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Hidrologia Estatística - Naghettini

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da distribuição binomial é dada por
� � � � .,...,,x,pp
x
n
xp xnxX 2101 	�⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
	 � Calcule a média e a variância da
distribuição binomial de parâmetros n e p, através da função geratriz de momentos.
Lembre- se, pelo binômio de Newton, que � � kn
n
k
kn ba
k
n
ba �
	
∑ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
	�
0
 .
17)X e Y são duas variáveis aleatórias independentes com densidades��1exp(-x�1) e
�2exp(-y�2) respectivamente, para x!0 e y 0. Pede-se:
a) determinar a função geratriz de momentos de Z=X+Y; e
b) determinar a média e a variância de Z a partir da função geratriz de momentos.
18) Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta de X e Y seja
dada por
a) calcule P(X<2|Y=3);
b) calcule P(Y > 3); e
c) determine E[X|Y=4].
19) Suponha que a duração X de uma precipitação e sua intensidade Y tenham
distribuição de probabilidades conjuntas, cuja função densidade é
, para x, y!0 e parâmetros
a, b 0 e 0 c 1. Suponha que os parâmetros valham a = 0,07 h-1,
b =1,1 h/mm e c = 0,08 mm-1. Para o propósito de se projetar um sistema de
drenagem, pergunta-se qual é a probabilidade de que uma precipitação que dure
6 horas vá exceder a intensidade de 3 mm/h?
20) Volte ao exercício 19 e suponha que c = 0. Nesse caso, demonstre que as
variáveis X e Y são estatisticamente independentes.
21) Considere a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória
dada por . Pede-se (a) expressar a densidade de Y = ln
(X), com seus limites de definição e (b) elaborar um gráfico de fY (y).
f
( ) ( )( )[ ] ( )cxybyaxexpccxbcyay,xf Y,X −−−−++=
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 3 - TEORIA ELEMENTAR DE PROBABILIDADES
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22) Uma barragem deve possuir borda livre acima do NA máximo-maximorum
para a arrebentação de ondas devidas ao vento, evitando que essas sobreponham
sua crista. Suponha válida a seguinte relação empírica para a altura da onda
eólica (em cm):
onde:
V = velocidade do vento em km/h,
F = pista de vento ou “fetch” em m, e
d = profundidade média do reservatório em m.
a) Se a velocidade do vento possui distribuição exponencial com média v0 , para
v!0, determine a função densidade de probabilidade de Z.
b) Se v0 = 30 km/h, F = 300 m e d = 10 m, calcule P(Z >30 cm).
23) A função densidade de probabilidade da distribuição Gama
(com parâmetros ��e �) é dada por 
� � � �� � 0com
1
��
��
���	
���
,,x,xexpxxf X
 com x,�, ��
��,
onde [ver Anexo 4 para uma breve revisão sobre as
propriedades da função �(.)]. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias
contínuas e independentes, distribuídas segundo Gama com parâmetros (�1e�1)
e (� 2 e �2), respectivamente. Ache a expressão das funções densidade de
probabilidades conjuntas e de probabilidades marginais de U = X+Y e
V = X/(X+Y).
24) Suponha que, para as chuvas de duração igual a 2 horas, a proporção de
chuvas convectivas é de 0,55, enquanto a de chuvas frontais é de 0,45. Se X
denota as intensidades dessas chuvas e supondo que as de ambos os tipos são
exponencialmente distribuídas com parâmetros ��=15 mm/h, para as do tipo
convectivo, e � = 8 mm/h, para as frontais, pede-se: (a) determinar e fazer um
gráfico da função densidade de probabilidades das intensidades de chuva de
qualquer origem e (b) calcule P(X > 25 mm/h).
2
1500
V
d
F
Z	
� � � �dttt∫
�
� �	�
0
1exp��
propriedades
contínuas
0>λα,,x,( )
( )
( )
1
αΓ
λ−λ
=
−αα xexpx
xf X , com
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 3 - TEORIA ELEMENTAR DE PROBABILIDADES
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���6��������� ���4 ���������7�������������������������58�����������58��
���
���6������ ���4 ���������7���������������
���������58�����������58��
No capítulo 3, foram apresentados os fundamentos da teoria de probabilidades,
necessários à compreensão das variáveis aleatórias e de suas distribuições. No
presente capítulo, dá-se início à formulação e à descrição dos principais modelos
de distribuição de probabilidades capazes de sintetizar o comportamento das
variáveis aleatórias hidrológicas. Um modelo de distribuição de probabilidades
é uma forma matemática abstrata, a qual, por suas características intrínsecas de
variabilidade e conformação, devem ser capazes de representar, de modo
conciso, as variações possíveis de uma variável aleatória. Um modelo de
distribuição de probabilidades também é uma forma paramétrica, ou seja, um
modelo matemático prescrito por parâmetros, cujos valores numéricos o definem
completamente e o particularizam para uma certa amostra de observações de
uma variável aleatória. Uma vez estimados os valores numéricos de seus
parâmetros, um modelo de distribuição de probabilidades pode constituir-se
em uma síntese plausível do comportamento de uma variável aleatória e ser
empregado para interpolar, ou extrapolar, probabilidades e/ou quantis não
contidos na amostra de observações.
Os modelos de distribuição de probabilidades são classificados em discretos e
contínuos, de modo consoante com as variáveis aleatórias cujo comportamento
visam modelar. Uma função de distribuição discreta é aquela empregada para
modelar o comportamento de uma variável aleatória cujo espaço amostral é do
tipo numerável, composto por valores isolados, em geral, números inteiros. Os
principais modelos de variáveis aleatórias discretas, que encontram uma ampla
gama de aplicações em hidrologia, podem ser agrupados em três grandes categorias.
A primeira está relacionada as variações dos chamados processos de Bernoulli e
inclui as distribuições binomial, geométrica e binomial negativa. A segunda refere-
se aos processos de Poisson, na qual se destaca a própria distribuição de Poisson.
A terceira inclui as distribuições hipergeométrica e multinomial. A descrição de
tais modelos discretos de distribuição de probabilidades é o objeto deste capítulo
4. Os principais modelos contínuos serão descritos no capítulo 5.
����3��-+#%..+.�$%��%-*+0(('
Considere um experimento com somente dois resultados possíveis e dicotômicos:
‘sucesso’, designado pelo símbolo S, e ‘falha’, por F. O espaço amostral desse
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���6��������� ���4 ���������7�������������������������58�����������58��
���
experimento é dado pelo conjunto {S,F}. Tal experimento é conhecido como
de Bernoulli. Se a probabilidade de ocorrer um sucesso é igual a p e se
associarmos a esse experimento uma variável aleatória discreta X, cujos valores
possíveis são X = 1 para o resultado S e X = 0 para o resultado F, diz-se que X
segue uma distribuição de Bernoulli. A correspondente função massa de
probabilidades é dada por
 (4.1)
com valor esperado E[X] = p e Var[X] = p(1-p).
Agora, de modo mais geral, suponha que a escala de tempo de um determinado
processo estocástico tenha sido discretizada em intervalos de largura definida,
por exemplo, em intervalos anuais, indexados por i =1, 2, ... Suponha também
que, em cada intervalo de tempo, pode ocorrer um único ‘sucesso’, com
probabilidade p, ou uma única ‘falha’, com probabilidade (1-p), e que essas
probabilidades não são afetadas pelas ocorrências anteriores. Um processo
composto por essa seqüência de repetições independentes de experimentos de
Bernoulli é igualmente denominado processo de Bernoulli.
Para ilustrar a aplicação dos processos de Bernoulli em hidrologia, considere uma
seção fluvial hipotética cujo nível d’água de extravasamento corresponde à vazão Q0.
As vazões médias diárias nesta seção fluvial são monitoradas por uma estação
fluviométrica, cujos registros se estendem por N anos de observações e constituem a
série hidrológica completa para esse local. Para cada ano, seleciona-se o máximo
valor entre as 365 (ou 366) vazões médias diárias, o qual é um dos N elementos da
série hidrológica reduzida de vazões médias diárias máximas anuais