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Apostila de Hidrologia

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é proporcional a vazão de saída, já que se supõe 
que a vazão de saída é proporcional à área da seção do rio. 
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Apostila de Hidrologia 
Profa. Rutinéia Tassi & Prof. Walter Collischonn -91- 
Q.KS p = (10.2) 
O valor de K é considerado igual ao tempo de deslocamento da onda de cheia através do 
trecho de rio. O volume de armazenamento por cunha é proporcional à diferença entre as 
entradas e saídas. 
 
)QI.(X.KSc −= (10.3) 
onde X é um fator de ponderação, podendo asumir valores entre 0 e 0,5, em função da 
forma de armazenamento em cunha. Quando X = 0, não existe cunha de armazenamento, e não 
há curva de remanso no rio, e o escoamento será do tipo reservatório, onde S = K.Q. Nesse caso 
se produz a máxima atenuação possível. Quando X=0,5; diz-se que a cunha está completamente 
desenvolvida e não existe atenuação alguma do pico. Em rios naturais, de vazões elevadas e de 
baixa declividade, X é muito próximo de 0, e será mais próximo de 0,5 quanto maior a 
declividade do rio, e menor for a vazão do mesmo. 
O armazenamento total no trecho de rio considerado seria então: 
 
)QI.(X.KQ.KS −+= (10.4) 
que pode ser reordenado como: 
]Q)X1(XI[KS −+= (10.5) 
 
Esta equação representa o modelo linear de armazenamento para a propagação de ondas 
de cheia em rios, através do método de Muskingum. Se analisamos o volume de armazenamento 
em dois instantes, 1 e 2, no início e ao final de um intervalo de tempo ∆t, esses podem ser 
escritos como: 
]Q)XI(XI[KS 111 −+= (10.6) 
]Q)XI(XI[KS 222 −+= (10.7) 
 
A variação do armazenamento através do rio seria a diferença entre ambos 
armazenamentos. 
{ [ ] }112212 Q)X1(XI]Q)XI(XI[.KSS −+−−+=− (10.8) 
 
Utilizando a equação da continuidade, a variação no armazenamento é igual a: 
 
t.
2
QQ
t.
2
II
SS 212112 ∆∆ +−+=− (10.9) 
 
Combinando as equações 10.8 e 10.9 
 
t.
2
QQ
t.
2
II
)]QQ).(X1()II.(X[K 21211212 ∆∆ +−+=−−+− (10.10) 
 
isolando Q2, resulta: 
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Profa. Rutinéia Tassi & Prof. Walter Collischonn -92- 
1212 Q.
2
t)X1.(K
2
t)X1.(K
I.
2
t)X1.(K
2
tX.K
I.
2
t)X1.(K
2
tX.K
Q ∆
∆
∆
∆
∆
∆
+−
−−
+
+−
+−
+
+−
+
= (10.11) 
ou então: 
1322112 QCICICQ ++= (10.12) 
onde: 
2/t)X1(K
2/tKXC1 ∆
∆
+−
+= 
 
2/t)X1(K
2/tKXC2 ∆
∆
+−
+−= (10.13) 
 
2/t)X1(K
2/t)X1(KC3 ∆
∆
+−
−−= 
Para checar se os valores de C1, C2, C3 estão corretamente calculados temos: 
 1CCC 321 =++ (10.14) 
 
10.1.1 Ajuste dos parâmetros X e K 
 
Se estão disponíveis os hidrogramas de entrada e saída observados para um trecho do rio, 
podem ser determinados os valores de K e X, utilizando a seguinte metodologia: 
1) Adotam-se vários valores de X 
2) Utilizando a informação das vazões de entrada e de saída, calculam-se os valores do 
numerador e do denominador da seguinte expressão de K, deduzida da equação 10.10: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )1212
1212
QQ.X1II.X
QQII.
2
t
K −−+−
+−+
=
∆
 (10.15) 
 
3) Os valores calculados do numerador e denominador devem ser acumulados e plotados em um 
gráfico como ordenadas e abscissas, respectivamente, produzindo uma curva em forma de laço. 
O valor de X que produz um laço mais parecido possível com uma reta única deve ser utilizado 
para calcular o valor de K, que é a declividade da reta. 
 
O parâmetro X deve ser maior que zero para evitar a possibilidade de vazões negativos, e 
por razões de estabilidade numérica da solução deve ser ademais menor que 0.5, portanto 
teremos: 
0 < X < 0,5 (10.16 
 
O parâmetro K tem unidade de tempo e representa o tempo médio de deslocamento da 
onda entre montante e jusante do trecho. O parametro C2 é sempre positivo e, considerando que 
os parâmetros C1 e C3 devem ser positivos também, para que não exista a possibilidade de vazão 
negativa, resulta, 
01 ≥C (10.17 
Assim, 
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Profa. Rutinéia Tassi & Prof. Walter Collischonn -93- 
02/tKX >+− ∆ => KX2/t >∆ (10.18) 
 
Analogamente para C3: 
0C3 ≥ (10.19 
 
)X1(K2/t −−>− ∆ => )X1(K2/t −>∆ (10.20) 
 Sendo assim, 
)X1(2K/tX2 −≤≤ ∆ (10.21) 
 
A região de variação dos parâmetros fica definida, e como conseqüência é possível 
estabelecer a discretização temporal. (conforme Figura 10. 2) 
-0.5 0 0.5 1.0
1
2
X<0 Região 
Instável
X
t / K
Região 
Válida
C3<0
C1<0
 
Figura 10. 2 – Região de variação dos parâmetros 
 
Quando os parâmetros tendem a romper o limite inferior da equação (10.21), o trecho 
necessita ser discretizado em sub-trechos para efeito de cálculo. Quando tendem a romper o 
limite superior o intervalo de tempo é alto e precisa ser reduzido. 
 
 
10.2 Propagação de escoamento em reservatórios 
 
Um dos métodos utilizados para a propagação das vazões em reservatório é o de Puls, por 
ser um dos mais conhecidos. O método utiliza a equação de continuidade concentrada, sem 
contribuição lateral e a relação entre o armazenamento e a vazão é obtida considerando a linha 
de água do reservatório horizontal. Discretizando a equação da continuidade resulta 
 
 
2
QQ
2
II
∆t
SS 1tt1ttt1t +++ +−+=− (10.22) 
 
onde: 
1+tI e tI : vazões de entrada no reservatório em t e t+1; 
1+tQ e tQ : vazões de saída do reservatório em t e t+1; 
1+t Se tS : armazenamento do reservatório nos tempos referidos. 
As duas incógnitas do problema são Q e S no tempo t+1. Reorganizando a equação 
anterior, com as variáveis conhecidas de um lado e as desconhecidas de outro, resulta 
 
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Profa. Rutinéia Tassi & Prof. Walter Collischonn -94- 
 
∆t
2S
QII
∆t
2S
Q tt1tt
1t
1t +−+=+ +++ (10.23) 
 
Como existe uma equação e duas incógnitas, a equação adicional é a relação Q = f(S), 
relacionando a vazão de saída do reservatório com o estado de armazenamento do mesmo. A 
obtenção dessa função é descrita posteriormente nesse texto. Utilizando esta função, é possível 
construir uma segunda função auxiliar, para a determinação de Qt+1 
 
 )2S/∆Sf1(QQ += (10.24) 
 
Normalmente essa função é conhecida de forma tabular, onde para cada