Exercícios de Fotônica e Ondas

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BC1519- Circuitos Elétricos e Fotônica 
Exercícios Fotônica 
 Óptica de raios. Reflexão e Refração. 
NOTA: Nos problemas abaixo, considere o índice de refração do ar n = 1. 
 
1) Obtenha a lei de reflexão a partir do princípio de Fermat. 
 
2) Obtenha a lei de refração (lei de Snell) a partir do princípio de Fermat. 
 
3) Um feixe laser se propaga no ar (n1 = 1) e incide na superfície de uma lâmina de vidro 
(n2 = 1,5) de espessura d = 2 cm. O ângulo de incidência  = 35 graus. Calcule o caminho 
óptico do feixe no interior da lâmina. 
Re:  = 3,25 cm 
 
4) Um raio de luz incide em uma interface arvidro. Se o índice de refração do vidro é 
1,7, encontre o ângulo incidente , tal que o ângulo refratado seja  /2. 
Re:  = 63,6 
 
5) Um tanque metálico retangular está cheio com um 
líquido de índice de refração desconhecido. Um observador 
O, com os olhos no nível da superfície, consegue enxergar 
até a extremidade E do tanque. O raio de luz que refrata em 
direção ao observador está ilustrado na figura ao lado. Se D 
= 85,0 cm e L = 1,10 m, qual o índice de refração do 
líquido? 
Re: n = 1,26 
 
6) Na figura ao lado, um poste vertical de 2,0 m de 
altura se estende do fundo de uma piscina até um 
ponto 50,0 cm acima da superfície da água. A luz solar 
 2 
incide formando um ângulo  = 55. Qual o 
comprimento da sombra do poste no fundo da piscina? 
(Considere o índice de refração da água 4/3). 
Re: L = 1,065 m 
 Reflexão Interna Total 
 
7) Uma fonte pontual emite raios de luz em todas as direções. A fonte está localizada 
80cm abaixo da superfície de uma piscina com água (n = 4/3). Encontre o diâmetro do 
círculo na superfície da piscina através do qual a luz emerge da água. 
Re: D = 181,4 cm 
 
8) Um raio luz incide perpendicularmente à face ab do 
prisma de vidro (n = 1,52) ao lado. Encontre o maior 
valor possível para o ângulo , tal que o raio sofra 
reflexão interna total (perpendicular) na face ac para: 
a) o prisma imerso em ar; b) o prisma imerso em água 
(n = 4/3). 
Re: a)  (Max) = 48,9 ; b)  (Max) = 28,7 
 
 Ondas. Polarização. 
NOTA: Nos problemas abaixo, considere o índice de refração do ar n = 1. A velocidade 
da luz no espaço livre c0 = 310
8
 m/s e a permissividade 0 = 8,8510
12
 F/m. 
 
1) Um diodo laser emite luz de comprimento de onda 635 nm no espaço livre (vácuo). 
Ache o valor numérico do número de onda na água (n = 1,33). 
Re: κ = 1/λ = 2,1 m1 
 
2) Duas ondas têm comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes, 
respectivamente  e  + ,  e  + . Mostre que as razões 

 e 

 são 
aproximadamente iguais. Considere que as ondas se propagam no vácuo. 
 
 3 
3) Mostre que: 
   )(exp)]exp(ˆˆ[ tkziibyxEe E 
)]cos(ˆ)cos(ˆ[    tkzbytkzxE . Considere 0E e b reais. 
 
4) Uma onda harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro. O campo elétrico está 
orientado na direção z e seu módulo é dado por 
15
0 0cos 10 [( 0,65 ) ]zE E x c t 
. Considere 
as dimensões no SI. Determine: 
(a) A frequência angular da luz; (b) O comprimento de onda; (c) O índice de refração do 
vidro; (d) a direção e sentido de propagação da onda. 
Re: a)  = 1015 rad/s; b)  = 390 nm; c) n = 1,54 ; d) +x 
 
5) Considere uma onda com uma velocidade de fase 3108 m/s e uma frequência de 
61014 Hz. 
a) Qual é a menor distância ao longo da onda entre dois pontos defasados de 30 graus? 
b) Qual a diferença de fase (em graus) num dado ponto em 10
6
 s? 
c) Quantas ondas passaram nesse tempo? 
Re: a) d = 41,7 nm ; b)  = 2,161011 graus; c) N = 600.000.000 ondas 
 
6) Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, tem o vetor campo elétrico 
descrito por 
)cos(ˆ   tzxE V/m. Considere as dimensões no SI. 
Determine: 
a) O número de onda; 
b) A fase inicial; 
c) A direção de polarização; 
d) A direção do vetor campo magnético H; 
e) A direção e sentido do vetor de Poynting S; 
f ) O índice de refração do meio. 
Re: a) k = 2107 rad/m e κ = 3,2x106 m-1 ; b)  ; c) x ; d)- y ; e) z ; f) n = 1,5 
 
7) Uma onda harmônica plana se propaga no espaço livre e tem as componentes do campo 
elétrico nas direções 
xˆ
, 
yˆ
 e 
zˆ
 dadas por 
]})[(cos{ tczEx  
 V/m e 
 zy EE
. Considere as dimensões no SI. Determine: 
a) A amplitude do campo elétrico da onda; 
 4 
b) A direção e sentido do fluxo de energia; 
c) A frequência em Hz; 
d) O comprimento de onda. 
Re: a) E0 = 10 V/m; b) z ; c) f= 410
14
 Hz; d)  = 750 nm 
 
8) Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, propaga-se em um pedaço de 
vidro. O vetor campo elétrico dessa onda é dado por: 


















t
xy

cosˆE
 V/m. Considere as unidades no SI e 
xˆ
, 
yˆ
 e 
zˆ
 os 
versores nas direções das coordenadas x, y e z, respectivamente. Determine: 
a) A direção de polarização; 
b) A direção do vetor campo magnético H; 
c) A direção e o sentido do vetor de Poynting S; 
d) O número de onda no vácuo. 
Re: a) y ; b) -z ; c)  x ; d) k0 = 8,38 rad/m e κ = 1,33μm
-1 
 
 Potência e Irradiância. 
 
1) Um transmissor de ondas de rádio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW. 
Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena. 
Re: Nph = 2,16  10
30
 fótons por segundo 
 
2) Mostre que o valor médio temporal do vetor de Poynting é dado pela expressão 
(1 2) 0 0S E H 
, onde 
 )(exp tkzie  0EE
 e 
 )(exp tkzie  0HH
. 
 
3) Um laser emite um feixe de luz com potência óptica de 5 mW. Se o feixe é focalizado 
em uma área circular de 10 m de diâmetro, encontre a irradiância e a amplitude do 
campo elétrico da luz no plano focal. Considere a iluminação uniforme, a velocidade 
c
 = 
3108 m/s e a permissividade 

 = 8,851012 F/m. Expresse os resultados em unidades 
SI. Re: E0 = 2,210
5
 V/m 
 
 5 
4) Uma aeronave voando a uma distância de 10 km de um transmissor de ondas de radio 
recebe um sinal de irradiância 10 W/m2. Qual é a amplitude a) do campo elétrico da 
onda e b) do campo magnético da onda? c) Se o transmissor radia uniformemente sobre 
um hemisfério, qual a potência da onda transmitida? 
Re: a) E0 = 87 mV/m; b) 230 A/m; c) 6,28 kW 
 
5) Um laser He-Ne radia luz com comprimento de onda 632,8 nm e potência 3 mW. O 
feixe diverge com um ângulo  = 0,17 mrad, como ilustrado na figura abaixo. a) Qual a 
irradiância do feixe a uma distância d = 40 m do laser? Considere que o laser é substituído 
por uma fonte de luz pontual, que emite luz de maneira uniforme em todas as direções. b) 
Qual potência deveria ter essa fonte para prover a mesma irradiância a 40 m? 
 
 
 
 
Re: a) 82,6 W/m
2
; b) 1,7 MW 
 
 Polarizadores. Lei de Malus. 
 
1) Um feixe laser de potência óptica P = 100 mW está linearmente polarizado na direção 
yˆ
. Esse feixe se propaga na direção 
xˆ
 e incide em um polarizador linear com eixo de 
transmissão formando um ângulo de 30 graus com o eixo 
yˆ
. Calcule a potência óptica do 
feixe transmitido pelo polarizador. Considere o polarizador ideal. 
Re: P = 75 mW 
 
2) Uma onda plana randomicamente polarizada incide perpendicularmente em um 
polarizador linear. A irradiância da onda incidente I = 300 mW/cm
2
. Calcule a irradiância 
da luz transmitida pelo polarizador. Considere o polarizador ideal. 
Re: I = 150 mW/cm
2
 
 
 
 6 
 
 
3) Um feixe laser colimado está linearmente polarizado na direção y 
e se propagaem um sistema contendo dois polarizadores. Os 
ângulos dos eixos de transmissão dos polarizadores em relação ao 
eixo y são 1 = 70 e 2 = 90. Se a irradiância do feixe incidente é 
43 W/m
2
, qual a irradiância do feixe transmitido pelo sistema? 
Re: I = 4,4 W/m
2
 
 
4) Um feixe de luz linearmente polarizado na direção vertical (
yˆ
) passa através de um 
sistema de dois polarizadores lineares. Com relação à direção 
yˆ
, o eixo de transmissão 
do primeiro polarizador faz um ângulo  e o eixo de transmissão do segundo polarizador 
faz um ângulo de 90. Se 10% da potência óptica incidente é transmitida pelo sistema, 
qual o ângulo  ? 
Re:  = 20 ou 70 
 
 Fibras Ópticas 
 
1) A abertura numérica de uma fibra óptica é definida como NA 
an sin
, com 
n
 o 
índice de refração do meio externo que envolve a fibra e 
a
 o semi-ângulo de abertura do 
cone de aceitação. Mostre que, para uma fibra com perfil de índice tipo degrau, NA = 
2 2 1 2
1 2( )n n
, com 
n
 e 
n
 os índices do núcleo e da casca da fibra respectivamente. 
 
2) Uma fibra óptica tem diâmetro d = 50 m, índice do núcleo 
n
 = 1,460 e da casca 
n
 = 
1,457. Quantas reflexões ocorrem em cada metro de fibra para o modo de mais alta 
ordem? 
Re: 1284 reflexões/m 
 
3) Considere uma fibra óptica multimodo de comprimento L = 1 km, com perfil de índice 
tipo degrau, índice do núcleo 
n
 = 1,48 e índice da casca 
n
 = 1,46. 
 7 
(a) Dado um pulso óptico na entrada, calcule o alargamento temporal (t) do pulso na 
saída. Sugestão: Calcule o tempo (
mint
) de propagação do pulso no modo fundamental. 
Em seguida, calcule o tempo (
MAXt
) de propagação no modo de ordem mais alta possível. 
O alargamento temporal 
minttt MAX 
. 
(b) Considerando que dois pulsos ópticos consecutivos devem estar separados no tempo 
de pelo menos 2t para serem lidos na saída, calcule a taxa temporal máxima de pulsos 
(Bits/segundo, onde cada pulso representa um Bit) que pode ser transmitida através dessa 
fibra. 
Re: a) 67,6 ns ; b) 7,40 MBits/s 
 
4) Uma fibra óptica com perfil de índice tipo degrau tem índices do núcleo 
n
 = 1,48 e da 
casca 
n
 = 1,46. O diâmetro do núcleo é de 2 m. Calcule o comprimento de onda de 
corte no vácuo (
c
), tal que para 
c 
 somente um modo guiado existe na fibra. 
Re: c = 634 nm 
 
5) O coeficiente de atenuação de uma fibra óptica para um certo comprimento de onda é 

 3 dB/km. Considere a potência óptica na entrada da fibra 
INP
 = 10 mW. Calcule a 
potência 
OUTP
 na saída para os seguintes comprimentos L da fibra: 
a) L = 1 km ; b) L = 2 km 
Re: a) POUT = 5 mW ; b) POUT = 2.5 mW 
 
6) O coeficiente de atenuação de uma fibra óptica para um certo comprimento de onda é 

 10 dB/km. Considere que a potência óptica na entrada da fibra 
INP
 = 1 W. Calcule a 
potência 
OUTP
 na saída para os seguintes comprimentos L da fibra: 
a) L = 1 km ; b) L = 2 km ; c) L = 3 km 
Re: a) POUT = 100 mW ; b) POUT = 10 mW ; c) POUT = 1 mW 
 
7) A potência óptica incidente em uma fibra óptica monomodo por um laser de diodo 
operando com 

 = 1300 nm é de aproximadamente 1 mW. O fotodetector na saída da 
fibra requer uma potência mínima de 10 nW para fazer a detecção do sinal. A fibra tem 
 8 
um coeficiente de atenuação de 0,4 dB/km. Qual é o máximo comprimento da fibra que 
pode ser usado sem ter de se inserir um repetidor/regenerador de sinal no sistema? 
Re: L = 125 km 
 
8) Um sinal óptico de 4 mW de potência é inserido em um cabo de fibra óptica com 3 km 
de comprimento. Esse cabo é formado emendando-se três fibras de 1 km de comprimento 
cada. O coeficiente de atenuação da fibra é 

 = 1 dB/km e a perda de potência em cada 
emenda é de 0,5 dB. Qual a potência óptica na saída da fibra? 
Re: POUT = 1,59 mW 
 
 Interferência 
 
1) Duas ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo 
elétrico nesse ponto são 
tEE cos 
 e
)cos(   tEE 
, ambas na mesma direção 
e sentido. Escreva a expressão do campo resultante (amplitude e fase). 
Re: E = 1,81E0 cos(t + 25) 
 
2) Duas fontes pontuais de ondas de rádio 
S
 e 
S
, separadas por uma distância d = 2 m, 
estão radiando em fase com 

 = 0,50 m. Um detector percorre um caminho circular de 
raio 
dr 
 em torno das duas fontes. O caminho percorrido pelo detector está em um 
plano que contém o eixo (x) que liga as fontes. Quantos máximos ele detecta? 
 
 
 
Re: 16 máximos 
 
3) Dois feixes de luz colimados de frequência  = 5,64  1014 Hz se propagam em um 
meio com índice de refração n = 1,5. Os feixes têm vetores de propagação k1 = k xˆ e k2 = 
k
yˆ
 (i.e., se propagam em direções ortogonais) e interferem em uma região do espaço. 
Calcule o número de franjas por milímetro (franjas/mm) do padrão de interferência na 
direção K = k1  k2. 
 9 
 Re: N = 3988 franjas/mm. 
 
4) Um experimento de fenda-dupla de Young utiliza uma fonte de luz branca. Se a franja 
clara de primeira ordem da componente infravermelha (780 nm) coincide com a franja 
clara de segunda ordem da componente violeta, qual o comprimento de onda dessa 
última? 
Re: VIO = 390 nm. 
 
5) Em uma experiência de interferência com duas fendas, a distância entre as fendas é de 
0,1 mm e a tela está colocada a uma distância de 1 m. A franja brilhante de 3ª ordem 
forma-se a uma distância de 15 mm da franja de ordem 0. Calcular o  da luz utilizada. 
Re:  = 500 nm. 
 
6) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática de comprimento 
de onda  = 633 nm. Quando um dos espelhos é movido uma distância d (na direção do 
feixe incidente), observa-se que 60 franjas claras passam no processo. Determine d. 
Re: d = 19 m 
 
7) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática. Um dos 
espelhos é então movido 25 m e observa-se que 90 franjas claras passam no processo. 
Determine o comprimento de onda da luz incidente. 
Re:  = 556 nm 
 
8) Considere um filme fino depositado sobre uma lente, como ilustra a figura abaixo. Um 
feixe de luz colimado com 0 = 532 nm incide perpendicularmente à superfície da lente. 
Calcule a espessura d do filme para que as ondas refletidas na 1ª interface (onda 1) e na 2ª 
interface (onda 2) interfiram destrutivamente. 
 
 
 
 
Lente: n = 1,5 
Filme: n = 1,3 
Ar: n = 1 
d 
(1) (2) 
 10 
 
 
Re: d = 102 nm 
 
9) Um interferômetro de Michelson é utilizado para 
medir o índice de refração do ar na temperatura e 
pressão ambientes. Para isso, uma célula de vidro de 
comprimento d = 10 cm é inserida em um dos braços 
do interferômetro. (Despreze a espessura das paredes 
de vidro da célula). Luz de comprimento de onda  = 
590 nm é utilizada. Considere que a célula está 
inicialmente cheia de ar. Em seguida, o ar é 
bombeado para fora da célula, fazendo-se vácuo no 
seu interior. Sabendo que 129 franjas claras passam 
nesse processo, calcule o índice de refração do ar 
com 6 dígitos significativos. 
Re: nAR = 1,00038. 
 
 
 Difração 
 
1) Um feixe laser colimado com  = 550 nm incide em uma fenda estreita. Numa tela 
situada a 5 m observa-se um padrão de difração, sendo que a distância do primeiro 
mínimo ao máximo brilhante central é de 30 mm. Qual é a largura da fenda? 
Re: b = 92 m 
 
2) Um feixe de luz colimado de comprimento de onda  = 633 nm incide normalmente 
em uma fenda de largura 0,5 mm. Uma lente de distância focal 50 cm, colocada 
imediatamente após a fenda, focaliza a luz difratadaem uma tela colocada no plano focal 
da lente. Calcule a distância do primeiro mínimo de irradiância com relação ao centro do 
padrão de difração (máximo central). 
 11 
Re: 633 m 
 
3) Um feixe laser colimado incide sobre uma rede de difração que tem 500 linhas por mm. 
Em um anteparo colocado a 1 m da rede, o máximo central e o de primeira ordem estão 
separados por 30 cm. Determinar o comprimento de onda do laser. 
Re:  = 575 nm 
 
4) A luz de um laser incide sobre uma rede de difração com 5310 linhas/cm. O máximo 
central e o de primeira ordem estão separados por 0,49 m num anteparo distante 1,72 m 
da rede. Determinar o comprimento de onda do laser. 
Re: 516 nm 
 
5) Um feixe laser colimado ( = 633 nm) emerge através de uma abertura circular de 
diâmetro 0,5 cm. Estimar o diâmetro do feixe a 10 km do laser. 
Re: 3,09 m 
 
6) Qual o tamanho do telescópio (raio de abertura) necessário para resolver a imagem de 
duas estrelas cuja separação linear é de 100 milhões de km e cuja distância à Terra é de 10 
anos luz? (Considere  = 500 nm). 
Re: 28,9 cm 
 
7) O telescópio de Monte Palomar tem um espelho de 508 cm de raio. a) Qual a distância 
a que devem ficar dois objetos na superfície da Lua para serem observados pelo 
telescópio, segundo o critério de Rayleigh? b) Calcular essa distância se os objetos fossem 
observados apenas com o olho. Considere  = 500 nm; Distância Terra–Lua: 384.400 km; 
Diâmetro do olho: 4 mm. 
Re: a) 23 m ; b) 58,6 km 
 
8) Duas manchas solares aparecem na superfície do sol a uma distância de 90 km entre 
elas. Qual deve ser o diâmetro do espelho de um telescópio situado na terra para resolver 
 12 
essas duas manchas segundo o critério de Rayleigh? Considere  = 550 nm e a distância 
Terra-Sol de 8 minutos-luz. 
 Re: 1,07 m 
 
 Semicondutores 
 
1) Considere uma pastilha de Silício com as dimensões descritas abaixo, na temperatura T 
= 300 K. Dados: 
in
 = 1.5  1010 cm3, 
n
 = 1350 cm
2
/Vs e 
p
 = 480 cm
2
/Vs 
a) Se a pastilha é de Si puro (intrínseco), qual deve ser a diferença de potencial (V) que 
deve ser aplicada para circular uma corrente de 1 A ? 
b) Se a pastilha é de Si tipo N, com 
DN
 = 5  1014 cm3 (i.e., adição de 1 átomo de 
impureza para cada 10
8
 átomos de Si) qual deve ser a diferença de potencial que deve ser 
aplicada para circular uma corrente de 1 A ? 
a) 1370 V; b) 56 mV 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma barra de semicondutor tipo N de silício tem comprimento L = 3 mm. As faces 
conectadas aos terminais são metalizadas e têm dimensões de (50100) m. A 
concentração de impurezas doadoras é de 5  1012 cm–3 e a concentração de átomos de 
silício é de 5  1022 cm–3. Considere T = 300 K. A concentração intrínseca do silício 
in
 = 
1.5  1010 cm–3, a mobilidade dos elétrons 
n
 = 1350 cm
2
/(V.s) e a mobilidade das 
lacunas 
p
 = 480 cm
2
/(V.s). A carga elementar e = 1.6  10–19 C. 
a) Qual a corrente que flui através da barra devido aos portadores majoritários? 
b) Qual a corrente que flui através da barra devido aos portadores minoritários? 
a) 180 A; b) 576 pA 
100 m 
50 m 
3 mm 
V = ? 
i = 1 A 
 13 
 
 
 
 
3) Determine a variação da tensão nos terminais de um diodo correspondente a uma 
variação de 20:1 na corrente que circula através dele. Considere T = 300 K, o fator de 
idealidade  = 2 e a corrente que circula através do diodo muito maior que a corrente de 
saturação reversa (i >> 
Si
). 
Re: V = 155 mV 
 
4) Qual deverá ser o valor da resistência R na figura abaixo para que a corrente através do 
diodo seja de 0,20 mA? Considere uma queda de tensão de 0,7 V no diodo de silício. 
Re: R = 19.8 k 
 
 
 
 
 
 
5) O LED da figura abaixo opera com um queda de tensão de 2 V e tem especificação de 
potência máxima de 100 mW. Calcule o valor mínimo da resistência R que impede o LED 
de se queimar. 
27.2  
 
 
 
 
 
 
 
 
L = 3 mm 
+ 1000 V 
i 
R 
10 k 10 k 
+ 12 V 
+ 30 V 
24  
6  
24  
12  
R 
 14 
6) A figura abaixo ilustra a resposta espectral de um fotodiodo de Si com área ativa de 2 
mm
2
. A corrente de saturação reversa 
si
 = 5 nA, T = 300 K e o fator de idealidade  = 1. 
Considere o fotodiodo uniformemente iluminado com luz de comprimento de onda  e 
irradiância I. 
a) Se  = 600 nm e I = 10 mW/cm2, estime a tensão nos terminais do fotodiodo se ele é 
operado no modo fotovoltaico, considerando seus terminais em circuito aberto. 
b) Se  = 950 nm e I = 100 mW/cm2, estime a corrente que circula pelo fotodiodo se ele é 
operado no modo fotovoltaico, considerando seus terminais curto-circuitados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re: a) V = 250 mV ; b) i =  1.2 mA 
 
7) Considere um cristal de GaAs puro. O cristal está em equilíbrio térmico na temperatura 
ambiente T = 300 K e a concentração intrínseca 
in
 = 1.8  106 cm3. Devido à energia 
térmica, pares elétrons-lacuna são produzidos constantemente, existindo um equilíbrio 
entre as taxas de geração (G) e de recombinação (R), i.e., G = R. Considere: 1) A taxa de 
recombinação R = rnp, com r  2  1010 cm3/s o parâmetro de recombinação elétron-
lacuna, n a densidade de elétrons livres e p a densidade de lacunas; 2) 50% das 
recombinações são radiativas. Assuma por simplicidade que os fótons emitidos têm a 
energia do bandgap Eg = 1.42 eV. 
a) Calcule a densidade de potência óptica (em Watts/cm
3
) emitida pelo cristal; 
b) Determine a frequência da luz emitida; 
c) A qual faixa do espectro eletromagnético pertence essa radiação? 
 15 
Re: a) 7.361017 W cm3 ; b) 3.431014 Hz ; c) Infravermelho 
 
8) O que é um LED? Quais suas principais características? 
Re: Um LED é essencialmente uma junção pn feita de um material semicondutor de 
bandgap direto. Para operação, a junção deve ser polarizada diretamente. A injeção de 
uma corrente elétrica através da junção aumenta a taxa de recombinação elétron-lacuna, 
com conseqüente emissão de fótons (no caso das recombinações radiativas). A energia do 
fóton emitido 
GEh 
, com 
GE
 a energia do gap. 
 
Resolução da lista FOTÔNICA 
Óptica de raios, reflexão, refração e reflexão interna total 
1) 
 
Através dessa figura podemos observar que a luz não leva o mínimo percurso 
como diz o principio de Fermat para chegar a um determinado ponto e sim o 
tempo mínimo. 
Como velocidade(v)=espaço(S)/tempo(t) 
Conforme a figura s=AP+PB (1) 
v=velocidade da luz=c 
Por pitagoras e substituindo em (1) 
AP=√ e PB=√ 
 
c.t=√ + √ (2) 
 
Derivando (2) em relação a x e igualando a 0 pois o tempo mínimo (curva 
parábola com concavidade para cima) temos: 
 
Reagrupando encontramos que: 
 
 
 
 
 
 
 (3) 
 
E vendo na figura vemos 2 triângulos os quais: 
 
Substituindo em (3) concluímos que 
θ’= θ (c.q.d) 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos formados na figura, achamos 
as expressões: 
L1
2=a2+x2 (1) e L2
2=b2+(d-x)2 (2) 
 
Sabemos que 
o tempo total é: 
t=
 
 
 
 
 
 (3) 
 
v= 
 
 
 (4) 
 
(4) em (3) temos: 
t=
 
 
 
 
 
 (5) 
 
Como o tempo tem que ser o mínimo a derivada de (5) tem que ser igualada a 
zero. 
 
 
 
=0 
 
Assim: 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 =0 (6) 
 
Derivando ambos os lados de (1) temos: 
2.L1. 
 
 
=2x 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
E pela figura 
 
 
 é senθ1 
 
E fazendo o mesmo com(2) 
2.L2. 
 
 
=2(d-x) (-1) 
 
 
 
 = - 
 
 
 
E pela figura - 
 
 
 é –senθ2 
 
Assim substituindo em (6) chegamos em: 
 
 
 
 .(n1. senθ1+n2. –senθ2).=0 
 
E ajustando temos que: 
n1.senθ1=n2.sen θ2 (c.q.d) 
 
 
3) n1.senθ1=n2.sen θ2 
 
1.sen35º=1,5.sen θ2 
θ2=22,48º 
cos θ2= 
 
 
 
d=2,16cm 
=n.d 
=2,16.1,5 
=3,2467cm 
 
 
4) n1.senθ1=n2.sen θ2 
1.sen (θ/2 + θ/2)=1,7.sen θ/2 
2.sen θ/2.cos θ/2 =1,7.sen θ/2 
cos θ/2=0,85 
θ=63,57º 
 
 
5) 1. sen90º= nl.sen
 
√ 
 
nl=1,2637 
6) 1.sen55º=4/3.sen θ2 
θ2=37,905º 
tg(37,905º)= 
 
 
 
L=1,1679m 
7)1.sen90=4/3.senθ 
θ=48,59º 
tg(48,59º)= 
 
 
 
D=181,423cm 
8-a) 
1,52.senθa =1.sen90º 
θa=41,13º 
+90+41,13º=180º 
max=48,87º 
b) 1,52.senθa =4/3.sen90º 
θb=61,305º 
+90+61,305=180º 
max=28,695º 
 
Ondas e Polarização 
1) k0=
 
 
 
k0=9,9Mm
1 
k=ko.n 
k=9,9M.1,33 
k=13,167 [µm1] 
2)Hipóteses: 
Δ<< 
Δλ<<λ 
Temos que: 
λ=
 

 e λ+ Δλ=
 
 
 
Fazendo a relação entre as expressões temos: 
 
 
 = 
 
  
 = 
 

 
=> 
 
 
 = 

 
 
1+
 
 
 = 

 
 
 
 
 = 

 
 - 1 = 
  
 
 = -
 
 
 
E assim podemos dizer que: 
 
 
 =
 

 ou| 
 
 
| ~ |
 

| 
3) ⃗ =Re{ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. ̂ ̂  
 ⃗ =Re{ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ̂ ⃗⃗⃗⃗ ⃗  ̂ 
Pela identidade de Euler: 
 =cos +j.sen 
Temos: 
 ⃗ =Re{ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ̂ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( 

) ( 

) ̂ 
Portanto: 
 ⃗ = ̂ ̂ ( 

) 
 
4-a) Ez = E0 cos(kx − ωt ) 
Ez = E0 cos[w(kx/ω − t )] 
Comparando com a equação dada: 
w=.1015rad/s 
b) f=
 
 
 
f=0,5.1015Hz 
λ=
 
 
 
Pela equação vemos que v=0,65.c0, assim: 
λ=
 
 
 
λ=390nm 
c) w=c.k 
Na parta da equação em que aparece kx/ω, substituindo fica: 
kx/c.k e cortando os K’s 
temos x/c=x/v 
mais na equação do enunciado aparece 0,65.c0 que é “v”, mais 
sabemos que: 
v= c0/n 
Assim: 
0,65.c0=c0/n 
n=1,5384 
d) Propagação na direção x : E = E 0 cos( kx ± ω t ) que esta de 
acordo com a equação do enunciado...portando direção x 
5-a) v= 
 =
 
 
 
 5.10-7m 
Por regra de 3: 
360º – 5.10-7 
30º – d 
d= 4,167nm 
b) T=
 
 
 
T=1,667.10-15 
Por regra de 3: 
1,667.10-15 – 360º 
 10-6 –  
 = 2,159.1011º 
c) por regra de 3: 
1onda–1,667.10-15 
 N – 10-6 
N=5,99.108 ondas 
6-a)ex: E = E0 cos(kz − ωt +π) onda adiantada em π rad 
Comparando: 
k = 2107 m1 
b) para z=t=0, sobra apenas o π 
c) Propagação na direção z : E = E 0 cos( kz ± ω t ) que esta de 
acordo com a equação do enunciado...portando direção z 
d) Como é linearmente polarizada: 
 
 
Campo magnético na direção de y 
e) A direção e sentido do vetor de Poynting é perpendicular a 
ambos os campos : elétrico e magnético, portanto: -z 
f) v =
 
 
 
v = 
 
 
 = 2.108m/s 
v=
 
 
 
2.108.n=3.108 
n=1,5 
7-a) Pela equação dada E0=10V/m 
b) Propagação na direção z : E = E 0 cos( kz ± ω t ) que esta de 
acordo com a equação do enunciado...portando direção z 
c) w=8π.1014 
w=2 π.f 
f=4.1014Hz 
d) c=.f 
3.108=.4.1014 
=750nm 
8-a) Propagação na direção y : E = E 0 cos( kx ± ω t ) que esta de 
acordo com a equação do enunciado...portando direção y 
b) A direção de propagação de uma onda magnética é 
perpendicular e em fase à onda de propagação elétrica, sendo 
assim planos transversais. Portanto, a direção de H é z 
c) A direção e sentido do vetor de Poynting é perpendicular a 
ambos os campos : elétrico e magnético, portanto: -x 
 
d) w = 
 
 
. 
 
 
 
w = 0,08. π.1016 rad/s 
c = 
 
 
 
3.108 = 
 
 
 
k=8,3775 µm-1 
Potência e Irradiância. 
1) P = 
 
 
 
E=103 J 
E=N.h.f 
103=N.6,62.10-34.700000 
N=2,158.1030 fótons 
2) Definição do vetor de Poynting: 
 = ⃗ ⃗⃗ 
 ⃗ =Re{ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 ⃗⃗ =Re{ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
ou 
 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
Usando a Identidade de Euler, temos que: 
 = ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗.cos2(kz-wt) valor instantâneo 
Valor médio: 
< >= ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗.<cos2(kz-wt)> 
<cos2 θ>=
 
 
∫ 
 
 
 
cos2 θ=
 
 
(1+cos ) 
<cos2 θ>=
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 +∫ 
 
 
] 
<cos2 θ>=
 
 
 
Assim: 
 =
 
 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
3) I = 
 
 
 
I=63,662 MW/m² 
I = 
 
 
.ε.c 
63,662 M = 
 
 
 
E0=2,189.105 V/m 
4-a) I = 
 
 
.ε.c 
10 = 
 
 
. 
E0=86,79mV/m 
b) I = 
 
 
 
H0=239,434A/m 
c) Hemisfério =meia-esfera 
Aesfera=4.π.r
2 
r=10Km 
 
0,5Aesfera=628,32Mm² 
I=P/A 
10 =P/628,32M 
P=6,283kW 
5-a) 
 
θ/2=0,085m rad 
tg(θ/2)= 
 
 
 
r=3,4.10-3m 
I=
 
 
 
I=82,6063 W/m2 
b) 82,6063=
 
 
 
P=1,669MW 
 
Polarizadores e Lei de Malus 
1) IT = I0 cos
2θ (áreas iguais, corta dos dois lados e sobra potencia) 
PT=100m.cos
230º 
PT=74,999mW 
2) Para perpendiculares e ideais: cos2θ = 0,5 
IT = I0 cos
2θ 
IT = 300m.0,5 
IT=150mW/cm
2 
3) Após o primeiro polarizador: 
I1=43.cos
270º 
I1=5,030 W/m
2 
A diferença angular entre os dois polarizadores é 20º, assim após o 2º 
polarizador irá ter uma irradiância de: 
I= I1. cos
220º 
I=4,441 W/m2 
4) I1=Ii.cos
2θ (1) 
0,1.I1=I1.cos
2(90- θ) (2) 
Substituindo 1 em 2 temos: 
0,1= cos2θ. cos2(90- θ) 
0,1= cos2θ.[ cos90º. cosθ+ sen90º. senθ]2 
0,1= cos2θ. sen2θ 
0,1= cos2θ. (1- cos2θ) 
cos4θ- cos2θ+0,1=0 
chamando cos2θ de x temos: 
x2-x+0,1=0 
resolvendo 
(0,8873;0,1127) 
Assim, 
Para x=0,8873: 
cos2θ=0,8873 
θ=19,61º 
Para x=0,1127: 
cos2θ=0,1127 
θ=70,384º 
 Interferência. 
 
1) Duas ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As 
componentes do campo elétrico nesse ponto são 
tEE cos 
 e 
)cos(   tEE 
. Escreva a expressão do campo resultante 
(amplitude e fase). 
Passando para coordenadas retangulares: 
 
 
 
Somando os 2: 
 
Voltando para coordenadas polares: 
| | √ 
 (
 
 
) ̃ 
Portanto: 
 
Re: E = 1.81E0 cos(t + 25) 
 
2) Duas fontes pontuais de ondas de rádio 
S
 e 
S
, separadas por uma 
distância d = 2.0 m, estão radiando em fase com 

 = 0.50 m. Um 
detector percorre um caminho circular de raio 
dr 
 em torno das duas 
fontes. O caminho percorrido pelo detector está em um plano que contém 
o eixo (x) que liga as fontes. Quantos máximos ele detecta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notando que no ponto E a diferença entre os percursos dos sinais 
das fontes S1 e S2 é igual a d=2m = 4 (pois = 0,5m), e que no ponto A 
a diferença entre os percursos é nula, concluímos que deve haver outros 
3 pontos (B,C e D) tal que as diferenças entre os percursos serão 
respectivamente igual a , 2 e 3. 
AB 
C 
D E 
S1 
S2 
Em todos estes pontos, o detector irá detectar um máximo, pois nestes 
pontos ocorrerá a condição de interferência construtiva entre os sinais 
(número inteiro de ). 
Repetindo o raciocínio para toda a circunferência, chega-se à conclusão 
de que haverá 16 pontos de interferência construtiva, e portanto, 16 
máximos detectados. 
Re: 16 máximos 
3) Dois feixes de luz colimados de frequência  = 5.64  1014 Hz se 
propagam em um meio com índice de refração n = 1.5. Os feixes têm 
vetores de propagação k1 = k xˆ e k2 = k
yˆ
 (i.e., se propagam em direções 
ortogonais) e interferem em uma região do espaço. Calcule o número de 
franjas por milímetro (franjas/mm) do padrão de interferência na direção 
K = k1  k2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̂ ̂ 
 
 
 ̂ ̂ | | 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
⁄
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 Re: N = 3988 franjas/mm. 
4) Um experimento de fenda-dupla de Young utiliza uma fonte de luz 
branca. Se a franja clara de primeira ordem da componente 
infravermelha (780 nm) coincide com a franja clara de segunda ordem da 
componente violeta, qual o comprimento de onda dessa última? 
 
 
 
 
Coincidem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re: VIO = 390 nm. 
5) Em uma experiência de interferência com duas fendas, a distância 
entre as fendas é de 0,1 mm e a tela está colocada a uma distância de 1 
m. A franja brilhante de 3ª ordem forma-se a uma distância de 15 mm da 
franja de ordem 0. Calcular o  da luz utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re:  = 500 nm. 
 
6) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática 
de comprimento de onda  = 633 nm. Quando um dos espelhos é movido 
uma distância d (na direção do feixe incidente), observa-se que 60 
franjas claras passam no processo. Determine d. 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
Re: d = 19 m 
7) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática. 
Um dos espelhos é então movido 25 m e observa-se que 90 franjas 
claras passam no processo. Determine o comprimento de onda da luz 
incidente. 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re:  = 556 nm 
8) Considere um filme fino depositado sobre uma lente, como ilustra a 
figura abaixo. Um feixe de luz colimado com 0 = 532 nm incide 
perpendicularmente à superfície da lente. Calcule a espessura d do filme 
para que as ondas refletidas na 1ª interface (onda 1) e na 2ª interface 
(onda 2) interfiram destrutivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Como: 
Lente: n = 1.5 
Filme: n = 1.3 
Ar: n = 1 
d 
(1) (2) 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re: d = 102 nm 
 
9) Um interferômetro de Michelson é 
utilizado para medir o índice de refração 
do ar na temperatura e pressão 
ambientes. Para isso, uma célula de 
vidro de comprimento d = 10 cm é 
inserida em um dos braços do 
interferômetro. (Despreze a espessura 
das paredes de vidro da célula). Luz de 
comprimento de onda  = 590 nm é 
utilizada. Considere que a célula está 
inicialmente cheia de ar. Em seguida, o 
ar é bombeado para fora da célula, 
fazendo-se vácuo no seu interior. 
Sabendo que 129 franjas claras passam 
nesse processo, calcule o índice de 
refração do ar com 6 dígitos 
significativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re: nAR = 1.00038. 
 
 Difração. 
 
1) Um feixe laser colimado com  = 550 nm incide em uma fenda estreita. 
Numa tela situada a 5 m observa-se um padrão de difração, sendo que a 
distância do primeiro mínimo ao máximo brilhante central é de 30 mm. 
Qual é a largura da fenda? 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 ̃ 
Re: b = 92 m 
 
2) Um feixe de luz colimado de comprimento de onda  = 633 nm incide 
normalmente em uma fenda de largura 0.5 mm. Uma lente de distância 
focal 50 cm, colocada imediatamente após a fenda, focaliza a luz 
difratada em uma tela colocada no plano focal da lente. Calcule a 
distância do primeiro mínimo de irradiância com relação ao centro do 
padrão de difração (máximo central). 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 ̃ 
Re: 633 m 
 
3) Um feixe laser colimado incide sobre uma rede de difração que tem 
500 linhas por mm. Em um anteparo colocado a 1 m da rede, o máximo 
central e o de primeira ordem estão separados por 30 cm. Determinar o 
comprimento de onda do laser. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 ̃ 
Re:  = 575 nm 
 
4) A luz de um laser incide sobre uma rede de difração com 5310 
linhas/cm. O máximo central e o de primeira ordem estão separados por 
0.49 m num anteparo distante 1.72 m da rede. Determinar o comprimento 
de onda do laser. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 ̃ 
Re: 516 nm 
 
5) Um feixe laser colimado ( = 633 nm) emerge através de uma abertura 
circular de diâmetro 0,5 cm. Estimar o diâmetro do feixe a 10 km do 
laser. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̃ 
Re: 3.09 m 
 
6) Qual o tamanho do telescópio (raio de abertura) necessário para 
resolver a imagem de duas estrelas cuja separação linear é de 100 
milhões de km e cuja distância à terra é de 10 anos luz? (Considere  = 
500 nm). 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re: 28.9 cm 
 
7) O telescópio de Monte Palomar tem um espelho de 508 cm de raio. a) 
Qual a distância que devem ficar dois objetos na superfície da lua para 
serem observados pelo telescópio segundo o critério de Rayleigh? b) 
Calcular essa distância se os objetos fossem observados apenas com o 
olho. Considere  = 500 nm; Distância Terra–Lua: 384.400 km; Diâmetro 
do olho: 4 mm. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re: a) 23m ; b) 58.6 km 
 
8) Duas manhas solares aparecem na superfície do sol a uma distância 
de 90 km entre elas. Qual deve ser o diâmetro do espelho de um 
telescópio situado na terra para resolver essas duas manchas segundo o 
critério de Rayleigh? Considere  = 550 nm e a distância Terra-Sol de 8 
minutos-luz. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Re: 1.07 m 
 
 Semicondutores. 
 
1) Considere uma pastilha de Silício com as dimensões descritas abaixo, 
na temperatura T = 300 K. Dados: 
in
 = 1.5  1010 cm3, 
n
 = 1350 
cm2/Vs e 
p
 = 480 cm2/Vs 
a) Se a pastilha é de Si puro (intrínseco), qual deve ser a diferença de 
potencial (V) que deve ser aplicada para circular uma corrente de 1 A ? 
b) Se a pastilha é de Si tipo N, com 
DN
 = 5  1014 cm3 (i.e., adição de 1 
átomo de impureza para cada 108 átomos de Si) qual deve ser a 
diferença de potencial que deve ser aplicada para circular uma corrente 
de 1 A ? 
 
 
 
 
 
 
 
100 m 
50 m 
3 mm 
V = ? 
i = 1 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ̃ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ̃ 
a) 1370 V; b) 56 mV 
 
2) Uma barra de semicondutor tipo N de silício tem comprimento L = 3 
mm. As faces conectadas aos terminais são metalizadas e têm 
dimensões de (50100) m. A concentração de impurezas doadoras é de 
5  1012 cm–3 e a concentração de átomos de silício é de 5  1022 cm–3. 
Considere T = 300 K. A concentração intrínseca do silício 
in
 = 1.5  1010 
cm–3, a mobilidade dos elétrons 
n
 = 1350 cm2/(V.s) e a mobilidade das 
lacunas 
p
 = 480 cm2/(V.s). A carga elementar e = 1.6  10–19 C. 
a) Qual a corrente que flui através da barra devido aos portadores 
majoritários? 
b) Qual a corrente que flui através da barra devido aos portadores 
minoritários? 
 
 
 
 
 
a) Semicondutor tipo N  portadores majoritários = elétrons 
  
 
 
 
Portanto: 
  
 
⁄ 
 
 ⁄ 
  
 
b) Portadores minoritários  lacunas 
 
 ⁄  
 ⁄ 
 
 
 
 
 
⁄ 
 
 ⁄ 
 
a) 180 A; b) 576 pA 
 
3) Determine a variação da tensão nos terminais de um diodo 
correspondente a uma variação de 20:1 na corrente que circula através 
dele. Considere T = 300 K, o fator de idealidade  = 2 e a corrente que 
L = 3 mm 
+ 1000 V 
i 
circula através do diodo muito maior que a corrente de saturação reversa 
(i >> 
Si
). 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
Re: V = 155 mV 
 
 
4) Qual deverá ser o valor da resistência R na figura abaixo para que a 
corrente através do diodo seja de 0,20 mA? Considere uma queda de 
tensão de 0,7 V no diodo de silício. 
Dados: 
 
 
Pela figura, temos: 
 
 
 
Como os resistores de 10kΩ, estão em paralelo, calculamos : 
 
 
 
 
 
Em seguida calcula-se a tensão , utilizando o valor encontrado de : 
 
Pela Lei de Kirchoff dos nós, temos: 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
Re: R = 19.8 k 
 
5) O LED da figura abaixo opera com um queda de tensão de 2 V e tem 
especificação de potência máxima de 100 mW. Calcule o valor mínimo 
da resistência R que impede o LED de se queimar. 
 
 
 
 
 
 
 
Máxima potência no LED :   
Leis de Kirchhof : 
 
de onde tem-se : 
30 V 
24  
6  
24  
12  
R 
2 V 
i1 i2 
i3 i4 
i5 
 
de onde tem-se : 
Temos também que: 
 – – – de onde tiramos que 
27.2  
6) A figura abaixo ilustra a resposta espectral de um fotodiodo de Si com 
área ativa de 2 mm2. A corrente de saturação reversa 
si
 = 5 nA, T = 300 
K e o fator de idealidade  = 1. Considere o fotodiodo uniformemente 
iluminado com luz de comprimento de onda  e irradiância I. 
a) Se  = 600 nm e I = 10 mW/cm2, estime a tensão nos terminais do 
fotodiodo se ele é operado no modo fotovoltaico, considerando seus 
terminais em circuito aberto. 
b) Se  = 950 nm e I = 100 mW/cm2, estime a corrente que circula pelo 
fotodiodo se ele é operado no modo fotovoltaico, considerando seus 
terminais curto-circuitados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados:  
 
 
A tensão : 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
Pelo gráfico, tem-se: 
 
Portanto: 
 
 
A tensão de saída é dada por: 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
b) 
 
Pelo gráfico, tem-se: 
 
Portanto: 
 
 
A corrente de saída é dada por: 
 
Re: a) V = 250 mV ; b) i =  1.2 mA 
 
7) Considere um cristal de GaAs puro. O cristal está em equilíbrio térmico 
na temperatura ambiente T = 300 K e a concentração intrínseca 
in
 = 1.8 
 106 cm3. Devido à energia térmica, pares elétrons-lacuna são 
produzidos constantemente, existindo um equilíbrio entre as taxas de 
geração (G) e de recombinação (R), i.e., G = R. Considere: 1) A taxa de 
recombinação R = rnp, com r  2  1010 cm3/s o parâmetro de 
recombinação elétron-lacuna, n a densidade de elétrons livres e p a 
densidade de lacunas; 2) 50% das recombinações são radiativas. 
Assuma por simplicidade que os fótons emitidos têm a energia do 
bandgap Eg = 1.42 eV. 
a) Calcule a densidade de potência óptica (em Watts/cm3) emitida pelo 
cristal; 
b) Determine a frequência da luz emitida; 
c) A qual faixa do espectro eletromagnético pertence essa radiação? 
 
a) concentração de elétrons e lacunas : 
 
(semicondutor intrínseco) 
Recombinação produz: 
 
 ⁄ 
50% das recombinações são radiativas (produzem fótons)  
 
 
 
 
Portanto, a potência óptica pode ser calculada como: 
 ⁄ 
 
b)  ⁄ 
 
c)  ⁄ ⁄  
 
Re: a) 7.361017 W cm3 ; b) 3.431014 Hz ; c) Infravermelho 
 
8) O que é um LED? Quais suas principais características? 
Re: Um LED é essencialmente uma junção pn feita de um material 
semicondutor de bandgap direto. Para operação, a junção deve ser 
polarizada diretamente. A injeção de uma corrente elétrica através da 
junção aumenta a taxa de recombinação elétron-lacuna, com 
conseqüente emissão de fótons(no caso das recombinações radiativas). 
A energia do fóton emitido 
GEh 
, com 
GE
 a energia do gap.