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MAT 1108 CD 5

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ALFA-5 ★ 850750509 12 ANGLO VESTIBULARES
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não
singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos
por A–1, tal que:
A ⋅ A–1 = A–1 ⋅ A = In
onde In é a matriz identidade de ordem n.
Observação
Pode-se provar que:
1º-) Se A ⋅ A–1 = I então A–1 ⋅ A = I.
2º-) A é invertível se, e somente se, detA ≠ 0.
3º-) det A–1 = 
Exercícios
1. Determinar x de modo que a matriz
seja invertível.
Devemos ter det A ≠ 0
≠ 0
12 – 2x – 3 ≠ 0
2x ≠ 9
x ≠
2. Obtenha a matriz inversa da matriz:
I — det. A = 2 → ( ∃A– 1)
II — seja A– 1 = 
A ⋅ A– 1 = I → ⋅ = 
= 
a – c = 1 b – d = 0
2c = 0 ∴ c = 0 2d = 1 ∴ d = 
a – 0 = 1 ∴ a = 1 b – = 0 ∴ b = 
Resposta: A– 1 = 
1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
⎤⎥⎦
1 0
0 1
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
a – c b – d
2c 2d
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
1 0
0 1
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
a b
c d
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
1 – 1
0 2
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
a b
c d
⎡⎢⎣
 
A =
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
1 1
0 2
–
9
2
⏐⏐⏐⏐
1 0 2
2 x 1
1 3 0
⏐⏐⏐⏐
 
A x=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 2
2 1
1 3 0
1
det A
Aula 35
MATRIZ INVERSA
setor 1108
11080509
11080509-SP
�
�
�
�
�
�
3. Seja . O valor de x tal que det é:
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
c) 3
det A– 1 = ⇒ det A = x – 1 
det A = = 15 – 3 x
Assim:
x – 1 = 15 – 3x
4x = 16 ∴ x = 4
• Leia os itens 1 a 5, cap. 3.
• Resolva os exercícios 1 (a, b), 2, 3 e 4, série 3.
• Resolva os exercícios 5 a 7, série 3.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
⎜⎜⎜
5 x
3 3
⎜⎜⎜
1
x – 1
 
A
x
–
–
1 1
1
=A x=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
3 3
ALFA-5 ★ 850750509 13 ANGLO VESTIBULARES
I. NOÇÕES GERAIS
1. EQUAÇÃO LINEAR
Chamamos de equação linear nas incógnitas x1, x2, …, xn,
toda equação do tipo
a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + … + an ⋅ xn = b
onde,
a1, a2, …, an são números quaisquer chamados coeficientes
e b também é um número chamado termo independente.
2. SISTEMA LINEAR
É um conjunto de n(n � 1) equações lineares nas mesmas
incógnitas.
Exemplos:
x + 2y + 3z = 14
1. x – 2y + z = 1
3x + z = 7
x + y – z = 0
2. 2x – y + z = 0
x – y – z = 0
3.
2x + y + z = 1
3x – y – 7z = 4
Chamamos de sistema linear homogêneo aquele onde todos
os termos independentes valem zero. É o caso do exemplo 2.
3. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA
Chamamos de solução de um sistema linear, todo conjun-
to ordenado de números (α1, α2, …, αn) que colocados, res-
pectivamente, nos lugares de x1, x2, …, xn fazem com que
todas as equações fiquem sentenças verdadeiras (isto é, igual-
dades numéricas).
Exemplo:
No sistema
x + y = 7
x – y = 3
O conjunto (5, 2) é solução, pois
↓ ↓ 
x y
5 + 2 = 7 (V)
5 – 2 = 3 (V)
Porém, o conjunto (3, 4) não é solução, pois
3 + 4 = 7 (V)
3 – 4 = 3 (F)
4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
Dado um sistema linear, se ele tiver pelo menos uma solução
diremos que é possível, caso contrário diremos que é impossí-
vel (ou que suas equações são incompatíveis).
Se o sistema for possível e tiver uma só solução chamare-
mos o sistema de determinado.
Se o sistema for possível e tiver mais de uma solução cha-
maremos o sistema de indeterminado.
Em resumo:
determinado
Possível
Sistema indeterminado
Impossível
Aula 36
SISTEMAS LINEARES — NOÇÕES GERAIS DE CRAMER
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Exemplos:
1. O sistema
x + y = 10
x – y = 2
é possível e determinado, pois só admite a solução (6, 4).
2. O sistema
x – y = 0
3x – 3y = 0
é possível e indeterminado, pois admite as soluções
(0, 0), (4, 4), (–7, –7), , (π, π), …, (α, α) …
α ∈ �
3. O sistema
x + y = 1
x + y = 2
é claramente impossível.
4. O sistema
x + 2y = 3
0 ⋅ x + 0 ⋅ y = 1
é impossível (a última equação nunca é satisfeita).
OBSERVAÇÃO
O sistema homogêneo sempre admite solução (pelo menos a
nula). Portanto o sistema homogêneo é sempre possível.
Exemplo:
O sistema
3x + 2y + 5z = 0
2x + y – 4z = 0
admite a solução nula (0, 0, 0), pois
3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 = 0 (V)
2 ⋅ 0 + 0 – 4 ⋅ 0 = 0 (V)
II. TEOREMA DE CRAMER
Consideremos o sistema linear
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sejam,
o determinante da matriz dos coeficientes.
O teorema de Cramer afirma que:
“Se D ≠ 0, então o sistema linear é determinado e a solução
única (x, y) é dada por
”
Justificativa:
O sistema linear
a1x + b1y = c1 I
a2x + b2y = c2 II
de I : 
substituindo em II :
a2b1x + b2c1 – a1b2x = b1c2
(a2b1 – a1b2)x = b1c2 – b2c1
ou ainda: 
logo: , (D ≠ 0)
Substituindo em uma das equações teremos que
, (D ≠ 0)
OBSERVAÇÃO:
O teorema que acabamos de verificar para sistemas de duas
equações a duas incógnitas é válido também para qualquer
sistema de n equações a n incógnitas (desde que, D ≠ 0).
O enunciado geral é:
“Se um sistema de n equações a n incógnitas tiver D ≠ 0,
então ele será determinado e o valor de cada incógnita é dado por
uma fração que tem D no denominador, e, no numerador, o de-
terminante da matriz dos coeficientes, substituindo-se a coluna
dos coeficientes da incógnita, pela coluna dos termos indepen-
dentes do sistema.”
 
y
D
D
y
=
x
D
D
x
=
x
b c b c
a b a b
=
2 1 1 2
1 2 2 1
–
–
⇒ =x
b c b c
a b a b
1 2 2 1
2 1 1 2
–
–
a x b
c a x
b
c2 2
1 1
1
2+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
–
y
c a x
b
=
1 1
1
–
 
x
D
D
e y
D
D
x y
= = .
o determinante da matriz de substituição
dos termos independentes na 2ª- coluna.
 
Dy
a c
a c
=
1 1
2 2
o determinante da matriz de substituição
dos termos independentes na 1ª- coluna.
 
D
c b
c bx
=
1 1
2 2
D
a b
a b
=
1 1
2 2
1
2
1
2
,
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ALFA-5 ★ 850750509 14 ANGLO VESTIBULARES
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Exercícios
1. Resolver, aplicando a regra de Cramer:
x + y = 1
– 2x + 3y – 3z = 2
x + z = 1
D = = 2
Dx = = 
_ 2
Dy = = 4
Dz = = 4
Logo, x = = – 1
y = = 2
z = = 2
S = {(– 1, 2, 2)}
2. Para que valores de m o sistema:
é possível e determinado?
a) m ≠ 3
b) m ≠ –3
c) m ≠ 6
d) m = 6
e) ∀m, m ∈ IR.
Devemos ter: D ≠ 0
D = ≠ 0 ∴ 2m – 12 ≠ 0
∴ m ≠ 6
3. Resolver pela Regra de Cramer:
(a ≠ b)
D = = a – b
Dx = = b – a = – (a – b)
Dy = = a2 – b2 = (a + b) (a – b)
x = = = – 1
y = = = a + b
S = {(– 1, a + b)}
• Leia os itens 1, 2, 3, 5 e 6, cap. 4.
• Resolva os exercícios 1, 2, 3 e 11, série 4.
• Resolva os exercícios 12(a), 13, 14 e 15, série 4.
Tarefa Complementar
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
(a + b) (a – b)
a – b
Dy
D
– (a – b)
a – b
Dx
D
⏐⏐⏐
a b
b a
⏐⏐⏐
⏐⏐⏐
b 1
a 1
⏐⏐⏐
⏐⏐⏐
a 1
b 1
⏐⏐⏐
ax + y = b
bx + y = a
⏐⏐⏐
m 3
4 2
⏐⏐⏐
mx + 3y = 7
4x + 2y = 9
⎧⎨⎩
Dz
D
Dy
D
Dx
D
⏐⏐⏐⏐
1 1 1
– 2 3 2
1 0 1
⏐⏐⏐⏐
⏐⏐⏐⏐
1 1 0
– 2 2 – 3
1 1 1
⏐⏐⏐⏐
⏐⏐⏐⏐
1 1 0
2 3 – 3
1 0 1
⏐⏐⏐⏐
⏐⏐⏐⏐
1 1 0
– 2 3 – 3
1 0 1
⏐⏐⏐⏐
ALFA-5 ★ 850750509 15 ANGLO VESTIBULARES
⎧⎨⎩⎧⎨⎩
SISTEMAS ESCALONADOS
1. DEFINIÇÃO
Consideremos um sistema linear onde, em cada equação
há pelo menos um coeficiente não nulo. Diremos que o sistema
está na forma escalonada (ou escalonado) se o número de coe-
ficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumen-
ta de equação para equação.
Exemplos:
1)
2)
3)
2. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA ESCALONADO
Há dois tipos de sistemas escalonados a considerar, ve-
jamos quais são, e como se resolvem.
1º- tipo) Número deEquações Igual ao de Incógnitas
Nesse caso, o sistema será determinado e cada incógnita é
obtida resolvendo-se o sistema de “baixo para cima”.
Exemplo:
de III ⎯⎯→ z = 2
em II ⎯⎯→ 3y – 2 = 1 ⎯→ y = 1
em I ⎯⎯→ x + 2 + 2 = 4 → x = 0
Solução: (0, 1, 2)
2º- tipo) Número de Equações é Menor que o de Incóg-
nitas
Nesse caso, escolhemos as incógnitas que não aparecem no
começo de nenhuma equação (variáveis livres) e as transpomos
para o 2º- membro.
Em seguida, para cada variável livre atribuímos um valor
arbitrário e resolvemos o sistema nas incógnitas do 1º- membro. O
fato de atribuirmos valores arbitrários a algumas das incógnitas
faz com que o sistema tenha mais do que uma solução e seja,
portanto, indeterminado.
Exemplo:
A única variável livre é z (não aparece no começo de ne-
nhuma equação). Transpondo z para o 2º- membro, teremos
atribuindo a z um valor arbitrário α, teremos
então,
II ⎯→ y = 2 + α
em I ⎯→ x – (2 + α) = 4 – α → x = 6
Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas
(6; 2 + α; α), onde α é um número qualquer (real ou complexo).
Eis algumas:
α = 1 ⎯→ (6; 3; 1)
α = –6 ⎯→ (6; –4; –6)
α = 0 ⎯→ (6; 2; 0)
3. ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA
A) Sistemas Equivalentes
Dados dois sistemas lineares S1 e S2, diremos que eles são
equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução.
Exemplo:
e 
são equivalentes, pois ambos são determinados (D ≠ 0) e ad-
mitem como solução
Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções, o que
iremos fazer é transformar um sistema linear qualquer num ou-
tro equivalente, porém na forma escalonada. Isto, porque siste-
mas escalonados são fáceis de se resolverem.
Precisamos então saber que recursos usar para transformar
um sistema S1 num outro equivalente S2, na forma escalonada.
Os recursos são os teoremas que veremos a seguir.
 
– ;
1
3
5
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
S
x y
y2
2 3
3 5
+ =
=
⎧⎨⎩⎪– –
S
x y
x y1
2 3
2 1
+ =
+ =
⎧⎨⎩⎪
x y
y
– –=
= +
⎧⎨⎩⎪
4
2
α
α
x y z
y z
– –=
= +
⎧⎨⎩⎪
4
2
x y z
y z
–
–
+ =
=
⎧⎨⎩⎪
4
2
I
II
III 
x y z
y z
z
+ + =
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
2 4
3 1
3 6
–
 
x y z
y z
+ + =
=
⎧⎨⎩⎪
5
0–
4 1
0
2 1
x y z t
z t
t
–
–
–
+ + + =
+ =
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
w
w
w
x y z
y z
z
+ + =
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
3 1
4
2 5
–
ALFA-5 ★ 850750509 16 ANGLO VESTIBULARES
Aulas 37 e 38
SISTEMAS LINEARES — SISTEMAS ESCALONADOS — ESCALONAMENTO
II
I
Exemplo:
Os sistemas
e
são equivalentes, pois S’ foi obtido a partir de S, substituindo a
2ª- equação de S, pela soma membro a membro, dela com a 1ª-.
B) Escalonamento de um Sistema
Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários
passos, todos eles baseados nos teoremas 1 e 2.
Solução, de “baixo para cima”
z = 2, y = 3, x = 1 ∴ S = {(1, 3, 2)}
OBSERVAÇÃO
Se durante o escalonamento ocorrer:
1º-) Uma equação do tipo
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + … + 0 ⋅ xn = b (b ≠ 0)
então, o sistema será impossível, pois esta equação nunca será
satisfeita.
2º-) Uma equação do tipo
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + … + 0 ⋅ xn = 0
esta equação poderá ser suprimida do sistema, pois ela é veri-
ficada por quaisquer valores das incógnitas.
Exercícios
1. Classificar e resolver os sistemas:
a)
O sistema é SPD
III 3z = 6 ∴ z = 2
II y – 2 = – 1 ∴ y = 1
I x – 1 + 2 = 6 ∴ x = 5
S = {(5, 1, 2)}
b)
O sistema é SPI
Variável livre: z = α, ∀α
II y + α = 1 ∴ y = 1 – α
I x – 1 + α + 2α = 2 ∴ x = 3 – 3α
S = {(3 – 3α, 1 – α, α), ∀ α}
2. Classificar e resolver os sistemas:
a)
x + y + z = 6 (– 2) (1)
2 x + 3 y + 4 z = 20 +
– x + y + 2 z = 7 +
x + y + z = 6
0 + y + 2 z = 8 (– 2)
0 + 2 y + 3 z = 13 +
x + y + z = 6
0 + y + 2 z = 8
0 + 0 – z = – 3
(III) → z = 3
(II): y + 2 ⋅ 3 = 8 → y = 2
(I): x + 2 + 3 = 6 → x = 1
S = {(1, 2, 3)}
SPD
 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
6
2 3 4 20
2 7–
x y z
y z
– + =
+ =
⎧⎨⎩⎪
2 2
1
x y z
y z
z
–
– –
+ =
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
6
1
3 6
x y z
y z
z
+ + =
+ =
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
2 9
5
2 4
x y z
y z
y z
+ + =
+ =
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
2 9
5 7
7 5 31
( )
– – –
x y z
y z
y z
+ + =
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
2 9
3 3 15 1 3
7 5 31
– – – (– / )
– – –
x y z
y z
x y z
+ + =
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
2 9 3
3 3 15
3 2 4
(– )
– – –
– – –
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ =
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
2 9 2
2 3
3 2 4
(– )
–
– – –
S
x y
y
’
2 4
4 12
+ =
=
⎧⎨⎩⎪
S
x y
x y
2 4
2 3 8
+ =
+ =
⎧⎨⎩⎪–
TEOREMA 2
Se substituirmos uma equação de um sistema S, pela soma
membro a membro, dela com uma outra multiplicada por
um número obteremos um sistema S’ equivalente a S.
TEOREMA 1
Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de
um sistema S, por um número k ≠ 0, o novo sistema S’ será
equivalente a S.
ALFA-5 ★ 850750509 17 ANGLO VESTIBULARES
+
+
+
upcurlybracketleft
�
upcurlybracketmid
�
upcurlybracketright
upcurlybracketleft
�
upcurlybracketmid
�
upcurlybracketright
upcurlybracketleft
�
upcurlybracketmid
�
upcurlybracketright
b)
x – y + z = 2 (– 2) (– 3)
2 x + y + z = 1
3 x + 0 y + 2 z = 5
x – y + z = 2
0 + 3 y – z = – 3 (– 1)
0 + 3 y – z = – 1 
x – y + z = 6
0 + 3 y – z = – 3
0 + 0 + 0 = 2 (falso)
SI
S = ∅
c)
2 x + y + z = 1 (– 1)
0 + y – z = 1
2 x + 2 y + 0 = 2 + 
2 x + y + z = 1
0 + y – z = 1 (– 1)
0 + y – z = 1 +
(I) 2 x + y + z = 1
(II) 0 + y – z = 1
0 + 0 + 0 = 0
Variável livre: z = α, ∀α
(II): y – α = 1 ∴ y = 1 + α
(I): 2x + 1 + α + α = 1
2x = – 2α
x = – α
SPI
S = {(– α, 1 + α, α), ∀α}
3. Classificar e resolver os sistemas:
a)
x + y = – 1 (– 2) ⋅ (– 4)
2 x + y = 0
4 x + 3 y = – 2
x + y = – 1
– y = 2 (– 1)
– y = 2 
x + y = – 1
– y = 2
0 = 0
Como o número de equações na forma escalonada é igual
ao número de incógnitas: SPD.
II y = – 2
I x – 2 = – 1 ∴ x = 1
S = {(1, – 2)}
b)
x – y + 2 z = 1 (– 3)
3 x – 2 y + 6 z = 4
x – y + 2 z = 1
y + 0 z = 1
Como o número de equações na forma escalonada é menor
que o número de incógnitas: SPI.
Variável Livre: z = α, ∀α
II y = 1
I x – 1 + 2α = 1 ∴ x = 2 – 2α
S = {(2 – 2α, 1, α), ∀α}
• Leia o item 4, cap. 4.
• Resolva os exercícios 7, 17 e 18, série 4.
• Resolva os exercícios 21 a 23, série 4.
• Resolva os exercícios 8, 19 e 20, série 4.
• Resolva os exercícios 25, 26, 27, 29 e 30, série 4.
AULA 38
AULA 37
Tarefa Complementar
AULA 38
AULA 37
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
 
x y z
x y z
–
–
+ =
+ =
⎧⎨⎩⎪
2 1
3 2 6 4
x y
x y
x y
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
–
–
1
2 0
4 3 2
2 1
1
2 2 2
x y z
y z
x y
+ + =
=
+ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
–
2 1
2
3 2 5
x y z
x y z
x z
+ + =
+ =
+ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
–
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1. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Discutir um sistema linear em função de um ou mais pa-
râmetros significa dizer para que valores do(s) parâmetro(s) o
sistema é
a) determinado
b) indeterminado
c) impossível
Exemplos:
a) Número de equações igual ao número de incógnitas.
Vamos discutir em função de m o sistema
mx + y = 1
x + my = 1
Sabemos pelo Teorema de Cramer que se D ≠ 0, então o
sistema é possível e determinado. Logo:
D ≠ 0 ⇔ m2 – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 e m ≠ – 1
Resta analisar o que acontece com o sistema para m = 1 e
m = –1. Temos:
m = 1 o sistema será
x + y = 1
x + y = 1
Escalonando-o obteremos {x + y = 1 que é um sistema
indeterminado.
m = –1 o sistema será
–x + y = 1
x – y = 1
Escalonando-o obteremos –x + y = 1
0 ⋅ x + 0 ⋅ y = 2
que é um sistema impossível.
Em resumo
m ≠ 1 e m ≠ –1 ⎯⎯⎯→ sistema determinado
m = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ sistema indeterminado
m = –1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ sistema impossível
b) Número de equações diferentes do número de incógnitas.
1) Discutir segundo m o sistema:
x + my – z = 1
3x + 2y – 3z = 4
Resolução:
x + my – z = 1 ⋅ (–3)
3x + 2y – 3z = 4 +
x + my – z = 1
0 + (2 – 3m)y + 0z = 1
Da 2ª- equação temos:
2 – 3m ≠ 0 ⇒ sistema possível indeterminado
2 – 3m = 0 ⇒ sistema impossível
isto é:
sistema possível indeterminado
sistema impossível
2) Discutir segundo m o sistema:
x – 2y = 3
2x + y = 1
mx – y = 2
Resolução:
x – 2y = 3 ⋅ (–2) ⋅ (–m)
2x + y = 1 +
mx – y = 2 +
x – 2y = 3
0 + 5y = –5
0 + (2m – 1)y = 2 – 3m
x – 2y = 3 ⎯⎯⎯⎯→ x = 1
0 + y = –1 ⎯⎯⎯→ y
↑
= –1
0 + (2m – 1) y = 2 – 3m
Substituindo y = –1 na última equação temos:
(2m – 1) (–1) = 2 – 3m
m = 1
isto é:
m = 1 ⇒ sistema possível determinado
m ≠ 1 ⇒ sistema impossível
Exercícios
1. Discutir em função de k o sistema
kx + y = 1
2x + y = 3
D ≠ 0 ⇔ ≠ 0 ⇔ k ≠ 2 ∴
(SPD)
Se k ≠ 2 → SPD
Se k = 2 2 x + y = 1 (– 1)
2x + y = 3
2x + y = 1 Resposta: k ≠ 2 ⇒ SPD
0 + 0 = 2 (falso) k = 2 ⇒ SI
⏐⏐⏐
k 1
2 1
⏐⏐⏐
 
m
m
≠
=
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⇒
⇒
2
3
2
3
 
D m 1
1 m
m –1 (raízes 1ou –1)2= =
ALFA-5 ★ 850750509 19 ANGLO VESTIBULARES
Aulas 39 e 40
SISTEMAS LINEARES — DISCUSSÃO
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2. Discutir em função de k o sistema:
D ≠ 0 ⇔ ≠ 0 ⇔ k2 – 1 ≠ 0 ⇔
k ≠ 1 e k ≠ – 1
k = 1 x + y = 1 (– 1) ∴ x + y = 1 SPI
x + y = 1 + 0 = 0
k = – 1 – x + y = 1 ( 1 )
x – y = 1 +
– x + y = 1
0 + 0 = 2 SI
k ≠ 1 e k ≠ – 1 ⇒ SPD
Resposta: k = 1 ⇒ SPI
k = – 1 ⇒ SI
3. Discutir em função de m:
D ≠ 0 ⇔ ≠ 0
2 + m + m2 – 1 – 2 m – m2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
x + y + z = 1 (– 1) (– 1)
Se m = 1 x + y + z = 0
x + y + 2 z = 1
x + y + z = 1
0 + 0 + 0 = – 1 (falso) SI
0 + 0 + z = 0
Resposta:
m ≠ 1 ⇒ SPD
m = 1 ⇒ SI
4. Discutir em função de a o sistema:
x – y = 2 (– 2) (– 1)
2 x – y = 5
x + y = a
(1) x – y = 2 x – y = 2
(2) 0 + y = 1 (– 2) ∴ y = 1
(3) 0 + 2 y = a – 2 + 0 = a – 4
Resposta:
a = 4 ⇒ SPD
a ≠ 4 ⇒ SI
2. SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS
Sistemas lineares homogêneos são aqueles onde todos os
termos independentes valem zero. Isto é:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
S a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0
Este tipo de sistema admite sempre a solução 
(α1, α2, …., αn) onde αi = 0 ∀ i ∈ {1, 2, …, n} chamada
solução nula, trivial ou imprópria.
PORTANTO OS SISTEMAS HOMOGÊNEOS SÃO SEMPRE
POSSÍVEIS. Se o sistema for determinado, apresentará apenas
uma solução (a nula); se for indeterminado apresentará, além
da solução nula, outras soluções diferentes da nula, que são
chamadas próprias.
OBSERVAÇÃO (VÁLIDA SOMENTE PARA SISTEMAS
HOMOGÊNEOS)
Se o sistema homogêneo tiver n equações e n incógnitas,
então, usando o teorema de Cramer, teremos
D ≠ 0 ⇔ sistema possível e determinado
D = 0 ⇔ sistema possível e indeterminado
Exercícios
5. Discutir em função de k o sistema:
O sistema é homogêneo
– 3k – 2 4 6 –k 4
= 6 – k + 4 – 3k – 2 + 4 = – 4k + 12
Então: – 4k + 12 = 0 → k = 3
Resposta: k ≠ 3 ⇒ SPD
(isto é, somente sol. trivial)
k = 3 ⇒ SPI
(além do trivial, outras soluções chamadas
próprias)
1 –1
2 3
k 2
⏐⏐⏐⏐
1 – 1 1
2 3 1
k 2 2
⏐⏐⏐⏐
x – y + z = 0
2x + 3y + z = 0
kx + 2y + 2z = 0
⎧⎨⎩
x – y = 2
2x – y = 5
x + y = a
⎧⎨⎩
⏐⏐⏐⏐
1 1 1
m 1 m
1 m 2
⏐⏐⏐⏐
x + y + z = 1
mx + y + mz = 0
x + my + 2z = 1
⎧⎨⎩
⏐⏐⏐
k 1
1 k
⏐⏐⏐
kx + y = 1
x + ky = 1
⎧⎨⎩
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(SPD)
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(SPD)
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6. (FUVEST) O sistema linear
é indeterminado para:
a) todo m real
b) nenhum m real
c) m = 1
d) m = – 1
e) m = 0
Como o sistema é homogêneo, basta D = 0
= 0
1 – m – 1 = 0 ∴ m = 0
• Leia o item 7, cap. 4.
• Resolva os exercícios 34 a 37, série 4.
• Leia o item 8, cap. 4.
• Resolva os exercícios 43 a 45, série 4.
• Resolva os exercícios 38, 40, 41 e 42, série 4.
• Resolva os exercícios 46 a 48, série 4.
AULA 40
AULA 39
Tarefa Complementar
AULA 40
AULA 39
Tarefa Mínima
� Livro 1 — Unidade IV
Caderno de Exercícios — Unidade III
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
⏐⏐⏐⏐
1 1 1
1 0 1
0 1 m
⏐⏐⏐⏐
x + y + z = 0
x + z = 0
y + mz = 0
⎧⎨⎩
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