polinómios, seja em ‘s’: 
 
 )s(p
)s(q)s(G =
 eq. (9.3) 
 
ou em ‘jω’ 
 
 )j(p
)j(q)j(Gω
ω
=ω
 
 eq. (9.4) 
 
 
onde q(s) e p(s) são polinómios em ‘s’ do tipo 
 
 an s
n
 + an-1 s
n-1
 + ... + a1 s + ao 
 
e p(jω) e q(jω) são polinómios em ‘s = jω’ do tipo 
 
 an (jω)n + an-1 (jω)n-1 + ... + a1 (jω) + ao 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
8�
�
9.3 – Pólos e zeros da Função de Transferência 
 
 
Considere agora a função de transferência G(s) de um sistema, conforme foi definida 
na eq. (9.2), depois de reduzida para forma de fração racional da eq. (9.3) 
 
)s(p
)s(q)s(G =
 
 
e suponha que todos as eventuais raízes comuns de q(s) e p(s) tenham sido canceladas 
e portanto esta expressão acima está na forma irreductível. 
 
 Equação Característica: 
O polinómio p(s) é chamado de polinómio característico de G(s), ou o polinómio ca�
racterístico do sistema. A equação 
 
p(s) = 0 
 
é chamada de a “equação característica” do sistema. 
 
 Pólos da função de transferência: 
As raízes do polinómio característico são chamadas de pólos de G(s) ou pólos do sis�
tema. Ou seja, os pólos são as soluções da equação característica. 
 
 Zeros da função de transferência: 
As raízes do numerados de G(s) (q(s)) são chamadas de zeros de G(s) ou zeros do sis�
tema. Ou seja, os zeros são as soluções da equação q(s) = 0. 
 
De maneira semelhante se define os pólos e zeros de uma resposta impulsional G(s). 
 
 
 
Exemplo 9.1: Considere a função de transferência G(s) dada por 
 
2)+2s+(s2)+(ss
)30s(2)s(G 2
+⋅
=
 
 
É fácil de se verificar que G(s) tem um zero em 
 
s = –30 
 
e quatro pólos, respectivamente em: 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
9�
�
 
s = 0, s = –2, e s = –1 ± j 
 
sendo que: 2 são reais e 2 são complexos. 
 
Como s = 0 é um pólo de G(s), costuma-se dizer que este sistema tem um “pólo na 
origem”. 
 
A equação característica deste sistema é: 
 
s4s6s4s2)+s2+(s2)+(ss)s(p 2342 +++==
 
 � 
 
 
 
Exemplo 9.2: Considere agora a função de transferência G1(s) dada por 
 
)10+s10+(s10)+(s
s10)s(G 422
5
1 =
�
 
 
Nitidamente G1(s) tem um “zero na origem”, ou seja, em 
 
s = 0 
 
e três pólos, respectivamente em 
10s −=
 
e
 
350j50s ⋅±−=
 
 
A equação característica deste sistema é: 
 
5323422
1 10s1011s110s)10+s10+(s10)+(s)s(p +×++== 
 � 
 
 
Exemplo 9.3: Considere agora a função G(s) dada por 
 
,
c)-(s)b+(sa)+(s
s10)s(G 22
2
=
�
 
 
G(s) tem um “zero duplo na origem” (i.e., em s = 0) e quatro pólos, respectivamente 
em 
s = –a (duplo), s = –b2 e s = c. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
10�
�
9.4 – Os factores básicos em ‘s’ para a construção de um diagrama de 
Bode 
 
 
Vamos apresentar aqui os factores básicos para a construção de um diagrama de Bode 
de G(s). 
 
Estes factores básicos são funções racionais em ‘s’. Qualquer G(s) da forma da 
eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a construção 
de um esboço do diagrama de Bode se torna mais simples. 
 
Na próxima secção apresentaremos de forma semelhante os factores básicos em ‘jω’ 
para a construção de um diagrama de Bode. 
 
 
 
FACTORES BÁSICOS EM ‘S’: 
 
 O ganho de Bode (KB) 
 
G(s) = KB 
 
 Factores integrativos [pólos na origem]: (1/s)n , n = 1, 2, ... 
 
s
1)s(G =
 , 2s
1)s(G =
 , 3s
1)s(G =
 , L 
 
 Factores derivativos [zeros na origem]: sn , n = 1, 2, ... 
 
G(s) = s , G(s) = s2 , G(s) = s3, L
 
 
 
 Factores de 1ª ordem do tipo “pólos reais”: 1/(Ts + 1)n , n = 1, 2, ... 
 
( )1Ts
1)s(G
+
=
 , ( )21Ts
1)s(G
+
=
, ( )31Ts
1)s(G
+
=
 , L
 
 
 
 Factores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (Ts+ 1)n , n = 1, 2, ... 
 
( )1Ts)s(G +=
 , ( )21Ts)s(G += , ( )31Ts)s(G += , L
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
11�
�
 Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “pólos complexos”: 
1/[1+2ζ(s/ωn)+( s/ωn)2]n , n = 1, 2, ... 
 
 






ω
+





ω
ζ
+
=
2
n
2
n
s
s
21
1)s(G
 , 
 
 
 
2
2
n
2
n
s
s
21
1)s(G






ω
+





ω
ζ
+
=
 , 
 
 
 
3
2
221
1)(






+





+
=
nn
s
s
sG
ωω
ζ , L 
 
 
 
 Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”: 
[1+2ζ(s/ωn)+( s/ωn)2]n , n = 1, 2, ... 
 
 
2
n
2
n
s
s
21)s(G
ω
+





ω
ζ
+=
 , 
 
 
 
2
2
n
2
n
s
s
21)s(G








ω
+





ω
ζ
+=
 , 
 
 
 
3
2
n
2
n
s
s
21)s(G








ω
+





ω
ζ
+=
 , L
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
12�
�
9.5 – Os factores básicos em ‘jωωωω’ para a construção de um diagrama 
de Bode 
 
 
Vamos apresentar aqui os factores básicos para a construção de um diagrama de Bode 
de G(jω). 
 
Estes factores básicos são na verdade derivados dos já vistos acima para G(s). Eles 
são as mesmas funções racionais em ‘s’ da secção anterior, depois de substituir-se s 
por jω. 
s = 0 + jω = jω 
 
Qualquer G(jω) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores 
básicos e com isso a construção de um esboço do diagrama de Bode se torna mais 
simples. 
 
 
 
FACTORES BÁSICOS EM ‘S’: 
 
 O ganho de Bode (KB) 
 
G(jω) = KB 
 
 Factores integrativos [pólos na origem]: (1/jω)n , n = 1, 2, ... 
 
ω
=ω j
1)j(G
 , ( )2j
1)j(G
ω
=ω
 , ( )3j
1)j(G
ω
=ω
 , L
 
 
 
 Factores derivativos [zeros na origem]: (jω)n , n = 1, 2, ... 
 
G(jω) = jω , G(jω) = (jω)2 , G(jω) = (jω)3, L
 
 
 
 Factores de 1ª ordem do tipo “pólos reais”: 1/(1+ jωT)n , n = 1, 2, ... 
 
( )1Tj
1)j(G
+ω
=ω
 , ( )21Tj
1)j(G
+ω
=ω
 , ( )31Tj
1)j(G
+ω
=ω
 , L 
 
 Factores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (1+ jωT)n , n = 1, 2, ... 
 
( )1Tj)j(G +ω=ω
 , ( )21Tj)j(G +ω=ω , ( )31Tj)j(G +ω=ω , L
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
13�
�
 Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “pólos complexos”: 
1/[1+2ζ(jω/ωn)+( jω/ωn)2]n , n = 1, 2, ... 
 
 














ω
ω
+





ω
ωζ+
=ω
2
nn
jj21
1)j(G
 , 
 
 
 
22
nn
jj21
1)j(G














ω
ω
+





ω
ωζ+
=ω
 , 
 
 
 
32
nn
jj21
1)j(G














ω
ω
+





ω
ωζ+
=ω
 , L
 
 
 
 
 Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”: 
[1+2ζ (jω/ωn)+( jω/ωn)2]n , n = 1, 2, ... 
 
 
2
nn
jj21)j(G 





ω
ω
+





ω
ωζ+=ω
 , 
 
 
 
22
nn
jj21)j(G














ω
ω
+





ω
ωζ+=ω
 , 
 
 
 
32
nn
jj21)j(G














ω
ω
+





ω
ωζ+=ω
 , L
 
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
14�
�
9.6 – Desmembramento de funções G(s) em factores básicos 
 
 
Qualquer função transferência G(s) pode facilmente ser reescrita somente com osfactores básicos definidos acima nas duas secções anteriores. 
 
Vamos ilustrar isso com um exemplo: 
 
 
Exemplo 9.4: Considere agora a função G(s) vista no exemplo 9.1 que é dada por 
 
)2s2s()2s(s
)30s(2)s(G 2 +++
+
=
 
 
Agora, substituindo-se (s + 30) no numerador por 
 






+⋅=+ 1
30
s03)30s(
 
 
obtemos a expressão abaixo que já tem um fator básico no numerador: 
 
)2s2s()2s(s
1
30
s302
)s(G 2 +++






+⋅
=
 
 
Semelhantemente, para o denominador, uma vez que um dos 3 factores já é um factor 
básico (integrativo, pólo na origem), substituindo-se os outros dois: 
 






+⋅=+ 1
2
s2)2s(
 
e 






++⋅=++ 1s
2
s2)2s2s(
2
2
 
 
obtemos a expressão abaixo que já tem três fatores básico no denominador: 
 






++⋅





+⋅⋅⋅






+⋅
=
1s
2
s1
2
s
s22
1
30
s302
)s(G
2
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
15�
�
Finalmente, juntando as constantes (do numerador e do denominador), obtém-se: 
 
15
22
302
KB =
×
⋅×
= 
 
e podemos escrever a expressão abaixo: 
 






++⋅





+⋅






+⋅
=
1s
2
s1
2
s
s
1
30
s15
)s(G
2
 
 
 
que está inteiramente escrita em termos de factores básicos na forma: 
 
( )
( ) 





+
ω
ζ
+
ω
⋅+⋅
+⋅
=
1s2s1Tss
1s'TK)s(G
n
2
n
2
B
 
 
onde: 
 
KB = 15 T = 1/2 T’ = 1/30 
 
2n =ω 707,02
2
2
1
===ζ
 
 � 
 
 
Exemplo 9.5: 
 
Para escrever a função de transferência G(s) do exemplo anterior na forma de factores 
básicos em jω e então obtermos G(jω) basta substituir no resultado obtido para G(s), 
 
s = 0 + jω, 
 
ou seja, 
s = jω 
 
pois esta é a única diferença entre as duas formas G(s) e G(jω). 
 
Fazendo isso, obtém-se: 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
16�
�
( )






ω+




 ω
−⋅




 ω
⋅+⋅ω





 ω
⋅+⋅
=
=








+ω+
ω
⋅





+
ω
⋅ω






+
ω
⋅
=ω
j
2
1
2
j1j
30
j115
1j
2
j1
2
jj
1
30
j15
)j(G
2
2
 
 � 
 
 
 
9.7 – Diagramas de Bode dos factores básicos 
 
 
Os diagramas de Bode são construídos para funções de transferência G(jω) e são 
dois: 
 
diagramas de Bode de módulo 
e 
diagramas de Bode de fase. 
 
Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de 
 
| G(jω) | em dB (| G(jω) |dB) 
× 
ω (com escala logarítmica) 
 
enquanto que os diagramas de Bode de fase são gráficos de 
 
∠ G(jω) em graus 
× 
ω (com escala logarítmica) 
 
 
Sabendo-se os diagramas de Bode dos factores básicos é possível utiliza-los na cons-
trução dos diagramas de Bode de qualquer outra função de transferência G(jω) que 
desmembrarmos em termos dos factores básicos. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
17�
�
Uma vez familiarizados com os gráficos dos diagramas de Bode dos factores básicos 
que apresentamos aqui nesta secção, a construção dos diagramas de Bode das demais 
funções de transferência fica facilitada, como veremos nos exemplos da próxima sec-
ção. 
 
Portanto, agora vamos mostrar os diagramas de Bode (módulo e fase) para cada um 
dos factores básicos vistos na secção anterior. 
 
 
 
 O ganho de Bode (KB) 
 
Como G(jω) = KB é uma constante (não varia com ω), temos que |KB| em dB é dado 
por: 
 
B10dBB Klog20K ⋅= 
 
enquanto que ∠ KB é 0 ou – 180º, ∀ω, isto é: 
 
∠ KB = 0º se KB é uma constante positiva, 
 
ou 
 
∠ KB = – 180º se KB é uma constante negativa. 
 
Logo, como já dito acima na definição de diagramas de Bode da fase, o normal é 
representar a fase de KB (i.e., o ângulo ∠ KB) em graus (em vez de radianos). 
 
 




<−
>
=∠=ω
0Kse,º180
0Kse,º0
K)j(G
B
B
B
 
 
 
É claro que o ângulo de fase para KB negativo, – 180º é o mesmo que +180º que é na 
verdade é pi. No entanto, para efeito de diagrama de Bode tem-se a tendência de 
adoptar ∠ KB = – 180º nestas situações. 
 
Isso se deve ao facto de que, como G(jω) tem um número de pólos superior (ou no 
máximo igual) ao número de zeros, então o ∠ G(jω) irá sempre tender para a parte 
negativa (para a parte de baixo, abaixo de 0º). 
 
O diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = ∠ KB está esboçado na figura 9.5. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
18�
�
0dB
0º
-90º
0.1 1 10
0.1 101
90º
1K B >
1KB =
10 << BK
-180º
0K B >
0K B <
m
ó
d
u
lo
 [
d
B
]
ω 
[rad/s]
ω 
[rad/s]
fa
s
e
 [
g
ra
u
s
 º
]
 
Fig. 9.5 – Diagrama de Bode (módulo e fase). O ganho de Bode G(jω) = KB. 
 
 
 
Note que no diagrama de Bode de módulo acima foi levado em consideração que: 
 
Se KB>1, então 
0)j(G dB >ω 
 
Se KB=1, então 
0)j(G
dB
=ω
 
 
Se 0<KB<1, então 
0)j(G dB <ω 
 
 
O efeito que uma variação do ganho KB em um diagramas de Bode com vários facto-
res básicos é que ele faz deslocar a curva de módulo para cima (se KB > 0) ou para 
baixo (se KB < 0) e não afecta a curva do ângulo de fase. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
19�
�
Isto é, aumentando-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de módulo 
“subir” enquanto que diminuindo-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode 
de módulo “descer”. 
 
Por outro lado o diagrama de Bode de fase fica inalterado às variações de KB se 
KB > 0 , ou fica deslocado para baixo de 180º, no caso de KB < 0. 
 
�
 
 Factor Integral (jω)-1 
 
Para G(jω) = (jω)-1, temos que | G(jω)| em dB é dado por: 
 
[ ]dBlog20
j
1log20)j(G
10
10dB
ω⋅−=
ω
⋅=ω
 
 
que é na verdade a equação de uma recta com declive – 20 dB/década pois ω está 
representado na escala logarítmica. 
 
Para se ver isto, primeiramente note que 
 
 |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.5) 
 
um detalhe que facilita para fazermos o seu esboço. 
 
Na verdade temos que, olhando-se para algumas décadas consecutivas, temos que, no 
diagrama de Bode de módulo de G(jω) (|G(jω)|dB): 
 
 
M
 ⇒ M 
 para ω = 0,01 ⇒ G(jω) = 40 dB 
 para ω = 0,1 ⇒ G(jω) = 20 dB 
 para ω = 1 ⇒ G(jω) = 0 dB 
 para ω = 10 ⇒ G(jω) = – 20 dB 
 para ω = 102 ⇒ G(jω) = – 40 dB 
 
M
 ⇒ M 
 
o que permite se ver claramente que trata-se de uma recta com declive – 20 
dB/década (como pode ser visto na figura 9.6). 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
20�
�
0dB
0º
20dB
-90º
0.1 1 10
0.1 101
declive: -20dB/década
(ou -6dB/oitava)
-20dB
m
ó
d
u
lo
 [
d
B
]
ω 
[rad/s]
ω 
[rad/s]
fa
s
e
 [
g
ra
u
s
 º
]
 
Fig. 9.6 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factor integral G(jω) = 1/ jω. 
 
 
 
Também é costume se olhar para algumas oitavas consecutivas (em vez de décadas) 
do diagrama de Bode de módulo de G(jω) (| G(jω)|dB). Isto é: uma oitava corresponde 
à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda / 
aumentando-se / ou diminuindo-se). 
 
 
M
 ⇒ M 
 para ω = 0,5 ⇒ G(jω) = 6 dB 
 para ω = 1 ⇒ G(jω) = 0 dB 
 para ω = 2 ⇒ G(jω) = – 6 dB 
 para ω = 4 ⇒ G(jω) = – 12 dB 
 
M
 ⇒ M 
 
que é uma forma alternativa de olhar para esta recta pois o declive de – 20 dB/década 
é equivalentea – 6 dB/oitava. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
21�
�
Uma oitava corresponde à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita 
ou para esquerda; aumentando-se / ou diminuindo-se). 
 
Assim como o termo “harmónico”, que aparecia nas séries de Fourier (capítulo 5), 
vem da música, também este termo “oitava” vem da música. Corresponde à oitava 
nota, ou seja, a mesma nota mas no harmónico seguinte / ou no anterior, pois as notas 
são apenas sete e depois se repetem, com o dobro / ou com a metade da frequència. É 
como o oitavo dia, que é o mesmo dia da semana, mas na semana seguinte / ou na 
anterior. 
 
Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que: 
 
 ∠ G(jω) = ∠ (1/ jω) = 
 = – ∠ jω = 
 = – 90º , ∀ω. 
 
 
Observe que, como ω está representado numa escala logarítmica, então ω é sempre 
positivo (ω > 0) e portanto ∠ jω = 90º, e logo – ∠ jω = – 90º. 
 
Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a – 90º: 
 
Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = 1/ jω está esboçado na figura 9.6. 
 
O efeito do factor básico G(jω) = 1/jω em um diagrama de Bode de fase com vários 
factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º. 
 
 
 
 Outros factores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n 
 
 
Para G(jω) = (jω)-n, temos uma situação bastante semelhante aos factores (jω)-1 que 
vimos acima. O módulo |G(jω)| em dB é dado por: 
 
( )
[ ]dBlogn20
j
1logn20
j
1log20)j(G
10
10
n10dB
ω⋅⋅−=
ω
⋅⋅=
ω
⋅=ω
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
22�
�
que é na verdade a equação de uma recta com declive – 20n dB/década pois ω está 
representado na escala logarítmica (como pode ser visto na figura 9.7). 
 
Equivalentemente esta recta tem o declive de – 6n dB/oitava. 
 
Note também que, assim como antes [na eq. (9.5)], 
 
 |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.6) 
 
um detalhe que facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode. 
 
 
 
Fig. 9.7 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores integrativos G(jω) = (1/ jω)n. 
 
 
Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que: 
 
 ∠ G(jω) = ∠ (1/ jω)n = 
 = – n (∠ jω) = 
 = – 90º × n, ∀ω. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
23�
�
Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a 
 
– 90º × n: 
 
Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = (1/ jω)n está esboçado na 
figura 9.7. 
 
O efeito do factor básico G(jω) = (1/ jω)n em um diagrama de Bode de fase com 
vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º × n. 
 
 
 
 Factores derivativos jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n 
 
 
Para G(jω) = (jω)n, temos uma situação um pouco semelhante aos factores (jω)-n que 
vimos acima. O módulo |G(jω)| em dB é dado por: 
 
( )
[ ]dBlogn20
jlogn20
jlog20)j(G
10
10
n
10dB
ω⋅⋅=
ω⋅⋅=
ω⋅=ω
 
 
que é a equação de uma recta com declive +20n dB/década pois ω está representado 
na escala logarítmica (como pode ser visto na figura 9.8). 
 
Equivalentemente esta recta tem o declive de +6n dB/oitava. 
 
Note também que aqui novamente, assim como antes [na eq. (9.5) e (9.6)], 
 
 |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.7) 
 
que nos facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. 
 
 
Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que: 
 
 ∠ G(jω) = ∠ (1/ jω)n = 
 = – n (∠ jω) = 
 = – 90º × n, ∀ω. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
24�
�
Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a +90º × n: 
 
Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = (jω)n está esboçado na figura 9.8. 
 
O efeito do factor básico G(jω) = (jω)n em um diagrama de Bode de fase com vários 
factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para cima de 90º × n. 
 
 
 
Fig. 9.8 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores derivativos G(jω) = (jω)n. 
 
 
 Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1 
 
 
Para G(jω) = 1/ (1 + jωT), temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por: 
 
( )
( )210
10dB
T1log20
Tj1
1log20)j(G
⋅ω+⋅⋅−=
ω+
⋅=ω
 
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
25�
�
que vamos dividir em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências 
baixas e altas. 
 
No intervalo, ω << 1/T (frequências baixas), observamos que: 
 
( ) ( ) ( ) dB01log20T1log20)j(G1T11T 10210dB2 =⋅⋅−≅⋅ω+⋅⋅−=ω⇒≅⋅ω+⇒<<⋅ω
 
 
 
enquanto que no intervalo, ω >> 1/T (frequências altas), observamos que: 
 
( ) ( ) ( ) ( )Tlog20T1log20)j(GTT11>>T 10210dB22 ⋅ω⋅−≅⋅ω+⋅⋅−=ω⇒⋅ω≅⋅ω+⇒⋅ω 
 
e portanto: 
 
( )



>>ω⋅ω⋅−
<<ω
=ω
T
1
,Tlog20
T
1
,0
)j(G
10
dB
 
 
 
Logo, temos 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)|dB, ambas rectas, às 
quais chamamos de 
“rectas assímptotas” 
 
para frequências altas e baixas, que podem ser vistas na figura 9.9. 
 
A expressão de G(jω)|dB para ω >> 1/T (frequências altas) é de facto uma recta com 
declive de – 20 dB/década, (ou – 6 dB/oitava), pois ω está representado na escala 
logarítmica. 
 
Note que: 
 
 a recta assímptota para frequências altas 
 intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.8) 
 
em vez de em ω = 1, como era o caso das rectas das eq. (9.5), eq. (9.6) e eq. (9.7). 
 
Este é um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de 
módulo. 
 
Na verdade, este ponto: 
0 dB para ω = 1/T 
 
é onde as duas rectas assímptotas se interceptam (como pode ser visto na figura 9.9). 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
26�
�
Por esta razão a frequência 
T
1
c =ω é chamada de frequência de “canto” (“corner” 
frequency), às vezes também chamada de frequência de “corte” (em processamento 
de sinais quando envolvem filtros). 
 
 
T
1
T
10
T10
1
�
Fig. 9.9 – Diagrama de Bode de módulo. Factor pólo primeira ordem 
G(jω) = 1/ (1 + jωT). 
 
 
A curva real de G(jω)|dB só coincide com as assímptotas quando ω << ωc ou quando 
ω >> ωc, que na prática corresponde a 
 
( )T10
1
⋅
<ω
 (para frequências baixas) e 
T
10
<ω
 (para frequências altas) 
 
Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto 
ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da 
frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas). 
 
Na verdade mostra-se facilmente que tanto para ω = 1/10T (uma década abaixo de 
ωc), como também para ω = 10T (uma década acima de ωc), a curva de módulo 
G(jω)|dB apresenta erro desprezível, praticamente nulo: 
 
 G(jω)|dB = – 0,04 db ≅ 0 dB para ω = 1/(10T) ou para ω = 10T. 
 
Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da 
curva real de G(jω)|dB. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
27�
�
O erro máximo é de 3 dB e ocorre exactamente na frequência de canto ωc = 1/T, o 
ponto onde as duas assímptotas se encontram, pois para este valor de ω, 
 
( ) T
1para,
2
1log20j1
1log20)j(G c1010dB =ω=ω−=⋅⋅−=+⋅=ω
dBdBdBdB3333
 
 
(como pode ser visto na figura 9.9). 
 
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: 
 
 ∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT) = 
 = – ∠ (1 + jωT) 
 = – arctg (ωT) eq. (9.9) 
 
Aqui também pode-se pensar nos intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para 
frequências baixas e altas. 
 
Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que: 
 
( ) º01)j(G1T11T ≅∠=ω∠⇒≅⋅ω+⇒<<⋅ω
 
 
 
enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que: 
 
( ) ( ) ( ) º90Tj)j(GTjTj11>>T−≅ω⋅∠−=ω∠⇒ω⋅≅ω⋅+⇒⋅ω
 
 
resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.9) com 
ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois 
 
 arctg (0) = 0º e – arctg(∞) = – 90º. 
 
e portanto: 
 









>>ω−
<ω<ω−
<<ω
=ω∠
T
1
,º90
T100
100
T
,)T(arctg
T
1
,0
)j(G
 
 
Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º, logo, na frequên-
cia de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos: 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
28�
�
 a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º em ω = 1/T, eq. (9.10) 
 
isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º; um detalhe a ter em atenção ao fazer-
mos o esboço do diagrama de Bode de fase. 
 
Ou seja diagrama de Bode de fase ∠ G(jω) tende assimptoticamente para 0º (à 
esquerda) e para – 90º (à direita). 
 
Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a – 90º enquanto a frequência ω 
varia 
 c
c 10até
10
de ω⋅ω
. 
 
isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-
quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota 
para frequências altas). 
 
O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-1 está esboçado na figura 9.10. 
 
 
T
1
T
10
T10
1
fa
s
e
 [
g
ra
u
s
 º
]
�
Fig. 9.10 – Diagrama de Bode de fase. Factor pólo primeira ordem 
G(jω) = 1/ (1 + jωT). 
 
 
 
 Factores pólos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n 
 
 
Para G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por: 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
29�
�
( )
( ) [ ]dBT1logn20
Tj1
1log20)j(G
2
10
n10dB
⋅ω+⋅⋅⋅−=
ω+
⋅=ω
 
 
e dividindo em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas 
e altas, observamos que: 
 
( )



>>ω⋅ω⋅⋅−
<<ω
=ω
T
1
,Tlogn20
T
1
,0
)j(G
10
dB
 
 
 
que pode ser vista na figura 9.11. 
 
Portanto, temos novamente 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)n| dB, 
por duas “rectas assímptotas” em frequências baixas e altas (esta última com declive 
de – 20 dB/década ou – 6 dB/oitava). 
 
Note que, aqui também tem-se a frequência de “canto” ou de “corte” (“corner” fre-
quency), ωc = 1/T, e assim como na secção anterior, eq. (9.8), aqui também: 
 
 a recta assímptota para frequências altas 
 intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.11) 
 
um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. 
 
T
1
T
10
T10
1
 
Fig. 9.11 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos múltiplos 
G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, … 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
30�
�
Novamente, a curva real de G(jω)|dB só coincide com as assímptotas quando ω << ωc 
ou quando ω >> ωc, que na prática corresponde a 
 
( )T10
1
⋅
<ω
 (para frequências baixas) e 
T
10
<ω
 (para frequências altas) 
 
Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto 
ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da 
frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas). 
 
Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da 
curva real de G(jω)|dB. 
 
O erro máximo agora é de 3×n dB e ocorre exactamente na frequência de canto 
ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encontram, pois para este valor de ω, 
 
( ) T
1para,
2
1logn20j1
1log20)j(G c10n10dB =ω=ω⋅−=⋅⋅⋅−=+⋅=ω dBn3 
 
(como pode ser visto na figura 9.11). 
 
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: 
 
 ∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT)n = 
 = – ∠ (1 + jωT)n 
 = – n × arctg (ωT) eq. (9.12) 
 
Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que: 
 
º0)j(G ≅ω∠
 
 
 
enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que: 
 
nº90)j(G ×−≅ω∠ 
 
resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.12) com 
ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois 
 
 arctg (0) = 0º e – arctg (∞) × n = – 90º × n, 
 
e portanto: 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
31�
�









>>ω×−
<ω<ω×−
<<ω
=ω∠
T
1
,nº90
T100
100
T
,)T(arctgn
T
1
,0
)j(G
 
 
Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º × n, logo, na fre-
quência de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos: 
 
 a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º × n em ω = ωc = 1/T, eq. (9.13) 
 
isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º × n; um detalhe a ter em atenção ao 
fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. 
 
Ou seja, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω) tende assimptoticamente para 0º (à 
esquerda) e para –90º × n (à direita). 
 
Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a –90º × n enquanto a frequência 
ω varia 
 c
c 10até
10
de ω⋅ω
. 
 
isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-
quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota 
para frequências altas). 
 
O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-n está esboçado na figura 9.12. 
 
T
1
T
10
T10
1
 
Fig. 9.12 – Diagrama de Bode de fase. Factores pólos múltiplos 
G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, … 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
32�
�
 Factores zeros simples e múltiplos (1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ..., (1 + jωT)n 
 
 
Para G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1,2, …, n a situação é análoga aos casos de pólos sim-
ples e múltiplos nas duas secções anteriores. Temos que o módulo |G(jω)| em dB é 
dado por: 
( )
( )210
10dB
T1logn20
Tj1log20)j(G n
⋅ω+⋅⋅⋅=
ω+⋅=ω
 
 
 
e dividindo em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas 
e altas, observamos que: 
 
( )



>>ω⋅ω⋅⋅+
<<ω
=ω
T
1
,Tlogn20
T
1
,0
)j(G
10
dB
 
 
 
que pode ser vista na figura 9.13. 
 
 
T
1
T
10
T10
1
 
Fig. 9.13 – Diagrama de Bode de módulo. Factores zeros simples e múltiplos 
G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, … 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
33�
�
Note que, aqui também tem-se a frequência de “canto” ou de “corte” (“corner” fre-
quency), ωc = 1/T, e assim como nas secções anteriores, eq. (9.8) e eq. (9.11), aqui 
também: 
 
 a recta assímptota para frequências altas 
 intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.14) 
 
um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. 
 
 
Novamente, para a curva real de G(jω)|dB, as assímptotas são válidas para uma 
década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequên-
cias baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da 
assímptota para frequências altas). 
 
Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da 
curva real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 3×n dB que ocorre exacta-
mente na frequência de canto ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encon-
tram. 
 
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: 
 
 ∠ G(jω) = ∠ (1 + jωT)n = 
 = n × arctg (ωT) 
 
e portanto: 









>>ω×
<ω<ω×
<<ω
=ω∠
T
1
,nº90
T100
100
T
,)T(arctgn
T
1
,0
)j(G
 
 
 
Note que para ωc = 1/T, a frequência de “canto” ou de “corte”, temos que: 
 
 a curva do ∠ G(jω) passa por 45º × n em ω = ωc = 1/T, eq. (9.15) 
 
isto é, na metade do intervalo entre 0º e 90º × n; um detalhe a ter em atenção ao 
fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase.Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 90º × n enquanto a frequência ω 
varia 
 c
c 10até
10
de ω⋅ω
. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
34�
�
isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-
quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota 
para frequências altas). 
 
O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-n está esboçado na figura 9.14. 
 
T
1
T
10
T10
1fa
s
e
 [
g
ra
u
s
 º
]
 
Fig. 9.14 – Diagrama de Bode de fase. Factores zeros simples e múltiplos 
G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, … 
 
 
 
 
 Factores pólos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1, 2, …, 10 ≤ζ≤ . 
 
 
Note que a função de transferência G(jω) 
 














ω
ω
−
ω
ω
⋅ζ+
=














ω
ω
+
ω
ω
⋅ζ+=ω
−
2
nn
12
nn j21
1jj21)j(G
 
tem um par de pólos que serão: 
a) pólos complexos se 10 <ζ≤
 
 
b) pólos duplos se 1=ζ
 
 
c) pólos reais e distintos se 1>ζ
 
 
 
Os factores quadráticos que tratamos nesta secção fazem parte dos casos (a) e (b) 
acima, isto é 10 ≤ζ≤ , pois o caso (c), pólos reais e distintos ( 1>ζ ), já estão co-
bertos nos factores básicos anteriores. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
35�
�
Na verdade, mesmo no caso (b), quando temos a situação limite de 1=ζ , então 
 
2
n
2
nn
j1
1
j21
1)j(G












ω
ω
+
=














ω
ω
−
ω
ω
⋅+
=ω
 
 
que corresponde a pólos duplos e iguais a n/j ωω , um caso que também já está abran-
gido nos factores básicos anteriores. 
 
Portanto as técnicas que serão apresentadas nesta secção para 10 ≤ζ≤ vão coincidir 
com outras já apresentadas anteriormente no caso particular de 1=ζ . 
 
Para G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1,2, …, n temos que o módulo |G(jω)| 
em dB é dado por: 
 
2
n
2
n
10
2
nn
10dB
j21logn20
jj21log20)j(G
n






ω
ωζ+














ω
ω
−⋅⋅⋅−=














ω
ω
+





ω
ω
⋅ζ+⋅−=ω
 
 
 
e dividindo em 2 intervalos: ω << ωn e ω >> ωn , ou seja, para frequências baixas e 
altas, observamos que: 
 
( )








ω>>ω⋅ω⋅⋅−
ω⋅<ω<ω⋅





ω
ωζ+














ω
ω
−⋅⋅⋅−
ω<<ω
=ω
n10
nn
2
n
2
n
10
n
dB
,Tlogn40
101,0j21logn20
,0
)j(G
 
 
 
Note que, assim como nas secções anteriores tinha ωc em eq. (9.8), eq. (9.11) e 
eq. (9.14), aqui também tem-se uma frequência ωn que é chamada de 
 
ωn = frequência natural do sistema, 
 
que separa as frequências “altas” e “baixas” e 
 
 a recta assímptota para frequências altas 
 intercepta 0 dB em ω = ωn, eq. (9.16) 
 
um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
36�
�
10
nω
 
Fig. 9.15 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos 
G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, ζ = 1, n = 1. 
 
Nas proximidades da frequência natura ωn as assímptotas apenas aproximam da curva 
real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 6×n dB que ocorre exactamente na 
frequência de canto ωn , o ponto onde as duas assímptotas se encontram. 
 
A curva G(jω)|dB para o caso particular que falamos acima,
 
1=ζ , está representado 
na figura 9.15. 
 
A medida que o valor de ζ diminui, 1<ζ as curvas de dB)j(G ω vão ficando mais altas 
e vão criando picos (a partir de 707,02/2 =<ζ ) que vão se tornando cada vez mais 
altos a medida que 0→ζ . 
Estas curvas de dB)j(G ω estão ilustradas na figura 9.16 para o caso geral de 10 ≤ζ≤ . 
Estes picos ocorrem nas frequências ωr chamadas 
ωr = frequência de ressonância 
 
que assume valores 
2
20para,21 2nr ≤ζ≤ζ−⋅ω=ω 
 
Note que para ζ = 0, ωr = ωn. A medida que ζ aumenta a frequência de ressonância ωr 
diminui ligeiramente até que, quando 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
37�
�
707,0
2
2
==ζ
 
 
então a frequência de ressonância ωr = ωn/2. 
 
8dB
14 dB
10ωn
5dB
ωn
-40 dB
 ζ=0.1
 ζ=0.2
 ζ=0.3
 ζ=1
 ζ=0.8
 ζ=0.707
 ζ=0.5
10
nω ζ=0.6
0dB
m
ó
d
u
lo
 [
d
B
]
ω 
[rad/s]
 
Fig. 9.16 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos 
G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1, 2, … 
 
 
Por outro lado, estes picos atingem valores Mr 
Mr = pico de ressonância 
que tem os valores 
2
20para,
12
1M
2r
≤ζ≤ζ−⋅ζ= 
Note que para 1707,0 ≤ζ≤ não há pico de ressonância. Em particular, se ζ = 0,707, 
então 
Mr = 1 = 0 dB 
 
(também não há pico de ressonância). 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
38�
�
A medida que ζ diminui, o pico de ressonância Mr aumenta. Por exemplo, 
 
,dB25,1155,1M5,0quando r ≅=⇒=ζ 
,dB6,6133,2M25,0quando r ≅=⇒=ζ 
,dB14025,5M1,0quando r ≅=⇒=ζ 
.dB2001,10M05,0quando r ≅=⇒=ζ 
 
A figura 9.16 ilustra estes picos de ressonância. 
 
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: 
 
 




















ω
ω
−






ω
ω
⋅ζ
⋅−=














ω
ω
+





ω
ω
⋅ζ−∠=ω∠
−
2
n
n
n2
nn 1
2
arctgnjj21)j(G
 
 
0º
10ωn
-90º
ωn
-180º
10
nω
 ζ=0.1
 ζ=1
ω 
[rad/s]
 ζ=0.5
 
Fig. 9.17 – Diagrama de Bode de fase. Factores pólos quadráticos 
simples e múltiplos G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, … 
 
Portanto: 






∞→ω⋅−
ω=ω⋅−
→ω
=ω∠
,nº180
,nº90
0,º0
)j(G n
 
 
 
conforme esboçado a figura 9.17. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
39�
�
Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 180º × n enquanto a frequência 
ω varia 
 n
n 10até
10
de ω⋅ω
. 
 
isto é, desde uma década antes da frequência de natural ωn (assímptota para frequên-
cias baixas) até uma década depois da frequência de natural ωn (assímptota para fre-
quências altas). 
 
O diagrama de Bode de fase de G(jω) se torna mais íngreme (com declive mais 
acentuado) a medida que ζ → 0 e isto está ilustrado na figura 9.17. 
 
 
 Factores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]n, n = 1, 2, … 
 
 
Os factores zeros quadráticos que têm a função de transferência G(jω) 
 
n2
nn
jj21)j(G














ω
ω
+
ω
ω
⋅ζ+=ω
 
 
são em tudo análogo aos factores pólos quadráticos que vimos acima. Ou seja, curva 
de módulo e fase para os factores zeros quadráticos podem ser obtidas invertendo-se 
o sinal das curvas de módulo e fase dos factores pólos quadráticos 
 
As principais diferenças são que os picos de ressonância são para baixo em vez de 
para cima e as curvas de fase vão de 0º a 180º em vez de 0º a – 180º. 
 
 
9.8 – Factores básicos com sinais negativos 
 
 
No caso de factores básicos com sinais negativos do tipo 
( )1Ts
1)s(G
−
=
 , ( )21Ts
1)s(G
−
=
, ( )31Ts
1)s(G
−
=
 , L
 
 
ou 
( )1Ts)s(G −=
 , ( )21Ts)s(G −= , ( )31Ts)s(G −= , L
 
 
é fácil mostrar queo diagrama de Bode de módulo é idêntico ao factor básico corres-
pondente com sinal “+” , entretanto para a construção do diagrama de Bode de fase é 
necessário um cuidado maior na análise. 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
40�
�
Nos próximos exemplos ilustramos como fazer nestas situações. 
 
 
Exemplo 9.6: 






+
+
=
+
+
=ω
1
100
s
)1s(
100
1
)100s(
)1s()j(G
 
 
Note que neste caso KB = 1/100= –40 dB e G(jω) tem mais dois factores básicos: 
1
1s
100
1
e)1s(
−






+⋅+
 
Além disso, a fase de G(jω) é dada por 
 
)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω+∠=ω
 
 
 
Fig. 9.18 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.6. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
41�
�
Exemplo 9.7: 






+
−
=
+
−
=ω
1
100
s
)1s(
100
1
)100s(
)1s()j(G
 
 
Note que neste caso KB = 1/100= –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois 
factores básicos: 
1
1s
100
1
e)1s(
−






+⋅−
 
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.6). 
Além disso, a fase de G(jω) é dada por 
 
)100/j1()j1(º180)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω−∠+=ω+∠−ω+−∠=ω
 
 
 
Fig. 9.19 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.7. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
42�
�
Exemplo 9.8: 






−
+
=
−
+
=ω
1
100
s
)1s(
100
1
)100s(
)1s()j(G
 
 
Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois 
factores básicos: 
1
1s
100
1
e)1s(
−






−⋅+
 
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 2 exemplos anteriores (Exemplos 
9.6 e 9.7). Além disso, a fase de G(jω) é dada por 
 
)100/j1(º180)j1()100/j1()j1()j(G ω−∠−+ω+∠=ω+−∠−ω+∠=ω
 
 
ω0db
-40dB
0.1 1 10 100 1000
ω
-180º
-90º
0.1 1 10 100 1000
0º
 
Fig. 9.20 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.8. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
43�
�
Exemplo 9.9: 






−
−
=
−
−
=ω
1
100
s
)1s(
100
1
)100s(
)1s()j(G
 
 
Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais os 2 
factores básicos: 
1
1s
100
1
e)1s(
−






−⋅−
 
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 3 exemplos anteriores (Exemplos 
9.6, 9.7 e 9.8). Além disso, a fase de G(jω) é dada por 
 
)100/j1()j1(
)100/j1(º180)j1(º180)100/j1()j1()j(G
ω−∠−ω−∠=
ω−∠−−ω−∠+=ω+−∠−ω+−∠=ω
 
 
 
 
Fig. 9.21 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.9. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
44�
�
Exemplo 9.10: 
( ) 





++
=
++
=ω
1
100
s1s
1
)100s()1s(
100)j(G
 
 
Note que neste caso KB = 1 = 0 dB e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos: 
1
1 1s
100
1
e)1s(
−
−






+⋅+
 
Além disso, a fase de G(jω) é dada por 
 
)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω+∠−=ω
 
 
 
 
Fig. 9.22 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.10. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
45�
�
Exemplo 9.11: 
( ) 





−+
=
−+
=ω
1
100
s1s
1
)100s()1s(
100)j(G
 
 
Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores 
básicos: 
1
1 1s
100
1
e)1s(
−
−






−⋅+
 
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo anterior (Exemplo 9.10). 
Além disso, a fase de G(jω) é dada por 
 
)100/j1(º180)j1()100/j1()j1()j(G ω−∠−+ω+∠−=ω+−∠−ω+∠−=ω
 
 
 
Fig. 9.23 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.11. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
46�
�
Exemplo 9.12: 
( ) 





+−
=
+−
=ω
1
100
s1s
1
)100s()1s(
100)j(G
 
 
Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores 
básicos: 
1
1 1s
100
1
e)1s(
−
−






+⋅−
 
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos dois exemplos anteriores (Exemplos 
9.10 e 9.11). Além disso, a fase de G(jω) é dada por 
 
)100/j1()j1(º180)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω−∠−=ω+∠−ω+−∠−=ω
 
 
 
Fig. 9.24 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.12. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
47�
�
Exemplo 9.13: 
( ) 





−−
=
−−
=ω
1
100
s1s
1
)100s()1s(
100)j(G
 
 
Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores 
básicos: 
1
1 1s
100
1
e)1s(
−
−






−⋅−
 
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos três exemplos anteriores (Exemplos 
9.10, 9.11 e 9.12). Além disso, a fase de G(jω) é dada por 
 
)100/j1()j1(
)100/j1(º180)j1(º180)100/j1()j1()j(G
ω−∠−ω−∠−=
ω−∠−−ω−∠−=ω+−∠−ω+−∠−=ω
 
 
 
Fig. 9.25 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.13. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
48�
�
9.9 – Exemplos adicionais de construção de diagramas de Bode (módu-
lo e fase) 
 
 
Nesta secção apresentamos vários exemplos de diagramas de Bode (módulo e fase) 
que foram esboçados usando quase sempre o auxílio dos factores básicos apresenta-
dos aqui. 
 
Exemplo 9.14: 






+⋅+





+⋅






+⋅
=
+++
+
=ω
1s
400
5
400
s1s
100
1
s
1s
4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G
22 
 
 
Fig. 9.26 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.14. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
49�
�
Exemplo 9.15: 






+⋅−





+⋅






+⋅
=
+−+
+
=ω
1s
400
5
400
s1s
100
1
s
1s
4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G 22 
 
O diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.14). O 
diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.27. 
 
 
ω
0º
10010
-270º
-90º
-180º
0.1 10001
90º
180º
ωn = 20 = 0,125
 
Fig. 9.27 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.15. 
 � 
 
 
Exemplo 9.16: 






+⋅+





−⋅






+⋅
=
++−
+
=ω
1s
400
5
400
s1s
100
1
s
1s
4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G
22 
 
O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos 2 exemplos anteriores (Exemplos 
9.14 e 9.15). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.28. 
 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
50�
�
 
Fig. 9.28 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.16. 
 � 
 
Exemplo 9.17: 






+⋅+





+⋅






−⋅
=
+++
−
=ω
1s
400
5
400
s1s
100
1
s
1s
4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G 22 
 
O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos três exemplos anteriores (Exemplos 
9.14, 9.15 e 9.16). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.29. 
 
 
Fig. 9.29 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.17. 
 � 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
51�
�
Exemplo 9.18: 






+⋅+





−⋅






−⋅
=
++−
−
=ω
1s
400
5
400
s1s
100
1
s
1s
4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G
22 
 
O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos quatro exemplos anteriores 
(Exemplos 9.14, 9.15, 9.16 e 9.17). O diagrama de Bode de fase está esboçadona 
figura 9.30. 
 
 
Fig. 9.30 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.18. 
 � 
 
Exemplo 9.19: 
 
( )






+⋅+





+⋅
+⋅
=
+++
+
=ω
1s
10
1
10
s1s
10
1
s
1s10
)10s10s()10s(s
)1,0s(10)j(G
24
2422
6
 
Note que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dB01KB == 100n =ω 5,0=ζ
dB897,0155,1
1
1M
2r
==ζ−=
)zero(10T1 = )pólo(10
1T2 =
71,7021 2nr =ζ−⋅ω=ω
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
52�
�
ω
0
0.1
20dB
40dB
60dB
80dB
-60dB
-20dB
-40dB
-80dB
-100dB
0.01 10000
-20dB/dec
ω
0º
101
-270º
-90º
-180º
0.01 1000.1
1 10
100
1000
1000 10000
0dB/dec
-60dB
/dec
-20dB/dec
Mr = 1.155 = 0,9 dB
ωr = 70,7
ωn = 100
= 0,5
KB = 0 dB
 
Fig. 9.31 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.19. 
 � 
 
 
Exemplo 9.20: 
 
( )
( ) ( )1ss1s1,0s
1s101,0
)1ss()10s(s
)1,0s(10)j(G 22 +++⋅
+⋅
=
+++
+
=ω
 
Note que 
 
 
 
 
 
 
 
 
dB201,0KB −== 1n =ω 5,0=ζ
707,021 2nr =ζ−⋅ω=ω dB897,0155,1
1
1M
2r
==ζ−=
)zero(10T1 = )pólo(10
1T2 =
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
53�
�
ω0 0.1
20dB
40dB
60dB
80dB
-60dB
-20dB
-40dB
-80dB
-100dB
0.01
10000
-20dB/dec
ω0º
101
-270º
-90º
-180º
0.01 1000.1
1
10 100 1000
1000 10000
Mr = 1.155 = 0,9 dB
ωr = 0,707
ωn = 1
= 0,5
KB = -20 dB
-60dB/dec
0dB/dec
-40dB
/dec
�
Fig. 9.32 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.20. 
 � 
 
 
Exemplo 9.21: 
 
( )






++





+
+⋅
=
+++






+
=ω
1
2
s
2
s1
20
s
s
1s2
)2ss()20s(s
2
1
s80
)j(G
22 
 
Note que 
 
dB01KB == 414,12n ==ω 354,0=ζ 
J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode 
 
54�
�
 
224,121 2nr =ζ−⋅ω=ω � dB58,0069,1
1
1M
2r
==ζ−= �
 
2T1 = (zero da F.T.)�
20
1T2 = (pólo da F.T.)�
 
 
-82º
ω
0 dB
10
20dB
1
40dB
60dB
80dB
-60dB
-20dB
-40dB
-80dB
-100dB
0.01 1000.1 0.5 202
-20dB/dec
9.8dB
10.7dB
-29.5dB
-40dB/dec
-60dB
/dec
ω
0º
10
1
-270º
-90º
-180º
0.01
100
0.1 0.5
20
2
-74º
-111º
-250º
-258º
Mr = 1.07 = 0,58 dB
ωr = 1,224
ωn = 1,41
= 0,354
KB = 0 dB
 
Fig. 9.33 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.21. 
 
 �