Hidrologia Estatística - Naghettini

sofreu inundações, pode ser escrita da seguinte forma:
Nessa equação, apenas a quantidade P(B|A) é desconhecida, mas pode
ser deduzida das probabilidades dadas por meio das relações
 0,2.
Com esse valor na equação anterior, tem-se que
 0,72.
3.4 – Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes
Suponha que o espaço amostral S de um certo experimento seja o resultado da
união de k eventos mútua e coletivamente excludentes B1, B2, ..., Bk, cujas
probabilidades de ocorrência são diferentes de zero. Considere também um evento
A, tal como ilustrado na Figura 3.5, cuja probabilidade de ocorrência é
� � � � � � � �ABABABA k &
��&
�&
	
 ...21 . Usando a definição de
probabilidade condicional em cada termo do segundo membro dessa equação,
segue-se que
 (3.6)
A equação 3.6 é a expressão formal do chamado teorema da probabilidade
total.
Exemplo 3.4 – O sistema de abastecimento de água de uma cidade é
composto por dois reservatórios distintos e complementares: o de número
1 com volume de 150.000 l, cuja probabilidade de funcionamento é 0,7, e
o de número 2, com 187.500 l, cuja probabilidade de ser usado é 0,3. A
demanda diária de água para abastecimento da cidade é uma variável
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 BABA c
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ABABA
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⇒
	
⇒
	
 )()()()(3)()()()( BABABBBABABA
	
	
⇒ 3/)()( BAAB
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 3 - TEORIA ELEMENTAR DE PROBABILIDADES
64
aleatória cujas probabilidades de igualar ou superar 150.000 l e 187.500 l
são respectivamente 0,3 e 0,1. Sabendo-se que quando um reservatório é
ativado, o outro encontra-se desativado, pergunta-se: (a) qual é a
probabilidade de não atendimento da demanda em um dia qualquer? e (b)
supondo que as condições sejam tais que permitam a consideração de
independência estatística dos eventos entre dois dias consecutivos, qual é a
probabilidade de não atendimento da demanda em uma semana qualquer?
Solução: (a) Considere que o não atendimento da demanda em um dia
qualquer seja representado pelo evento A, enquanto os eventos B e Bc
denotam o funcionamento dos reservatórios 1 e 2. A aplicação da equação
3.6, com k = 2, resulta em
24,03,01,07,03,0)()()()()( 	"�"	
�
	
 cc BBABBAA .
(b) A probabilidade de não atendimento da demanda em uma semana
qualquer equivale à probabilidade de haver pelo menos uma falha em 7 dias,
a qual por sua vez é igual ao complemento da probabilidade de não haver
nenhuma falha em uma semana, em relação a 1. Logo, a resposta é dada
por [1-(0,76)7] = 0,8535.
� � � �
� �A
AB
AB jj 
&
	
O teorema de Bayes, devido ao matemático inglês Thomas Bayes (1702-1761),
resulta de uma interessante combinação da regra da multiplicação e do teorema
da probabilidade total. Considerando novamente a situação ilustrada pela Figura
3.5, podemos expressar a probabilidade de qualquer um dos eventos mutuamente
excludentes, por exemplo, Bj, condicionada à ocorrência de A, por meio da
equação
 (3.7)
Figura 3.5 – Diagrama de Venn para o Teorema da Probabilidade Total.
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 3 - TEORIA ELEMENTAR DE PROBABILIDADES
65
Pela regra da multiplicação, o numerador do segundo membro da equação 3.7
pode ser expresso por � � � �jj BBA 
 , enquanto o denominador pode ser posto na
forma do teorema da probabilidade total. A equação resultante é a expressão do
teorema de Bayes, a saber,
 (3.8)
O teorema de Bayes constitui um quadro lógico importante para a revisão ou a
atualização de probabilidades previamente estabelecidas, à luz de novas
informações. Para exemplificar tal possibilidade, considere a necessidade hipotética
de cálculo da probabilidade da temperatura mínima de um dia qualquer de Janeiro,
em um dado local, estar acima de 15o C, como parte das informações contidas
em um boletim de previsão meteorológica. Nesse caso, denotamos por B1o evento
das temperaturas superiores a 15o C e por cB1 o evento complementar, de tal
modo que esses sejam mútua e coletivamente excludentes e que, portanto
SBB c 	' 11 . Se nenhuma outra informação encontra-se disponível, é natural que
se estime a probabilidade P(B1) pela freqüência relativa dos dias de Janeiro com
temperaturas superiores a 15o C, digamos (25/31) ou 80,64%. Dentro do contexto
do teorema de Bayes, essa estimativa é denominada probabilidade a priori ou
subjetiva, indicando o grau de confiança inicial que tem o meteorologista, referente
à ocorrência de B1. Entretanto, a temperatura mínima diária pode ser afetada pela
ocorrência de precipitações naquele dia e, supondo que se preveja um dia chuvoso,
tal cenário certamente irá modificar a probabilidade a priori P(B1). Para incorporar
tal modificação, é preciso conhecer as estimativas de P(A|B1) e P(A),
respectivamente as probabilidades de ocorrer chuva nos dias com temperaturas
superiores a 15o C e em todos os dias de Janeiro. Suponha que a análise de
freqüência dos registros históricos produza as seguintes estimativas
P(A|B1) = (15/25) e P(A) = (18/31). Com tais estimativas na equação 3.8 e
lembrando que o denominador dessa equação é de fato P(A), tem-se
P(B1|A) = [(15/25).(25/31)]/(18/31) = (15/18) ou 83,33%. Essa é a probabilidade a
posteriori, revisada pela incorporação da ocorrência do evento A.
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� � � �
� � � �∑
	
	
 k
i
ii
jj
i
BBA
BBA
AB
1
Exemplo 3.5 – Um satélite meteorológico envia um conjunto de códigos
binários (‘0’ ou ‘1’) para descrever o desenvolvimento de uma tempestade.
Entretanto, interferências diversas no sinal emitido pelo satélite podem
provocar erros de transmissão. Suponha que uma certa mensagem binária,
contendo 80% de dígitos ‘0’, tenha sido transmitida e que exista uma
probabilidade de 85% de que um dado ‘0’ ou ‘1’ tenha sido recebido
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 3 - TEORIA ELEMENTAR DE PROBABILIDADES
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corretamente. Se houve a recepção de um ‘1’, qual é a probabilidade de
que um ‘0’ tenha sido transmitido?
Solução: Vamos representar os eventos de que o dígito ‘0’ ou ‘1’ tenha
sido transmitido, respectivamente por T0 ou T1. Analogamente, R0 ou R1
denotam a recepção de um ‘0’ ou de um ‘1’, respectivamente. De acordo
com os dados do problema, P(T0) = 0,8, P(T1) = 0,2, P(R0|T0) = 0,85,
P(R1|T1) = 0,85, P(R0|T1) = 0,15 e P(R1|T0) = 0,15. A probabilidade pedida
é P(T0|R1), a qual pode ser calculada por meio do teorema de Bayes. No
caso presente, � � � �� � � � � � � � � �� �11100100110 )( TTRTTRTTRRT 
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 . Com
os dados do problema, � � � � .4138,02,085,08,015,08,015,0)( 10 	"�""	
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3.5 – Variáveis Aleatórias
Uma variável aleatória é uma função X que associa um valor numérico a cada
resultado de um experimento. Embora diferentes resultados do experimento
possam compartilhar o mesmo valor associado a X, há um único valor numérico
da variável aleatória, associado a cada resultado. Para facilitar o entendimento do
conceito de variável aleatória, considere o lançamento simultâneo de duas moedas,
distinguíveis uma da outra; o espaço amostral, correspondente a esse experimento,
é S={ff, cc, fc, cf}, onde f simboliza ‘face’ (ou ‘cara’) e c ‘coroa’. Por suposição,
os eventos mutuamente excludentes A={ff}, B={cc}, C={fc} e D={cf} são
considerados equiprováveis, cada qual, portanto, com probabilidade de ocorrência
igual a 0,25. Suponha, ainda, que a variável aleatória X seja definida como o número
de ‘faces’ (ou ‘caras’) decorrentes da realização do experimento. O mapeamento do
espaço amostral S permite associar à variável X os seguintes possíveis valores
numéricos: x =