Cálculo3A-ProvaVE1 com Gabarito-UFF-Saponga-H12016 2

Prévia do material em texto

uff
Universidade Federal Fluminense
Campus do Valonguinho
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Departamento de Matema´tica Aplicada - GMA Prof Saponga
Rua Ma´rio Santos Braga s/n
24020 -140 Nitero´i, RJ
Ca´lculo III - A / 2016.2
Durac¸a˜o da prova: 1h45min
As justificativas sa˜o partes fundamentais das soluc¸o˜es das questo˜es
VE 1 - Turma H1 - Soluc¸o˜es
Aplicada em 11/outubro/2016
1.
Considere a integral iterada
∫ √pi
0
∫ √pi
y
cos(x2) dx dy .
(i) Esboce no plano xy a regia˜o de integrac¸a˜o, indicando no desenho, claramente, as curvas que a delimitam ;
(ii) Troque a ordem de integrac¸a˜o e calcule a integral.
Soluc¸a˜o: Da integral iterada dada na questa˜o, conclu´ımos a variac¸a˜o de y : 0 → √pi .
Ale´m disso, para cada y ∈ [ 0 ,√pi ] fixado, temos a variac¸a˜o de x : y → √pi . Assim, a
regia˜o D de integrac¸a˜o fica descrita pelas desigualdades:
D = {(x , y) ∈ R2 ; 0 ≤ y ≤ √pi e y ≤ x ≤ √pi}.
Na figura ao lado exibimos o esboc¸o hachurado da regia˜o D e isso finaliza o item (i).
(ii) Para efetuar a troca da ordem de integrac¸a˜o, comecemos fixando 0 ≤ x ≤ √pi . Para
cada x fixado, a varia´vel y varia de quando entramos no dom´ınio, isto e´, y = 0 ate´
quando saimos do dom´ınio, isto e´, y = x . E assim, temos :
x
y
√
pi
√
piy = x
y
y
=
x
x
=
√
pi
D
∫ √pi
0
∫ √pi
y
cos(x2) dx dy =
∫ √pi
0
∫ x
0
cos(x2) dy dx
=
∫ √pi
0
{[
y cos(x2)
]y=x
y=0
}
dx =
∫ √pi
0
x cos(x2) dx
=
[1
2
sin(x2)
]x=√pi
x=0
=
1
2
[
sin(x2)
]x=√pi
x=0
=
1
2
[
sinpi − sin 0 ] = 0
e a soluc¸a˜o do item (ii) esta´ finalizada.
x
y
√
pi
√
pix
x = y
y
=
x
D
2.
Seja R a regia˜o do espac¸o dada por:
x2 + y2 + z2 ≥ 2az ; x2 + y2 + z2 ≤ 4az ; z ≥
√
x2 + y2 onde a > 0 .
Em R temos uma distribuic¸a˜o de massa cuja densidade em cada ponto e´ diretamente proporcional a distaˆncia do
ponto a origem do sistema de coordenadas .
(i) Esboce a regia˜o R , indicando no desenho, claramente, as superf´ıcies que a delimitam ;
(ii) Use coordenadas esfe´ricas para calcular a massa total distribuida em R ;
(iii) Mostre, sem fazer ca´lculos, que o centro de massa dessa distribuic¸a˜o de massa esta´ sobre o eixo z .
Ca´lculo III - A VE 1 - Soluc¸o˜es - Turma H1 - 2016.2 2
Soluc¸a˜o: Comecemos fazendo uma releitura das regio˜es descritas na questa˜o, as quais sera˜o mostradas a seguir :
+ x2 + y2 + z2 ≥ 2az ⇐⇒ x2 + y2 + (z − a)2 ≥ a2
que representa a parte exterior a esfera x2 + y2 + (z − a)2 = a2 ;
+ x2 + y2 + z2 ≤ 4az ⇐⇒ x2 + y2 + (z − 2a)2 ≤ 4a2
que representa a parte interior a esfera x2 + y2 + (z − 2a)2 = 4a2 ;
+ z ≥
√
x2 + y2 que representa a parte interior ao cone z =
√
x2 + y2.
Nas figuras abaixo, esboc¸amos as superf´ıcies que delimitam tais regio˜es.
•a
•2a
a
Na figura a seguir, esboc¸amos a regia˜o R delimitada pelas superf´ıcies em questa˜o. Isso finaliza o item (i) da questa˜o.
2a
a
x2 + y2 + z2 = 2az↙
z =
√
x2 + y2
↖
x2 + y2 + z2 = az→
x y
z
Iniciamos o item (ii) com a mudanc¸a de varia´vel cartesiana → esfe´rica :
x = r sinϕ cos θ ; y = r sinϕ sin θ ; z = r cosϕ donde se conclui que dV = r2 sinϕdr dθ dϕ .
Sabemos que a densidade de massa na regia˜o R e´ dada por ρ(x , y , z) = k
√
x2 + y2 + z2 onde k e´ uma constante
positiva. Assim, a massa total M tem a expressa˜o :
M =
∫∫∫
R
k
√
x2 + y2 + z2 dV = k
∫∫∫
R
√
x2 + y2 + z2 dV.
Passando a`s coordenadas esfe´ricas, obtemos :
M = k
∫∫∫
Rr,θ,ϕ
r3 sinϕdr dϕ dθ . (1)
Para determinar os limites de integrac¸a˜o da integral iterada, na ordem estabelecida acima, lembramos que para cada
ϕ , θ fixados, o raio varia :
+ da esfera de raio menor (entrada no dom´ınio), isto e´:
x2 + y2 + z2 = 2az =⇒ r2 sin2 ϕ cos2 θ + r2 sin2 ϕ sin2 θ + r2 cos2 ϕ = 2ar cosϕ =⇒ r = 2a cosϕ ;
Ca´lculo III - A VE 1 - Soluc¸o˜es - Turma H1 - 2016.2 3
+ ate´ a esfera de raio maior (sa´ıda do dom´ınio), isto e´ :
x2 + y2 + z2 = 4az =⇒ r2 = 4ar cosϕ =⇒ r = 4a cosϕ .
Ale´m disso, para cada θ fixado, temos que ϕ varia de ϕ = 0 ate´ ϕ = pi/4 rd que e´ o aˆngulo de abertura do cone
z =
√
x2 + y2 . Por sua vez, θ varia de θ = 0 ate´ θ = 2pi rd . Agora, voltando a (1) obtemos :
M = k
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
∫ 4a cosϕ
2a cosϕ
r3 sinϕdr dϕ dθ =
k
4
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
[
r4 sinϕ
]r=4a cosϕ
r=2a cosϕ
dϕ dθ
=
k
4
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
{
162a4 cos4 ϕ− 16a4 cos4 ϕ} sinϕdϕdθ = 60ka4 ∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
cos4 ϕ sinϕdϕdθ
= 12ka4
∫ 2pi
0
[
− cos5 ϕ
]ϕ=pi/4
ϕ=0
dθ = 12ka4
∫ 2pi
0
{
− 1
4
√
2
+ 1
}
dθ = 12ka4
{
1− 1
4
√
2
}
e o item (ii) esta´ finalizado.
Para responder ao item (iii) precisamos apresentar argumentos que indiquem que as coordenadas x¯ e y¯ do centro de
massa sa˜o nulas. Nesse caso o centro de massa se localiza em (0 , 0 , z¯) , ou seja, ele esta´ sobre o eixo z.
Para isso, relembremos as definic¸o˜es :
x¯ =
1
M
∫∫∫
R
x k
√
x2 + y2 + z2 dV =
k
M
∫∫∫
R
x
√
x2 + y2 + z2 dV (2)
y¯ =
1
M
∫∫∫
R
y k
√
x2 + y2 + z2 dV =
k
M
∫∫∫
R
y
√
x2 + y2 + z2 dV (3)
A regia˜o R tem simetria em relac¸a˜o ao plano yz , pois todas as treˆs superf´ıcies envolvidas teˆm essa simetria, ja´ que
a varia´vel x sempre aparece elevada ao quadrado. Por sua vez o integrando f(x , y , z) = x
√
x2 + y2 + z2 satisfaz a
condic¸a˜o:
f(−x , y , z) = −x
√
(−x)2 + y2 + z2 = −x
√
x2 + y2 + z2 = −f(x , y , z) para todo (x , y , z) ∈ R.
Ou seja, a aplicac¸a˜o f(x , y , z) e´ ı´mpar com relac¸a˜o ao plano yz . Logo, a integral em (2) se anula.
Por outro lado, a regia˜o R tem simetria em relac¸a˜o ao plano xz , pois todas as treˆs superf´ıcies envolvidas teˆm
essa simetria, ja´ que a varia´vel y sempre aparece elevada ao quadrado. Ale´m disso, o integrando g(x , y , z) =
y
√
x2 + y2 + z2 satisfaz a condic¸a˜o:
g(x ,−y , z) = −y
√
x2 + (−y)2 + z2 = −y
√
x2 + y2 + z2 = −g(x , y , z) para todo (x , y , z) ∈ R.
Ou seja, a aplicac¸a˜o g(x , y , z) e´ ı´mpar com relac¸a˜o ao plano xz . Logo, a integral em (3) tambe´m se anula e finalizamos
o item (iii) da questa˜o.
�
Nota
�
(a) Verifique que a regia˜o R e´ obtida girando, em torno do eixo z , a regia˜o D do semiplano yz , que tem y ≥ 0 e
satisfaz: y2 + z2 ≥ 2az ; y2 + z2 ≥ 4az ; z ≥ |y| .
(b) Voceˆ consegue resolver a integral do item (ii) da Questa˜o 2 usando coordenadas cil´ındricas ?
(c) Recoloque a Questa˜o 2 trocando as superf´ıcies dadas, pelas superf´ıcies:
y2 + z2 ≥ 2ay ; y2 + z2 ≤ 4az ; z ≤√3(x2 + y2) ; z ≥ 0 .
Nesse caso, o que podemos dizer sobre a localizac¸a˜o do centro de massa ?
Ca´lculo III - A VE 1 - Soluc¸o˜es - Turma H1 - 2016.2 4
3.
A curva mostrada na figura ao lado e´ conhecida como Lemniscata de Bernoulli .
Sua equac¸a˜o em coordenadas cartesianas e´ (x2 + y2)2 = 2a2xy e em coor-
denadas polares ela tem a forma r2 = a2 sin(2θ) onde a > 0. Repare que
a equac¸a˜o em coordenadas polares so´ esta´ bem definida quando θ esta´ nos
intervalos [0 , pi/2] ou [pi , 3pi/2] ou quando θ e´ coˆngruo a um desses aˆngulos.
(i) Use a simetria da curva e calcule a a´rea da regia˜o por ela delimitada
atrave´s de uma integral dupla em coordenadas polares ;
(ii) Calcule o momento de ine´rcia dessa regia˜o, em relac¸a˜o a origem, sabendo
que a densidade de massa e´ uma constante k positiva.
y
=
x
x
y
Soluc¸a˜o: Na equac¸a˜o cartesiana da Lemniscata de Bernoulli vemos sua simetria em relac¸a˜o a origem, isto e´, se (x , y)
satisfaz a equac¸a˜o, enta˜o (−x ,−y) tambe´m a satisfaz, pois as varia´veis x e y sempre aparecem elevadas ao quadrado
ou na forma do produto xy.
Denotemos por D≥0 e D≤0 a parte da regia˜o contida no semiplano x ≥ 0 e x ≤ 0 , respectivamente.
(i) Nesse caso, para obter a a´rea A delimitadapor toda a curva, devemos calcular :
A =
∫∫
D≥0
dA+
∫∫
D≤0
dA = 2
∫∫
D≥0
dA . (4)
Para efetuar os ca´lculos, vamos lanc¸ar ma˜o das coordenadas polares, dadas por :
x = r cos θ ; y = r sin θ donde se conclui que dA = r dr dθ . (5)
Na regia˜o D≥0 , para cada aˆngulo θ fixado, sabemos, da equac¸a˜o polar da
curva, que r tem a variac¸a˜o r : 0 → a√sin(2θ) . Ale´m disso, θ tem a
variac¸a˜o θ : 0→ pi/2 . Voltando a (4) obtemos :
A = 2
∫ pi/2
0
∫ a√sin(2θ)
0
r dr dθ =
∫ pi/2
0
[
r2
]r=a√sin(2θ)
r=0
dθ = a2
∫ pi/2
0
sin(2θ)dθ
=
a2
2
[
− cos(2θ)
]θ=pi/2
θ=0
= a2 e esse ca´lculo finaliza o item (i).
D≥
0
y
=
x
θr
x
y
(ii) Para o ca´lculo desse item, lembramos que a densidade de massa e´ dada por ρ(x , y) = k onde k e´ uma constante
positiva. Por definic¸a˜o do momento de ine´rcia I0 em relac¸a˜o a origem temos:
I0 = k
∫∫
D≥0
(x2 + y2)dA+ k
∫∫
D≤0
(x2 + y2)dA = 2k
∫∫
D≥0
(x2 + y2)dA (6)
tendo em vista a simetria da regia˜o em relac¸a˜o a origem e o fato que h(−x ,−y) = (−x)2+(−y)2 = x2+y2 = h(x , y)
para todo (x , y) ∈ D≥0 .
Para efetuar os ca´lculos vamos, novamente, usar as coordenadas polares descritas em (5). Usando os limites de
integrac¸a˜o ja´ calculados no item (i) e voltando a (6), obtemos :
I0 = 2k
∫∫
D≥0
(x2 + y2) dA = 2k
∫ pi/2
0
∫ a√sin(2θ)
0
r3 dr dθ =
k
2
∫ pi/2
0
[
r4
]r=a√sin(2θ)
r=0
dθ =
ka4
2
∫ pi/2
0
sin2(2θ) dθ
=
ka4
4
∫ pi/2
0
{
1− cos(4θ)}dθ = ka4
4
∫ pi/2
0
dθ − ka
4
4
∫ pi/2
0
cos(4θ) dθ
=
kpia4
8
− ka
4
16
[
sin(4θ)
]pi/2
0
=
kpia4
8
e o item (ii) fica finalizado.
�
Nota
�
Considere o so´lido R , obtido girando a regia˜o delimitada pela curva da Questa˜o 3 em torno da reta y = x .
Ca´lculo III - A VE 1 - Soluc¸o˜es - Turma H1 - 2016.2 5
(a) Calcule o volume de R ;
(b) O que podemos concluir sobre as simetrias de R em relac¸a˜o aos planos coordenados ?
(c) Se temos uma distribuic¸a˜o homogeˆnea de massa em R o que podemos concluir sobre o centro de massa dessa
distribuic¸a˜o ?
(d) Coloque alguma questa˜o, nesse contexto, e responda-a.
4.
Considere uma curva C ⊂ R3 e uma func¸a˜o densidade ρ : C → R . Definimos o valor me´dio (VM) de ρ sobre C
por:
VM(ρ ; C) := 1
`(C)
∫
C
ρ(x , y , z)ds onde `(C) e´ o comprimento da curva C.
Agora considere que a curva C e´ dada por γ(t) = (2 sin t , 2 cos t , t/2) onde t ∈ [ 0 , 4pi ] .
(i) Mostre que C esta´ sobre um cilindro, esboce-a e exiba a orientac¸a˜o induzida sobre C pela parametrizac¸a˜o ;
(ii) Calcule γ′(t) e o elemento de comprimento ds associados a parametrizac¸a˜o γ(t) ;
(iii) Calcule `(C) ;
(iv) Calcule VM(ρ ; C) quando ρ(x , y , z) = z/2 ;
(v) Mostre que o valor me´dio encontrado em (iv) e´ assumido pela densidade ρ(x , y , z) em algum ponto da curva
e determine tal ponto.
(vi) O item (v) lhe sugere colocar alguma pergunta ? Voceˆ sabe respondeˆ-la ?
Soluc¸a˜o: A projec¸a˜o da curva C no plano xy esta´ sobre o c´ırculo x2 + y2 = 4 , pois
4(sin t)2 +4(cos t)2 = 4 , ou seja, 4 sin2 t+4 cos2 t = 4 para todo t ∈ [ 0 , 4pi ] . Logo,
ela se encontra sobre o cilindro de equac¸a˜o cartesiana x2+y2 = 4 . A projec¸a˜o no plano
xy da parametrizac¸a˜o γ(t) da curva em questa˜o, e´ dada por β(t) = (2 sin t , 2 cos t)
com t ∈ [ 0 , 4pi ] e temos β(0) = ( 0 , 2 ) .
Quando o paraˆmetro t ∈ ( 0 , pi/2 ) , a coordenada x = 2 sin t e´ positiva e crescente
e a coordenada y = 2 cos t e´ positiva e decrescente. Isso significa que a projec¸a˜o da
curva no plano xy esta´ sendo descrita no sentido hora´rio.
A coordenada z = t/2 e´ crescente quando t ∈ [ 0 , 4pi ] . Portanto, a curva espirala
sobre o cilindro, com coordenada z crescente e com projec¸a˜o no plano xy circulando
no sentido hora´rio e iniciando o percurso no ponto (0 , 2 , 0) . Assim, o esboc¸o da curva
e´ o exibido na figura ao lado e isso encerra o item (i).
x
y
z
(ii) Para esse item temos :
+ γ′(t) = (2 cos t ,−2 sin t , 1/2) para todo t ∈ [ 0 , 4pi ] ;
+ ds = ‖γ′(t)‖ dt =
√
4 cos2 t+ 4 sin2 t+ 1/4 dt =
√
17
2 dt .
(iii) Para o ca´lculo do comprimento de C temos :
`(C) =
∫
C
ds =
√
17
2
∫ 4pi
0
dt = 2pi
√
17 .
(iv) Para o ca´lculo do valor me´dio da densidade ρ sobre C temos :
VM(ρ ; C) = 1
`(C)
∫
C
ρ(x , y , z)ds =
1
4pi
√
17
∫
C
z ds =
1
4pi
√
17
∫ 4pi
0
t
√
17
4
dt =
1
16pi
∫ 4pi
0
t dt =
1
32pi
[
t2
]t=4pi
t=0
= pi/2
e isso finaliza a soluc¸a˜o do item (iv).
(v) Agora, vamos mostrar que a densidade assume esse valor me´dio em algum ponto da curva. Para que tal ocorra,
devemos ter:
ρ(2 sin t , 2 cos t , t/2) = pi/2 ⇐⇒ t/4 = pi/2 ⇐⇒ t = 2pi .
Ca´lculo III - A VE 1 - Soluc¸o˜es - Turma H1 - 2016.2 6
Com isso mostramos que quando t = 2pi ∈ [ 0 , 4pi ] , temos que γ(2pi) = (0 , 2 , pi) e nesse ponto a densidade assume
o valor pi/2 , isto e´, ρ(0 , 2 , pi) = VM(ρ ; C) , como quer´ıamos mostrar.
(vi) Uma pergunta natural nesse contexto e´ a seguinte:
Sera´ que isso sempre ocorre ? Ou seja, o valor me´dio da densidade sempre e´ assumido em algum ponto da curva ?
Bem, para isso precisamos de algumas hipo´teses !
Se vetor velocidade γ′(t) da parametrizac¸a˜o e a densidade ρ variam continuamente (para que possamos fazer os
ca´lculos que fizemos), enta˜o esse resultado e´ verdadeiro.
Sera´ que e´ dif´ıcil prova´-lo ?
�
Nota
�
– Diante de uma parametrizac¸a˜o γ(t) =
(
x(t) , y(t) , z(t)
)
com t ∈ [ a , b ] de uma curva C, o que acontece com o
formato da curva e com a orientac¸a˜o induzida pela parametrizac¸a˜o sobre a curva quando :
(a) Trocamos de sinal a segunda (resp. primeira) coordenada ?
(b) Trocamos de posic¸a˜o as duas primeiras coordenadas ?
(c) Deˆ exemplos exibindo sua conclusa˜o nos dois casos acima ;
(d) Coloque alguma pergunta, nesse contexto, e tente respondeˆ-la.
– Considere a curva C dada pela parametrizac¸a˜o γ(t) = (a sin(t/2) cos t , a sin(t/2) sin t , a − a cos(t/2)) onde
t ∈ [ 0 , 2pi ] e a > 0.
(a) Mostre que C esta´ sobre a esfera x2 + y2 + z2 = 2az ;
(b) Fac¸a um esboc¸o da projec¸a˜o de C sobre o plano xy ;
(c) Fac¸a um esboc¸o de C e da orientac¸a˜o induzida pela parametrizac¸a˜o sobre C.
Valor das questo˜es:
Questa˜o 1:
• item (i): 0.5
• item (ii): 1.5
Questa˜o 2:
• item (i): 0.5
• item (ii): 2.0
• item (iii): 0.5
Questa˜o 3:
• item (i): 1.0
• item (ii): 1.0
Questa˜o 4:
• item (i): 0.5
• item (ii): 0.5
• item (iii): 0.5
• item (iv): 1.0
• item (v): 0.5
• item (vi): 0.0