A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
600 pág.
Hidrologia Estatística - Naghettini

Pré-visualização | Página 43 de 50

parâmetro da distribuição. Se X~E(�) ou
X~E(�), a função acumulada de probabilidades é dada por
 (5.35)
O valor esperado, a variância e o coeficiente de assimetria (ver Exemplos 3.12 e
3.13 do capítulo 3) de uma variável exponencial são expressos, respectivamente,
por
 (5.36)
 (5.37)
 (5.38)
Observe que o coeficiente de assimetria da distribuição exponencial é fixo e
positivo. A Figura 5.5 ilustra a FDP e a FAP dessa distribuição para � = 2 e
� = 4.
� � � �
�
	�	
1
ou XEXE
� � � �
2
2 1VarouVar
�
	�	 XX
� � � � � �xexpxF
x
expxF XX ���	⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
��	 1ou1
2	�
Figura 5.5 – FDP e FAP da Distribuição Exponencial para ��= 2 e � = 4
Exemplo 5.5 – Com referência ao esquema de individualização de cheias,
apresentado no enunciado do exercício 8 do capítulo 4, considere que, em
média, ocorrem anualmente 2 cheias com vazões de pico superiores ao
patamar Q0= 60m
3/s. Considere que as ‘excedências’ (Q-Q0) têm média
igual a 50 m3/s e que são exponencialmente distribuídas. Calcule a vazão de
tempo de retorno T =100 anos.
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
146
Solução: Trata-se de um processo de Poisson com ,
onde os limites de integração 0 e 1 representam, respectivamente, o início e
o fim do ano,�� a intensidade de Poisson e � o número médio anual de
ocorrências. Quando ocorrem, as excedências X = (Q-Q0) são distribuídas
de acordo com a FAP exponencial, aqui representada por
, com � = 50 m3/s. Para calcular as vazões relacionadas
a um certo tempo de retorno, é necessário, inicialmente, determinar a FAP
das excedências máximas anuais, denotada por � �xF maxX , uma vez que� �maxXFT �	 11 . Se o objetivo é calcular a probabilidade da excedência
máxima anual x, é preciso raciocinar que cada uma das 1, 2, 3,
...# excedências independentes, que podem ocorrer em um ano, devem
ser menores ou iguais a x, uma vez que x representa o máximo anual. Logo,
pode ser determinada, ponderando-se a probabilidade de
ocorrência simultânea das n possíveis excedências independentes, ou seja
� �� � nX xG , pela FMP do número anual de execedências n, o qual é distribuído
segundo Poisson com parâmetro �.
Portanto, � � � �� � � �� �∑ ∑
#
	
#
	
����
�	
�
	
0 0 !!n n
n
X
n
n
XmaxX n
e
xG
n
e
xGxF . Multiplicando
e dividindo essa equação por � �xGe �� , obtém-se
� � � �� � ! � �� � � �� �∑#
	
���
���	
0 !
1
n
X
n
X
XmaxX n
xGexpxG
xGexpxF .
A somatória do segundo membro dessa equação é igual a 1 por tratar-se
da soma total de uma FMP de Poisson com parâmetro � �xGX� . Logo,
chega-se a � � � �� � !xGexpxF XmaxX ���	 1 , a qual é a equação fundamental
para o cálculo de probabilidades anuais das séries de duração parcial
com ocorrências de Poisson. No problema específico, a FAP das
excedências é exponencial, ou seja, � � � ����	 xexpxGX 1 , cuja substituição
na equação acima resulta no chamado modelo Poisson-Exponencial para
séries de durações parciais, ou seja, � �
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
�
���	 0
Qq
expexpqF maxQ ,
onde Qmax = Q0+X representa a vazão máxima anual. Relembrando o fato
matemático que se � � � � � �� �cblnexpacblnalneba c �	+�	+	 , resulta
que � � � �
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
����
�
��	 lnQqexpexpqF maxQ 0
1 , a qual representa a FAP da
� �∫ 	�	�
1
0
2dtt
( ) ( )θ−−= xexpxGX 1
( )xF maxX
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
147
importante distribuição de Gumbel, com parâmetro de escala � e
parâmetro de posição [Q0+��ln(�)], a ser detalhada no item 5.7 do presente
capítulo. Portanto, a modelação de séries de duração parcial, com número
de ocorrências distribuídas de acordo com a FMP de Poisson e excedências
exponencialmente distribuídas, tem como distribuição de máximos anuais a
distribuição de Gumbel. Para o problema em questão,
99010011100 ,FT maxQ 	�	⇒	 ; � = 50; � = 2 e Q0= 60m
3/s. Invertendo a
FAP de Gumbel, obtém-se a função de quantis para essa distribuição, ou
seja, . Substituindo os valores, tem-se que
� � 8289980 ,,Fq 		 m3/s. Portanto, a vazão centenária para esse caso é
289,8 m3/s.
� � � � � �
� � 0epara
1
��
�
�
���
	
��
,x
xexpx
xf X
5.5 – Distribuição Gama
A solução do exercício 9 do capítulo 4 mostra que a distribuição de probabilidades
do tempo t para a n-ésima ocorrência de Poisson tem como função densidade
� � � �!11 ��	 ��� nettf tnnT , a qual é denominada Gama para valores inteiros do
parâmetro n. Nessas condições, a densidade Gama resulta da soma de n variáveis
exponenciais independentes, cada qual com parâmetro ��ou, de modo equivalente,
cada qual com parâmetro ��= 1/�. Em geral, o parâmetro n não necessita ser
inteiro e, sem essa restrição, a função densidade da distribuição Gama passa a ter
como expressão geral
 (5.39)
na qual, � e � representam, respectivamente, os parâmetros de escala e forma;
sinteticamente, indica-se que X~Ga(�,�). Na equação 5.39, (�) denota o fator
de normalização que obriga a área total da densidade ser igual a 1. Esse fator de
normalização é expresso pela função Gama completa (.), do argumento
�, a qual é dada por
 (5.40)
Quando� é um número inteiro, a função Gama completa (�) é equivalente a
(�-1)!. O leitor deve remeter-se ao Anexo 4 para uma breve revisão das
propriedades matemáticas da função Gama e à referência Press et al. (1986),
para a descrição de algoritmos para sua aproximação numérica. O Anexo 5 contém
seus valores tabelados, para 1"� 2; a propriedade matemática 
(�+1) = �
���
� � ∫
#
���	�
0
1 dxex x
≤
Γ
( ) ( ) ( )[ ]FlnlnlnQFq −θ−νθ+= 0
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
148
permite a extensão dos valores tabelados para quaisquer outros valores de �. A
função de probabilidades acumuladas da distribuição Gama é expressa por
 (5.41)
Assim como para a FAP da distribuição Normal, a integral dada pela equação
5.41 não pode ser obtida analiticamente. Portanto, o cálculo de probabilidades
da distribuição Gama deve ser feito por aproximações numéricas, tais como as
descritas por Press et al. (1986), ou por extensas tabelas encontradas em diversos
livros-texto de estatística. Uma aproximação relativamente simples e que conduz
a resultados satisfatórios, principalmente para valores elevados do parâmetro �,
faz uso da variável Gama normalizada pelo parâmetro de escala; esse procedimento
de aproximação da FAP da distribuição Gama encontra-se descrito a seguir. Com
efeito, se X é uma variável Gama com parâmetro de escala arbitrário �, a variável
Gama padrão é dada por �	� x ; demonstra-se, nesse caso, que � =1 e que o
parâmetro de forma é o mesmo tanto para X, quanto para �. É fácil verificar que
a função acumulada de probabilidade de X pode ser expressa pelo quociente
 (5.42)
entre a função Gama incompleta � ���
 ,i e a função Gama completa � ��
 . Maione
e Moisello (2003) mostram que esse quociente pode ser aproximado pela
distribuição Normal padrão (u), calculada no ponto u, o qual é definido por
 (5.43)
O Exemplo 5.6 ilustra a aplicação desse procedimento para o cálculo de FX(x).
O valor esperado, a variância e o coeficiente de assimetria da variável Gama são
 (5.44)
 (5.45)
 (5.46)
� � � � � �� �∫ �
�
���	
��x
X dx
xexpxxF
0
1
� � � �� ��
��
	
��
��
	
∫
∫
#
����
�
����
,
de
de
xF iX
0
1
0
1
�
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
�
��
�
�
�	
9
1
13 3u
� � 2Var ��	X
�
	�
2
� � ��	XE