Aula 1 - Mecânica I - Luciana Rios - UVA

Prévia do material em texto

CINEMA´TICA E DINAˆMICA DO CORPO RI´GIDO
1. Forc¸a sobre uma partı´cula. Resultante de duas forc¸as.
• Vamos estudar inicialmente o efeito de forc¸as atuando sobre partı´culas.
• Primeiramente, vamos entender como substituir duas ou mais forc¸as
que atuam sobre uma partı´cula por uma u´nica forc¸a, cujo efeito e´ o
mesmo das forc¸as originais.
• Essa forc¸a u´nica equivalente e´ a resultante das forc¸as originais que
atuam sobre a partı´cula.
• Ao estudarmos o movimento ou o equilı´brio de um corpo, podemos
trata´-lo como uma partı´cula. Isso na˜o significa que nosso estudo es-
tara´ limitado a pequenos corpos, e sim que as dimenso˜es e as for-
mas dos corpos em considerac¸a˜o na˜o ira˜o afetar significativamente
1
as soluc¸o˜es dos problemas. Ale´m disso, podemos assumir que todas
as forc¸as atuam no mesmo ponto.
• Forc¸as sa˜o grandezas vetoriais.
• Uma forc¸a representa a ac¸a˜o de um corpo sobre outro e geralmente
e´ caracterizada pelo seu ponto de aplicac¸a˜o, sua magnitude e sua
direc¸a˜o.
• Forc¸as que atuam sobre a mesma partı´cula teˆm, no entanto, o mesmo
ponto de aplicac¸a˜o. Assim, neste primeiro momento, todas as forc¸as
consideradas sera˜o completamente definidas por sua magnitude e
direc¸a˜o.
• A unidade de forc¸a no S.I. (Sistema Internacional de Unidades) e´ o
Newton (N).
• A direc¸a˜o de uma forc¸a e´ definida por sua linha de ac¸a˜o e seu sentido.
A linha de ac¸a˜o e´ a linha reta infinita ao longo da qual a forc¸a atua.
• Evideˆncias indicam que duas forc¸as ~P e ~Q atuando sobre uma partı´cu-
la A podem ser substituı´das por uma u´nica forc¸a ~R que tem o mesmo
efeito sobre a partı´cula. Esta forc¸a e´ chamada de resultante das
forc¸as ~P e ~Q.
• A adic¸a˜o de vetores obedece a` lei do paralelogramo e a` regra do
triaˆngulo.
• Regras utilizadas na determinac¸a˜o dos mo´dulos de vetores:
– Lei dos cossenos:
– Lei dos senos:
• Como vimos, duas ou mais forc¸as atuando sobre uma partı´cula po-
dem ser substituı´das por uma u´nica forc¸a, a qual tera´ o mesmo efeito
sobre a partı´cula. Do mesmo modo, uma forc¸a u´nica ~F atuando so-
bre uma partı´cula pode ser substituı´da por duas ou mais forc¸as, as
quais tera˜o, juntas, o mesmo efeito sobre a partı´cula. Essas forc¸as
sa˜o chamadas de componentes de ~F .
• Para cada forc¸a ~F existe um nu´mero infinito de possı´veis conjuntos
de componentes (figura).
Exemplo 1: As forc¸as ~P e ~Q atuam sobre um parafuso (A). Determine
a forc¸a resultante.
A resultante ~R dos dois vetores e´ desenhada na figura a seguir. Para
determinar o seu mo´dulo podemos utilizar as lei dos cossenos:
R2 = P2 +Q2 − 2PQ cos θ, (1)
onde θ e´ o aˆngulo oposto ao vetor resultante. Percebemos pela figura
que θ = 180◦ − α = 180◦ − 25◦ = 155◦. Logo:
R2 = (40)2 + (60)2 − 2.(40).(60) cos(155◦)→ R = 97,73
ou R ≈ 97,7 N. Para determinar o aˆngulo formado entre o vetor
resultante e o vetor ~P podemos utilizar a lei dos senos:
sinφ
Q
=
sin θ
R
→ sinφ = sin(155
◦).(60)
97,73
= 0,26.
Logo, φ = 15,04◦ e o aˆngulo que ~R faz com a horizontal e´ 35,04◦,
i.e., aproximadamente 35,0◦.
Exemplo 2: Uma barcac¸a (vista de cima) desliza ao ser puxada em
duas direc¸o˜es com forc¸as de trac¸a˜o ~T1 e ~T2, cuja resultante esta´ ao
longo do eixo do corpo e tem mo´dulo 22,25 N. Determine as forc¸as de
trac¸a˜o sabendo que α = 45◦.
Pela lei dos senos, temos:
T1
sinα
=
T2
sinβ
=
R
sinφ
→ T1
sin(45◦)
=
T2
sin(30◦)
=
22,25
sin(105◦)
.
Logo: T1 = 16,3 N e T2 = 11,5 N.
2. Componentes retangulares de uma forc¸a. Vetores unita´rios.
• Em muitos problemas sera´ necessa´rio decompor forc¸as em suas com-
ponentes, as quais devem ser perpendiculares entre si.
• Na figura a seguir (letra (a)), a forc¸a ~F foi decomposta em suas com-
ponentes ~Fx (ao longo do eixo dos x) e ~Fy (ao longo do eixo dos y).
~Fx e ~Fy sa˜o chamadas de componentes retangulares.
• Os eixos x e y sa˜o geralmente escolhidos nas direc¸o˜es horizontal
e vertical, respectivamente (letra (a)). No entanto, eles podem ser
escolhidos em duas direc¸o˜es perpendiculares quaisquer (letra (b)).
• Utilizando os vetores unita´rios, as componentes ~Fx e ~Fy podem ser
escritas na forma ~Fx = Fxˆı e ~Fy = Fyˆ, onde Fx e Fy sa˜o as com-
ponentes escalares de ~F , e ıˆ e ˆ sa˜o os unita´rios nas direc¸o˜es x e y
positivo, respectivamente.
• Assim,
~F = ~Fx + ~Fy = Fxˆı + Fyˆ, (2)
onde
Fx = F cos θ, Fy = F sin θ, (3)
onde θ e´ o aˆngulo indicado na figura acima.
Exemplo 3: Um homem puxa com a forc¸a de 300 N uma corda amar-
rada a um edifı´cio, como mostra a figura abaixo. Quais sa˜o os com-
ponentes horizontal e vertical da forc¸a exercida pela corda no ponto
A?
Atrave´s da figura verificamos que: cosα = Fx/F = 8/AB e sinα =
Fy/F = 6/AB, onde AB pode ser determinado atrave´s do Teorema
de Pita´goras: (AB)2 = (6)2 + (8)2 = 100 → AB = 10 m.
Logo: Fx = 300.(4/5) = 240N e Fy = 300.(3/5) = 180 N
e podemos escrever ~F como ~F = (240 N)ˆı − (180 N)ˆ. Tambe´m
podemos determinar o mo´dulo de ~F usando o Teorema de Pita´goras:
F =
√
F2x + F
2
y .
Exemplo 4: Uma forc¸a de 800 N e´ exercida sobre um parafuso local-
izado em A. Determine as componentes horizontal e vertical da forc¸a.
Podemos escrever ~F = −|Fx|ˆı + Fyˆ, onde
cosα =
|Fx|
F
→ |Fx| = (800) cos(35◦) = 655 N,
e
sinα =
Fy
F
→ Fy = (800) sin(35◦) = 459 N.
Logo,
~F = −655ˆı + 459ˆ N.
• Quando duas ou mais forc¸as atuam sobre um corpo, as componentes
x e y da resultante ~F sera˜o dadas pela soma das componentes x e y
de cada forc¸a, i.e.,
~F = ~F1 + ~F2 + . . . , (4)
onde
~F1 = ~F1x + ~F1y, ~F2 = ~F2x + ~F2y, . . . (5)
Logo, ~F = ~Fx + ~Fy, onde
~Fx = ~F1x + ~F2x + . . . (6)
e
~Fy = ~F1y + ~F2y + . . . (7)
• Se o problema a ser resolvido envolve treˆs dimenso˜es, a discussa˜o
acima deve ser reformulada para incluir a direc¸a˜o z, designada pelo
unita´rio kˆ.
• Assim, dada a forc¸a ~F da figura a seguir, a mesma pode ser decom-
posta em duas componentes, ~Fy e ~Fh (letra (b)), onde
Fy = F cos θy, Fh = F sin θy. (8)
• No entanto, a componente ~Fh tambe´m pode ser decomposta em duas
componentes retangulares, ~Fx e ~Fz (letra (c)),
Fx = Fh cosφ, Fz = Fh sinφ. (9)
• A forc¸a ~F pode enta˜o ser decomposta em treˆs componentes retangu-
lares x, y e z, dadas por
Fx = F sin θy cosφ, Fy = F cos θy, Fz = F sin θy sinφ,
(10)
com
F =
√
F2x + F
2
y + F
2
z , (11)
e
~F = Fxˆı + Fyˆ + Fzkˆ. (12)
• Se os aˆngulos formados pelo vetor ~F com cada um dos eixos carte-
sianos forem conhecidos, podemos escrever (figura a seguir)
Fx = F cos θx, Fy = F cos θy, Fz = F cos θz. (13)
3. Equilı´brio de uma partı´cula
• Ja´ discutimos alguns me´todos utilizados determinar a resultante de
va´rias forc¸as que atuam sobre uma partı´cula. Quando a resultante
de todas as forc¸as que atuam sobre uma partı´cula e´ igual a zero, a
partı´cula esta´ em equilı´brio.
• Para expressar algebricamente as condic¸o˜es de equilı´brio de uma
partı´cula, escrevemos:
~R ≡ ~FR =
∑
~F = 0, (14)
ou
Rx ≡ FRx =
∑
Fx = 0, Ry ≡ FRy =
∑
Fy = 0. (15)
• De acordo com a primeira lei de Newton, se a forc¸a resultante que atua
sobre uma partı´cula e´ nula, a partı´cula permanecera´ em repouso (se
originalmente em repouso) ou se movera´ com velocidade constante
em linha reta (se originalmente em movimento).
• Um esboc¸o mostrando as condic¸o˜es fı´sicas do problema e´ conhecido
como diagrama espacial ; um diagrama mostrando a partı´cula em es-
tudo e todas as forc¸as que atuam sobre ela e´ denominado diagrama
de corpo livre.
Exemplo 4: Considere o caixote de 75 kg da figura abaixo. Esse
caixote se encontrava entre dois edifı´cios e agora esta´ sendo car-
regado em um caminha˜o que ira´removeˆ-lo. O caixote e´ sustentado
por um cabo vertical, que esta´ fixado emA a duas cordas que passam
por roldanas presas aos edifı´cios em B e C. Queremos determinar a
trac¸a˜o em cada uma das cordas AB e AC.
O caixote esta´ em equilı´brio sob a ac¸a˜o das treˆs forc¸as: seu peso
(mg = (75)(9,81) = 736 N) e as trac¸o˜es TAB e TAC . Para faci-
litar, podemos considerar as forc¸as atuando no ponto A. Utilizando o
diagrama de corpo livre e o triaˆngulo de forc¸as equivalente, podemos
escrever: TABsin(60◦) =
TAC
sin(40◦) =
(736)
sin(80◦). Logo TAB = 647 N e
TAC = 480 N.
Figuras:
• https://physics.stackexchange.com/questions/244337/vector-addition-forces-with-law-of-cosine
• http://www.mathwarehouse.com/sheets/trigonometry/advanced/law-of-sines-and-cosines/worksheet.php
Refereˆncias:
• Beer, F. P., Johnston, E. R., Mazurek, D.F., Cornwell, P.J e Eisenberg, E.R. Mecaˆnica Vetorial para
Engenheiros: esta´tica e dinaˆmica. 9. ed. McGrawHill, 2010.