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Hidrologia Estatística - Naghettini

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a 30 podem ser necessários para garantir
a convergência.
O teorema do limite central, em sua versão estrita já enunciada, tem pouca aplicação
em hidrologia. De fato, é difícil admitir a noção de que uma variável hidrológica
seja o resultado da soma de um grande número de variáveis independentes e
identicamente distribuídas. Tomemos o exemplo da variável ‘altura anual de
precipitação’, cujo resultado é, de fato, a soma das alturas pluviométricas diárias,
medidas em uma certa localidade. Entretanto, supor que as alturas diárias de
todos os dias do ano possuam a mesma distribuição de probabilidades, com a
mesma média e com o mesmo desvio padrão, não é realista do ponto de vista
hidrológico e, portanto, impede a aplicação da versão estrita do teorema do limite
central. Por outro lado, o chamado teorema do limite central generalizado é
flexível o bastante para permitir sua aplicação a algumas variáveis hidrológicas.
De acordo com essa versão, se Xi(i=1,2,...,n) denotam variáveis independentes,
cada qual com suas respectivas médias e variâncias iguais a �i e �i
2, então, a
variável dada por
 (5.21)
tende a uma variável Normal padrão, quando n tende ao infinito, sob a condição
de que nenhum dos componentes Xi possua um efeito dominante na soma Sn.
Segundo Benjamin e Cornell (1970), Zn tende a ser normalmente distribuída,
quando n tende para o infinito, ainda que os componentes Xi não sejam
coletivamente independentes entre si, porém distribuídos conjuntamente de modo
que seja nula a correlação entre um componente e a grande maioria dos outros. A
importância prática da versão generalizada do teorema central limite reside no
fato de que, mantidas as condições gerais enunciadas, a convergência para uma
distribuição Normal da soma, ou da média, de um número suficientemente grande
de componentes aleatórios pode ser estabelecida sem o conhecimento exato das
∑
∑
	
	
�
��
	
n
i
i
n
i
in
n
S
Z
1
2
1
Xμ
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
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distribuições marginais de Xi ou de sua distribuição conjunta.
A versão generalizada do teorema do limite central já permite alguma aplicação às
variáveis hidrológicas. De volta ao exemplo da variável ‘altura anual de
precipitação’, é plausível a suposição de que, em uma região de sazonalidade
pouco marcada, não haja um efeito dominante de uma ou de algumas alturas
pluviométricas, de um ou de alguns dias específicos do ano, sobre o total anual.
Exceção feita à prevalência de precipitações de origem frontal, também é plausível
admitir-se a hipótese de independência de, pelo menos grande parte, dos
componentes Xi. Portanto, sob tais condições particulares e supondo que n =365
(ou 366) seja um número suficientemente grande para permitir a convergência, a
qual, de fato, irá depender da forma das distribuições individuais dos componentes,
é possível admitir-se que as alturas anuais de precipitação possam ser descritas
pela distribuição Normal. Usando argumentos similares, porém ressalvando a maior
dependência estatística entre os componentes Xi, é possível admitir também que
as vazões médias anuais de bacias hidrográficas, localizadas em regiões de
sazonalidade pouco marcada, possam ser modeladas por uma distribuição Normal.
Exemplo 5.3 – Deseja-se monitorar as concentrações de oxigênio dissolvido
em um trecho fluvial localizado a jusante de um reservatório, cujas funções
são de controlar cheias e manter calados mínimos para a navegação. O
programa de monitoramento irá consistir de medições semanais sistemáticas
de concentração de oxigênio dissolvido (OD) em uma seção transversal já
definida. A variável aleatória ‘concentração de OD’, aqui denotada por X,
é fisicamente limitada à esquerda pelo valor 0 e à direita pela concentração
de saturação de oxigênio dissolvido (em torno de 9 mg/l), a qual depende
da temperatura da água. Suponha que uma campanha de 8 medições
semanais resultou em mg/l.2emg/l4 		 Xsx À luz somente dessas
informações, pergunta-se quantas medições semanais devem ser
programadas para que a diferença entre a média amostral e a verdadeira
média populacional de X seja no máximo de 0,5 mg/l, com uma certeza de
95%.
Solução: Contrariamente a uma variável aleatória Normal, a variável X,
nesse caso, é limitada à esquerda e à direita e, em função de sua dependência
da vazão no trecho fluvial, sua função densidade é provavelmente assimétrica.
Suponha que Xi denote a concentração de OD na i-ésima semana do
programa de n semanas de monitoramento. Dado que a seção de
monitoramento encontra-se em um trecho de vazões fortemente regularizadas
e que o intervalo entre as medições é semanal, é possível supor que as
variáveis Xi são independentes entre si e igualmente distribuídas, todas com
média��e desvio padrão �, mesmo que não sejam conhecidas as respectivas
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
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distribuições marginais. Portanto, é plausível admitir que a soma e, por
conseguinte, a média aritmética de n variáveis independentes e igualmente
distribuídas (IID) tendem a ser normalmente distribuídas, quando n é grande
o bastante para permitir tal convergência. Em outras palavras, é plausível a
aplicação da versão estrita do teorema do limite central. Fazendo a soma
das n variáveis IID xnS n 	 , onde x denota a media aritmética, e
substituindo-a na equação 5.20, resulta que � �10N ,~
n
x
n
nxn
Z n
�
��
	
�
��
	 .
Logo, pode-se escrever que 95059752 ,zn
x
z %,%, 	⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
"
�
��
"� . A Tabela 5.1
fornece z0,975 = 1,96 e, por simetria, z0,025 = - 1,96. Substituindo um desses
valores na equação de P(.) e isolando o termo da diferença entre a média
amostral e a média populacional, resulta que � � 950961 ,n,x 	�"��� .
Supondo que ó possa ser estimado por sX = 2 mg/l e lembrando que
50,x 	�� mg/l, verifica-se que � � 502961 ,n, %& ou que n 61,47.
Portanto, 62 semanas de monitoramento são minimamente necessárias para
que a diferença entre a média amostral e a verdadeira média populacional
de X seja no máximo de 0,5 mg/l, com uma certeza de 95%.
� �pnp
npX
Z
�
�
	
1
�
��
	
X
Z
No capítulo 4, foi visto que a variável discreta binomial, representada por X e
com parâmetro p, resulta da soma de n variáveis discretas de Bernoulli. Como
conseqüência do teorema do limite central, se n é suficientemente grande, é possível
aproximar a distribuição binomial por uma distribuição Normal. Lembrando que
a média e a variância da variável binomial X são, respectivamente, iguais a np e
np(1-p), verifica-se que a variável definida por
 (5.22)
tende a ser distribuída conforme uma N(0,1), quando n tende para infinito. A
convergência é mais rápida para valores de p em torno de 0,5; para valores de p
próximos de 0 ou 1, maiores valores de n são necessários.
Analogamente, pode-se aproximar uma variável de Poisson X, de média e variância
iguais a �, pela variável Normal padrão
 (5.23)
quando � > 5. Note, entretanto, que ao aproximar uma função massa de
%
S
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CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
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probabilidade de uma variável discreta por uma função densidade de uma variável
contínua, deve-se proceder à chamada correção de continuidade. De fato, no
caso discreto, quando X = x, a FMP é uma linha ou um ponto; a linha ou a
ordenada do ponto deve ser aproximada, no caso contínuo, pela área da FAP
entre (x-0,5) e (x+0,5).
5.3 – Distribuição Log-Normal
Suponha que uma certa variável contínua X resulte da ação multiplicativa de um
grande número de componentes aleatórios independentes Xi (i = 1,2,...,n), ou
seja que nX...X.XX 21	 . Nesse caso, a variável Y = ln (X)1, tal que Y = ln (X1)
+ ln (X2) + ... +