exercícios de Integral Indefinida

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Integral e Regras de Integração 
 
Anderson Marcolino de Santana 
 
Integral e Regras de Integração 
Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco 
CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas 
 
 
2018 
Integral e Regras de Integração 
Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 
• Antiderivação: a Integral Indefinida 
 
• Regras de Integração Indefinida 
 
• Equações Diferenciais 
 
 
Conteúdos 
Integral e Regras de Integração 
Anderson Marcolino de Santana Métodos Quantitativos 2 
Motivação 
Como podemos usar a taxa de inflação para prever os preços 
futuros? 
 
 
Como varia a velocidade de um corpo que se move em linha 
reta com aceleração conhecida? 
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Antiderivada 
Uma função 𝑭 𝒙 é chamada de antiderivada de 𝒇(𝒙) se 
 
𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 
 
 para qualquer 𝒙 no domínio de 𝒇 𝒙 . 
Exemplo 1: Mostre que 𝑭 𝒙 =
𝒙³
𝟑
+ 𝟓𝒙 + 𝟐 é uma antiderivada da 
função 𝒇 𝒙 = 𝒙² + 𝟓. 
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Antiderivada 
Uma função 𝑭 𝒙 é chamada de antiderivada de 𝒇(𝒙) se 
 
𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 
 
 para qualquer 𝒙 no domínio de 𝒇 𝒙 . 
𝑭′ 𝒙 = 𝟑.
𝒙²
𝟑
+ 𝟓 
Exemplo 1: Mostre que 𝑭 𝒙 =
𝒙³
𝟑
+ 𝟓𝒙 + 𝟐 é uma antiderivada da 
função 𝒇 𝒙 = 𝒙² + 𝟓. 
𝑭′ 𝒙 = 𝒙² + 𝟓 = 𝒇(𝒙) 
 
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Antiderivada 
Uma função tem mais de uma antiderivada. Por exemplo: uma das 
antiderivadas de 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙² é 𝑭 𝒙 = 𝒙³, já que 𝑭′ 𝒙 = 𝟑𝒙² = 𝒇(𝒙). 
 
 
 Mas o mesmo se pode dizer de 𝒙³ + 𝟏𝟐, 𝒙³ − 𝟓 e 𝒙³ + 𝝅, pois 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝒙𝟑 + 𝟏𝟐 = 𝟑𝒙² 
𝑑
𝑑𝑥
𝒙𝟑 − 𝟓 = 𝟑𝒙² 
𝑑
𝑑𝑥
𝒙𝟑 + 𝝅 = 𝟑𝒙² 
 
 
 
 
 
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Propriedade Fundamental das Antiderivadas 
𝐺′ 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) 
 
Se 𝑭 𝒙 é uma antiderivada de uma função contínua 𝒇(𝒙), 
qualquer outra antiderivada de 𝒇(𝒙) tem a forma 
 𝑮 𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 , 
 onde 𝐶 é uma constante. 
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A integral é indefinida porque envolve uma constante 𝐶 que pode assumir 
qualquer valor numérico. 
A Integral Indefinida 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 
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A Integral Indefinida 
 𝑭′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 
 
𝒅𝑭
𝒅𝒙
𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 
Ou 
Para qualquer função diferenciável 𝐹: 
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A Integral Indefinida 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑮 𝒙 + 𝑪 
𝑮′ 𝒙 = 𝒇(𝒙) 
Verificar! 
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Regras para Integrar Funções Comuns 
Regra da Constante: 
 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪 
 Regra da Potência: 
 
Regra do Logaritmo: 
Regra da Exponencial: 
para 𝒌 constante. 
 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =
𝒙𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
 + 𝑪 para qualquer 𝒏 ≠ −𝟏 
 
𝟏
𝒙
 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 + 𝑪 
 
para qualquer 𝒙 ≠ 𝟎 
 𝒆𝒌𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝒌
𝒆𝒌𝒙 + 𝑪 para 𝒌 ≠ 𝟎 
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Exemplos: 
Determine as seguintes integrais: 
a) 3𝑑𝑥 b) 𝑥17 𝑑𝑥 c) 
𝑑𝑥
𝑥
 d) 𝑒−3𝑥 𝑑𝑥 
 
 
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Exemplos: 
Determine as seguintes integrais: 
a) 3𝑑𝑥 b) 𝑥17 𝑑𝑥 c) 
𝑑𝑥
𝑥
 d) 𝑒−3𝑥 𝑑𝑥 
 
 a) 𝟑𝒅𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝑪 
 
b) 𝒙𝟏𝟕𝒅𝒙 = 
𝒙𝟏𝟖
𝟏𝟖
+ 𝑪 
c) 
𝒅𝒙
𝒙
= 𝒙
−
𝟏
𝟐 𝒅𝒙 = 
𝟏
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐 + 𝑪 = 𝟐 𝒙 + 𝑪 
d) 𝒆−𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 
𝟏
−𝟑
𝒆−𝟑𝒙 + 𝑪 
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Regras Algébricas para Integração Indefinida 
Regra da Multiplicação por uma constante: 
 𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 
 
Regra da Soma: 
 
Regra da Diferença: 
para 𝒌 constante. 
 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 
 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 
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Exemplos: 
Calcule as seguintes integrais: 
 
a) (𝟐𝒙𝟓 + 𝟖𝒙3 − 𝟑𝒙2 + 𝟓)𝒅𝒙 
 
 
 
b) 
𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕
𝒙
𝒅𝒙 
 
 
 
c) (𝟑𝒆−𝟓𝒕 + 𝒕)𝒅𝒕 
 
 
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Exemplo: 
Calcule a seguinte integral 
𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕
𝒙
𝒅𝒙 
 
 
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Exemplo: 
Calcule a seguinte integral 
𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕
𝒙
𝒅𝒙 
 
 
 
𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕
𝒙
𝒅𝒙 = 𝒙² + 𝟐 − 
𝟕
𝒙
 𝒅𝒙 = 
 𝒙²𝒅𝒙 + 𝟐𝒅𝒙 − 
𝟕
𝒙
𝒅𝒙 = 
 𝒙²𝒅𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟕 
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 
= 
𝟏
𝟑
𝒙³ + 𝟐𝒙 − 𝟕 𝐥𝐧 𝒙 + 𝑪 
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Exemplo: 
Determine a função 𝒇 𝒙 cuja reta tangente tem uma 
inclinação 𝟑𝒙² + 𝟏 para qualquer valor de 𝑥 e cuja curva 
passa pelo ponto (𝟐, 𝟔). 
 
 
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Exemplo: 
Determine a função 𝒇 𝒙 cuja reta tangente tem uma 
inclinação 𝟑𝒙² + 𝟏 para qualquer valor de 𝑥 e cuja curva 
passa pelo ponto (𝟐, 𝟔). 
 
 
𝒇 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙2 + 𝟏 𝒅𝒙 
A inclinação da tangente a uma curva no 𝑥, 𝑓 𝑥 é a derivada 𝑓′ 𝑥 . 
 
 Assim, 𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝒙² + 𝟏 , e 𝒇 𝒙 é a antiderivada. 
𝒇(𝒙) = 𝒙³ + 𝒙 + 𝑪 
Para determinar o valor de 𝑪, usaremos o ponto 2, 6 . 
𝒇 𝟐 = 𝟔 
𝟐³ + 𝟐 + 𝑪 = 𝟔 𝑪 = 𝟔 − 𝟏𝟎 𝑪 = −𝟒 
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Assim, a função pedida é 𝒇 𝒙 = 𝒙³ + 𝒙 − 𝟒. 
 
 . 
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Problemas Práticos de Valor inicial 
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Equações Diferenciais 
É qualquer equação que envolve uma ou mais derivadas. As 
equações diferenciais são usadas em modelagem e aparecem 
em muitas aplicações práticas do cálculo. 
Problema de Valor inicial 
É um problema que envolve a solução de uma equação 
diferencial com uma condição inicial especificada. 
Como no exemplo anterior: Determine a função 𝒇 𝒙 cuja reta 
tangente tem uma inclinação 𝟑𝒙² + 𝟏 para qualquer valor de 𝑥 e cuja 
curva passa pelo ponto (𝟐, 𝟔). 
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Problema de valor inicial: 
Um fabricante constatou que o custo marginal é 𝟑𝒒² −
𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎 reais por unidade, onde que 𝒒 é o número de 
unidades produzidas. O custo total para produzir as 
primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total 
para produzir as primeiras cinco unidades? 
 
 
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Problema de valor inicial: 
Um fabricante constatou que o custo marginal é 𝟑𝒒² −
𝟔𝟎𝒒+ 𝟒𝟎𝟎 reais por unidade, onde que 𝒒 é o número de 
unidades produzidas. O custo total para produzir as 
primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total 
para produzir as primeiras cinco unidades? 
 
 
A função Custo Marginal é a derivada da função Custo Total 𝑪(𝒒); assim, 
 
 
𝒅𝑪
𝒅𝒒
= 𝟑𝒒³ − 𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎 
E, portanto, 𝑪(𝒒) é a antiderivada 
𝑪 𝒒 = 
𝒅𝑪
𝒅𝒒
𝒅𝒒 = (𝟑𝒒³ − 𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎) 𝒅𝒒 
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Assim, 𝑪 𝒒 = 𝒒³ − 𝟑𝟎𝒒2 + 𝟒𝟎𝟎𝒒 + 𝟐𝟏𝟐 
𝑪 𝒒 = 
𝒅𝑪
𝒅𝒒
𝒅𝒒 = (𝟑𝒒² − 𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎) 𝒅𝒒 
𝑪 𝒒 = 𝒒³ − 𝟑𝟎𝒒2 + 𝟒𝟎𝟎𝒒 + 𝑲 
Para determinar o valor de 𝑲, usaremos o fato de 𝐂 𝟐 = 𝟗𝟎𝟎. 
𝟐³ − 𝟑𝟎. 𝟐 2 + 𝟒𝟎𝟎. 𝟐 + 𝑲 = 𝟗𝟎𝟎 
𝟖 − 𝟏𝟐𝟎 + 𝟖𝟎𝟎 + 𝑲 = 𝟗𝟎𝟎 𝟔𝟖𝟖 + 𝑲 = 𝟗𝟎𝟎 
𝑲 = 𝟐𝟏𝟐 
O custo para produzir as cinco primeiras unidades é de: 
𝑪 𝟓 = 𝟓³ − 𝟑𝟎. 𝟓2+𝟒𝟎𝟎. 𝟓 + 𝟐𝟏𝟐 
𝑪 𝟓 = 𝐑$ 𝟏. 𝟓𝟖𝟕, 𝟎𝟎 
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Bibliografia 
ÁVILA, G. Cálculo: das funções de uma variável. 7ª ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003. 
 
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: Um curso moderno e 
suas aplicações. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª ed. 1 Vol. São 
Paulo: Harbra, 1994. 
 
MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. 1 Vol. Rio de Janeiro: LTC- 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1982. 
 
STEWART, J. Cálculo. 5ª ed. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2006. 
 
Integral Definida e Teorema Fund. do Cálculo