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Hidrologia Estatística - Naghettini

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, ou ii xz ln� , se � = 0. A escolha correta da potência
de transformação � pode tornar dados originais assimétricos em aproximadamente
simétricos. Usando a expressão de Box-Cox com � = -1, -0,5, 0, +0,5, +1 e +2,
transforme os dados da Tabela 2.2, calcule os coeficientes de assimetria e curtose,
e verifique qual é o valor de � que os torna os dados aproximadamente simétricos.
Refaça o polígono de freqüências relativas para os dados transformados e
compare-o com o da Figura 2.4.
11) Para construir um diagrama de freqüências relativas acumuladas, é necessário,
como se viu no item 2.1.5, estimar a probabilidade empírica de não superação
P(X� x) por meio dos números de ordem de classificação m. No exemplo do
item 2.1.5, foi usada a expressão m/N para se estimar P(X� x). Contudo, tal
estimativa é precária porque implica que é nula a probabilidade da variável produzir
um valor maior do que o máximo amostral. Para evitar tal inconveniente, foram
propostas diversas fórmulas alternativas para a estimativa de P(X�x); na literatura
hidrológica, tais fórmulas são conhecidas por fórmulas de “posição de plotagem”,
decorrente de adaptação do termo em inglês ‘plotting position’. Uma das mais
conhecidas é a de Weibull, dada pela expressão m/(N+1). Refaça o diagrama de
Figura 2.5, usando a fórmula de Weibull.
12) No anexo 1 desse livro, você encontrará as vazões médias mensais do Rio
Paraopeba em Ponte Nova do Paraopeba, de 1938 a 1999. Coloque em um
mesmo gráfico os diagramas box plot das vazões médias mensais de Janeiro e de
Setembro. Interprete os diagramas.
13) Faça e interprete o diagrama ramo-e-folha para as alturas anuais de precipitação
observadas na estação de Ponte Nova do Paraopeba, listadas na Tabela 2.5.
14) Interprete o diagrama Q-Q da Figura 2.14.
15) A tabela abaixo se refere aos dados de concentração de sólidos totais
dissolvidos e vazão, observados no Rio Cuyahoga na estação de Independence
zi = (xi _ 1)/λ, se λ = 0λ
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 2 - ANÁLISE PRELIMINAR DE DADOS HIDROLÓGICOS
50
(código USGS 4208000), no estado americano de Ohio, tais como publicados
por Helsel e Hirsch (1992). Os símbolos M e T representam, respectivamente, o
mês e o tempo decimal (ano-1000), da realização das medições. A vazão Q está
expressa em pés cúbicos por segundo e a concentração de sólidos totais SDT
está em mg/l. Pede-se:
a) registrar em um único gráfico a variação temporal das variáveis Q e SDT;
b) elaborar e interpretar os diagramas de dispersão, com histogramas e com gráficos
 do tipo box plot, para as variáveis Q e SDT;
c) calcular o coeficiente de correlação linear entre as variáveis Q e SDT;
d) no caso em foco, dar a justificativa física do sinal do coeficiente de correlação;
 e
e) elaborar e interpretar o diagrama quantis-quantis para as variáveis Q e SDT.
Tabela 2.6 – Exercício 15
Mês T SDT QT SDT Q Mês T SDT Q Mês T SDT Q
7
8
9
10
12
3
5
6
8
11
2
5
8
11
2
5
7
11
3
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490
540
220
390
450
230
360
460
430
430
620
460
450
580
350
440
530
380
440
430
458
469
4630
321
541
1640
1060
264
665
680
650
490
380
325
1020
460
583
777
1230
565
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
78,12
78,21
78,29
78,37
78,46
78,54
78,62
78,71
78,79
78,87
78,96
79,04
79,12
79,21
79,29
79,37
79,46
79,54
79,62
79,71
680
250
250
450
500
510
490
700
420
710
430
410
700
260
260
500
450
500
620
670
533
4930
3810
469
473
593
500
266
495
245
736
508
578
4590
4670
503
469
314
432
279
10
11
12
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
12
1
2
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4
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6
79,79
79,87
79,96
80,04
80,12
80,21
80,29
80,37
80,46
80,54
80,62
80,71
80,79
80,96
81,04
81,12
81,21
81,29
81,37
81,46
410
470
370
410
540
550
220
460
390
550
320
570
480
520
620
520
430
400
430
490
542
499
741
569
360
513
3910
364
472
245
1500
224
342
732
240
472
679
1080
920
488
74,04
74,12
74,29
74,54
74,79
75,04
75,29
75,54
75,79
76,04
76,29
76,62
76,79
77,04
77,29
77,54
77,79
77,87
77,96
78,04
81,54
81,62
81,71
81,79
81,96
82,21
82,37
82,46
82,62
82,87
83,12
83,37
83,62
83,87
84,12
84,37
84,54
84,87
85,21
85,37
560
370
460
390
330
350
480
390
500
410
470
280
510
470
310
230
470
330
320
500
444
595
295
542
1500
1080
334
423
216
366
750
1260
223
462
7640
2340
239
1400
3070
244
1
2
4
7
10
1
4
7
10
1
4
8
10
1
4
7
10
11
12
1
Mês
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 3 - TEORIA ELEMENTAR DE PROBABILIDADES
53
TEORIA ELEMENTAR DE PROBABILIDADES
No capítulo 2, viu-se que a análise preliminar de uma amostra de dados
hidrológicos, por meio de um conjunto de técnicas numéricas e gráficas, permite
que se tenha uma idéia inicial da distribuição de freqüências da variável em questão.
Entretanto, as medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose são meras
estimativas de quantidades populacionais desconhecidas, enquanto as freqüências
calculadas o são das probabilidades de ocorrência de certos eventos. Para extrair
conclusões de uma amostra de dados hidrológicos, que sejam úteis à tomada de
decisões no planejamento e projeto de sistemas de recursos hídricos, é necessário
estabelecer um modelo matemático que contenha os principais elementos do
processo hidrológico que determinou a ocorrência daquelas observações. Como
visto no capítulo 1, tal modelo deve ser probabilístico pela impossibilidade de se
sintetizar em um conjunto de equações a lei que descreve rigorosamente a variação
de um certo fenômeno hidrológico. Um modelo probabilístico, embora seja incapaz
de prever com exatidão a data e a magnitude de uma enchente, por exemplo,
revela-se muito útil no estudo do regime local de cheias, especificando com que
probabilidade uma certa vazão irá ser igualada ou superada, em um ano qualquer.
O presente capítulo tem por objetivo estabelecer os princípios da teoria de
probabilidades, necessários à construção de modelos probabilísticos de fenômenos
hidrológicos.
3.1 – Eventos Aleatórios
A teoria de probabilidades lida com a realização de experimentos, naturais ou
planejados pelo homem, cujos resultados não podem ser previstos com exatidão.
Embora os resultados de um experimento, realizado sob condições uniformes e
não tendenciosas, não possam ser antecipados com exatidão, é possível estabelecer
o conjunto que contem todos os resultados possíveis ou esperados de tal
experimento. A esse conjunto, denotado por S, dá-se o nome de espaço amostral,
o qual contem os chamados pontos ou elementos amostrais. Suponha, por
exemplo, que o experimento se referisse à identificação e contagem do número
anual de dias Y com alturas diárias de chuva iguais ou superiores a 0,1 mm,
observados em uma certa estação pluviométrica; nesse caso, o espaço amostral
seria dado pelo conjunto finito � �366,...,2,1,0��� ySS D , cuja composição
é de elementos extraídos do conjunto N dos números naturais. Por outro lado, se
o experimento se referisse ao monitoramento das vazões X, em uma certa estação
fluviométrica, o espaço amostral seria � ����� RxSS C , ou seja o conjunto
infinito dos números reais não negativos.
CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3
HIDROLOGIA