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Hidrologia Estatística - Naghettini

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(1857-1936) propôs um sistema de distribuições
de probabilidades, segundo o qual uma função densidade pode ser posta sob a
forma
 (5.100)
na qual, certos valores específicos dos coeficientes a, b0, b1, ... podem definir oito
grandes famílias de distribuições que incluem a Normal, a Gama e a Beta. Essas
famílias são comumente referidas na literatura estatística como Pearson Tipo I,
Tipo II, e, assim por diante, até a Pearson Tipo VIII. De todo esse sistema de
funções, as distribuições pertencentes à família Gama, ou distribuições Pearson
Tipo III, estão entre aquelas que encontraram o maior número de aplicações na
análise de freqüência de variáveis hidrológicas, com destaque para vazões e
� �
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
�
�⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
�
	�
1
1
2
1
1
2
D
� �����	� DZ
� � � � ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
�
��	�
1
11DC
� � � ����	� CZE Z
� � ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
��
�	 ∫
#�
x
X dt...xbxbb
axexpxf 2
210
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
173
precipitações máximas anuais. Em decorrência desse fato, destacaremos aqui
duas distribuições do sistema Pearson de funções densidades, a saber, as
distribuições Pearson Tipo III e Log-Pearson Tipo III.
5.8.1 – Distribuição Pearson Tipo III
Uma variável aleatória X possui uma distribuição de Pearson Tipo III se a variável
(X- ��) é distribuída conforme uma Gama com parâmetro de escala � e parâmetro
de forma �; de fato, se o parâmetro de posição �, da distribuição Pearson do
Tipo III, for nulo, essa distribuição reduz-se a uma Gama. Por essa razão, a
distribuição Pearson Tipo III também recebe o nome de Gama de 3 parâmetros.
A função densidade de probabilidade de uma distribuição Pearson Tipo III é
dada por
 (5.101)
A variável X é definida no intervalo #��� x . Em geral, o parâmetro de escala
� pode ser positivo ou negativo. Entretanto, se ��< 0, a distribuição é limitada
superiormente. A função de probabilidades acumuladas da distribuição Pearson
Tipo III é expressa por
 (5.102)
e pode ser avaliada do mesmo modo que o descrito no item 5.5, para a FAP da
distribuição Gama. A Figura 5.16 ilustra alguns exemplos para a função densidade
da distribuição Pearson Tipo III.
� �
� �
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
��
�⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
��
�
�
	
�� x
exp
x
xf X
11
� � � � dx
xexpxxFX ∫
#
�
��
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
���⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
�
��
�
�
	
11
Figura 5.16 - Exemplos de funções densidades da distribuição Pearson Tipo III
( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
γ−
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
γ−
βΓα
=
−β x
exp
x
xf X
11
Tipo III é expressa por
( ) ( ) dx
xexpxxFX ∫
∞
γ
−β
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
γ−
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
γ−
βΓα
=
11
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
174
A média, a variância e o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória Pearson
Tipo III são, respectivamente,
 (5.103)
 (5.104)
 (5.105)
5.8.2 – Distribuição Log-Pearson Tipo III
Se a variável ln(X), ou log(X), é distribuída segundo uma Pearson Tipo III, a
distribuição da variável X é uma Log-Pearson Tipo III. A função densidade
correspondente é dada por
 (5.106)
A função densidade da distribuição Log-Pearson Tipo III (LPIII) possui uma
grande variedade de formas. Para a análise de freqüência de eventos hidrológicos
máximos, somente as distribuições Log-Pearson Tipo III, com valores de �
maiores do que 1 e valores de 1/� maiores do que zero, são de interesse. Isso
decorre do fato que valores negativos do coeficiente de assimetria implicam em
��< 0 e, por conseguinte, em um limite superior para a variável aleatória. A FAP
da distribuição Log-Pearson Tipo III é dada por
 (5.107)
Nessa equação, se � �� � ���	 xlny , a FAP Log-Pearson Tipo III torna-se
 (5.108)
a qual pode ser avaliada pela equação 5.41, com ��=�� =1 e � = �. O valor
esperado de uma variável Log-Pearson Tipo III é
 (5.109)� �
� ��
�
��
	
1
e
XE
� � ����	XE
� � ��	 2Var X
�
	�
2
� � � �
� � � �
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ��⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ �	
�
α
γxlnexp
α
γxln
βαxΓ
1xf
1β
X
� � � �
� � � �
∫ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
�
���⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
�
��
�
�
	
��x
X dx
xlnexpxln
x
xF
0
111
� � � � � �∫ ��
	
��
y
Y dyyexpyyF
0
11
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
175
Os momentos de ordem superior são complexos. Bobée e Ashkar (1991)
deduziram a seguinte expressão geral para os momentos, em relação à origem,
de uma variável LPIII:
 (5.110)
na qual, r denota a ordem do momento. Deve-se notar, entretanto, que, para essa
distribuição, os momentos de ordem r não existem se � >1/r. O cálculo dos
parâmetros de uma distribuição LPIII pode ser feito de dois modos: o indireto e
o direto. O modo indireto, mais simples, é calcular os parâmetros da distribuição
Pearson III, tal como aplicada aos logaritmos da variável X, ou seja, aplicar as
equações 5.103 a 5.105 à variável transformada Z = ln(X) ou Z = log(X). O
modo indireto é mais complexo e não será abordado no presente item; o leitor
deve remeter-se às referências Bobée e Ashkar (1991), Kite (1977) e Rao e
Hamed (2000) para detalhes com relação ao comportamento de uma variável
LPIII.
O Conselho de Recursos Hídricos dos Estados Unidos da América (U.S. Water
Resources Council, 1981) recomendou o uso da distribuição LPIII por parte das
agências federais daquele país. Ao longo dos anos subseqüentes, tal fato tem
gerado uma certa polêmica entre os especialistas da área e, conseqüentemente,
produzido um volume considerável de pesquisas sobre esse modelo distributivo.
Essas pesquisas abordam tópicos que vão desde os estudos comparativos entre
métodos de estimação de parâmetros, quantis e intervalos de confiança, até temas
relacionados à regionalização do coeficiente de assimetria, cuja determinação é
essencial para o cálculo de probabilidades pela distribuição Log-Pearson Tipo
III. A discussão de tais tópicos encontra-se além do escopo desta publicação e,
por essa razão, o leitor interessado nesse tema, deve remeter-se, novamente, às
referências Bobée e Ashkar (1991), Kite (1977) e Rao e Hamed (2000).
5.9 – Distribuições de Estatísticas Amostrais
Até aqui, estivemos tratando de distribuições de probabilidades que se prestam a
representar o modo de variação de certas grandezas, formalizadas como variáveis
aleatórias. As distribuições aqui descritas foram selecionadas com o intento de
apresentar um elenco de modelos distributivos mais adequados à representação
de variáveis hidrológicas. Existem, entretanto, outros problemas estatísticos, entre
os quais destacam-se os testes de hipóteses e a construção de intervalos de
confiança, que requerem distribuições de probabilidades particulares. Tais
distribuições, freqüentemente denominadas distribuições de estatísticas amostrais,
� ��
�
��
	�
r
e r'
r 1
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: DISTRIBUIÇÕES E APLICAÇÕES
176
não são utilizadas para a modelação de variáveis hidrológicas, mas são úteis na
solução de outros problemas estatísticos que as concernem; esses problemas
serão abordados em capítulos subseqüentes. Entre as distribuições de estatísticas
amostrais, serão destacadas aqui as distribuições do Qui-Quadrado �2, de t de
Student e de F de Snedecor.
5.9.1 – Distribuição do Qui-Quadrado �2
Se, para Xi~N(�,�), �
��
	 ii
X
Z , com i = 1, 2, ... , N, representa um conjunto
de N variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas