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ALFA-5 ★ 850750509 12 ANGLO VESTIBULARES Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A–1, tal que: A ⋅ A–1 = A–1 ⋅ A = In onde In é a matriz identidade de ordem n. Observação Pode-se provar que: 1º-) Se A ⋅ A–1 = I então A–1 ⋅ A = I. 2º-) A é invertível se, e somente se, detA ≠ 0. 3º-) det A–1 = Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz seja invertível. Devemos ter det A ≠ 0 ≠ 0 12 – 2x – 3 ≠ 0 2x ≠ 9 x ≠ 2. Obtenha a matriz inversa da matriz: I — det. A = 2 → ( ∃A– 1) II — seja A– 1 = A ⋅ A– 1 = I → ⋅ = = a – c = 1 b – d = 0 2c = 0 ∴ c = 0 2d = 1 ∴ d = a – 0 = 1 ∴ a = 1 b – = 0 ∴ b = Resposta: A– 1 = 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⎤⎥⎦ 1 0 0 1 ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ a – c b – d 2c 2d ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ 1 0 0 1 ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ a b c d ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ 1 – 1 0 2 ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ a b c d ⎡⎢⎣ A = ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ 1 1 0 2 – 9 2 ⏐⏐⏐⏐ 1 0 2 2 x 1 1 3 0 ⏐⏐⏐⏐ A x= ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ 1 0 2 2 1 1 3 0 1 det A Aula 35 MATRIZ INVERSA setor 1108 11080509 11080509-SP � � � � � � 3. Seja . O valor de x tal que det é: a) 1 d) 4 b) 2 e) 0 c) 3 det A– 1 = ⇒ det A = x – 1 det A = = 15 – 3 x Assim: x – 1 = 15 – 3x 4x = 16 ∴ x = 4 • Leia os itens 1 a 5, cap. 3. • Resolva os exercícios 1 (a, b), 2, 3 e 4, série 3. • Resolva os exercícios 5 a 7, série 3. Tarefa Complementar Tarefa Mínima � Livro 1 — Unidade IV Caderno de Exercícios — Unidade III ORIENTAÇÃO DE ESTUDO ⎜⎜⎜ 5 x 3 3 ⎜⎜⎜ 1 x – 1 A x – – 1 1 1 =A x= ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 5 3 3 ALFA-5 ★ 850750509 13 ANGLO VESTIBULARES I. NOÇÕES GERAIS 1. EQUAÇÃO LINEAR Chamamos de equação linear nas incógnitas x1, x2, …, xn, toda equação do tipo a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + … + an ⋅ xn = b onde, a1, a2, …, an são números quaisquer chamados coeficientes e b também é um número chamado termo independente. 2. SISTEMA LINEAR É um conjunto de n(n � 1) equações lineares nas mesmas incógnitas. Exemplos: x + 2y + 3z = 14 1. x – 2y + z = 1 3x + z = 7 x + y – z = 0 2. 2x – y + z = 0 x – y – z = 0 3. 2x + y + z = 1 3x – y – 7z = 4 Chamamos de sistema linear homogêneo aquele onde todos os termos independentes valem zero. É o caso do exemplo 2. 3. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA Chamamos de solução de um sistema linear, todo conjun- to ordenado de números (α1, α2, …, αn) que colocados, res- pectivamente, nos lugares de x1, x2, …, xn fazem com que todas as equações fiquem sentenças verdadeiras (isto é, igual- dades numéricas). Exemplo: No sistema x + y = 7 x – y = 3 O conjunto (5, 2) é solução, pois ↓ ↓ x y 5 + 2 = 7 (V) 5 – 2 = 3 (V) Porém, o conjunto (3, 4) não é solução, pois 3 + 4 = 7 (V) 3 – 4 = 3 (F) 4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Dado um sistema linear, se ele tiver pelo menos uma solução diremos que é possível, caso contrário diremos que é impossí- vel (ou que suas equações são incompatíveis). Se o sistema for possível e tiver uma só solução chamare- mos o sistema de determinado. Se o sistema for possível e tiver mais de uma solução cha- maremos o sistema de indeterminado. Em resumo: determinado Possível Sistema indeterminado Impossível Aula 36 SISTEMAS LINEARES — NOÇÕES GERAIS DE CRAMER � � � � � � � � � � � � � � � � � � Exemplos: 1. O sistema x + y = 10 x – y = 2 é possível e determinado, pois só admite a solução (6, 4). 2. O sistema x – y = 0 3x – 3y = 0 é possível e indeterminado, pois admite as soluções (0, 0), (4, 4), (–7, –7), , (π, π), …, (α, α) … α ∈ � 3. O sistema x + y = 1 x + y = 2 é claramente impossível. 4. O sistema x + 2y = 3 0 ⋅ x + 0 ⋅ y = 1 é impossível (a última equação nunca é satisfeita). OBSERVAÇÃO O sistema homogêneo sempre admite solução (pelo menos a nula). Portanto o sistema homogêneo é sempre possível. Exemplo: O sistema 3x + 2y + 5z = 0 2x + y – 4z = 0 admite a solução nula (0, 0, 0), pois 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 = 0 (V) 2 ⋅ 0 + 0 – 4 ⋅ 0 = 0 (V) II. TEOREMA DE CRAMER Consideremos o sistema linear a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Sejam, o determinante da matriz dos coeficientes. O teorema de Cramer afirma que: “Se D ≠ 0, então o sistema linear é determinado e a solução única (x, y) é dada por ” Justificativa: O sistema linear a1x + b1y = c1 I a2x + b2y = c2 II de I : substituindo em II : a2b1x + b2c1 – a1b2x = b1c2 (a2b1 – a1b2)x = b1c2 – b2c1 ou ainda: logo: , (D ≠ 0) Substituindo em uma das equações teremos que , (D ≠ 0) OBSERVAÇÃO: O teorema que acabamos de verificar para sistemas de duas equações a duas incógnitas é válido também para qualquer sistema de n equações a n incógnitas (desde que, D ≠ 0). O enunciado geral é: “Se um sistema de n equações a n incógnitas tiver D ≠ 0, então ele será determinado e o valor de cada incógnita é dado por uma fração que tem D no denominador, e, no numerador, o de- terminante da matriz dos coeficientes, substituindo-se a coluna dos coeficientes da incógnita, pela coluna dos termos indepen- dentes do sistema.” y D D y = x D D x = x b c b c a b a b = 2 1 1 2 1 2 2 1 – – ⇒ =x b c b c a b a b 1 2 2 1 2 1 1 2 – – a x b c a x b c2 2 1 1 1 2+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = – y c a x b = 1 1 1 – x D D e y D D x y = = . o determinante da matriz de substituição dos termos independentes na 2ª- coluna. Dy a c a c = 1 1 2 2 o determinante da matriz de substituição dos termos independentes na 1ª- coluna. D c b c bx = 1 1 2 2 D a b a b = 1 1 2 2 1 2 1 2 , ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ALFA-5 ★ 850750509 14 ANGLO VESTIBULARES � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Exercícios 1. Resolver, aplicando a regra de Cramer: x + y = 1 – 2x + 3y – 3z = 2 x + z = 1 D = = 2 Dx = = _ 2 Dy = = 4 Dz = = 4 Logo, x = = – 1 y = = 2 z = = 2 S = {(– 1, 2, 2)} 2. Para que valores de m o sistema: é possível e determinado? a) m ≠ 3 b) m ≠ –3 c) m ≠ 6 d) m = 6 e) ∀m, m ∈ IR. Devemos ter: D ≠ 0 D = ≠ 0 ∴ 2m – 12 ≠ 0 ∴ m ≠ 6 3. Resolver pela Regra de Cramer: (a ≠ b) D = = a – b Dx = = b – a = – (a – b) Dy = = a2 – b2 = (a + b) (a – b) x = = = – 1 y = = = a + b S = {(– 1, a + b)} • Leia os itens 1, 2, 3, 5 e 6, cap. 4. • Resolva os exercícios 1, 2, 3 e 11, série 4. • Resolva os exercícios 12(a), 13, 14 e 15, série 4. Tarefa Complementar Tarefa Mínima � Livro 1 — Unidade IV Caderno de Exercícios — Unidade III ORIENTAÇÃO DE ESTUDO (a + b) (a – b) a – b Dy D – (a – b) a – b Dx D ⏐⏐⏐ a b b a ⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐ b 1 a 1 ⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐ a 1 b 1 ⏐⏐⏐ ax + y = b bx + y = a ⏐⏐⏐ m 3 4 2 ⏐⏐⏐ mx + 3y = 7 4x + 2y = 9 ⎧⎨⎩ Dz D Dy D Dx D ⏐⏐⏐⏐ 1 1 1 – 2 3 2 1 0 1 ⏐⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐⏐ 1 1 0 – 2 2 – 3 1 1 1 ⏐⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐⏐ 1 1 0 2 3 – 3 1 0 1 ⏐⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐⏐ 1 1 0 – 2 3 – 3 1 0 1 ⏐⏐⏐⏐ ALFA-5 ★ 850750509 15 ANGLO VESTIBULARES ⎧⎨⎩⎧⎨⎩ SISTEMAS ESCALONADOS 1. DEFINIÇÃO Consideremos um sistema linear onde, em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo. Diremos que o sistema está na forma escalonada (ou escalonado) se o número de coe- ficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumen- ta de equação para equação. Exemplos: 1) 2) 3) 2. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA ESCALONADO Há dois tipos de sistemas escalonados a considerar, ve- jamos quais são, e como se resolvem. 1º- tipo) Número deEquações Igual ao de Incógnitas Nesse caso, o sistema será determinado e cada incógnita é obtida resolvendo-se o sistema de “baixo para cima”. Exemplo: de III ⎯⎯→ z = 2 em II ⎯⎯→ 3y – 2 = 1 ⎯→ y = 1 em I ⎯⎯→ x + 2 + 2 = 4 → x = 0 Solução: (0, 1, 2) 2º- tipo) Número de Equações é Menor que o de Incóg- nitas Nesse caso, escolhemos as incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma equação (variáveis livres) e as transpomos para o 2º- membro. Em seguida, para cada variável livre atribuímos um valor arbitrário e resolvemos o sistema nas incógnitas do 1º- membro. O fato de atribuirmos valores arbitrários a algumas das incógnitas faz com que o sistema tenha mais do que uma solução e seja, portanto, indeterminado. Exemplo: A única variável livre é z (não aparece no começo de ne- nhuma equação). Transpondo z para o 2º- membro, teremos atribuindo a z um valor arbitrário α, teremos então, II ⎯→ y = 2 + α em I ⎯→ x – (2 + α) = 4 – α → x = 6 Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas (6; 2 + α; α), onde α é um número qualquer (real ou complexo). Eis algumas: α = 1 ⎯→ (6; 3; 1) α = –6 ⎯→ (6; –4; –6) α = 0 ⎯→ (6; 2; 0) 3. ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA A) Sistemas Equivalentes Dados dois sistemas lineares S1 e S2, diremos que eles são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução. Exemplo: e são equivalentes, pois ambos são determinados (D ≠ 0) e ad- mitem como solução Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções, o que iremos fazer é transformar um sistema linear qualquer num ou- tro equivalente, porém na forma escalonada. Isto, porque siste- mas escalonados são fáceis de se resolverem. Precisamos então saber que recursos usar para transformar um sistema S1 num outro equivalente S2, na forma escalonada. Os recursos são os teoremas que veremos a seguir. – ; 1 3 5 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ S x y y2 2 3 3 5 + = = ⎧⎨⎩⎪– – S x y x y1 2 3 2 1 + = + = ⎧⎨⎩⎪ x y y – –= = + ⎧⎨⎩⎪ 4 2 α α x y z y z – –= = + ⎧⎨⎩⎪ 4 2 x y z y z – – + = = ⎧⎨⎩⎪ 4 2 I II III x y z y z z + + = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 4 3 1 3 6 – x y z y z + + = = ⎧⎨⎩⎪ 5 0– 4 1 0 2 1 x y z t z t t – – – + + + = + = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ w w w x y z y z z + + = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 3 1 4 2 5 – ALFA-5 ★ 850750509 16 ANGLO VESTIBULARES Aulas 37 e 38 SISTEMAS LINEARES — SISTEMAS ESCALONADOS — ESCALONAMENTO II I Exemplo: Os sistemas e são equivalentes, pois S’ foi obtido a partir de S, substituindo a 2ª- equação de S, pela soma membro a membro, dela com a 1ª-. B) Escalonamento de um Sistema Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles baseados nos teoremas 1 e 2. Solução, de “baixo para cima” z = 2, y = 3, x = 1 ∴ S = {(1, 3, 2)} OBSERVAÇÃO Se durante o escalonamento ocorrer: 1º-) Uma equação do tipo 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + … + 0 ⋅ xn = b (b ≠ 0) então, o sistema será impossível, pois esta equação nunca será satisfeita. 2º-) Uma equação do tipo 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + … + 0 ⋅ xn = 0 esta equação poderá ser suprimida do sistema, pois ela é veri- ficada por quaisquer valores das incógnitas. Exercícios 1. Classificar e resolver os sistemas: a) O sistema é SPD III 3z = 6 ∴ z = 2 II y – 2 = – 1 ∴ y = 1 I x – 1 + 2 = 6 ∴ x = 5 S = {(5, 1, 2)} b) O sistema é SPI Variável livre: z = α, ∀α II y + α = 1 ∴ y = 1 – α I x – 1 + α + 2α = 2 ∴ x = 3 – 3α S = {(3 – 3α, 1 – α, α), ∀ α} 2. Classificar e resolver os sistemas: a) x + y + z = 6 (– 2) (1) 2 x + 3 y + 4 z = 20 + – x + y + 2 z = 7 + x + y + z = 6 0 + y + 2 z = 8 (– 2) 0 + 2 y + 3 z = 13 + x + y + z = 6 0 + y + 2 z = 8 0 + 0 – z = – 3 (III) → z = 3 (II): y + 2 ⋅ 3 = 8 → y = 2 (I): x + 2 + 3 = 6 → x = 1 S = {(1, 2, 3)} SPD x y z x y z x y z + + = + + = + + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 6 2 3 4 20 2 7– x y z y z – + = + = ⎧⎨⎩⎪ 2 2 1 x y z y z z – – – + = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 6 1 3 6 x y z y z z + + = + = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 9 5 2 4 x y z y z y z + + = + = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 9 5 7 7 5 31 ( ) – – – x y z y z y z + + = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 9 3 3 15 1 3 7 5 31 – – – (– / ) – – – x y z y z x y z + + = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 9 3 3 3 15 3 2 4 (– ) – – – – – – x y z x y z x y z + + = + = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 9 2 2 3 3 2 4 (– ) – – – – S x y y ’ 2 4 4 12 + = = ⎧⎨⎩⎪ S x y x y 2 4 2 3 8 + = + = ⎧⎨⎩⎪– TEOREMA 2 Se substituirmos uma equação de um sistema S, pela soma membro a membro, dela com uma outra multiplicada por um número obteremos um sistema S’ equivalente a S. TEOREMA 1 Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema S, por um número k ≠ 0, o novo sistema S’ será equivalente a S. ALFA-5 ★ 850750509 17 ANGLO VESTIBULARES + + + upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright b) x – y + z = 2 (– 2) (– 3) 2 x + y + z = 1 3 x + 0 y + 2 z = 5 x – y + z = 2 0 + 3 y – z = – 3 (– 1) 0 + 3 y – z = – 1 x – y + z = 6 0 + 3 y – z = – 3 0 + 0 + 0 = 2 (falso) SI S = ∅ c) 2 x + y + z = 1 (– 1) 0 + y – z = 1 2 x + 2 y + 0 = 2 + 2 x + y + z = 1 0 + y – z = 1 (– 1) 0 + y – z = 1 + (I) 2 x + y + z = 1 (II) 0 + y – z = 1 0 + 0 + 0 = 0 Variável livre: z = α, ∀α (II): y – α = 1 ∴ y = 1 + α (I): 2x + 1 + α + α = 1 2x = – 2α x = – α SPI S = {(– α, 1 + α, α), ∀α} 3. Classificar e resolver os sistemas: a) x + y = – 1 (– 2) ⋅ (– 4) 2 x + y = 0 4 x + 3 y = – 2 x + y = – 1 – y = 2 (– 1) – y = 2 x + y = – 1 – y = 2 0 = 0 Como o número de equações na forma escalonada é igual ao número de incógnitas: SPD. II y = – 2 I x – 2 = – 1 ∴ x = 1 S = {(1, – 2)} b) x – y + 2 z = 1 (– 3) 3 x – 2 y + 6 z = 4 x – y + 2 z = 1 y + 0 z = 1 Como o número de equações na forma escalonada é menor que o número de incógnitas: SPI. Variável Livre: z = α, ∀α II y = 1 I x – 1 + 2α = 1 ∴ x = 2 – 2α S = {(2 – 2α, 1, α), ∀α} • Leia o item 4, cap. 4. • Resolva os exercícios 7, 17 e 18, série 4. • Resolva os exercícios 21 a 23, série 4. • Resolva os exercícios 8, 19 e 20, série 4. • Resolva os exercícios 25, 26, 27, 29 e 30, série 4. AULA 38 AULA 37 Tarefa Complementar AULA 38 AULA 37 Tarefa Mínima � Livro 1 — Unidade IV Caderno de Exercícios — Unidade III ORIENTAÇÃO DE ESTUDO x y z x y z – – + = + = ⎧⎨⎩⎪ 2 1 3 2 6 4 x y x y x y + = + = + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ – – 1 2 0 4 3 2 2 1 1 2 2 2 x y z y z x y + + = = + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ – 2 1 2 3 2 5 x y z x y z x z + + = + = + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ – ALFA-5 ★ 850750509 18 ANGLO VESTIBULARES upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketrightupcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright 1. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Discutir um sistema linear em função de um ou mais pa- râmetros significa dizer para que valores do(s) parâmetro(s) o sistema é a) determinado b) indeterminado c) impossível Exemplos: a) Número de equações igual ao número de incógnitas. Vamos discutir em função de m o sistema mx + y = 1 x + my = 1 Sabemos pelo Teorema de Cramer que se D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado. Logo: D ≠ 0 ⇔ m2 – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 e m ≠ – 1 Resta analisar o que acontece com o sistema para m = 1 e m = –1. Temos: m = 1 o sistema será x + y = 1 x + y = 1 Escalonando-o obteremos {x + y = 1 que é um sistema indeterminado. m = –1 o sistema será –x + y = 1 x – y = 1 Escalonando-o obteremos –x + y = 1 0 ⋅ x + 0 ⋅ y = 2 que é um sistema impossível. Em resumo m ≠ 1 e m ≠ –1 ⎯⎯⎯→ sistema determinado m = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ sistema indeterminado m = –1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ sistema impossível b) Número de equações diferentes do número de incógnitas. 1) Discutir segundo m o sistema: x + my – z = 1 3x + 2y – 3z = 4 Resolução: x + my – z = 1 ⋅ (–3) 3x + 2y – 3z = 4 + x + my – z = 1 0 + (2 – 3m)y + 0z = 1 Da 2ª- equação temos: 2 – 3m ≠ 0 ⇒ sistema possível indeterminado 2 – 3m = 0 ⇒ sistema impossível isto é: sistema possível indeterminado sistema impossível 2) Discutir segundo m o sistema: x – 2y = 3 2x + y = 1 mx – y = 2 Resolução: x – 2y = 3 ⋅ (–2) ⋅ (–m) 2x + y = 1 + mx – y = 2 + x – 2y = 3 0 + 5y = –5 0 + (2m – 1)y = 2 – 3m x – 2y = 3 ⎯⎯⎯⎯→ x = 1 0 + y = –1 ⎯⎯⎯→ y ↑ = –1 0 + (2m – 1) y = 2 – 3m Substituindo y = –1 na última equação temos: (2m – 1) (–1) = 2 – 3m m = 1 isto é: m = 1 ⇒ sistema possível determinado m ≠ 1 ⇒ sistema impossível Exercícios 1. Discutir em função de k o sistema kx + y = 1 2x + y = 3 D ≠ 0 ⇔ ≠ 0 ⇔ k ≠ 2 ∴ (SPD) Se k ≠ 2 → SPD Se k = 2 2 x + y = 1 (– 1) 2x + y = 3 2x + y = 1 Resposta: k ≠ 2 ⇒ SPD 0 + 0 = 2 (falso) k = 2 ⇒ SI ⏐⏐⏐ k 1 2 1 ⏐⏐⏐ m m ≠ = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⇒ ⇒ 2 3 2 3 D m 1 1 m m –1 (raízes 1ou –1)2= = ALFA-5 ★ 850750509 19 ANGLO VESTIBULARES Aulas 39 e 40 SISTEMAS LINEARES — DISCUSSÃO � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright 2. Discutir em função de k o sistema: D ≠ 0 ⇔ ≠ 0 ⇔ k2 – 1 ≠ 0 ⇔ k ≠ 1 e k ≠ – 1 k = 1 x + y = 1 (– 1) ∴ x + y = 1 SPI x + y = 1 + 0 = 0 k = – 1 – x + y = 1 ( 1 ) x – y = 1 + – x + y = 1 0 + 0 = 2 SI k ≠ 1 e k ≠ – 1 ⇒ SPD Resposta: k = 1 ⇒ SPI k = – 1 ⇒ SI 3. Discutir em função de m: D ≠ 0 ⇔ ≠ 0 2 + m + m2 – 1 – 2 m – m2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 x + y + z = 1 (– 1) (– 1) Se m = 1 x + y + z = 0 x + y + 2 z = 1 x + y + z = 1 0 + 0 + 0 = – 1 (falso) SI 0 + 0 + z = 0 Resposta: m ≠ 1 ⇒ SPD m = 1 ⇒ SI 4. Discutir em função de a o sistema: x – y = 2 (– 2) (– 1) 2 x – y = 5 x + y = a (1) x – y = 2 x – y = 2 (2) 0 + y = 1 (– 2) ∴ y = 1 (3) 0 + 2 y = a – 2 + 0 = a – 4 Resposta: a = 4 ⇒ SPD a ≠ 4 ⇒ SI 2. SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Sistemas lineares homogêneos são aqueles onde todos os termos independentes valem zero. Isto é: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 S a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0 Este tipo de sistema admite sempre a solução (α1, α2, …., αn) onde αi = 0 ∀ i ∈ {1, 2, …, n} chamada solução nula, trivial ou imprópria. PORTANTO OS SISTEMAS HOMOGÊNEOS SÃO SEMPRE POSSÍVEIS. Se o sistema for determinado, apresentará apenas uma solução (a nula); se for indeterminado apresentará, além da solução nula, outras soluções diferentes da nula, que são chamadas próprias. OBSERVAÇÃO (VÁLIDA SOMENTE PARA SISTEMAS HOMOGÊNEOS) Se o sistema homogêneo tiver n equações e n incógnitas, então, usando o teorema de Cramer, teremos D ≠ 0 ⇔ sistema possível e determinado D = 0 ⇔ sistema possível e indeterminado Exercícios 5. Discutir em função de k o sistema: O sistema é homogêneo – 3k – 2 4 6 –k 4 = 6 – k + 4 – 3k – 2 + 4 = – 4k + 12 Então: – 4k + 12 = 0 → k = 3 Resposta: k ≠ 3 ⇒ SPD (isto é, somente sol. trivial) k = 3 ⇒ SPI (além do trivial, outras soluções chamadas próprias) 1 –1 2 3 k 2 ⏐⏐⏐⏐ 1 – 1 1 2 3 1 k 2 2 ⏐⏐⏐⏐ x – y + z = 0 2x + 3y + z = 0 kx + 2y + 2z = 0 ⎧⎨⎩ x – y = 2 2x – y = 5 x + y = a ⎧⎨⎩ ⏐⏐⏐⏐ 1 1 1 m 1 m 1 m 2 ⏐⏐⏐⏐ x + y + z = 1 mx + y + mz = 0 x + my + 2z = 1 ⎧⎨⎩ ⏐⏐⏐ k 1 1 k ⏐⏐⏐ kx + y = 1 x + ky = 1 ⎧⎨⎩ ALFA-5 ★ 850750509 20 ANGLO VESTIBULARES upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright (SPD) upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright (SPD) upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright upcurlybracketleft upcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleft � upcurlybracketmid � upcurlybracketright 6. (FUVEST) O sistema linear é indeterminado para: a) todo m real b) nenhum m real c) m = 1 d) m = – 1 e) m = 0 Como o sistema é homogêneo, basta D = 0 = 0 1 – m – 1 = 0 ∴ m = 0 • Leia o item 7, cap. 4. • Resolva os exercícios 34 a 37, série 4. • Leia o item 8, cap. 4. • Resolva os exercícios 43 a 45, série 4. • Resolva os exercícios 38, 40, 41 e 42, série 4. • Resolva os exercícios 46 a 48, série 4. AULA 40 AULA 39 Tarefa Complementar AULA 40 AULA 39 Tarefa Mínima � Livro 1 — Unidade IV Caderno de Exercícios — Unidade III ORIENTAÇÃO DE ESTUDO ⏐⏐⏐⏐ 1 1 1 1 0 1 0 1 m ⏐⏐⏐⏐ x + y + z = 0 x + z = 0 y + mz = 0 ⎧⎨⎩ ALFA-5 ★ 850750509 21 ANGLO VESTIBULARES
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